湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考数学(理)试题
2017届三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试卷
.2017届三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 已知命题中，若，则，则下列命题为真命题的是（）A．的逆命题B．的否命题C．的逆否命题D．的否定3. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（）A．1 B．-1 C．0 D．24. 执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间上随机选取一个数，的概率为（）A．B．C．D．5. 欧拉公式e i x＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．7. 若的展开式中的系数为（）A．36 B．-144 C．60 D．-608. 如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）A．B．C．D．9. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )A．B．C．D．10. 一个等比数列{an}的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项11. 如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于，，，四点，，则的值为（）B．1 C．D．A．12. 已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）C．D．A．B．二、填空题13. 已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为__________．14. 已知实数，满足，则的最小值为1，则__________．15. 以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平飘移速度是__________ ．16. 已知平面向量，满足，存在单位向量，使得，则的取值范围是__________．三、解答题17. 已知函数.（1）若在上的值域为，求的取值范围；（2）若在上单调，且，求的值.18. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：与模型②：作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20 22 24 26 28 30 32产卵数6 10 21 24 64 113 322 /个400 484 576 676 784 900 10241.792.303.04 3.184.16 4.735.7726 692 80 3.571157.54 0.43 0.32 0.00012其中，，，，附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：，，）（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19. 已知三棱台中，,，，平面平面，（1）求证：平面；（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.21. 已知函数.（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请说明理由.22. 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（1）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点，分别为曲线上的动点，求的最小值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.。
三湘名校教育联盟2017届高三第三次大联考理科数学试题含答案
三湘名校教育联盟·2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3{|31}n Ax ，2{|4120}B x x x ，则()R C A B（）A ．[3,2)B ．(,3]C ．[3,2)(6,)D ．(3,2)(6,)2.已知命题:p ABC 中，若AB ，则cos cos A B ，则下列命题为真命题的是（）A ．p 的逆命题B ．p 的否命题 C．p 的逆否命题 D．p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x 时，3()log f x x ，则7(2)()2f f （）A ．1B ．-1 C．0 D．24.执行如图所示的程序框图，如输入x 的值为1，输出n 的值为N ，则在区间[1,4]上随机选取一个数M ，1M N 的概率为（）A ．15B．25C.35D ．455.欧拉公式cos sin ixexi x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ixe 表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D．第四象限6.函数cos ln ||x yx 的图象大致是（）A ．B ． C. D．7.若291(4)()xxx的展开式中3x 的系数为（）A ．36 B ．-144 C.60 D．-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）A ．32B．43C.433D．839.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为(0)p p，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X ，则p 的取值范围是（）A ．7(0,)12 B．7(,1)12C.1(0,)2D ．1(,1)210.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（）A ．13 B．12 C.11 D．1011.如图，抛物线22y px (0)p 和圆220x ypx ，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A ，B ，C ，D 四点，||||2AB CD ，则p 的值为（）A ．22B ．1 C.2 D ．2212.已知函数3()(3)f x axa x 在[1,1]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（）A ．3[,3]2B ．3[,12]2C.[3,3] D．[3,12]第Ⅱ卷：非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1040S ，则35a a 的最大值为．14.已知实数x ，y 满足2220xy xy y，则zaxy 的最小值为1，则a．15.以40/km h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min 后祈求上升到1km 处，从探测船上观察气球，仰角为30，求气球的水平飘移速度是/km h ．16.已知平面向量a ，b 满足2ab ，存在单位向量e ，使得()()0a e b e ，则a b 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()sinsin()3f x xx(0).（1）若()f x 在[0,]上的值域为3[,1]2，求的取值范围；（2）若()f x 在[0,]3上单调，且(0)()03f f ，求的值.18. 为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：212y C xC 与模型②：12C x C ye作为产卵数y 和温度x 的回归方程建立两个变量之间的关系.