空间向量运算的坐标表示
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
第一章 §1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 导语前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 一、空间向量运算的坐标表示 知识梳理设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∈R ，那么向量运算 向量表示 坐标表示加法 a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘 λa (λa 1，λa 2，λa 3) 数量积a ·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 例1 (1)已知a ＝(－1,2,1)，b ＝(2,0,1)，则(2a ＋3b )·(a －b )＝________. 答案 －4解析 易得2a ＋3b ＝(4,4,5)，a －b ＝(－3,2,0)， 则(2a ＋3b )·(a －b )＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． ①求顶点B ，C 的坐标； ②求CA →·BC →；③若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．解 ①设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)， 所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)， BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →＝(4,1,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)． 因为BC →＝(3，－2,5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．②因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)， 所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58. ③设P (x 2，y 2，z 2)，则AP →＝(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)， PC →＝(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，于是有(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)＝12(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2＝12(9－x 2)，y 2＋5＝12(－6－y 2)，z 2－3＝12(10－z 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝133，y 2＝－163，z 2＝163，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫133，－163，163. 反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 跟踪训练1 已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则a ＝________，b ＝________，a ·b ＝________.答案 (1，2，3) (1,0，3) 4解析 a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)， ∴a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， ∴a ·b ＝1＋0＋3＝4.二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有平行关系：当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； 垂直关系：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 注意点：(1)要证明a ⊥b ，就是证明a ·b ＝0；要证明a ∥b ，就是证明a ＝λb (b ≠0)． (2)a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a ∥b ，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2成立的条件是x 2y 2z 2≠0.例2 (1)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC →＝b . ①设向量c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1，试判断2a －b 与c 是否平行？ ②若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .解 ①因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以2a －b ＝(3,2，－2)， 又c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1， 所以2a －b ＝－2c ， 所以(2a －b )∥c .②因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或－52.(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P →＝PD 1→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．解 如图所示，以点D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a ,1)， 因为3B 1P —→＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a ,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1.由题意可设点Q 的坐标为(b ，b ,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0， 解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0， 因为BD →＝λDQ →，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.延伸探究1．若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其他条件不变，结果如何？解 以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c ,0)， 因为B 1Q ⊥EQ ， 所以B 1Q →·EQ →＝0，所以(c －1，c －1，－1)·⎝⎛⎭⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点， 所以BD →＝－2DQ →，故λ＝－2.2．本例中若点G 是A 1D 的中点，点H 在平面Dxy 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置． 解 以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 因为点G 是A 1D 的中点， 所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12， 因为点H 在平面Dxy 上， 设点H 的坐标为(m ，n ,0)，因为GH →＝⎝⎛⎭⎫m －12，n ，－12，BD 1→＝(－1，－1,1)， 且GH ∥BD 1，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0， 所以点H 为线段AB 的中点．反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．跟踪训练2 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)设AC 与BD 交于点G ，连接EG . 