第十一讲：一元一次方程(2)
一元一次方程知识点归纳
一元一次方程知识点归纳一元一次方程是代数中的基本知识之一，以下是关于一元一次方程的知识点归纳：
1.定义：一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
2.一般形式：一元一次方程的一般形式为ax + b = c，其中a、
b、c为已知常数，x为未知数。
3.解的概念：解是使等式成立的未知数的值。
对于一元一次方程，解即为能够满足方程的未知数的值。
4.解法：解一元一次方程的常用方法包括移项、合并同类项、化简等步骤，通过逐步变换方程的形式来求解未知数的值。
5.解的性质：一元一次方程通常有唯一解，但也可能无解或有无穷多个解，取决于方程中系数的取值情况。
6.应用：一元一次方程在实际问题中有着广泛的应用，如物理、经济、工程等领域，常用于建模和问题求解。
第十一讲 练习题
第十一讲练习题一、概念解释1．学习 2．接受学习 3．发现学习 4．陈述性知识 5．程序性知识 6．学习策略1．学习：目前教育心理学界对于学习概念的理解主要有这样三种：一种是广义的学习概念。
认为学习是人和动物共有的一种心理现象，它集中表现为通过实践或者练习而获得，由经验而引起的比较持久的心理和行为变化的过程。
另一种是次广义的学习概念，专指人类的学习。
其这定义为“在社会生活实践中，以语言为中介，自觉地、积极主动地掌握社会和个体经验的过程。
”第三种是狭义的学习概念。
即指在校学生的学习。
学生的学习是在教师的指导下，有目的、有计划、有组织、有系统地进行的，是在较短的时间内接受前人所积累的文化科学知识，并以此来充实自己的过程。
2．接受学习：指人类个体经验的获得，来源于学习活动中，主体对他人经验的接受，把别人发现的经验经过其掌握、占有或吸收，转化成自己的经验。
3．发现学习：就是通过学习者的独立学习，独立思考，自行发现知识，掌握原理原则。
发现，并不局限于寻求人类尚未知晓的事物。
4．陈述性知识：也叫“描述性知识”它是指个人具有有意识的提取线索，而能直接加以回忆和陈述的知识。
5．程序性知识：是个人没有有意识提取线索，只能借助某种作业形式间接推论其存在的知识。
6．学习策略：就是学习者为了提高学习的效果和效率，有目的、有意识地制定的有关学习过程的复杂方案。
二、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，选出一项最符合题目要求的选项）1．小学生认知发展的特点之外的现象是（D ）A．注意的稳定性较差 B．注意的范围小 C．注意的分配能力不强 D．机械记忆仍不占主要地位2．梅耶则提出了对学习的三种类型的分类办法，下列哪项没有涉及（D）A．语义性学习B．程序性学习C．策略性学习D．意义学习3．反映中学生个性发展特点的主要品质是（C）A．自我为中心的性格倾向逐步减弱B．缺乏适当的自控能力C．自我意识的发展从具体的、片面的向抽象的、较为全面的认识过渡D．独立批判性思维增强三、填空题1．奥苏伯尔将学习分为__机械学习_______和___意义学习______。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.3 解一元一次方程(二)去括号与去分母
时乘以10，得：5(3x+1)-2=(3x-2)-2(2x+3)。相传有个人因为不讲究说话的艺术(yìshù)，结果引起误会，把好 事办坏了
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例
题
2、去分母(fēnmǔ)的依据是等式性质二 ， 去分母时不能漏乘 没有分母的项；
小
3、去分母与去括号这两步分开写，
结 不要(bùyào)跳步，防止忘记变号。
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对应 训练 (duìyìng)
解 方 程 3xx132x1
2
3
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拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”最后剩下的3人 一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也抬腿告 辞了。学生思考并用方程解决。
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内容(nèiróng)总结
3.3.2 解一元一次方程（二） ——去分母。分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便。3、去分母与去括号
32 7
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流(jiāoliú) 一下，看谁的解法好。
总结(zǒngjié)：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果 能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计 算更方便些。
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典例解析(jiě xī)
例 题 2 ： 解 方 程 3 x 1 2 3 x 2 2 x 3
人教版七年级数学上册课本全部内容
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---...5.351...2.03121321.0...321.，，负分数：如，，，正分数：如分数，，负整数：如，，，正整数：如整数数理有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧与有理数的关有---画法---单位长度正方向原点定义---数轴第一讲有理数 概念图1、 像5，1，2，21，…这样的数叫做正数，它们都比0大，为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5，+2、 在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如－10，－ 3，…3、 0既不是正数也不是负数.4、 整数和分数统称为有理数. 第二讲 数轴 概念图：1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、 相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⎩⎨⎧有理数大小比较非负性性质代数意义几何意义意义绝对值1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
