2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一(上)期末数学试卷及答案(理科)

2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}．则A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，4}C．{2，4}D．{2，5}2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}3．（5.00分）点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是（）A．（4，2，2）B．（2，﹣1，2）C．（2，1，1）D．（4，﹣1，2）4．（5.00分）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2，3的直线方程是（）A．2x﹣3y﹣6=0 B．3x﹣2y﹣6=0 C．3x﹣2y+6=0 D．2x﹣3y+6=05．（5.00分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=06．（5.00分）函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）三个数30.4，0.43，30.3的大小关系（）A．0.43＜30.3＜30.4B．0.43＜30.4＜30.3C．30.3＜30.4＜0.43D．30.3＜0.43＜30.48．（5.00分），则a的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）9．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是（）A．3πB．πC．2πD．4π10．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．②和④D．①和④11．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0有五个不同的实数解，则实数a的范围（）A．（1，）∪（，3）B．（2，3） C．（2，）∪（，3）D．（1，3）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为．14．（5.00分）函数y=log（x2﹣6x+17）的值域为．15．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是．16．（5.00分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．三、解答题（本题共6道小题，其中第17题10分，其余均为12分）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁R B；（2）若A⊆B，求a的取值范围．18．（12.00分）已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．19．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c．（1）若f（x）为偶函数，且f（1）=0．求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上为单调函数，求b的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值．（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．21．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．22．（12.00分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P （2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}．则A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，4}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}，∴A∩B={1，4}．故选：B．2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由，解得0＜x≤1．即函数的定义域为{x|0＜x≤1}．故选：D．3．（5.00分）点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是（）A．（4，2，2）B．（2，﹣1，2）C．（2，1，1）D．（4，﹣1，2）【解答】解：点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是：（2，1，1）．故选：C．4．（5.00分）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2，3的直线方程是（）A．2x﹣3y﹣6=0 B．3x﹣2y﹣6=0 C．3x﹣2y+6=0 D．2x﹣3y+6=0【解答】解：由直线的截距式方程得=1，即3x﹣2y+6=0，故选：C．5．（5.00分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．6．（5.00分）函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=x3+x﹣3在R上单调递增且连续，∵f（0）=0+0﹣3＜0，f（1）=1+1﹣3＜0，f（2）=8+2﹣3=7＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（1，2）；故选：B．7．（5.00分）三个数30.4，0.43，30.3的大小关系（）A．0.43＜30.3＜30.4B．0.43＜30.4＜30.3C．30.3＜30.4＜0.43D．30.3＜0.43＜30.4【解答】解：因为函数y=3x在R上是增函数，所以30.4＞30.3＞1，又0.43＜1，所以0.43＜30.3＜30.4，故选：A．8．（5.00分），则a的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）【解答】解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故选：B．9．（5.00分）一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是（）A．3πB．πC．2πD．4π【解答】解：由正视图、侧视图、俯视图均为直角边长为1等腰直角三角形，故其外接球即为棱长为1的正方体的外接球，则2R=，∴外接球的表面积S=4πR2=3π，故选：A．10．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．②和④D．①和④【解答】解：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，正确若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交也可能异面，故②错误；α∥β，β∥γ，则α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故④错误，故选：A．11．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．12．（5.00分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0有五个不同的实数解，则实数a的范围（）A．（1，）∪（，3）B．（2，3） C．（2，）∪（，3）D．（1，3）【解答】解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．∴有：2＜a＜3 ①．再根据2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0有两个不等实根，得：△=（2a+5）2﹣4×2×5a＞0⇒a≠②结合①②得：1＜a＜或＜a＜2．故选：C．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为2．【解答】解：若a＞1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递增；则指数函数y=a x在[0，1]上的最小值与最大值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递减；则指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2（舍去）故答案为：214．（5.00分）函数y=log（x2﹣6x+17）的值域为（﹣∞，﹣3] ．【解答】解：t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8在[8，+∞）上是减函数，所以y≤=﹣3，即原函数的值域为（﹣∞，﹣3]故答案为：（﹣∞，﹣3]15．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是．【解答】解：连接BD，∵MN∥BD，∴异面直线MN与BD1所成的角即为直线BD与BD1所成的角：∠D1BD∵在Rt△D1DB中，设D1D=1，则DB=，D1B=∴cos∠D1BD=∴异面直线MN与BD1所成的角的余弦值为故答案为：16．（5.00分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是（，）．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a2+b2=4①，又P在直线x+y﹣2=0上，∴a+b﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P的坐标为（，）．故答案为：（，）三、解答题（本题共6道小题，其中第17题10分，其余均为12分）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁R B；（2）若A⊆B，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，集合A={x|x≤1}C R B={x|﹣1≤x≤5}（2分）∴A∩C R B={x|﹣1≤x≤1}（6分）（2）∵A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}由于A⊆B∴a+3＜﹣1∴a＜﹣4（6分）18．（12.00分）已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）因为圆心C在直线x﹣y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），所以圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2=r2．因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），所以，，即，解得：．所以，圆C的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2=25；（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．当l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0时，圆心C到直线l的距离为d=，解得：．所以，l的方程为，即8x+15y﹣45=0．所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y﹣45=0．19．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c．（1）若f（x）为偶函数，且f（1）=0．求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上为单调函数，求b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数，即有x2﹣bx+c=x2+bx+c，可得b=0，即f（x）=x2+c．由f（1）=0，可得1+c=0，即c=﹣1．由f（x）=x2﹣1的对称轴为x=0，可得f（x）在[﹣1，0）递减，在（0，3]递增，可得f（x）的最小值为f（0）=﹣1；最大值为f（3）=8；（2）f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=﹣，若f（x）在[﹣1，3]上为单调增函数，即有﹣≤﹣1，解得b≥2；若f（x）在[﹣1，3]上为单调减函数，即有﹣≥3，解得b≤﹣6．综上可得，b的取值范围是b≥2或b≤﹣6．20．（12.00分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值．（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意．所以实数k的值为1．（2）∵f（1）＞0，∴，又a＞0且a≠1，∴a＞1．此时易知f（x）在R上单调递增．则原不等式化为f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0，解得x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}．21．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，==，∴S△BCD∴V C=V C1﹣BCD=••6=9．﹣BC1D22．（12.00分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P （2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。