第4章 综合指标分析和变量分布的统计描述

（二）变异指标的作用 1 ．变异指标是评价平均指标代表 性的尺度 2 ．变异指标是测量社会经济活动 过程的均衡性和节奏性的重要指标
二、变异指标的种类和计算
（一）极差
极差又称全距，是指总体各单位的 两个极端标志值的差，反映总体单位标 志值的变动范围，一般用 R 表示。其计 算公式如下： R＝最大标志值－最小标志值 ＝Xmax－Xmin
四、总量指标的计算和应用应注 意的问题
（一）科学性 （二）可比性 （三）统一性
第二节 相对指标分析
一、相对指标的表现形式和意义 二、相对指标的种类和计算方法 三、相对指标的计算和应用应注 意的问题
一、相对指标的表现形式和意义
（一）相对指标的表现形式
1．无名数
无名数是一种抽象化的数值，一般 表现为倍数、系数、成数、百分数、千 分数等。
(2) 把现象的绝对差异抽象化、标准 化，使得原本无法直接比较的指标变为 可比。 (3) 能够说明总体内在的结构特征， 为深入分析事物的性质提供了依据。
二、相对指标的种类和计算方法
（一）计划完成程度相对指标
计划完成程度相对指标是指实际完 成数与计划数之比，用来表明某一时期 计划的完成程度，一般用百分数表示。 计划完成相对指标 = 实际完成数计 划数×100%
2．中位数的确定
(1) 对于未分组的原始资料。首先 将标志值按大小排序，假设有 n 各标志 值，且排序结果为：x1≤x2≤x3≤ x4≤…≤xn，则中位数按以下公式来确定 ： 当n为奇数时，
当n为偶数时，
(2) 对分组的资料。对于经过分组 的资料，中位数的确定比较复杂，其步 骤如图4-1所示。 式中，L、U、 d和fm分别表示中位 数组的下限、上限、组距和次数； s m -1 和sm+1分别表示前一组的向上累计次数 和后一组的向下累计次数。
V

x
100 %
2．调和平均数的种类和计算
(1) 简单调和平均数。如果掌握的 资料是未分组资料，计算平均数时一般 采用简单调和平均数。
式中，x表示各单位的标志值； 1 x 表示各标志值的倒数。
(2) 加权调和平均数。如果掌握的 是分组资料，即只有各组总量而缺乏总 体单位数的变量数列，无法直接按加权 算术平均数时，就需要用加权调和平均 数计算，以各组标志总量作为权数，而 不是以各组单位数作为权数。
表4-4
2004年全国专任教师结构情况
（三）比例相对数
比例相对数是反映总体中各个组成 部分之间的比例关系的均衡状况的指标， 它是同一总体中某一部分数值与另一部 分数值对比的结果显示。其计算公式如 下：
（四）比较相对数
比较相对数就是将不同地区、单位 或企业之间的同类指标数值作对比得出 的综合指标，表明同类事物在不同条件 下的差异程度或相对状态。比较相对数 一般表现为百分数、倍数或系数。
（一）注意现象的同质性原则 （二）注意将平均指标与组平均数 结合使用 （三）注意极端值的影响
第四节 变异指标分析：离中趋势的统 计描述
一、变异指标的概念和作用 二、变异指标的种类和计算
一、变异指标的概念和作用
（一）变异指标的概念
标志变异指标简称变异指标，是反 映总体各单位某一数量标志值变异程度 或者离散状况的统计指标。
图4-1
分组的步骤
3．中位数的应用
中位数作为一种位置平均数，不受 极端变量值的影响，当数列中存在极大 值和极小值时，采用中位数能较好地反 映现象的一般水平。在社会经济现象中 ，那些不能用数量表示，只能用等级、 序号、名次表示的现象，可以采用中位 数代表其一般水平。
三、平均指标的计算和应用应注 意的问题
x
(2) 加权算术平均数。如果资料已 经被分组，被编制成了变量数列，而各 组的次数不同，那么以各组的次数为权 数，将各组的标志值乘以各组的次数， 然后加总求和，再除以总次数，得到平 均值，就称为加权算术平均数。
式中，x 表示各标志值； f 表示各组权数。
（二）调和平均数
1．调和平均数的概念 调和平均数是指各标志值 ( 变量值 ) 倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平 均数。
3．组距数列的众数
当资料是组距数列时，首先找出次数 最多的组，然后再利用公式计算出众数的 近似值。组距数列计算众数的公式有两个 ，一个是下限公式，另一个是上限公式， 在具体计算时，可以任选其一。 (1) 下限公式: (2) 上限公式：
式中，M0表示众数； L表示众数所在组的下限； U表示众数所在组的上限； Δ 1 表示众数所在组次数与前一组次数 的差数； Δ 2 表示众数所在组次数与后一组次数 的差数； d 表示众数所在组的组距。
（一）总量指标是认识社会经济 现象总体的起点 （二）总量指标是计划编制、宏 观调控和科学管理的主要依据 （三）总量指标是计算相对指标 和平均指标的基础
二、总量指标的种类
（一）总体单位总量和总体标志总 量 （二）时期指标和时点指标
三、总量指标的计算
（一）总量指标的计量单位
1．实物单位 2．价值单位 3．劳动单位
（一）保持对比指标的可比性 （二）与绝对数指标结合应用 （三）各种相对指标结合使用
第三节 平均指标分析：集中趋势的统 计描述
一、平均指标的概念、特点和作 用 二、平均指标的种类 三、平均指标的计算和应用应注 意的问题
一、平均指标的概念、特点和作用
（一）平均指标的概念和特点
平均指标是反映总体各单位的某一 个数量标志值在一定条件下所达到的一 般水平的统计指标。
式中， f代表各组变量值的次数。
3．几何平均数的应用
几何平均数与算术平均数的应用条 件不同，算术平均数应用于事物总量等 于各变量值的总和，以此求平均水平； 而几何平均数应用于事物总量等于各变 量值的乘积，以此求平均水平。
（四）众数
1．众数的概念 众数是指总体中出现次数最多的标 志值，一般用M0表示。 2．单项数列的众数 单项数列的众数可以直接采用观察 法来确定，即找出出现次数最多的一组 标志值即为众数。
1．抽象性 2．代表性
（二）平均指标的作用
1 ．平均指标可以对现象进行对比分 析 2 ．平均指标可以综合测定工作质量 和工作效率 3 ．平均指标可以用来分析现象之间 的依存关系 4 ．平均指标可以对现象进行数量上 的推算
二、平均指标的种类
（一）算术平均数
1．算术平均数的概念和公式
算术平均数是观察值的总和与观察 值的个数之比，即总体数量标志的总量 与总体单位的总量的比值。
2．加权式标准差
根据分组资料 ( 变量数列 )计算的标 准差为加权标准差，其计算公式如下：