2、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）； 四标（标数字）。
3、性质： ① 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；② 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示。
第三讲 绝对值概念图：1、 在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对 值，记作|a|.2、 一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数，可表示为第四讲 有理数的加法概念图1、 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3、 一个数同0相加，仍得这个数.4、 有理数加法的运算律：（1） 加法的交换律：a+b=b+a（2） 加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）第六讲第七讲有理数的加减第八讲第九讲 绝对值的进一步介绍第十讲 一元一次方程3.1.1一元一次方程1、含有未知数的等式是方程。
七年级数学 第三章 一元一次方程 3.3 解一元一次方程(二)去括号与去分母(1)
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课后思考
(sīkǎo)
3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x)
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课后思考
(sīkǎo)
某水利工地派 48 人去挖土和运土，如果每 人每天平均挖土5方或运土3方，那么(nà me) 应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时 运走？
千米/时，求船在静水中的速度。顺流行驶(xíngshǐ)的路程=逆流行驶(xíngshǐ)的路程。顺 流行驶(xíngshǐ)的路程=逆流行驶(xíngshǐ)的路程。例 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶 (xíngshǐ)，用了2小时。例：解方程：。课后思考
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答à答案n)(案dá
课堂练习
1
2
3
4
5
4.当 x=
时,式子 2(x-1)-3 的值等于-9.
关闭
由题意得 2(x-1)-3=-9,去括号,得 2x-2-3=-9,移项,得 2x=-9+2+3, 合并同类项,得 2x=-4,方程两边同除以 2,得 x=-2.
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课堂小结
去括号 法 (kuòhào) 则： ①括号(kuòhào)前为+，去括号后，括号
内各项不变号； ②括号前为-，去括号后，括号内 各项要变号；
③括号前有系数，要先用乘法分配 律，再去括号，注意不要漏乘。
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1.括号外的因数是正数 ,去括号后各项的符号与原括号内相应
2014届九年级数学总复习《第十一讲 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法》课件
正数 ，所 3．不等式的两边都乘以(或都除以)同一个_____ 得的不等式仍成立； 负数 ，必 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个_____ 把不等号的方向改变 ，所得的不等式成立． 须___________________ b a 即：若 a＞b，且 c＞0，那么 ac___bc c ． ＞ ，c ＞___ 若 a＞b，且 c＜0， a b c ＜ . ＜ ，___ 那么 ac___bc c
第十一讲 一元一次不等式和 一元一次不等式组的解法
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1. 会解一元一次不等式并在数轴上表示出解集； 2. 会解由两个一元一次不等式组成的不等式组， 并用数轴确定解集.
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1．在不等式两边都乘(或都除以)同一个负数时，一
数学全国版教案 八升九-11一元二次方程的实际应用
《动态数学思维》教案（3）解这个方程，得：_______________；（4）检验：_____________；（5）答：比赛组织者应邀_______个队参赛. 答案：（1）x-1，28；（2）12x(x-1)=28；（3）x1=8，x2=-7；（4）x2=-7＜0（舍去）；（5）8.学生独立完成，并请一名学生讲解.以渔得鱼（学生独立完成，并指定基础薄弱的学生回答）学校组织“运动让生活更美好”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队有多少支？答案：解：设参赛球队有x支，则12x(x-1)=21，解得：x1=7，x2=-6.因为-6＜0，所以舍去.答：参赛球队有7支. 总结：1.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.2.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).三、知识检验若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.3.单循环赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.4.双循环赛制问题符合“射线条数”的几何模型，n个点之间有n(n-1)条射线. 从而双循环比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).如图所示，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？答案：（1）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=150，解得：x1=10，x2=7.5.