hmw《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》
中职数学任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念
数定义域的 生 对 函 数
余弦函数：y=cos 定义域为 R
正切函数：y=tan
一般方法探 定 义 域 的 索正弦、余 掌握情况。 弦和正切函
定义域为
{x|x≠(π /2)+kπ ,k∈Z}
对于任意角的三角函数而言，其实大 数 的 定 义 家只需要记住当角的终边落在 y 轴上的 域。 话，正切值是不存在的。
教学环节与主要内容
教学表现行为 目标
1、从学生已
课堂教学 评价
1、评价学
一、知识回顾 在初中，我们学习了锐角三角函数，它 有的知识出 们是在直角三角形中定义的。如图 5-13 所 发，导入新 示，在直角∆ABC 中，定义 生对锐角
的 正
B
课，提高学 生参与课堂
弦、 余弦和 正切定义 的识记情 况。
对于每一个确定的也是确定的那么比值也是确定的也就是说一个角它的正弦函数对应一个比值余弦函数对应一个比值正切函数也对应着一个比值一个变量对应着一个变量变量与变量之间是一一对应的
《任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念》
礼县王坝农业中学
教学对象 高一年级
罗奎奎
授课学时 1 课时
1、理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；会用角 终边上任 意一点坐标表示 的正弦、余弦和正切值. 教学目标 2、掌握正弦、余弦、正切的定义域 3、运用研究函数的一般方法，经历从特殊到一般，具体到抽象的研 究过程，体验数形结合、类比等思想方法. 教学重点 重点：任意角的三角函数定义及其定义域。 与难点 难点：对任意角的三角函数定义的理解。 教学方法 启发、引导、演示法、练习法.
11
课堂小结 引导学生根据自己的学习收获进行总结：
解。
说课141任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教材分析
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▪ .分析确定重难点
借助单位圆掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义是 本节课的重点也是难点。
复习引入
之前，我们学 习了任意角， 那么 的值呢？
对于任意角， 是不是也存在 正弦函数、余 弦函数呢？该 如何定义？
复习引入 初中，锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边r
邻边s
对边h
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教学过程
探究新知
1.启发迁移
我们不妨将直角三角形引入直角坐标系中，看看会发生什么？
如图:设角α （
通常，我们用分别表示自变量和因变量，则将正弦函数、余弦函数统一 表示为：
值域为
教学过程
3.动手实践
探究新知
y
P(u,v) P(u,v)
oM
o
1
x
M
y
M
o
o
1 x P(u,v)
y
o
o
1x
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y
M
o
o
1x
P(u,v)
象限
一
二
三
四
三角函数
Sinα
cosα
教学过程
巩固强化
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1.4.1 任意角的正弦函数、 余弦函数的定义
2013年05月22日
主要内容
1 2 3 4
教材分析 学情分析 教学方法 教学过程
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任意角的正弦函数、余弦函数的定义
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念； （2）理解正弦函数、余弦函数的几何意义； 2、过程与方法类比直角三角形正弦函数、余弦函数的概念，引入正弦函数、余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况.3、情感态度与价值观由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号. 学习难点：会利用单位圆求三角函数值. 基础达标：1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义（1）单位圆的定义：在直角坐标系中，以 为圆心，以 为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴 重合，终边与单位圆O 交于点(,)P u v ，那么：点P 的 叫作角α的正弦函数，记作 ； 点P 的 叫作角α的余弦函数，记作 ； **设点P 是α角终边上任意一点，坐标为(,)P x y ，22||OP x y r =+=，用（1）比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α= ；（2）比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α= ；通常，我们用x 表示自变量，即表示 ，用y 表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数 和 ．它们的定义域为 值域为 ．（3）角α终边在第一、第二、第三、第四象限时，角α正弦函数、余弦函数的正负号 象限 三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin αcos α注1：试考虑正切函数的有关定义及正负号问题。
注2：（1）若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；（2）正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同． 例1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的正弦、余弦、正切值. 分 析：任意角的三角函数的定义 例2、 确定下列三角函数值的符号：（1）7cos12π； （2）0sin(465)-； 合作交流：1、已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠． （1）求sin α，cos α的值；（2）求α终边与单位圆交点Q 的坐标．2、若sin α>0，且cos 0α<，试确定α所在的象限．思考探究：1、已知角α终边上一点(,)P x y ，则sin α，cos α有何定义？它与P 点的位置有关吗？2、当角α终边在坐标轴上时，sin α，cos α的值有什么特点？达标检测：1、cos 300°=3、若△ABC 的两内角α、β满足cos αcos β＜0，则此三角形为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上情况均有可能 4、若sin 0α>，且cos 0α<，则α是第________象限角． 5、已知下列四个命题：①角α终边上一点，，则sin α的值随y 的增大而增大；②若α为第一或第二象限角，则sin α＞0；③正角的三角函数值为正，负角的三角函数值为负，零角的三角函数值为零； ④若cos A ＜0，则△ABC 为钝角三角形．其中正确的是A ．①④B ．②④C ．①②D ．①②④ 6．已知角θ终边上一点(,3)(0)P x x ≠且10cos 10θ= ，求sin θ的值．7、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：（1）0885； （2）0395-； （3）196π； （4）253π-8、已知角α的终边经过点(3,4)P -，求角α的正弦、余弦和正切值.学后反思：。