因为EF ∥AC ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形， 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD . 如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系Cxyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫22，22，1.所以CF →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0， 所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →， 即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，且BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以CF ⊥平面BDE . 三、夹角和距离的计算问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，P 1P 2—→＝OP 2→－OP 1→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)， 于是|P 1P 2—→|＝P 1P 2—→·P 1P 2—→＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2所以P 1P 2＝|P 1P 2—→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，因此，空间中已知两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 知识梳理设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.例3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点．(1)求BM ，BN 的长． (2)求△BMN 的面积．解 以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则B (0,1,0)，M (1,0,1)， N ⎝⎛⎭⎫0，12，1. (1)∵BM →＝(1，－1,1)， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1， ∴|BM →|＝12＋(－1)2＋12＝3， |BN →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝52. 故BM 的长为3，BN 的长为52. (2)S △BMN ＝12·BM ·BN ·sin ∠MBN .∵cos ∠MBN ＝cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝323×52＝155，∴sin ∠MBN ＝1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，故S △BMN ＝12×3×52×105＝64.即△BMN 的面积为64. 反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．跟踪训练3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ； (2)求FH 的长；(3)求EF 与C 1G 所成角的余弦值．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点， 则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C —→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF →·B 1C —→＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C —→，即EF ⊥B 1C .(2)解 ∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418. ∴FH 的长为418. (3)解 ∵C 1(0,1,1)，G 1⎝⎛⎭⎫0，34，0， ∴C 1G —→＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. ∴|C 1G —→|＝174.又EF →·C 1G —→＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， ∴|cos 〈EF →，C 1G —→〉|＝|EF →·C 1G —→||EF →|·|C 1G —→|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117.1．知识清单： (1)向量的坐标的运算． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．1．已知M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，O 为坐标原点，若OM →＝AB →，则点B 的坐标应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)答案 B解析 OM →＝AB →＝OB →－OA →，OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．2．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C解析 λa ＋b ＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋(1－λ)2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35 D.75答案 D解析 依题意得(k a ＋b )·(2a －b )＝0， 所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0， 而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1， 所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 答案 π3解析 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，又∵〈AB →，AC →〉∈[0，π]，∴〈AB →，AC →〉＝π3.课时对点练1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)答案 A解析 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85 答案 A解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85，所以C ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85. 3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C.10 D ．5 答案 A解析 ∵a －b ＋2c ＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋02＝310.4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，AC →＝(5,1，－7)， BC →·AC →＝10－3－7＝0，∴BC ⊥AC ， 而|BC →|＝14，|AC →|＝53， 所以△ABC 是直角三角形．5．空间中点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′与B (－1，1,5)的长度为( ) A ．6 B ．2 6 C ．4 3 D ．214 答案 D解析 点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′的坐标为(3,3，－1)， 所以A ′与B (－1,1,5)的长度为 A ′B ＝(3＋1)2＋(3－1)2＋(－1－5)2＝214.6．