程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 快速傅里叶变换(FFT))
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 数字滤波器的基本结构)
则
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即 h（n）是偶对称，对称中心在 5-5 所示。
处，N 为奇数（N＝5）。线性相位结构如图
图 5-5
5-6 设滤波器差分方程为
（1）试用直接工型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程；
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并联结构见图 5-6（d）。
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（2）由题意可知
图 5-6（d）
可推出
幅度为
相位为
（3）输入正弦波为 x（t）＝5sin（2πt·103）
由 ΩT1＝2π×103T1＝2π，可得周期
又抽样频率为 10kHz，即抽样周期为
（1）根据 H（z）的表达式，可画出卷积型（直接型）结构如图 5-1（a）所示。
（2）可将 H（z）改写为
图 5-1（a）
相应的级联型结构如图 5-1（b）所示。 （3）将图 5-1（b）中两个延时链子系统的次序交换，并将有相同输出的中间两延时
链加以合并，可得出如图 5-1（c）所示直接Ⅱ型结构图。
图 5-3（1）
图 5-3（2） 5-4 用频率抽样结构实现以下系统函数：
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台
抽样点数 N＝6，修正半径 r＝0.9。
解：FIR 滤波器修正后的频率抽样结构（当 N 为偶数时）有以下关系
其中 θ（k）＝arg[H（k）]。因而有 因为 N＝6，所以根据公式可得
（2）根据图 5-7（b）可通过对各结点的求解来获得：即将输入结点和输出结点分别 用中间结点 x1 表示，然后将中间结点消去，即可得到输入结点与输出结点之间的关系，从 而求得系统函数。所设结点可得
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 Z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT))
2.3 名校考研真题详解1．已知某一序列为x （n ），它的傅里叶变换表示为（1）试画图举例说明序列x （2n ）与x （n ）的关系；（2）试求序列g （n ）＝x （2n ）的傅里叶变换，并说明与的关系。
[武汉理工大学2007研]解：（1）序列x（n ）与x （2n ）的关系图2-1如下：图2-1离散尺度变换只是去掉一些离散值。
（2）已知g（n ）＝x （2n ），设根据离散傅里叶变换的尺度变换性质得：其中F （n,2）又可写为：由上最终可得：2．已知x[k]的傅里叶变换，用表示信号)(Ωj e H )(Ωj e H的傅里叶变换。
[北京交通大学2006研]解：已知x[k]的傅里叶变换，且)(Ωj e H 根据已知所以对y[k]进行傅里叶变换得：3．线性时不变系统的输入为输出为。
（1）求系统的单位抽样响应；（2）判断系统的稳定性和因果性，并说明理由。
[华东理工大学2004研]解：（1）由Z 变换定义直接得：同理，y （n ）的Z 变换为：所以系统函数为：对H（z）求Z逆变换得对应抽样响应为：（2）由（1）知系统收敛域为3/4，包括单位圆和无穷远点，所以既是稳定的又是因果的。
4．若。
请借助线性卷积与Z变换的定义，证明：时域卷积对应子Z域乘积，即。
[南京邮电大学2000研]证明：由线性卷积与Z变换的定义知：即5．序列x（n）的自相关序列c（n）定义为试以x（n）的Z变换表示c（n）的Z变换。
[北京理工大学2007研]解：c（n）可以转化为：根据Z变换的对称性得：6．已知离散序列试求x（n）的Z变换X（z），确定其收敛域，并画出X（z）的零极点图。
[东南大学2007研]解：由Z变换定义可得：可能的零点为，其中；显然k＝0时的零点和极点相互抵消了，所以该Z变换在z＝0处有（N－1）阶极点，零点为：，其中，对应的收敛域为时的零极点图如下图2-2所示：图2-27．求的Z反变换。
[中国地质大学（北京）2006研]解：原式可化解为：由于收敛域，故：8．已知序列的双边Z变换为：解：根据由部分分式展开法，可得：可能对应以下序列：① 当收敛域为∣z∣＞0.5时：② 当收敛域为0.25＜∣z∣＜0.5时：③ 当收敛域为∣z∣＜0.25时：9．一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.3按频率抽选(DIF)的基-2算法
x(7) -1
WN3
X(7)
x(0)
2点
X(0)
x(1)
DFT
X(4)
x(2)
WN0
-1
2点
X(2)
x(3)
WN2 DFT
-1
X(6)
x(4) -1
WN0
x(5) -1
WN1
2点
X(1)
DFT
X(5)
x(6) -1 x(7) -1
WN2 WN3
WN0
-1
2点
X(3)
WN2 DFT
-1
