2019届高考数学总复习第二单元函数第8讲二次函数检测

第8讲 二次函数
1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)
A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
函数f (x )的最小值是f (－
b
2a
)＝f (x 0)，等价于∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误． 2．若函数y ＝x 2
－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254
，－4]，则m 的取值范围是(D)
A ．[0,4]
B ．[3
2
，4]
C ．[32，＋∞) D．[3
2
，3]
二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－25
4，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈
[3
2
，3]． 3．如果函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 对任意x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么(D) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2)
由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝1
2
对称，又抛物线开口向上，所以
f (0)<f (2)<f (－2)．
4．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 2
1＋ax 1＋b ，M ＝x 2
2＋ax 2＋b .
所以M －m ＝x 22－x 2
1＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关． (方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．
5．(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2
的取值范围是 [12
，1] .
(方法一)由x ＋y ＝1，得y ＝1－x .
又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2
－2x ＋1＝2(x －12)2＋12
.
由0≤x ≤1，得0≤(x －12)2≤1
4
，
即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2
∈[12
，1]． (方法二)x 2＋y 2＝(x ＋y )2
－2xy ， 已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，
所以x 2＋y 2
＝1－2xy .
因为1＝x ＋y ≥2xy ，所以0≤xy ≤1
4
，
所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2
∈[12，1]．
(方法三)依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，
故(x 2＋y 2
)min ＝(|－1|2
)2＝12，
(x 2
＋y 2
)max ＝|OA |2
＝|OB |2
＝1.
故x 2＋y 2
∈[12，1]．
6．设f (x )＝x 2
－2ax ＋1.
(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；
(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .
(1)由Δ≤0，得4a 2
－4≤0，所以a ∈[－1,1]． (2)a ≤－1.
(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.
7．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋5(a >1)．
(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2
(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a ，f a ＝1，即⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2
＋5＝1，解得a ＝2. (2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，
所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2
，
因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，所以2≤a ≤3.
故实数a 的取值范围为[2,3]．
8．设abc >0，二次函数f 2
(D)
(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b
2a
<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由
图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．
对于B 选项，因为a <0，－b
2a
>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，
矛盾，故B 错．
对于C 选项，因为a >0，－b
2a
<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，
矛盾，故C 错．
故排除A 、B 、C ，选D.
(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C 、D 两图中c <0，故b <0， 所以－b
2a
>0，选D.
9．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0
成立，则实数m 的取值范围是 (－2
2
，0) .
作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
f m ，
f
m ＋
，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m 2
－1<0，
m ＋2
＋m m ＋－1<0，
解得－
2
2
<m <0. 10．已知f (x )＝ax 2
－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．
(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.
(2)当a >0时，f (x )＝ax 2
－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a
.
①当1a
≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2
－2x 图象的对称轴在[0,1]内，
所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1
a
，1]上递增，
所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1
a
.
②当1a
>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2
－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，
所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.
(3)当a <0时，f (x )＝ax 2
－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a
<0，在y 轴的左侧，
所以f (x )＝ax 2
－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2， a <1，－1
a
， a ≥1.。