00波动1-波的描述平面简谐波

可得： 可得： ∂ 2 y 2π 2 1 ∂ 2 y ) = ( 2 ∂x λ ω 2 ∂t2 波动方程： ∂ 波动方程：
2
y
2
∂x
1 ∂ y = 2 2 u ∂t
2
T 2 ( ) 2 =( ) ( ) λ ω λ 2π T2 1 = 2 = 2 λ u
2 2
2π
1
2π
对其它平面波波动方程仍然成立， 其它平面波波动方程仍然成立， 波动方程仍然成立 平面简谐波波函数只是上述波动方程的一个特解。 平面简谐波波函数只是上述波动方程的一个特解。
波动与振动
波函数： 波函数： 表示任一时刻任一位置质元离开平衡位置的位移的函数。 表示任一时刻任一位置质元离开平衡位置的位移的函数。
y = A c o s (ω t − 2π
某一位置 x0 ： 某一时刻 t0 ：
λ
x + ϕ0)
2π
振动
x0 + ϕ
0
y = A c o s (ω t −
λ
2π
)
y = A c o s (ω t0 −
波的分类（振动方向） 波的分类（振动方向）
横波 振动方向与波传播方向垂直的波。 振动方向与波传播方向垂直的波。 垂直的波 振动方向传播方向动画1 振动方向传播方向动画 纵波 振动方向与波传播方向在同一条直线上的波。 振动方向与波传播方向在同一条直线上的波。 同一条直线上的波 疏密波。 疏密波。 振动方向传播方向动画2 振动方向传播方向动画
v F
F ∆d = Gϕ = G S D
v F
G 切变弹性模量：由材料的性质决定。 切变弹性模量：由材料的性质决定。
3）体变 ）
应力： 应力：∆P 应变：∆V⁄V 应变：
v P
V
∆V ∆P = − K V
K 体变弹性模量：由物质的性质决定。 体变弹性模量：由物质的性质决定。
“－”表示压强的增大总导致体积的减小
t = 3T/ 4 t=T
·x ········ ·· ···· ··· · ·· ·· · ······· ··· ···· ·· ·· ··· ····· ······· ············ ····· ····· ··· ·· ·· ··· · · ·· · ········ ·· ······ ·· ·· ·· ·· ·
波动方程的动力学推导
质元所受到的合外力
以均匀细棒中的弹性纵波为例
a
b
●
v u
σ + dσ
o
●
S
x
σ
●
x
F ∆l =E S l
−σ S + (σ + dσ )S = dσ S m = ρ dV = ρ Sdx F =m a
∂2 y d σ S = ρ Sdx 2 ∂t ∂σ ∂2 y S = ρS 2 ∂x ∂t
λ
2π
ω =
λ 2π
T
y = A cos(ω t − kx + ϕ 0 )
1.在下面几种说法中，正确的说法是： 在下面几种说法中，正确的说法是： 在下面几种说法中
（A）波源不动时，波源的振动频率与波动的频率在数值 波源不动时， 波源不动时 上是不同 不同的 上是不同的； （B）波源振动的速度与波速相同； 波源振动的速度与波速相同 波源振动的速度与波速相同； （C）在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源 在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源 的位相滞后 滞后； 的位相滞后； （D）在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源 在波传播方向上的任一质点的振动位相总是比波源 的位相超前。 的位相超前。 超前
作业： 2.2，2.5， 作业： P108 2.2，2.5，2.6
第二章 波动学基础
波动：振动在空间的传播过程。 波动：振动在空间的传播过程。 振源的振动引起后续质点的振动 后续质点的振动与振源振动存在怎样的关系
§1 波的运动学描述
振源O 某后续点P
t=0
t = T/4 T/4 t = T/2 T/2
1）长变 ）
应力： 应力：F⁄S 应变：∆l⁄l 应变：
l
∆l
v F
v F
= E
S
胡克定律
实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。 实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。 形变， 形变，也与力成正比 F ∆l
S l
F = k ∆l
杨氏模量：长变弹性模量，由材料性质决定。 E 杨氏模量：长变弹性模量，由材料性质决定。 k 倔强系数， 倔强系数， 相同的材料是否相同？ 相同的材料是否相同？ 3种特例比较 种特例比较
y
0
o
u
1
2 3 4
x
四．波形曲线
某一时刻 t ：
y = A c o s (ω t −
2π
λ
x + ϕa)
y A o -A