X(7)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) -1 x(5) -1 x(6) -1 x(7) -1
例：已知x(n)={1,2,3,4}利用频域抽样流图，计算
X (k) DFT{x(k)}; DFT{X (k)}
1 x[0] 2 x[1] 3 x[2] 4 x[3]
4
6
1 W40 1
1
2
W41 j
1
2j 1
X[0] 10 X[2] 2 X[1] 2+2j X[3] 22j
DFT{x[k]}= {10, 2+2j, 2, 22j}
x(n)
x(n
N
/
2)
WNn
W nr N /2
注意括号
(4.3.3)
n0
k = 2r+1
频率抽取FFT
W n(2r1) N
WNnWN2nr
WNnWNnr2
存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
系数WNr：N / 2个存储单元
频率抽取FFT
N / 21
X (2r) [x(k) x(n N / 2)]WNnr/2 n0
快速傅立叶变换FFT算法特点分析
快速傅立叶变换FFT算法特点分析作者：徐美清孙晨亮来源：《科学与财富》2016年第28期摘要：快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换DFT的一种快速算法，计算量小的显著的优点，使得FFT在现代数字信号处理与数据分析领域获得了广泛的应用。
但是在利用FFT算法对连续信号进行分析时，存在频谱混叠、栅栏效应及频谱泄露现象。
本文简单介绍了FFT算法，并对其存在的缺点进行了详细的分析。
关键词：傅立叶变换；频谱混叠；栅栏效应；频谱泄露1 FFT简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称为FFT）并不是一种新的变换，而是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称为DFT）的一种快速算法。
在相当长的时间里，由于DFT的计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。
直到1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey首次提出了DFT运算的一种快速算法，后来又有G.Sande和J.W.Tukey的快速算法相继出现以后，情况才发生了根本的变化。
人们开始认识到DFT运算的一些内在规律，从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法，这就是现在人们普遍称之为快速傅里叶变换FFT的算法。
2 FFT算法的优点FFT算法使DFT的运算大大简化，使其运算速度提高了1-2个数量级，从而使DFT的运算在实际中真正得到了广泛的应用。
3 FFT算法的缺点利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成一定的误差，从而产生频谱混叠、频谱泄漏以及栅栏效应现象。
3.1 频谱混叠对连续信号进行采样时，通常假定所处理的信号是带限的。
假设连续信号的最高频率为fh，采样频率为fs，那么根据香农定理，为了不产生混叠现象，应该有如果不满足fs≥2fh，就会产生频谱的交叠，即频谱混叠，从而产生失真现象。
下面对频谱混叠现象进行举例说明，假定连续信号具有4个频率（5Hz，10Hz，50Hz，80Hz）分量，其采样点数为512个，采样频率fs为分别取50Hz和200Hz，用FFT对它进行频谱分析，其频谱图如下。
《数字信号处理教程》程佩青第四版课后答案
综上 i ), ii ) 可得： y 2 (n) = a n −1u (n − 1) 由 ( a) , (b) 结果可知， x(n) 与 x 2 (n)是移一位的关系，但 y1 (n) 与 y２(n) 不是移一位的关系，所以在 y (0) = 0 条件下，系统不是移不变系统。
( 4) x ( n ) = 2 n u( − n − 1) 当n ≥ 0 当 n ≤ −1
h ( n ) = 0.5n u ( n )
y (n) = y (n) =
m = −∞ n
∑ 0.5n − m 2m = 3 ⋅ 2 − n ∑ 0.5n − m 2m = 3 ⋅ 2n
, 0 < a < 1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定
(3)
当 n ≥ n0 + N − 1 时 , 全重叠 y (n ) = =
m = n - N +1
∑ x ( m )h( n − m )
n m − n0
n
m = n − N +1
∑β
n
α
n −m
αn = n β
0
m = n − N +1
β ) ∑ (α
n
m
=α β
− n0
( )
β α
n − N +1
n
看作参量） ，
y (n) =
m = −∞ m = −∞ ②分为四步 （1）翻褶（ -m ） ， （2）移位（ n ）,（3）相乘， （4）相加，求得一个 n 的 y ( n ) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y ( n ) ; ③ 一定要注意某些题中在 n 的不同时间段上求和范 围的不同
