1.5.2估计总体的数字特征 1.6统计活动：结婚年龄的变化 教案(高中数学北师大版必修3)

5．2估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化●三维目标1．知识与技能(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．情感、态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系．●重点难点重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差．难点：能应用相关知识解决简单的实际问题．本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．(教师用书独具)●教学建议学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征．●教学流程创设问题情境，通过样本的数据对总体的数字特征进行研究⇒引导学生通过对众数、中位数、平均数的研究将样本数据汇总为一个数值，成为样本数据的“中心点”，通过对标准差、方差的研究描述样本数据的离散程度⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由频率分布直方图求样本平均数、众数和中位数的方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由统计数据计算样本标准差、方差的方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握用标准差或方差估计总体数字特征的方法⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正12n x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，则有n x ＝x 1＋x 2＋…＋x n .设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则样本的方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] .样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即s ＝1n(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2.(1)明确调查的目的，确定调查的对象． (2)利用随机抽样抽取样本，收集数据． (3)整理数据，用表格来表示数据．(4)分析数据，其方法有两种：一是用统计图表来分析，二是计算数据特征． (5)作出推断，通过分析数据作出推断.数、众数和中位数一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1 000人，并根据所得数据画出样本频率分布直方图(如图1－6－1所示)．图1－6－1试根据上图，求该地居民月收入的众数、中位数和平均数．【思路探究】 解答本题可以利用众数、中位数和平均数与频率分布直方图的关系来求．众数可从图中直接求出，中位数、平均数需根据图中信息按定义计算．【自主解答】 (1)从图中可知，组距为500，[2 000，2 500)和[2 500,3 000)的fiΔx i值一样，故众数是2 500元；(2)求中位数时，由中位数所在位置，划一直线将整个面积划分为相等的两部分．总的fiΔx i值＝0.000 1＋0.000 2＋0.000 3＋0.000 4＋0.000 5＋0.000 5＝0.002.相应一半的值为0.001，[1000,2 000)的fii 和为0.000 6，故此线在[2 000，2 500)这组距间的0.001－0.000 60.000 5＝45处，其值为2 000＋45×500＝2 400(元)．(3)求平均数时，可用各组中值乘以频率来计算，故平均数为1 250×0.000 2×500＋1 750×0.000 4×500＋2 250×0.000 5×500＋2 750×0.000 5×500＋3 250×0.000 3×500＋3 750×0.000 1×500＝(0.25＋0.7＋1.125＋1.375＋0.975＋0.375)×500＝2 400(元)．1．利用频率分布直方图求样本的数字特征就要清楚它们之间的联系，例如：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标．对于中位数，由于样本中的个体有50%小于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由此可以估计样本的中位数的值．2．利用直方图求得的众数、中位数和平均数均是其近似值，这是因为直方图只是直观地表明分布的特征，但从直方图本身得不到原始数据的内容，所以由直方图得到的众数、中位数与样本平均数往往与由实际数据得出的不一致，但它们可粗略估计其众数、中位数与样本平均数．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图1－6－2的频率分布直方图：图1－6－2试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩．【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为x ，高为0.03， ∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7，故中位数应为70＋6.7＝76.7≈77.(2)样本平均数应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74，∴众数是75，中位数约为77，平均成绩约为74.某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况见下表：【思路探究】 由样本的数字特征(平均数、标准差)计算全班的数字特征(平均数和标准差)．【自主解答】 设第一组20名学生的成绩为 x i (i ＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)．依题意有：120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80， 故全班平均成绩为： 140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20) ＝140(90×20＋80×20)＝85. 又设第一组学生成绩的标准差为s 1，平均数为x ； 第二组学生成绩的标准差为s 2，平均数为y ，则s 21＝120[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 20－x )2]＝120[x 21＋x 22＋…＋x 220＋20x 2－2x (x 1＋x 2＋…＋x 20)] ＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)， s 22＝120[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 20－y )2] ＝120[y 21＋y 22＋…＋y 220＋20y 2－2y (y 1＋y 2＋…＋y 20)] ＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)． 又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩x 0＝85，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40x 20) ＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40x 20) ＝12(62＋902＋42＋802－2×852)＝51， 则s ＝51.1．本题中计算全班的平均成绩和标准差时用到了整体思想． 2．求样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的步骤(1)求平均数x ；(2)求方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；(3)s 2的算术根，即为标准差s . 3．方差公式的变形s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2] ＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上个为s 2＝________________________________________________________________________.【解析】 x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，s 2甲＝(6－7)2＋02＋02＋(8－7)2＋025＝25.x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7，s 2乙＝(6－7)2＋02＋(6－7)2＋02＋(9－7)25＝65.【答案】 25的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36. 这两名划艇运动员谁更优秀？ 【思路探究】 通过样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，当总体的平均数相差无几时，总体的方差小的成绩稳定，更优秀．【自主解答】 x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.由此估计两人划艇的最大速度的平均数相同．在这种情况下要进一步比较两人成绩的稳定程度．s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67， s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67. 由此估计甲运动员划艇的最大速度的方差大于乙运动员划艇的最大速度的方差，所以乙的成绩要比甲的成绩稳定一些，即乙比甲更优秀．1．由于方差是每一个数据与平均数的差的平方和的平均数，故要特别细心．数据上的细小差别即可引起结果的大变化．2．对两个样本进行评比时，先比较它们的平均值，再比较它们的方差(标准差)．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)：【解】 甲种冬小麦的平均产量x 甲＝9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.25＝10，乙种冬小麦的平均产量x 乙＝9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.85＝10，则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同． 甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为s 2甲＝15×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02， 乙种冬小麦产量的方差为s 2乙＝15×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244， 则s 2甲＝0.02<s 2乙＝0.244，所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定． 因此选择甲种小麦进行推广．相关联的两个样本的数据特征搞错一组数据的方差是s 2，将这一组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是( )A.12s 2 B ．2s 2 C ．4s 2 D ．s 2 【错解】 B【错因分析】 因为本题中新数据的每一个数都是原数据的2倍，因而盲目地选B 得到方差也是原方差的2倍，事实上，若新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍，则新样本的平均数是原样本平均数的2倍，方差为原来的4倍，标准差为原来的2倍．【防范措施】 正确运用平均数公式和方差公式进行计算、推导和证明，才能得到正确的结论，并由此做出判断．【正解】 设每一组数据x 1，x 2，…，x n ，则s 2＝(x 1－x )＋(x 2－x )＋…＋(x n －x )2n .将每一个数乘以2，则x ′＝2x .所以s ′2＝(2x 1－2x )2＋(2x 2－2x )2＋…＋(2x n －2x )2n＝4·(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n＝4s 2.【答案】 C。