空间向量正交分解及坐标表示,及运算
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
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2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
向量的正交分解和坐标表示向量的坐标运算
向量减法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a减去向量b的结果为
(x1-x2,y1-y2)。
向量的模长与夹角
向量的模长
向量a的模长记作|a|，定义为√(x^2+y^2)。
向量的夹角
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a和b之间的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|，其中"·"表示向量的点乘运 算。
向量在几何中的应用
描述点与点之间的位置关系
通过向量表示，可以清晰地描述点与点之间的 位置关系，如距离、角度等。
描述运动和变化
向量可以表示物体的运动和变化，如速度、加 速度等。
描述力
向量可以表示力的大小和方向，用于分析力的合成与分解。
向量在物理中的应用
描述速度和加速度
向量可以表示物体在直线运动中的速度和加速度。
2023
向量的正交分解和坐 标表示向量的坐标运 算
https://
REPORTING
2023
目录
• 向量的正交分解 • 向量的坐标表示 • 坐标表示向量的运算 • 向量的正交分解与坐标表示的应用
2023
PART 01
向量的正交分解
REPORTING
正交分解的定义
01
正交基底
在二维平面中，选取两个不共线的非零向量e1和e2作为基底，任何向量a都可以 表示为e1和e2的线性组合，即a=xe1+ye2。
向量的坐标运算
向量加法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a和b的加法运算结果
为(x1+x2,y1+y2)。
向量数乘
实数k与向量a的数乘运算结果 为(kx,ky)。
空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示
思考：当
0
cos
r a
,
r b
1及1
cos
r a
,
r b
0
时，
的夹角在什么范围内？
练习:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
rr
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
rr
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
r
r8ar 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
练习：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
y
r r ur
以 i, j, k 为单位正交基底
z
z
建立空间直角坐标系O—xyz
upr P(x, y, z)
r r ur
i, j, k 为基底 ur r r ur
(x, y, z)
ur
urp xi y j zk
k
r O r
xi
j
y 记 upuur ( x, y, z)
y OP ( x, y, z)
r 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. 对空间任一向量 a ,由空间
z
r a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组
(a1
,
a2
,
a3
),使
r a
r a1 i
空间向量基本定理正交分解及坐标表示-精品
空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，—> —•TTy，z,使p=xa+yb+za任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.2.单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.3.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。
为原点，分别以3，荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.其中，点。
叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.4.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).【解题方法点拨】1.基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立.2.空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用己知的基向量表示出来.3.用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.（2）若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间向量的正交分解与坐标表示
、 、
【解】
(1)设正三棱柱的侧棱长为a，则 ，0，a)，B( ，0,0)，C1(0,1，a)，
A(0，－1,0)，B1(
∴
＝( ，1，a)，
＝(－ ，1，a).┄┄┄┄(2分)
，
∵AB1⊥BC1，∴ ∴ 即正三棱柱侧棱长为
＝0，即－3＋1＋a2＝0，∴a＝ . .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)
(3)由条件知，〈
对空间任一点O，有
或 (x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判
定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上 也是三个非零向量所在直线共面的必要条件.
设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1，l2上的 三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的 中点.
求证：M、N、P、Q四点共面.
5.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α， AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成 30°角，则C、D间的距离为 .
解析：∵AC⊥α，∴AC⊥AB，
∴
＝0，
过D作DD′⊥α于点D′，则DD′∥CA， ∴〈 ∴ ∴| 〉＝120°， ＝－ |2＝( ，又 ，∴ ＝0， )＝2，
)2＝1＋1＋1＋2×(－
＝(－2，－1,3)， ＝(－1,3，－2)， ，| |＝ ， · ＝－7.
∴cosθ ＝ 答案：120°
＝－
，∴θ ＝120°.
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图 形为指导是解题的关键. 1.把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和
差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.
2.用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底 的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法， 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算优秀课件
1 1 2 2 3 3
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
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单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 I , j , k 表示。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 z 量 a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( a1, a2,a3)使
a
P(a1,a2,a3) O j y
坐标形式下平行与垂直条件的应用
已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5)
(1)若(ka+b) ‖(a-3b),求k
(2)若(ka+b) ⊥ ( ), b (b1 , b2 , b3 ) 则
设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 AB=OB-OA=(a2,,b2,c2)-(a1,b1,c1)
=(a2-a1,b2-b1,c2-c1).
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
a = a1i+a2j+a3k 有序数组(a1, a2, a3)叫做 a 在空
k i
间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作. x a =( a1 , a , a3) 2
向量的直角坐标运算.
设
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a (a1 , a2 , a3 )( R); a b a1b1 a2b2 a3b3 ; a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
两点间距离：
2 2 2 d AB AB a2 a1 b2 b1 c2 c1
1、用基底表示向量（课本94页第3题）
2、空间向量的坐标运算（课本97页第1题）
3、利用向量运算解决夹角和距离问题
（97页3题）
4、利用向量的坐标运算证明垂直（例6）
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那 么对空间的任一向量p，存在有序实 数组｛x，y，z｝， 使得p=xa+yb+zc
所有空间向量组成的集合： ｛ p/p=xa+yb+zc,x,y,z∈R ｝ ｛ a，b，c ｝空间的一个基底， a，b，c 叫做 基向量。