右行波
→ u
u∆t
λ λ
t t＋∆t
∆t 时间后的波形
x
§2 波的动力学描述
一.物质的弹性
形变：物体（固体、液体和气体）在受到外力作用时， 形变：物体（固体、液体和气体）在受到外力作用时， 形状或体积发生的或大或小的变化。 形状或体积发生的或大或小的变化。 弹性力来自形变，但物质的形变是有限度的。 弹性力来自形变，但物质的形变是有限度的。 弹性限度：去掉外力时，形状或体积仍能复原的外力限度。 弹性限度：去掉外力时，形状或体积仍能复原的外力限度。 形变的三种基本方式： 形变的三种基本方式： 长变 切变 体变
§1 波的运动学描述
平面简谐波波函数
y P = A co s( ω t −

波的分类（波前形状） 波的分类（波前形状）
平面波
球面波、 球面波、柱面波
波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。 波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。 波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。 波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。 波前： 沿波传播方向，最前方的同位相面。 波前： 沿波传播方向，最前方的同位相面。 对于平面波每个波面的能量密度相同。 对于平面波每个波面的能量密度相同。 同振幅。 同振幅。 对于球面波、柱面波每个波面的能量密度与波面面积成反比。 对于球面波、柱面波每个波面的能量密度与波面面积成反比。 减振幅。 减振幅。
另一种煤质
y o
→ u
→ u
u∆t u∆t
t
t＋∆t ＋ 右行波 t＋∆t ＋
x
Δt 时间后的波形
判断下一时刻点 什么方向运动? 判断下一时刻点向什么方向运动? 运动 1. 什么曲线 “四”个特征 量 2. 传播方向 x y = A c o s( ω ( t − ) + ϕ 0 ) 两种方法 u 另一种方法
y
振源O
某后续点P
x
y P = A co s( ω t −
2π
每上一质元都是下一质元的振源 各质元的振动周期与频率 一般等于振源的振动周期与频率 时间周期性
λ
x + ϕ0)
空间周期性
y
某后续点P
振源O
x
y P = A co s( ω t −
2π
波长：在波的传播方向上， 波长：在波的传播方向上， 任一时刻具有相同振动状态的相邻质元间的距离。 任一时刻具有相同振动状态的相邻质元间的距离。 全振动：时间上将所有的振动状态刚好经历一遍的振动过程。 全振动：时间上将所有的振动状态刚好经历一遍的振动过程。 完整波：某时刻空间上刚好包括所有振动状态的波段。 完整波：某时刻空间上刚好包括所有振动状态的波段。 一个周期 T 的时间内， 的时间内， 某一振动状态（即位相） 某一振动状态（即位相）所传播的距离正好是一个波长λ 。
传播的不是物质。是物质的运动。是能量。 传播的不是物质。是物质的运动。是能量。 水波在湖面上推进，水是否向前流动？ 水波在湖面上推进，水是否向前流动？ 声波在空气中传播，是否伴随着气流？ 声波在空气中传播，是否伴随着气流？
运动的传播
金色的麦浪翻滚而过，麦子是否还站在原地？ 金色的麦浪翻滚而过，麦子是否还站在原地？ 机械波：机械振动在媒质中的传播。 机械波：机械振动在媒质中的传播。 如声波、水波、 如声波、水波、地震波等 电磁波：变化电场或变化磁场在空间的传播。 电磁波：变化电场或变化磁场在空间的传播。 如无线电波、光波、 如无线电波、光波、X射线等
t = 3T/ 4 t=T
·x ········ ·· ···· ··· · ·· ·· · ······· ··· ···· ·· ·· ··· ····· ······· ············ ····· ····· ··· ·· ·· ··· · · ·· · ········ ·· ······ ·· ·· ·· ·· ·
2π
λ
x + ϕ0)
y = A cos(2π (ν t −
x
λ
) + ϕ0 )
t x y = A cos(2π ( − ) + ϕ 0 ) T λ 右行波
x y = y( t − ) u 左行波 x y = y( t + ) u
2π ω u= = = T λ uT u x y = A c o s( ω ( t − ) + ϕ 0 ) u 波数 k = 2 π
§1 波的运动学描述
y
振源O 某后续点P
x
y0 = Acos(ω t + ϕ0 )
∆ ϕ = 2π 2π
λ
沿波的传播方向位相依次减小
y P = A co s( ω t −
2π
λ
x + ϕ0)
平面简谐波波函数
波动：振动在空间的传播过程。 波动：振动在空间的传播过程。