东莞高级中学2013届高一上学期期中考试(数学)

东莞高级中学2013届高一上学期期中考试数学试卷一. 选择题1. 已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B = ( C) A ．{3} B ．{4,5}C ．{1245}，，，D ．{3,4,5}2. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 的所有α的值为( A) A ．1，3 B ．1-，1C ．21，3 D ．1-，21，3 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( D)A ．1y x =-和112+-=x x y B ．0y x =和1y =C ．2()f x x = 和2()(1)g x x =+ D ．x x x f 2)()(=和2)()(x x x g = 4. 三个数4.0333,4.0log ,4.0===c b a 的大小关系是( B)A. a c b <<B. c a b <<C. c b a <<D. a b c <<5. 函数2+=x a y )10(≠>a a 且的图像经过的定点坐标是( D) A. )1,0( B. )1,2( C. )0,2(- D. )1,2(- 6. 函数)54lg(2-+=x x y 的单调递增区间为( C)A. ),2(+∞-B. )2,(--∞C. ),1(+∞D. )5,(--∞7. 将函数)(x f 的图像向左平移2个单位得到函数)(x g ，若)(x g 的定义域为)1,0(，则)(x f 的定义域为( B)A. )1,2(--B. )3,2(C. )0,1(-D. )1,0(8. )(x f 是定义在R 上的奇函数，0≥x 时，b x x f x++=22)(（b 为常数），则=-)1(f (A)A. 3-B. 3C. 1-D. 19. 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过25.0， 则()f x 可以是(A)A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =- C. ()1xf x e =- D.()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10. 若关于x 方程03|1|=--a a x 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( C) A. 3>a B. 31<<a C. 310<<a D. 131<<a二. 填空题11. 326689log 4log -+=2-12. 若点)2,2(在幂函数)(x f y =的图象上，则=)(x f 21x13. 集合{2,3}M =，定义集合运算A ※A =},,|{A b A a b a x x ∈∈+=，则M ※M =}6,5,4{14. 函数xx x f 24)(-=在区间]1,2[-上的值域为]2,41[- 三. 解答题15.（12分） 已知全集U R =，集合{}|15A x x =≤≤，{}2|10160B x x x =-+<，求B A 以及B AC U )(。

解：}82|{<<=x x B …………4分 从而 }81|{<≤=x x B A …………8分}51|{><=x x x A C U 或…………10分 }85|{)(<<=x x B A C U …………12分16. （12分）已知函数xa x f =)()10(≠>a a 且 （1）若2)(0=x f ，求)3(0x f （2）若)(x f 的图像过点)4,2(，记)(x g 是)(x f 的反函数，求)(x g 在区间]2,21[上的值域。

解：（1）8)()3(33000===x x a ax f …………4分（2）由4)2(=f 可知xx f 2)(=…………6分 从而x x g 2log )(=…………8分所以)(x g 在区间]2,21[上的值域为]1,1[-…………12分 17. （14分）已知二次函数c ax x x f +-=2)(（其中0>c ） （1）试讨论)(x f 的奇偶性（直接给出结论，不用证明） （2）当)(x f 为偶函数时，记函数xx f x g )()(=，证明：函数)(x g 在),0(c 上单调递减。

解：（1）当0=a 时，)(x f 是偶函数； 当0≠a 时，)(x f 是非奇非偶函数…………6分 （2）由（1）的分析知此时c x x f +=2)(，从而xcx x g +=)(…………8分 设cx x <<<210，则)()()()(221121x c x x c x x g x g +-+=-212121)()(x x c x x x x -⨯-=…………10分 考虑c x x <<<210，从而021<-x x ，021>x x ，021<-c x x …………12分所以)()(0)()(2121x g x g x g x g >⇒>-， 即函数)(x g 在),0(c 上单调递减…………14分18. （14分）某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示： 该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费十超额费十保险费．若每月用气量不超过最低额度)4(>A A 立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费)50(≤<C C 元；若用气量超过A 立方米时，超过部分每立方米付B 元． （1）根据上面的表格求C B A ,,的值；（2）记用户第四月份用气为x 立方米，求他应交的煤气费y （元）。

解：（1)1月的用气量没有超过最低额度A ，所以43=+C 1=⇒C …………2分3,2月的用气量超过了最低额度A ，所以⎩⎨⎧=-+=-+19)35(414)25(4B A B A ，解得5,21==A B …………6分（2）当5≤x 时，需付费用为413=+元…………8分 当5>x 时，需付费用为232121)5(4+=⨯-+x x 元…………12分所以应交的煤气费⎪⎩⎪⎨⎧+=23214x y 550>≤<x x …………14分19.（14分）函数2)3()(-=x x f 和x x g =)(的图像的示意图如右图所示，设两函数的图像交于点),(),,(2211y x B y x A ，且21x x <。

（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数?（2）若1[,1]x a a ∈+，2[,1]x b b ∈+，且}6,5,4,3,2,1,0{,∈b a 指出b a ,的值，并说明理由. 解：（1）曲线1C 对应函数为2)3()(-=x x f ，2C 对应函数为x x g =)(…………4分（2）令x x x g x f x h --=-=2)3()()()(，分别令6,5,4,3,2,1,0=x 计算可得03)1(>=h ，021)2(<-=h ，从而)(x h 在区间]2,1[有一个零点，所以]2,1[1∈x ，即1=a …………9分01)4(<-=h ，054)5(>-=h ，同理可知]5,4[2∈x ，即4=b …………14分注：没有说明过程直接给出b a ,的值的，一个给2分。

20. （14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为)2,0( (1）求关于x 的方程3)(+=kx x f 在)2,0(上的解；（2）若)(x f 在其定义域上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(上有两个不同的解21,x x ，求实数k 的取值范围。

解：（1）当12≥x ，即21<≤x 时，kx x x x f ++-=221)(，方程可化为22=x ，解得2=x …………2分当12<x ，即10<<x 时，kx x f +=1)(，方程为31+=+kx kx ，显然无解。

从而在)2,0(上方程只有唯一解2=x …………3分（2）根据第一问的分析可将)(x f 写为分段函数⎩⎨⎧-++=121)(2kx x kx x f22110<≤<<x x …………4分当0=k 时，)(x f 在区间)1,0(上是常数函数，不符合题意…………5分 当0>k 时，)(x f 在)1,0(上递增，此时对称轴040<-=kx ，)(x f 在)2,1[上也递增…………6分并且)1,0(∈x 时，1)()1()(+<⇒<kx x f f x f ，)2,1[∈x 时，1)1()(+=≥kx f x f ，所以此时)(x f 在整个区 区间)2,0(上都单调递增…………7分当0<k 时，)(x f 在)1,0(上递减，从而需要)(x f 在)2,1[上也递减，即824-≤⇒≥-k k，由上面的分析知此 此时)(x f 在整个区间)2,0(上都单调递减…………8分所以当8-≤k 或0>k 时，)(x f 在其定义域上是单调函数…………9分（3）令22|1|0)(x x kx x f +-=-⇒=⎩⎨⎧-=1122x 1021<<<≤x x 考虑)2,0(∈x ，可利用变量分离得⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x x k 112 1021<<<≤x x 令k x g -=)(，=)(x h ⎪⎩⎪⎨⎧-xx x 112 1021<<<≤x x ， 从而原方程有两个不同的 的解等价于函数)(x g 与)(x h 的图像在区间)2,0(上有两个不同的交点。

分析)(x h 在)1,0(单调递减，在)2,1(单调递增（不用给出证明），可以作出)(x h 的草图，从而有271<-<k ，即127-<<-k …14分。