江苏省盐城市2014届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案

盐城市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题第Ⅰ卷(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:椎体体积公式：1S 3V h =（其中S 为底面积，h 为高）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则A2.已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅3.从长度为2、3、5、6为 ▲ .4.函数()f x =的定义域为 ▲ .5.件. 为n6.如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出7.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 9.设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ . 10.若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ .第6题11.在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为▲ ．12.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13.若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是▲ ．14.若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .PABCF D第16题17．(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。

. （1）求CD 的长；（2）试问P 在线段AC 的何处时，BPD ∠达到最大.18. (本小题满分16分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右准线:l x =，离心率e =A ，B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）． （1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求||||AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点M ，N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在,求出λ的值和定点M ，N ;若不存在，请说明理由．图1CA DBP图2第18题19．(本小题满分16分)已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数.（1）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）当=1a 时，试比较()f m 与1f m ⎛⎫⎪⎝⎭的大小； （3）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明212x x e >.20．(本小题满分16分)若数列{}n a 满足1=a a 且1(1)21n n n a a n ++-=-（其中a 为常数），n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 满足2=n n b a . （1）求13a a +的值；（2）试判断{}n b 是否为等差数列，并说明理由； （3）求n S （用a 表示）.第Ⅱ卷（考试时间30分钟，满分40分）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若10AB =，3ED =，求BC 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）已知直线:1l ax y +=在矩阵 2 30 1A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线:1l x by '+=. （1）求实数a ，b 的值；（2）若点00()P x y ，在直线l 上，且0000x x A y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求点P 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C在点处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程.D ．(选修4-5：不等式选讲）设R x y ∈，，z ，且满足：222++z 1x y =，23x y ++=z7x y z ++=.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）BACDEO一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验；若少于2件合格品，则不能通过检验，也不再抽检. 假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ζ元，求ζ的概率分布及数学期望.23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .(1)试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； (2)证明你在（1）所猜想的结论.盐城市2014届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. }{02， 2. 5 3.12 4. []3,1- 5. 18 6. 127 7. 15168.9. 1- 10. 2 11. 6 12. 0k =或1k = 13. (]9ln3-∞-， 14.2⎡⎢⎣⎦二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(1) （1）222cos 2a c b B ac +-=2221()22a c a c ac +-+=21()202a c ac-=≥，∴090B ≤（当且仅当a c =时取得等号）. …………………………………………………………7分 （2）2AB BC ⋅=-，∴cos 2ac B =，2222cos 12b a c ac B =+-=，∴2216a c +=，………………………………………………11分又a c +==∴4ac =，∴1cos 2B =，∴sin B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==.…………………………………………………………………………………14分16. 解:(1) 证：（1）设,AC BD 的交点为O ，连OF底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点，又PF FC =，∴//PA OF ，……………………………………………………………………………… 5分且PA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，∴//PA 平面B.……………………………………………………………………………………………7分 （2）底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD ，∴BD PA ⊥，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥，BF PC ⊥，∴PC ⊥平面BDF ，又PC ⊂平面PBC ，∴平面BDF ⊥平面PBC .…………………………………………………………14分17．(1)设BPA α∠=，DPC β∠=，CD h =，则tan 2α=，tan 25h β=， 由题意得，225tan()11225hh αβ++==--⋅，解得75CD h ==.……………………………………………6分（2）设(050)AP x x =<<，则50tan x α=，75tan 50xβ=-， ∴2507525(100)50tan tan()5075505075150x x x BPD x x x xαβ++-∠=-+=-=-+⋅-⋅-，…………………………………8分25050750x x -+⋅>，∴tan 0BPD ∠>，即BPD ∠为锐角，令100(100,150)t x =+∈，则100x t =-，∴222525tan (100)50(100)507525050375t tBPD t t t t ∠==---+⋅-+⋅，∴25tan 50375250BPD t t ∠=≤=⋅+-，………………………………12分 当且仅当50375t t⋅=即(100,150)t =，∴100AP =时，BPD ∠最大. …………………………………………………………………14分18．解：（I）由题设可知：23a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴3.a c ==222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为22194x y +=．………………………………………………………………………………5分（2）设1122(,),(,)A x y B x y 则由OP OA OB =+得1212(,)P x x y y ++． ∴221212122212121249AB OPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+- ． 