第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()
A.所有的指数函数都不是单调函数
B.所有的单调函数都不是指数函数
C.存在一个指数函数，它不是单调函数
D.存在一个单调函数，它不是指数函数
解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.
答案 C
2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π
2；命题q：函数y＝cos x的图象关
于直线x＝π
2对称.则下列判断正确的是()
A.p为真
B.綈p为假
C.p∧q为假
D.p∧q为真
解析p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假.
答案 C
3.2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()
A.(綈p)∨(綈q)
B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)
D.p∨q
解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定.选A.
答案 A
4.(2017·西安调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧(綈q ) B.(綈p )∧q C.(綈p )∧(綈q )
D.p ∧q
解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题. 答案 A
5.下列命题中，真命题是( ) A.∃x 0∈R ，e x 0≤0 B.∀x ∈R ，2x >x 2
C.a ＋b ＝0的充要条件是a
b ＝－1 D.“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件
解析 因为y ＝e x >0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确. 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确.
“a
b ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确. 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确. 答案 D
6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，4]
B.[0，4]
C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，
则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，
Δ＝a 2
－4a >0，解得a <0或a >4.
答案 D
7.(2016·衡阳模拟)已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论正确的是( ) A.p ∧q 是真命题 B.p ∧q 是假命题 C.綈p 是真命题
D.綈q 是真命题
解析 对于p ：取α＝π
2，则cos(π－α)＝cos α， 所以命题p 为真命题；
对于命题q ：∵x 2≥0，∴x 2＋1>0，所以q 为真命题.由此可得p ∧q 是真命题. 答案 A
8.(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A.[2，＋∞)
B.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D.(－1，2]
解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2<m ≤－1.
因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m >－1. 答案 B 二、填空题
9.命题“∃x 0∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________.
答案 ∀x ∈⎝
⎛
⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x
10.若命题“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.
解析∵“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.
答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)
11.(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”
②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
③命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0
④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
其中为真命题的是________(填序号).
解析显然①③正确.
②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确.
④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.
答案①②③
12.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.
解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e ≤a≤4.
答案[e，4]
13.(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x20
解析改变量词，否定结论.
∴綈p应为：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x20. 答案 D
14.(2017·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1
x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，
x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()
A.(綈p)∧q
B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)
D.p∧q
解析对于p：当x＝－1时，x＋1
x＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x
2
＞
x30，∴q为真命题.
从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题.
答案 A
15.(2016·沈阳九校联考)下列判断错误的是________(填序号).
①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题
②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1>0”
③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题
解析显然命题①，②是真命题.
③中，当向量c＝0，命题是假命题.
答案③
16.已知命题p：∃x∈R，e x－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________.
解析若p∨(綈q)为假命题，则p假q真.
由e x－mx＝0得m＝e x
x，设f(x)＝
e x
x，
则f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝（x －1）e x
x 2
.
当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减； 当x ＜0时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减.
由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝e x
x 取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x
x 的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，则0≤m ＜e ； 命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0，1]. 答案 [0，1]。