高一数学必修课件任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与周期性
完成教材相关练习题，巩固所学知识
完成教材上关于任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆的练习题，通过实 际操作加深对知识点的理解和记忆。
针对练习中出现的问题，及时回顾课堂内容或向老师和同学请教，确保掌握正确 的解题方法和思路。
阅读相关拓展材料，加深对三角函数理解
阅读教材中关于三角函数的拓展材料，如三角函数的性质、 图像和变换等，进一步加深对三角函数的理解和认识。
相位
描述正弦函数和余弦函数在周期内的位置的量，用 $omega x+varphi$表示。其中，$omega$是角频率， $varphi$是初相。
初相
描述正弦函数和余弦函数在周期起点处的相位的量，用 $varphi$表示。初相决定了函数图像的左右平移。
正弦、余弦函数图像变换规律
横向平移
函数$y=sin(x+varphi)$或 $y=cos(x+varphi)$的图像相对 于$y=sin x$或$y=cos x$的图像 向左平移$varphi$个单位（当 $varphi>0$时），向右平移 $|varphi|$个单位（当 $varphi<0$时）。
04
典型例题解析与技巧指导
求任意角三角函数值问题举例
已知角α的终边经过点P(3,4)，求sinα，cosα，tanα 的值
首先根据三角函数的定义，我们可以知道sinα=y/r ，cosα=x/r，tanα=y/x，其中r为OP的长度，即 r=√(x^2+y^2)。
将点P的坐标代入公式，我们可以得到 r=√(3^2+4^2)=5，所以sinα=4/5，cosα=3/5， tanα=4/3。
因为ω>0，所以ω=4。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1.2.1任意角的三角函数设计思路
教学过程中我将会将教材内容进行整合:
首先，让学生回顾初中相关内容－－锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值等；然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中，出现了点的坐标，邻、对、斜变成了横、纵、r(=OP)。
老教材上的定义自然推出；
再次，将r特殊化令r=1,新教材上的定义立即出现；
最后，进行定义的应用，教材14页例1考查新教材定义，例2考查旧教材定义；强化练习、课堂小结、布置作业。
目标和进程
（1）知识与能力：这节课从知识传授，三个问题环环相扣，及时将知识内化为能力，通过作业和调研题的讲解，让学生加强对三角函数概念的理解。
（2）循序渐进：A组练习二的目的是为了调研，此题相对于学生已有的知识是难了一点，因此可能出错率会高，但可以让优生提升。
（3）教给与教会：要注意梯度的设计，台阶不要过密，要有一定的思维跨度。
任意角函数知识点总结
任意角函数知识点总结任意角函数是初等数学中的一个重要概念，它是对常规角函数的拓展，使其可以适用于任意角度的情况。
任意角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习和运用任意角函数时，需要了解其定义、性质、图像等基本知识，下面我们将对任意角函数进行详细的总结。
一、正弦函数正弦函数是最基本的任意角函数之一，它表示一个角的正弦值。
在直角三角形中，正弦函数的定义是指对边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合奇函数的性质。
正弦函数的反函数为反正弦函数，可以表示为y=sin⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
二、余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角函数，它表示一个角的余弦值。
在直角三角形中，余弦函数的定义是指邻边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像也是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合偶函数的性质。
余弦函数的反函数为反余弦函数，可以表示为y=cos⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
三、正切函数正切函数是对角的正切值的表示，它的定义是指对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。
正切函数的图像是一条以π/2为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。
正切函数的反函数为反正切函数，可以表示为y=tan⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(-π/2,π/2)。
四、余切函数余切函数是对角的余切值的表示，它的定义是指邻边与对边的比值。
余切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。
余切函数的图像也是一条以π为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。
余切函数的反函数为反余切函数，可以表示为y=cot⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(0,π)。
《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》
2
3 2
例3.设角 的终边过点 P(4a,3a) ,其中 a 0 ,
则 sin
3 5
.
3 8，且 cos ， 变式2. 若角 的终边过点 Pa， 5 6 则 a________ ．
小结:
1.任意角的正弦、余弦函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交 v s i n, u c o s 于点P(u,v),则 2.若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) , 其三角函数可转化为 3.正弦、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆 上的点的纵、横坐标为函数值的函数.
对 边 斜 边
邻 边 斜 边
你能用初中对正弦函数的定义来表示 180°角的正弦值吗？
初中对正弦、余弦函数的定义只是针对锐 角的情况下，不能推广到任意角！ 如何定义任意角的正弦、余弦函数呢？
正弦、余弦函数的定义
sin
对 边 斜 边
M P O P
y 终边上一点P点 纵坐标与r之比。 r
任意角的正弦函数、余弦函数定义：
任意角α的终边与单位圆交与点P(u,v)。
（1）点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作 v=sinα； （2）点P的横坐标u叫做角α的余弦函数，记作 y u=cosα.
