数学分析中的三重积分

Yunnan University
§2. 三重积分的计算 z
三重积分化为三次积分的过程： 三重积分化为三次积分的过程：
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 面上投影， (2) D向 x 轴投影，得到 轴投影， a ≤ x ≤ b, D: y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
z2 z1
∫c
∫x1( y) ∫z1( x, y)
§2. 三重积分的计算
(1) Ω向 yoz 面上投影，得到Dyz。 面上投影， (2) Dyz向 y 轴投影，得到 轴投影，
z1( y) ≤ z ≤ z1( y), D: a ≤ y ≤ b.
x
x2
x1 Ω
(3) 过点( y, z) ∈ Dyz 作直线,
z
1
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 的直线, 得到
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是， 于是，
Yunnan University
∫∫∫ x dxdydz = ∫0 dx∫0
1
Ω
1− x 1− x−2 y 2 dy xdz
∫0
§2. 三重积分的计算
过点( x, y) ∈ D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭 区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点情形． 相交不多于两点情形．
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 相交多于两点时， 闭区域Ω 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 ． Ω分若干个小区域来讨论
一、 §2. 三重积分的计算 三重积分的概念
设有一物体,在直角坐标系中 占有一个有界闭区域 设有一物体 在直角坐标系中,占有一个有界闭区域 在直角坐标系中 占有一个有界闭区域V, 在点(x,y,z)处的密度为 处的密度为ρ(x,y,z).这里的 这里的ρ(x,y,z)>0 在点 处的密度为 这里的 且在V上连续 现在要计算该物体的质量 且在 上连续,现在要计算该物体的质量 上连续 现在要计算该物体的质量. 由于ρ(x,y,z)在V上连续 把V任意分为 个小块 只要 在 上连续 上连续,把 任意分为 个小块,只要 任意分为n个小块 由于 小块所占的闭区域 Vk的直径很小 这小块就可以看作 的直径很小,这小块就可以看作 是均匀体,在 上任取一点(ξ 是均匀体 在Vk上任取一点 k,ηk,ζk),设Vk 的体积为△Vk 设 可看作第k个小块 则 ρ (ξk,ηk,ζk) △Vk (k=1,2,....n) 可看作第 个小块 的质量之近似值,通过求和 取极限 的质量之近似值 通过求和,取极限 便得到质量 通过求和 取极限,便得到质量
得到 x1( y, z) ≤ x ≤ x2( y, z).
a o
b
( y, z)
D
z
事实上， 事实上，
y x1( y, z) ≤ x ≤ x1( y, z), Ω: a ≤ y ≤ b, z ( y) ≤ z ≤ z ( y). 1 2
b z2 ( y) x2 ( y,z )
Ω Yunnan University
D : y1( x) ≤ y ≤ y2( x),
b
a ≤ x ≤ b,
y2 ( x) z2 ( x, y)
得
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫a dx∫y1( x) dy∫z1( x, y)
Yunnan University
f ( x, y, z)dz.
Ω
§2. 三重积分的计算
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫a dx∫y1( x) dy∫z1( x, y)
m = lim
Yunnan University
||T || →0
∑ ρ (ξ
k =1
n
k
,η k , ς k )∆Vk
§2. 三重积分的计算 一、 三重积分的概念 这里||T||=max{d(V1）， 2),…,d(Vn)}.为了使这 ），d(V 这里 为了使这 种和式的极限能得到广泛的应用,抛开其物理意义 种和式的极限能得到广泛的应用 抛开其物理意义, 抛开其物理意义 抽象出数学形式,于是得到三重积分的一般定义 抽象出数学形式 于是得到三重积分的一般定义. 于是得到三重积分的一般定义
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫a dy∫z1( y) dz∫x1( y,z)
f ( x, y, z)dx.
§2. 三重积分的计算
例 1 计算三重积分 ∫∫∫ xdxdydz，其中 Ω为三个坐标 所围成的闭区域 面及平面 x + 2 y + z = 1所围成的闭区域.