当x=10时，35-2×10=15，15＜18，符合题意.当x=7.5时，35-2×7.5=20，20＞18，不符合题意.答：鸡场的长为15米，宽为10米.（2）解：设鸡场的宽为x米，则长为（33-2x+2）米.则x(35-2x)=200，整理得：2x2-35x+200=0.因为 =b2-4ac=(-35)2-4×2×200=-375＜0，所以该方程无实数根.答：围成鸡场的面积不能达到200平方米.总结：①应用一元二次方程解决图形面积问题时，首先确定图形边长的数量关系，然后由图形面积建立一元二次方程并求解；②注意所求结果需满足实际情况.拓展延伸：2.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.（1）求出S 关于t 的函数关系式； （2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？答案：（1）解：①当t ＜10s 时，P 在线段AB 上，此时CQ =t ，PB =10-t . 所以S =12t (10-t )=-12t 2+5t . ②当t ＞10s 时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ =t ，PB =t -10.所以S =12t (t -10)=12t 2-5t . （2）解：因为S △ABC =12AB ·BC =50.①当t ＜10s 时，S =-12t 2+5t =50. 整理得t 2-10t +100=0无解. ②当t ＞10s 时，S =12t 2-5t =50. 整理得t 2-10t -100=0，（2）若该酒店希望每天净利润为14000元且能吸引更多的游客．．．．．．．，则每件客房的定价应为多少元？答案： （1） 60-10x ；200+x ；20(60-10x). （2）解：由题意可得：(200+x -20)(60-10x)=14000. 整理得：x 2-420x +32000=0， 解得：x 1=100，x 2=320.当x =100时，200+100=300（元），60-10010=50（间）. 当x =320时，200+320=520（元），60-32010=28（间）. 所以当x =100时，能吸引更多的游客. 答：每间客房的定价应为300元. 总结：①应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：②注意所求结果需满足题意要求.拓展延伸：1.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但是商店为了适当增加销售，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元.（1）第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为 （用x 的关系式表示）.（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格.答案：（1）200+50x ；（2）由题意得：4×200+(4-x )(200+50x )+(4-6)(600-200-200-50x )=1250. 整理得：x 2-2x +1=0. 解得：x 1=x 2=1. 10-1=9（元）.答：这批旅游纪念品第二周的销售价格为9元.三、知识检验6.如图所示，小华要将一幅长120cm ，宽20cm 的书法进行装裱，装裱后的矩形面积是5600cm 2，并使上、下、左、右边衬的宽度相同，那么四周边衬的宽度是多少厘米？7.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个.定价每增加1元，销售量将减少10个.（1）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少．．．．．．，则每个定价为多少元？（2）当每个小家电定价为多少元时，商店可获得的利润最大.8.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示（阴影部分为草坪）.请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.①甲方案设计图纸为图①，设计草坪的总面积为600平方米；②乙方案设计图纸为图②，设计草坪的总面积为600平方米；③丙方案设计图纸为图③，设计草坪的总面积为540平方米.拓展创新：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm.有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm／s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm／s.若设P出发后时间为t 秒.连接AP，PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值.答案：解：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7，t2=6-7（舍）.∴当t =6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为6-7秒、5秒、7秒、6+7秒时，△PCQ面积为3cm2 .四、课堂小结1.传播问题：设平均每轮每个传播的数值为x.初始值第一轮第二轮m m+mx(m+mx)+(m+mx)x若经过两轮传播后数值为n，则有方程m(1+x)2=n.2. 赛制问题符合“线段条数”的几何模型，如图所示，线段数为()12n n-.从而单循环比赛的场次=()2⨯队伍数队伍数-1.双循环（分主客场）比赛的场次=队伍数×(队伍数-1).3.平均增长(下降)率问题：设平均增长(下降)率为x.原始值第一次增长(下降)第二次增长(下降)a a±ax(a±ax)±(a±ax)x若经过两次相同百分率的变化后数值为b，则有方程a(1±x)2=b.4. 应用一元二次方程解决销售利润问题，可由该结构图表示：5. 注意所求结果需满足题意要求.知识检验答案2. D3. 94. 405.解：（1）设每年的平均增长率为x，则2500(1+x)2=3600，解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍）.0.2=20%.答：每年的平均增长率为20%.（2）3600×(1+0.2)=4320（万元）答：2017年该县投入的教育经费为4320万元.6.