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.1直接计算DFT的运算量,减少运算量的途径
W40
1
W41
1
X (0) X (1) X (2) X (3)
22
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
2020/4/20
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
W40 1
X2[1]
W41
1
1
X[0] X[1] X[2] X[3]
23
X X
N / 21
x
r 0
2r
r k N
W 2 N /2
N / 21
WNm
x
r 0
2r
r k N
1
WN
/
2
2
N / 21
N / 21
x1
r
W rk N /2
WNk
x2
r
W rk N /2
r 0
r 0
X1k WNk X 2 k
前半部分
后半部分
X k X1k WNk X 2 k
k=1
2020/4/20
图4.1
21
X4点(k)基2X时1(间k) 抽W取4k XFF2 (Tk算), 法k 流 0图,1
X (k 2) X1(k) W4k X 2 (k), k 0,1
N/2 = 4/2 =2
x(0)
X1(0)
x(2) W20
x(1)
x(3) W20
2020/4/20
2点DFT X1(1) 1 X2(0)
X11[0] 2点DFT X11[1]
4X点12[D0] FWT40
2点DFT X12[1] W41 1
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4.3 名校考研真题详解
1．设x （n ）为两点序列{x
（0），x （1
）}，试求其
；然后在序列x （n ）后补两个零，使其成为四点序列，再求其；从两者的DFT 结果比较，显然有X （k ）≠X＇（k
），试作图解释这种现象。
[北京理工大学2007研]
解：用图解法计算离散傅里叶变换。
根据：
可得：X （k ）＝{x （0）＋x （1），x （0）－x （1）}
当x （n ）补零后变为x ＇（n ）＝{x （0），x （1），0，0}
，此时N ＝4，计算4点的蝶型图4-1为
图4-1
此时有X′（k ） ＝ {X′ （0），X′（1），X′ （2），X′（3）}。
从以上计算结果可以看出，X （k ） ≠ X′（k ）。
在x （n ）补零后，序列的傅里叶变换DTFT 是不变的，即有
；而，所以本题中计算的
k N j e X k X πωω2)()(==X
（k ）是在上进行两点采样X （k ）是在上进行四点采样，如下图4-2所
示；即采样的谱线变密了，此时显然有X （k ）≠ X′（k ）。
图4-2
2．对于长度为N点的实序列x（n），其中N为2的整数次幂。
试问如何利用长度为N/2点的快速傅里叶变换FFT计算x（n）的N点的DFT？请写出推导过程，并画出简略流程图。
[东南大学2007研]
解：根据FFT算法推导，先将x（n）偶奇分，再将X（k）前后分，具体如下：
从而得到利用长度为N/2点的快速傅里叶变换FFT计算x（n）的N点的DFT的简略流图4-3如下：
图4-3
3．求：
（1）基2按频率抽取FFT算法对输入序列是如何分组的？其基本蝶形算法公式是什么？
（2）画出4点基2按频率抽取FFT的流图；
（3）利用该4点FFT流图计算的；
（4）写出利用该4点FFT流图计算8点实序列y[k]的DFT Y[m]的步骤。
[北京交通大学2006研]
解：（1）基2按频率抽取FFT算法对输入序列对频率进行奇偶分组；对时间前后分组。
其基本蝶形算法公式为：
（
2）4点基2按频率抽取
FFT 的流图如下图4-4
所示：图4-4
（3）由上图可得：
所以X[m]的各值代入上图分别求得为：
（4）计算步骤为：
①首先利用
②将计算转化为求两个4点的DFT ；
③再根据上面的流图计算8点的DFT 。
4．推导基2按频率抽取FFT 算法的蝶形运算公式，并画出N ＝8时相应的算法流图。
[北京理工大学2006研]
解：按照“时间前后分”原则，假设
M 为正整数，则将x （n ）分为前一半后一
半，于是有：
再按频率的奇偶分原则得：
故：
N＝8时相应的FFT算法流图4-5如下：
图4-5
5．试推导基2时间抽取FFT算法，并画出4点的基2时间抽取FFT信号流图。
（1）利用该4点FFT流图计算x[k]＝{2，1，3，4；k ＝0，1，2，3}的4点DFT。
（2）写出利用该4点FFT 流图计算8点实序列y[k]的DFT Y[m]的步骤。
（3）试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
[北京交通大学2005
研]解：（1）根据
DFT 定义计算X[m]如下：
令：
代入X[m]
则有：
N ＝4的FFT 的流图如下图4-6所示：
图4-6
由上图计算，可得：
DFT{[2，1，3，4]}＝{10，－1i ＋3j ，0，－1－3j ；m ＝0，1，2，3}
（2）利用4点FFT 流图计算8点实序列y[k]的DFT Y[m]的步骤如下：①抽取y[k]的偶数点得4点序列y [k]；
1②抽取y[k]的奇数点得4点序列y [k]。
2③由4点FFT.流图计算和]的DFT Y [m]和Y [m]，
12。