温度/x C20 22 24 26 28 30 32 产卵数y /个6102124641133222t x400 484 576 676 784 900 1024 ln xy1.792.303.043.184.164.735.77xtyz26692803.57121()()()nii i nii x x y y x x 121()()()nii i nii t t y y t t 121()()()nii i nii z z x x x x 121()()()nii i nii z z t t t t 1157.540.430.32 0.00012其中2i i t x ，1ni i tt ，ln ii z y ，1ni i uz ，附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii u u v v u u ，v u .（1）在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C 时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65104.58e， 4.85127.74e ， 5.05156.02e）（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为210.82R ，220.96R ，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19. 已知三棱台111ABC A B C 中，4AB BC ,11222ACAC ，111AA CC ，平面11AA B B平面11AAC C ，（1）求证：1BB 平面11AAC C ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B 的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为1F ，2F 是圆内一个定点，且122F F ，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与半径1PF 的交点为Q ，当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线E ，以12F F 所在直线x 为轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为1A ，2A （1A 在2A 左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M 、N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线1A M 、2A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线'l 上，并求'l 的方程.21. 已知函数2()2ln ()f x x x x a .（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x 恒成立且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(,1)an n ，n Z 的n 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos :sinx C y（为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C 2cos()42，曲线3:C 2sin.（1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（2）设点A ，B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求||AB 的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||1|f x x a x .（1）当1a 时，求()f x 的最小值；（2）存在[0,2]x时，使得不等式()0f x 成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题：1-5CDABB 6-10DDBCB 11、12：DB二、填空题13.16 14.1 15.20 16.[71,71]三、解答题17.解答：sinsinsin33fxx xx.（1）由0,x ,333xx，f x 在0,上的值域为3,12．即最小值为32，最大值为1，则4233x，得5563．综上：的取值范围是55,63．（2）由题意f x 在0,3上单调，得0033．由003f f，得13sin 321233k或12233k，k Z ，62k或63k，kZ ，又03，所以2或3；当2时，2,3333xx，sin 23fxx在0,3上单调递增，符合题意，当3时，23,3333xx，sin 33fxx在03，上不单调，不符合题意，综上：2．18.解答（1）画出y 关于t 的散点图，如图181：z 关于x 的散点图，如图182．根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．（2）对于模型①：设2tx ，则21212y C xC C t C ，其中711721()()0.43()ii i ii t t y y C t t ，21800.43692217.56C y C t ，所以20.43217.56y x，当30x 时，估计温度为210.4330217.56169.44y .对于模型②：34C x C y e4ln 3x z yC C ，其中71371()()0.32()iii ii z z x x C x x ，43 3.570.3226 4.75C z C x．所以0.32 4.75x y e，当30x 时，估计温度为0.3230 4.754.852127.74y ee．（3）因为2212R R ，所以模型②的拟合效果更好．19.（1）延长1AA ，1BB ，1CC 交于点O ．112ACAC 及棱台性质得2OAOC，所以OAOC ．因为平面11AA B B 平面11AA B B平面111AAC C AA ．所以OC 平面11AA B B ，OB 平面11AA B B ，所以OC OB ,又AOBAOC ，所以OA OB ，OA OCO ，所以1BB 平面11AAC C ．（2）由于4AC AB ，由1知OA OB ，OB OC ，所以1223OBOB ，且30OBA ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则11,0,0A ，2,0,0A ，103,0B ，，0,23,0B ，10,0,2C ．设22,23,0AD ABOD．设平面ODC 的法向量为(,,)mx y z ,由22230m OC zm ODxy ??，可取3,1,0m ．11,0,0OA 是平面OBC 的个法向量，由二面角1DCC B 的大小为30得：123cos,421m OA 3122．所以D 为AB 中点，31,,022m，023,2BC ，，设BC 与平面1DCC 所成角为，则3sin cos ,4||m BC m BCm BC?．所以BC 与平面1DCC 所成角为正弦值为34．20.解（1）由题意CD 垂直平分2PF ，所以121112QE QF QF QP PF R F F 所以Q 的轨迹为以1F ，2F 为焦点、长轴长为24a的椭圆，焦距22c，所以1c，所以动点Q 的轨迹为曲线E 的方程是：22143xy．（2）120A ，，220A ，，设l 的方程是1x my ，设11,M x y ，22,N x y ，,i i T x y ，由221431x yx my 得2234690m ymy ，所以，122634m y y m，122934y y m.因为M 在x 轴上方，∴120y y ，221212122121434m y y y y y y m ．直线1A M 、2A N 的方程分别是：1122y yxx ，2222y yxx ，联立得：12122121222222iy y x x x y y x x 12212112222222y x y x y x y x 12212112212331y my y my y my y my 1212124263my y y y y y12121212124242my y y y y y y y y y 2222224848134344121213434m m m mm m m m．∴动点T 恒在定直线'l ：4x 上．21.解（1）由已知，函数f x 的定义域为0,，'2ln 1f x x x a由f x 在定义域上单调递减，则'0f x恒成立，'2ln 1g xf xx x a ，所以212'2xg xxx，当0,1x 时，'0g x ，g x 单调递增，当1,x时，'0g x ，g x 单调递减．