P(u,v) α O A(1,0) x
单位圆上的定义
正弦、余弦函数值的符号
y
正弦为正 余弦为负
O
正弦、余弦
全为正 余弦为正
正弦为负
x
正弦、余弦 全为负
例 2 、 在 直 角 坐 标 系 的 单 位 圆 中 ， ( 1 )画 出 角 ；
π , 4
（） 2 求 出 角 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 坐 标 ； y
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当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时, 锐角三角函数会有什么结果？ 以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位 圆． MP
sin
OP OM cos u, OP v MP tan OM u
v,
y
P(u,v) O α M A(1,0) x
5 解：在直角坐标系中，作 AOB 3
例2 求下列三角函数值： 9 11 cos ) （1） （2） tan( 4 6
解：（1） （2）tan( 11 ) tan(
9 2 cos cos( 2 ) cos 4 4 4 2
6
3 2 ) tan tan 6 6 6 3
x
7 3 cos , 6 2
7 3 tan 6 3
1 0 1 2 0 3 2 1 0 - 1 3 2.确定三角函数值在各象限的符号 1 -1 2 2 2 2 y y 2
1 2
2 3 2 2
3 2
1 3 2- 2
-1
3 1 0 2 2
1 3 2 2
0
1 2
y
3 1 2
（+ ） （-
(+)
x -）
（
-） （ + ）
o
（ - ） （+ ） x （ +） （ - ）
o ）（
x （ - ） （+ ）
o
sin
cos
tan
三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx都是以角为自 变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
函数 定义域 值域
y
y=sinx y=cosx
R R
求cos(--10500)=cos(--3×3600+300)=cos300=
cos(x+ 2kπ )=cos
(k∈Z且k≠0)
3 2
最小正周期的概念
对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的 最小正周期.
sin(x+ 2π )=sinx,cos(x+ 2π )=cosx.
弦定义式，而得到错误结果
.
x 12 cos r 13
函数周期性的定义 对于函数y=f（x),如果存在一个不为零的常数T,使 得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T )=f(x)都 成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为 零的常数T叫做这个函数的周期. sin(x+ 2kπ )=sinx;
x. 正弦函数和余弦函数均为周期函数， 且周期 T=2kπ (k∈Z且k≠0)
(2)已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限 .
例5：已知角α 的终边经过点P(－3m,m)(m≠0)， 则sin α =_________. 【解析】由题意得：
|OP|=
－3m
2
m 10 m ，
2
当m＞0时，|OP|= 10 m 10m，
则sin α=
m 10 . 10m 10
m 10 － . 10 － 10m 或 － 10 10
当m＜0时，|OP|= 10 m － 10m， 则sin α= 答案：
10 10
错解
错 因 剖 析
忽略了对阴影处参数m的取
常 见 误 区
值符号的讨论，而得到错误
10 10
结果
忽略了对阴影处参数m的取
3 10 10
值符号的讨论，同时记错正
MP tan OM
M P OM
定义推广：
设角 是一个任意角，P( x, y) 是终边上的任意一点， 2 2 点 与原点的距离 r x y 0 P
y y 那么① r 叫做 的正弦，即 sin r x x ② 叫做 的余弦，即 cos r r
y y ③ 叫做 的正弦，即 tan x 0 x x
的终边与单位圆的交点坐标为
，
例1
求
5 3
的正弦、余弦和正切值.
，易知
AOB
所以
，
y
5 3
o
5 5 3 5 1 tan 3 cos sin 3 2 3 2 3 7 5 思考：若把角 改为 呢? 3 ﹒ 6
A
1 3 ( , ) 2 2
﹒B
7 1 sin , 6 2
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
例3.确定下列各三角函值的符号：
⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π. (5) sin4; (6) cos8 (7)sin(cos5)
例4.(1)已知sinα＞0,确定α角的终边位置
任意角 的三角函数值仅与 有关，而 与点 在角的终边上的位置无关.
P
练习 1、已知角 求
的终边过点
P 12,5 ，
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y 2 2ຫໍສະໝຸດ 122 52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
任意角的正弦函数、 余弦函数的定义
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，
tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值 分别等于什么？
B
sin
a c
c a
A
cos
tan
b
C
b c a b
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研 究锐角 的正弦函数、余弦函数、正切函数.
2
1,1 1,1
R
O
y
y=tanx k (k z )
P(u,v)
α M A(1,0) x
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值 会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OP
自变量x只要并且至少增加到x+2π时， 函数值才能重复取得. 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π. 最小正周期在图象上的意义 ： 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离.
若T是f(x)的周期，那么nT也是y=f(x)的周期.
思考
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数 f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正 周期. 答:是，无最小正周期. 2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？ 如果成立，能否说明120°是正弦函数 y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ 答:成立，不能说明，因为不符合定义中的 每一个x.