（x - x ） f f
2
（四）标志变异系数
标志变异系数也称离散系数，是指 用变异指标的绝对形式与算术平均数对 比，用来反映总体各单位标志值离散程 度的相对指标。标志变异系数用 V 表示。
标志变异系数包括全距系数、平均 差系数和标准差系数，本书主要介绍标 准差系数。 标准差系数是用标准差与算术平均 数相比得到的相对数，其计算公式如下：
（三）几何平均数
1．几何平均数的概念 几何平均数是 n 个变量值的连乘积 的n次方根。
2．几何平均数的分类和计算
(1) 简单几何平均数。简单几何平 均数是n个标志值乘积的n次方根，适用 于资料未分组的情况。
式中，x表示各个变量值； n表示变量值的个数； 表示连乘符号。
（2）加权几何平均数。如果资料已 经被分组，而且各变量值出现的次数不 全相同时，可以使用加权几何平均数
式中，x表示各组标志值； m表示各组权数。
3．调和平均数与算术平均数的关系
在社会经济统计中，调和平均数一 般作为算术平均数的变形使用。它与算 术平均数的主要区别在于：研究同一问 题时，因掌握的资料不同，故应用的计 算形式和采用的权数不同。加权算术平 均数是以各组单位数 f 作为权数；加权 调和平均数是以各组标志总量 m作为权 数，实质上仍然是总体标志总量与总体 单位对比。
2．算术平均数的分类及其计算
(1) 简单算术平均数。当总体中单 位数不多，资料未经过分组，每一个单 位的标志值是已知的，可以直接把总体 各单位的标志值相加，再除以总体单位 数，得到平均值，这就称为简单算术平 均数。
式中，x 表示总体各单位的某一数量标 志的值； ∑x表示总体各单位数量标志值的 加总； n 表示总体单位数； x 表示算术平均数。
2．有名数
有名数是由两个性质不同而又有联 系的指标对比得到的相对数的表现形式 ，分子、分母的计量单位都使用，主要 用来表明强度相对指标的数值。
（二）相对指标的意义
(1) 相对指标通过数量之间的对比可 以表明事物的相关程度和发展程度，它 可以弥补总量指标的不足，更清楚地反 映现象的相对水平和普遍程度。
（五）动态相对指标
动态相对指标是指同一现象在不同 的时间上的两个数值之比，揭示事物随 着时间的变化而发生的变化状态，一般 采用百分数或倍数的形式。
（六）强度相对指标
强度相对指标是指两个性质不同但 有联系的总量指标之比，用来分析不同 事物间的数量关系，表现现象的强度、 密度和普遍程度的统计指标。
三、相对指标的计算和应用应注 意的问题
第四章 综合指标分析和变量分布的统 计描述
第一节
总量指标分析
第二节
相对指标分析
第三节
平均指标分析 变概念和作用 二、总量指标的种类 三、总量指标的计算 四、总量指标的计算和应用应注 意的问题
一、总量指标的概念和作用
总量指标又称绝对指标，是指反映 社会经济现象在特定的时间、地点和其 他条件下发展的总规模、总水平的综合 指标。
【例4-2】
某中等学校2010年的招生计划是1 500 人，实际招生数量是1 200人，则计划的完 成程度是： 1 2001 500×100%=80%
（二）结构相对指标
结构相对指标是用来解释总体内部 的不同组成部分的数量关系，即分析现 象总体内部的结构特征。