解：设四周边衬的宽度为x cm，则(120+2x)(20+2x)=5600，解得：x1=10，x2=-80（舍）.答：四周边衬的宽度是10cm.7.解：（1）设定价为x元，则销售量为[400-10(x-50)]元，由题意可得：(x-40)[400-10(x-50)]=6000，解得：x1=60，x2=70，当x=60时，进货量为400-10×10=300（个）；当x=70时，进货量为400-10×20=200（个）.所以当x=20时，进货量较少.答：每个定价为70元，可获得利润6000元，并且使进货量较少.（2）设定价为x元，利润为W元，则：W=(x-40)[400-10(x-50)]=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250所以当x=65时，W最大为6250.答：即每个定价为65元，获得的利润最大，最大利润为6250元.8.解：设道路宽度都为x m，①(35-2x)(20-2x)=600；②(35-x)(20-x)=600；③(35-2x)(20-x)=540.拓展创新：①当0≤t≤2时，如图所示，点Q与点C重合.由题可知PC=8-2t，QC=6.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)×6=3，整理得7-2t=0，解得t=3.5.∵3.5＞2，∴当0≤t≤2时，△PCQ面积不能为3cm2 .②当2＜t≤4时，如图所示.由题可知PC=8-2t，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(8-2t)(8-t)=3，.整理得t2-12t+29=0，解得t1=6+7（舍），t2=6-7. ∴当t=6-7秒时，△PCQ面积为3cm2 .③当4＜t≤8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=6-(t-2)=8-t.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(8-t)=3，整理得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7.∴当t为5秒或7秒时，△PCQ面积为3cm2 .④当t＞8时，如图所示.由题可知PC=2t-8，QC=(t-2)-6=t-8.S△PCQ=12PC·QC=12(2t-8)(t-8)=3，整理得t2-12t+29=0，解得t17，t2=67（舍）.∴当t 7△PCQ面积为3cm2 .综上所述，当t为67秒、5秒、7秒、7秒时，△PCQ面积为3cm2 .。
初中数学_解一元一次方程(二)——去括号教学设计学情分析教材分析课后反思
3.3解一元一次方程（二）——去括号一、教学内容：（知识树）二、教学目标：1、会利用去括号解一元一次方程、找相等关系列一元一次方程。
（知识与技能）2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
（过程与方法）3、通过学习去括号，体会数学中的“化归”和“建模”的思想，激发数学学习的热情。
（情感态度与价值观）三、重点、难点：1、重点：会用去括号法解一元一次方程；用一元一次方程解决简单的实际生活问题。
（建模）2、难点：找相等关系，并根据相等关系列出方程。
（化归）四、教具准备：多媒体课件和录像配录音（光头强视频来自网络，配音来自本班学生）五、教学方法：采用“启发诱导”“自主探究”“合作交流”的教学方法六、教学过程：（一）展示目标（谁愿意承担本目标的朗读者？）（1）根据具体问题中的数量关系列出方程，将实际问题转化为数学问题. 并体会实际问题中的建模思想.（2）探索含有括号的一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，并体会解方程中的化归思想. （二）温故知新：复习去括号（1）1+（x – y）= （2）1 – （x – y）= （3）3（x – 2）– 2（4y– 1）=（温故而知新，为这节课的新内容做好铺垫。
）（三）探究新知：熊出没——《砍树风波》（网络视频加学生配音，增强学生兴趣）熊大：光头强这两天一共砍了60棵树.熊二：今天的数量是昨天减去3棵的2倍,光头强昨天到底砍了多少棵？如何列方程？分哪些步骤？1、设未知数：解：设昨天砍了x棵树，则今天砍了2（x -3）棵树，2、找相等关系昨天砍树量＋今天砍树量= 60棵3、列方程x＋2（x-3）=60 （教师进行点拨诱导，学生回答。
）4、探究如何解这个一元一次方程。
强调步骤以及每一步的理论根据。
（学生独立完成此题的解题思路。
）5、去括号的作用：去括号起到了“化简”的作用，即把括号去掉，从而有利于进一步解方程，使其更接近x=a 的形式(其中a 是常数) ．（小组合作交流，深刻理解去括号的作用。
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第十一讲：一元一次方程（2）
做一做
1.已知关于x 的方程
3)3(2+kx +21=6)32(5+x 有无数个解，求k 的值.
2.已知关于x 的方程m(x+1)=2(x+1)+m+1（m 为正整数）有整数解，求这个方程的解.
3.若关于x 的方程
6bk x -+2=3
2kx a +无论k 取何值，方程的解总是1，求a 、b 的值.
4.某镇组织20辆汽车运送A 、B 、C 三种水果共计100吨到W 市销售，每辆汽车只能装同一品种水果，并且必须装满.
（1）设运送A 品种水果有x 辆汽车，运送B 品种水果
有y 辆 汽车，试用x 的代数式表示y.
（2）若总利润为140800元，如何安排调运？
5.元旦各商家进行促销活动：甲商场全场按标价的6折销售；乙商场实行“满100元送100元购物卷”的优惠(赠卷下次购物与现金等值使用，但不再送卷)；丙商场实行“满100元减50元”的优惠（比如某顾客购物220元，他只需付款120元）
（1）三个商场同时出售一件290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？请完成下表：
商场甲商场乙商场丙商场
实际付款
商场的费用最少 王阿姨选择商场。
（2）李小姐在逛街中，发现甲，丙商场同时有一件标价300多元的衣服，最后付款额也一样，请问这件衣服的标价是多少元?
（3）黄先生也发现在甲，乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一件标价300多元的裤子，最后付款额也是一样，请问这条裤子的标价是多少元？
（4）如果丙商场实际“满60元减30元”的优惠，比较和原来的“满100元减50元”的优惠有什么不同？请就标价210—350元之间的商品进行讨论。