解
Ω
面上投影， Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 0 ≤ x ≤ 1, D: 0 ≤ y ≤ 1− x . 2
2− x2
Yunnan University
§2. 三重积分的计算
例 3 计算三重积分 ∫∫∫ z dxdydz 。
Ω
其中 Ω：平面 x = 1, x = 2, y = x, z = 0,及
2z = y 所围成的闭区域. 所围成的闭区域.
z
1 2
o
D
y
x
Yunnan University
§2. 三重积分的计算
z
1
解
面上投影， Ω向 xoy 面上投影，得到 D。
1 ≤ x ≤ 2, D: 0 ≤ y ≤ x.
2
o
D
y
x
, 过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴的直线 得到
1 ≤ x ≤ 2, y 0≤ z ≤ . 即 Ω : 0 ≤ y ≤ x， 2 0 ≤ z ≤ y 2. 2 x y 2 于是， 于是， ∫∫∫ z dxdydz = ∫ dx∫ dy∫ zdz
= ∫0 ( x − x ) y − xy
2
[
]
0
1
1 1( x − 2x2 + x3 )dx dx = 4 ∫0
1 x − 2 x3 + 1 x4 = 1 . = 4 2 3 4 0 48
Yunnan University
§2. 三重积分的计算
为三次积分， 例 2 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三次积分，
是空间闭区域V上的有界函数 定义: 设f(x,y,z)是空间闭区域 上的有界函数 把 是空间闭区域 上的有界函数,把 V任意分成 个小区域 V1, V2,... Vn 其中 k 任意分成n个小区域 其中V 任意分成 表示第k个小区域 其体积为 表示第 个小区域,其体积为△Vk 。在每个小区域 个小区域 Vk上任取一点(ξk,ηk,ζk) ,作和 上任取一点 作和
Ω
其中积分区域 Ω为由曲面 z = x2 + 2y2 及
z = x2 + 2 y2 解 由 , 2 z = 2− x
z = 2 − x2 所围成的闭区域. 所围成的闭区域.
2 2 得交线投影区域 x + y ≤ 1,
−1 ≤ x ≤ 1 2 2 故 Ω： − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2 Yunnan
∫∫∫ f ( x, y, z )dV = lim ∑ f (ξ
V ||T || → 0 k =1 =1
n
k
,η k , ς k )∆Vk
（1）
其中dV叫做体积元素 在直角坐标系中 其中 叫做体积元素,在直角坐标系中 体积元素 叫做体积元素 在直角坐标系中,体积元素 dV也记 也记dxdydz称为直角坐标系中的体积元素 从而 称为直角坐标系中的体积元素,从而 也记 称为直角坐标系中的体积元素 三重积分也记作
University
§2. 三重积分的计算
−1 ≤ x ≤ 1 故 Ω： − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , 2 2 2 x + 2y ≤ z ≤ 2 − x
因此， 因此，I = ∫−1dx∫−
1 1− x2 1− x2
dy∫x2 +2 y2 f ( x, y, z)dz.
z = z2( x, y) z2S2
z1 S1 z = z1( x, y)
Ω
, 过点( x, y) ∈ D 作直线
a
b
o
D
y
穿入， 穿出． 从 z1 穿入，从 z2 穿出． x
Yunnan University
y = y1( x)
( x, y) y = y2( x)
§2. 三重积分的计算
看作定值， 的函数， 先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的函数，则
1 1
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 面上投影， (2) D向 y 轴投影，得到 轴投影， x1( y) ≤ x ≤ x1( y), D: c ≤ y ≤ d.
§2. 三重积分的计算z
z2 z1
Ω
c
d
(3) 过点( x, y) ∈ D 作直线 ,
得到 z1( x, y) ≤ z ≤ z2( x, y).
Ω
a
o
( x, y)
D
y
(3) 过点( x, y) ∈ D 作直线 ,
b
Yunnan Ω University
得到 z1( x, y) ≤ z ≤ z2( x, y). x a ≤ x ≤ b, 事实上， 事实上， Ω : y1( x) ≤ y ≤ y2( x), z ( x, y) ≤ z ≤ z ( x, y). 1 2 b y ( x) z ( x, y) f ( x, y, z)dv = ∫ dx∫ 2 dy∫ 2 f ( x, y, z)dz. ∫∫∫ a y ( x) z ( x, y)