由||(0,)AB k ∈+∞10分 （3）2212121222121212AB OGy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-∴k OA ·k OB ＝y 1y 212＝－4x 1x 2＋9y 1y 2＝0．…………………………………………………………11分设P (x ，y )，则由OP OA OB λ=+得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋λ (x 2，y 2)＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)， 即x ＝x 1＋λx 2，y ＝y 1＋λy 2. 因为点A 、B 在椭圆4x 2＋9y 2＝36上，所以４x 21＋９y 21＝36，4x 22＋9y 22＝36，故4x 2＋9y 2＝4(x 21＋2λx 22＋2λx 1x 2)＋9(y 21＋2λy 22＋2λy 1y 2)＝(4x 21＋9y 21)＋2λ(4x 22＋9y 22)＋2λ(4x 1x 2＋9y 1y 2)＝36＋362λ+2λ(4x 1x 2＋9y 1y 2)．所以4x 2＋9y 2＝36＋362λ. 即222219944x y λλ+=++，所以P 点是椭圆222219944x y λλ+=++上的点，设该椭圆的左、右焦点为,M N ，，则由椭圆的定义18PM PN +=得18=，λ∴=±(M N -……………………………………………………………………16分（第三问若给出判断无证明给1分） 19．解: （1）1()f x a x'=-，由题(1)1=0f a '=-，1a ∴=．………………………………………4分（2）当=1a 时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-∴=-=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减． 由题，令()()1111ln (ln )2ln h m f m f m m m m m m m m ⎛⎫=-=---=-+ ⎪⎝⎭， 则()22212111=0m m m h m m m m m-+--⎛⎫'=--=-≤ ⎪⎝⎭． (7)分又()10h =，①当01m <<时，()0h m >，即()1f m f m ⎛⎫> ⎪⎝⎭； ②当=1m 时，()=0h m ()1=f m f m ⎛⎫⎪⎝⎭； ③当1m >时，()0h m <即()1f m f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭．………………………………………………………………10分（3）11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()1212ln ln x x a x x ∴+=+ ，()1212ln ln x x a x x -=-， 1212ln ln =x x a x x -∴-，……………………………………………………………………………………………12分欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>， 因为()1212ln ln x x a x x +=+， 所以即证122a x x >+，所以原命题等价于证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即证：()1212122lnx x x x x x ->+()12x x >，令12=x t x ，则1t >，设()()21ln 1t g t t t +=-+()1t >，()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++， 所以()g t 在()1+∞，单调递增，又因为()1=0g ，所以()()10g t g >=， 所以()21ln 1t t t ->-，所以212x x e >…………………………………………………………………………16分20．解：（1）由题意，得213213a a a a -=⎧⎨+=⎩，∴132a a +=.…………………………………………………4分 （2）1(1)21nn n a a n ++-=-，∴21222214141n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩， ∴2228n n a a n ++=，即18n n b b n ++=，∴188n n b b n -+=-，∴118n n b b +--=，于是当且仅当1b ，2b ，3b 为等差数列，数列{}n b 为等差数列， (7)分又2122214143n n nn a a n a a n +-+=-⎧⎨-=-⎩，∴21212n n a a +-+=，1a a =，∴32a a =-，∴11b a =+，27b a =-，39b a =+，由1b ，2b ，3b 为等差数列，得1a =，∴当1a =时，数列{}n b 为等差数列；当1a ≠时，数列{}n b 不为等差数列. ……………………………10分 （3）1(1)21n n n a a n ++-=-，∴121(1)21n n n a a n ++++-=+，∴21(1)(1)(1)(21)n n n n n a a n +-+-=--，即1(1)(1)(21)n n n n a a n +-+=--， ∴221(1)(21)n n n a a n n ++=++--，∴13123(1)(21)n n n a a n n ++++=++-+ ∴123442(1)n n n n n a a a a n ++++++=+--，∴4342414166n n n n a a a a n ---+++=-，∴241(10166)822n S n n n n =+-=+.……………………………………………………………………13分由（2）21212n n a a +-+=，1a a =，∴43n a a -=， 412n a a -=-，由22143n n a a n --=-，∴424387n n a a n ---=-，∴4287n a n a -=-+， 又2228n n a a n ++=，∴424168n n a a n -+=-，481n a n a =--,∴241861n S n n a -=-++，2428612n S n n a -=--+，2438146n S n n a -=-++，∴222211(43)221122(42)22,(*)11(41)2211(4)22n n n a n k n n a n k S k N n n a n k n n n k ⎧-+=-⎪⎪⎪+-+=-⎪=∈⎨⎪-+=-⎪⎪⎪+=⎩……………………………………………………16分附加题答案21. A 、解：AB 是圆O 的直径且BC CD =，∴ 10AB AD ==， 连CO ，EC 为圆O 的切线，∴EC CO ⊥，记H 是AD 圆O 的交点，连BH ，∴ //EC BH ，∴ 3HE ED ==，∴4AH =，222264BD AB ∴-=-，BC ∴=………………………………………………………………10分B ．解：（1）设直线l 上一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换下得点(,)x y ''，则 2 30 1x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴23x x y y y '=+⎧⎨'=⎩代入直线l '，得2(3)1x b y ++=，∴2,2a b ==-；……5分（2）点00(,)P x y 在直线l 上，∴0021x y +=，由00002 30 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得0000023x x y y y =+⎧⎨=⎩，∴003515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴31(,)55P -.…………………………10分C ．解：由题意，得曲线C ：224x y +=，∴切线为l的斜率3k =-， ∴切线为l的方程为：1)y x =-，即40x -=， ∴切线为l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=.……………………………………………………………10分D ．解：设x y z R ∈，，，且满足：222x +y +z 1=，23x y z ++=x y z ++=. 证：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =+≤+=++，∴123x y z==，∴3,2z x y x ==，又23x y z ++=∴x y z ===，∴7x y z ++=.…………………………………………………10分22. 解（1）：322134414512()()()5555625P C =+⋅⋅⋅=；………………………………………………………5分（2）311233441177(375)()()()()5555125P C ζ==++=，22134148()()()55120505P C ζ===，∴7748()375423121500525E ζ=⨯+⨯=.…………………………………………………………………10分23. （1）11172c b a ===，32392c b a ===，535172c b a ===，747482c b a ===， 由此归纳：212n n c -=.……………………………………………………………………………………4分（2） 由n m a b =，得21921633m m n ++==+， ∴(31)163m n -+-=，由二项式定理得 ∴011122211133(1)3(1)3(1)(1)163m m m m m m m m m m m m C C C C C n ----+-+-++-+-+-=，∴当m 为奇数时，n 有整数解， ∴21212n n n c b --==.……………………………………………10分。