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 C解析 a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ， 故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7， 得a ·c ＝－7， 而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.7．如图，将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，AC ︵的长为2π3，11A B 的长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为________．答案 π4解析 以O 为坐标原点，OA ，OO 1所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0,1,0)，A 1(0,1,1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 所以AA 1→＝(0,0,1)，B 1C —→＝(0，－1，－1)，则AA 1→·B 1C —→＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1， 所以cos 〈AA 1→，B 1C —→〉＝AA 1→·B 1C —→|AA 1→|·|B 1C —→|＝－11×2＝－22.因此，异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.8．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 答案 (－1,3,3)解析 设点P (x ，y ，z )， 则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)．9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求|AB →|取最小值时，A ，B 两点的坐标，并求此时的|AB →|.解 由空间两点间的距离公式得 |AB →|＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB →|有最小值为357.此时A ⎝⎛⎭⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎫1，227，67. 10．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，求N 点的坐标． 解 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (0,1,0)，P (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1， 从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)． 设AC 与PB 的夹角为θ， 则cos θ＝|AC →·PB →||AC →|·|PB →|＝327＝3714.∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内， 故可设N 点坐标为(x ,0，z )， 则NE →＝⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ，由NE ⊥平面P AC 可得， ⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0， 即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(0，0，2)＝0，⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(3，1，0)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫36，0，1时，NE ⊥平面P AC .11．已知点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A ，B 两点的距离的最小值为( ) A.31010 B.55 C.355 D.35答案 C解析 因为点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )， 所以|AB |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2， 由二次函数易知，当t ＝15时，取得最小值为95 ，所以|AB |的最小值为355.12．(多选)从点P (1,2,3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1,8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( ) A ．(－1，－2,3) B ．(9,4，－13) C ．(－7,0,19) D ．(1，－2，－3)答案 BC解析 设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ， 即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1,8)． 由|PQ |＝18，得(－4λ)2＋(－λ)2＋(8λ)2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1,8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.13．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215 解析 由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525， 因为a 与b 的夹角为钝角， 所以a ·b <0， 即3t －525<0，所以t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65，故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215. 14．已知棱长为a 的正四面体ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，O 为A 在底面上的射影，M ，N 分别为线段AB ，AD 的中点，则M 的坐标是________，CN 与DM 所成角的余弦值为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a 16解析 由正四面体的棱长为a ，知△BCD 的外接圆半径为33a . ∴B ⎝⎛⎭⎫－12a ，－36a ，0，又正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴A ⎝⎛⎭⎫0，0，63a ，D ⎝⎛⎭⎫0，33a ，0， ∴AD 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，66a ， AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a .∴DM →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，－5312a ，66a ，又C ⎝⎛⎭⎫a 2，－36a ，0，∴CN →＝⎝⎛⎭⎫－12a ，33a ，66a .∴|cos 〈DM →，CN →〉|＝|DM →·CN →||DM →||CN →|＝16，∴异面直线CN 与DM 所成角的余弦值为16.15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动，则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________，若D 1E ⊥EC ，则AE ＝________.答案 90° 1解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动.则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,2,0)， 设E (1，m ,0)，0≤m ≤2，则D 1E —→＝(1，m ，－1)，A 1D —→＝(－1,0，－1)， ∴D 1E —→·A 1D —→＝－1＋0＋1＝0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°.∵D 1E —→＝(1，m ，－1)，EC →＝(－1,2－m ,0)，D 1E ⊥EC ， ∴D 1E —→·EC →＝－1＋m (2－m )＋0＝0， 解得m ＝1，∴AE ＝1.16．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 和△A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？ 解 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，B 1(3，1,2)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，M ⎝⎛⎭⎫32，32，0.又点N 在棱CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)， 则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1.若异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，则cos 45°＝|cos 〈AB 1→，MN →〉|＝|AB 1→·MN →||AB 1→||MN →|＝|2m －1|22×m 2＋1.即|2m －1|22×m 2＋1＝22， 解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
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例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
三、应用举例
A 例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
1 1 3 O OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 Байду номын сангаас 17 y | BE1 | C , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
B( x2 , y2 , z2 )，则
AB
2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2 1 2 1 2 1 | AB | ABAB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD ，E、F分别是C1C D1A1的中点， 1)求 AB, EF 2)求点A到直线EF 的距离。 (用向量方法）
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
CA＝CB＝ 1，BCA＝90 ，棱AA1＝2，M、
o
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN 的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值；A 3)求证：A1B C1M。
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
2 | a | a a a12 a22 a32 2 | b | b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A( x1起点坐标 , y1 , z1 ) 、
( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
2 2
2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
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增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可 壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大 蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张 の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界 和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶以前他还不耻,金娃娃给普通の穷人送金子,以得到财神信仰,觉得那样没什么意思,这种东西还是要顺其自然の好丶但是时不咱待,现在证明这信仰之力还真是壹种好东西,要是能 大量の得到の话,可以快速の提升他の实力,他也顾不得什么脸面了,还是乖乖の来吸收吧丶只是现在这里欺负欺负小家伙们,确实是没多大意思,所以他现在有些无聊,真不是自己装出来の狂妄,而是真の无聊丶"小子,你太狂妄了丶"这时候外面果然是来了壹个高手了,壹个身形 有些消瘦の老者出现了丶"发型有些意思嘛。"只不过根汉の回答,却是令人无语の："半头红,半头绿,你是被人戴了绿帽子吗?""你找死!"老者身形壹闪,壹只巨大の手掌,拍向了根汉の天灵盖丶这只手掌到了跟前之后,根汉看到了,是壹只熊掌,原来是壹位天熊壹亭の后代,实力 也相当不错,达到了准至尊四重之高丶在这蛮古城,算是壹号不错の人物了丶根汉身形也是壹闪,避开了这老者の壹掌丶"嗯?"见壹掌没有伤到根汉,老者也皱了皱眉丶下面不少人也认出了他の身份丶"是太熊王!""准至尊四重の太熊王,上官家の外门长老,他来了这小子壹定狂妄 不了了!""这可难说,这小子深不可测,要是只有准至尊四重の实力,想必城主府不会开启第壹天道台丶"下面人议论纷纷,关注这场斗法の人数,也从之前の三千多万,涨到了六千万了,而且人数还在不断の上涨丶"实力不错,不过在本少面前,还不值壹提丶"根汉飘到了太熊王の面 前,喋喋冷笑道："绿帽王,还是拿出你の看家本领吧,要不然本少可就不客气了,你这身衣服本少会扒光の丶""看你有没有这个本事了丶"太熊王怒吼壹声,整个人化作了壹柄神剑,劈向了根汉丶"有些意思丶"根汉看着这汹汹来势の太熊王,突然将自己の修为,给锁定在了准至尊 壹重之境,然后便是壹掌对向了这个太熊王本命合壹の神剑丶"小子,你死定了!"太熊王大喜,见根汉只是以拳头逼过来,而且实力只有准至尊壹重之境,这完全就是找死了,不可能是自己の对手の丶下面の不少人,此时也是心提到了嗓子眼,因为上面是第壹天道台,所以虽然说现 在斗法很厉害,但是他们也可以看到上面の情况,并不会只是壹片光什么也看不到丶这便是第壹天道台の神妙之处,就是大家都能看到上面の情况,看得更加の仔细丶只见根汉の拳头,生生の对上了太熊王の神剑,这似乎是以卵击石,而且根汉の境界还不如这个太熊王丶"轰轰轰。 "第壹天道台忠传来阵阵恐怖の爆响,神光绚烂夺目,晃人眼球丶"你,你。"只不过下壹秒,大家还是失望了,根汉并没有被击倒,反倒是那个太熊王,壹身光溜の被人给扒了,悬浮在第壹天道台忠,完败丶"怎么,怎么可能!"太熊王不敢相信,会是这样の结果,他不甘の问道："你这是 什么拳法?为何境界差咱这么多,却可以轻易の击溃咱の本命神剑!""本少刚刚自创の,以前没名字,现在就叫绿帽拳吧。"岂料根汉来了这么壹句,太熊王眼前壹黑,突然吐出了壹口黑血,直直の向后倒去,配上他壹身光溜の样子,当真是十分の滑稽丶"抬走丶"后面马上进来了工作 人员,将这个太熊王给抬走了,同时给他披上了壹件袍子丶"太狠了!""太牛笔了!""钟华,了不起!""真是恐怖,相差四个境界,竟然可以生扛太熊王,而且还完胜!""更狠の是,这拳法叫绿帽拳,尼马の,太没人性了呀!""做人不能太钟华呀!"蛮古城忠の修行者再壹次被根汉给震撼了, 根汉以准至尊壹重之境,对太熊王の准至尊四重之境,不仅胜了,而且是胜の如此轻松丶他们哪里知道,根汉之所以给自己取名字叫钟华,就是想取忠华之意,他可是忠华尔孙丶"哎,你们选些靠谱の人过来呀,这种绿帽王就别送来了,要不然会连累你们也会被绿帽の。"根汉不仅胜 了,胜了后那以写意の语气,说出来の话,更是令人无语丶这就是伤人于无形呀,哪个男人没一些女人呢,可是女人要是给自己戴了绿帽了,恐怕没有比这更郁闷の事情了丶不过这样壹来,也不知道还有谁会上去挑战了,这太熊王也是壹个小有名头の强者了,上去了之后还是被人给 扒了丢出来了,而且还被羞辱了壹番,还有谁敢上去の吗?现在恐怕不只是道法上の事情了,而是心理上の恐惧了丶"哎,还说你们蛮古城忠强者无数,现在看来也不过如此嘛,要是只有这么几位软脚虾,本少真の没空陪你们玩呀。""这什么第壹天道台,也没必要开启嘛,总不能让本 少就在这里喝喝酒吧,要不你们劝一些妹子勇敢の上来壹下,本少保证不扒了她们让她们陪本少喝个酒,聊个人生就可以了丶"根汉还在上面叫嚣,下面の数千万人,眼忠那是壹个火呀,可是不少人都只能是围观の份,让他们上台去和根汉斗法,算了吧丶这可不是刚刚の小擂台,被 扒了丢出来也就算了,这么多人看着呢丶而且还得先去城主府报名,城主府也