即'f x 在0,1内单调递增，[1,)内单调递减，所以''1f x f a ．（2）当0,1x时，ln 0x x ，∴22ln 0f xx x x a恒成立，当[1,)x时，由（1）知，'f x 在[1,)内单调递减，（i ）若0a ，由（1）知，f x 在[1,)内单调递减，则2110fx f a，f x 无零点，不符合题意;（ii ）若0a ，设20xp x ex x，'2ln 22ln 20xp xep x p ，所以11'210a a f e a e，又'10f ，所以存在101,a x e，使得'0f x ，即001ln a x x ，①且当故当01,xx 时，有0'0f x ，当0,xx 时，有'0f x ，则f x 在01,x 内单调递增，0,x 内单调递减，由于0f x恒成立，且f x 有唯一零点，∴200002ln 0f x x x x a．②结合①，②知002001ln 2ln 0ax x x x x a，③联立得22200000000002ln 2ln 1ln 2ln 1ln x x x ax x x x x x x x设22ln 1ln x x xx ，则110，220e e ，且当1x 时，1'2ln 110xx x，所以x 在1,e 上有唯一零点0x ．即满足方程组③的0x 唯一，且01,x e ．设1ln 1u x x x x ，1'10u x x，所以u x 在1,上单调递增，0121u au x u ee ，即满足方程组③的0,1a ，所以0n .综上所述，存在0n即0,1a，使得0f x 恒成立且f x 有唯一零点．22.解答（1）曲线1C ：2cos sin x a ya ，消去参数a ，得21yx，1,1x ．①曲线2C ：2cos1042xy ，②联立①②，消去y 可得：221xxx 或2x （舍去），所以1,0M．（2）曲线3C ：222sin 11xy ，是以0,1为圆心，半径1r 的圆. 设圆心为C ，点C ，B 到直线10xy 的距离分别为d ，'d ，则01122d，'21ABd d r ，所以AB 的最小值为21．23.解答（1）当1a 时，1,2121132,12,1x xf xx x x xx x ，∴f x 在1,2单调递减，在1,2上单调递增，∴12x时，f x 取得最小值12．（2）2221213110f x xax x ax x a x a①当2a 时，010,2f x x ，符合题意：②当2a时，113a a，0f x的解集为11,3a a ，所以10,21,3a a ，从而12103a a ，得12a ，③当2a 时，113a a ，0f x 的解集为1,13a a ，所以10,2,13a a ，从而1231a a 或，得25a ，综上：符合题意要求的实数a 的取值范围是1,5．。
【全国市级联考】湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考文数(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】由题意可知：错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.本题选择A选项.2. 已知错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
是实数，错误！未找到引用源。
是虚数单位，则错误！未找到引用源。
（）A. 0B. 1C. 2D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】由复数的运算法则有：错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
0.本题选择A选项.3. “直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
相交”是“错误！未找到引用源。
”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当错误！未找到引用源。
时，直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
都相交，因此题中应选必要不充分条件．4. 在等差数列错误！未找到引用源。
中，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的错误！未找到引用源。
，依次输入的错误！未找到引用源。
为3，3，7，则输出的错误！未找到引用源。
（）A. 9B. 21C. 25D. 34【答案】C6. 已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 3C. 错误！未找到引用源。
或3D. 错误！未找到引用源。
或3【答案】D【解析】由题意可得：错误！未找到引用源。
，则：错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
湖南省2017届高三数学第三次大联考试题文
湖南省2017届高三数学第三次大联考试题 文第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}23,2,1,0,1,2,|3A B x x =---=≤，则A B =IA. {}1,0,1-B. {}0,2C. {}3,2,1,0,1,2---D.[]0,2 2.已知复数1z i =-，则221z z z -=- A. 2i B. 2 C. 2i - D.2-3. 下列结论正确的是①一个数列的前三项为1,2,3，则这个数列的通项公式为()n a n n N *=∈②有平面三角形的性质推测空间四边形的性质，这是一种合情推理③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较合适④“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 4.设D 为ABC ∆所在平面内一点，且3BC BD =u u u r u u u r ，则AD =u u u rA. 2133AB AC +u u u r u u u rB. 1233AB AC +u u u r u u u rC. 4133AB AC +u u u r u u u rD.2533AB AC +u u u r u u u r 5.下列说法正确的是A.,x y R ∀∈,若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-B.a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 C.命题“x R ∃∈,使得2230x x ++<”，的否定是“x R ∀∈,都有2230x x ++>” D.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题6.函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是7.在我国古代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增是指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D.200盏灯8.已知0a >，且1a ≠，函数()13,0,0x log x x f x a b x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩满足()()02,13f f =-=，则()()3f f -=A.-3B. -2C.3D.29.给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图①处和执行匡②处可分别填入A. 30?;1i p p i ≤=+-B. 31?;1i p p i ≤=+-C. 31?;i p p i ≤=+D. 30?;i p p i ≤=+10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A. 3πB. 12πC. 2πD. 7π11.直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A,B 两点，O 为坐标原点，若直线OA,OB 的倾斜角分别为,αβ，则cos cos αβ+=A. 1817B. 1217-C. 417-D.41712.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线2y ax =上的两点()()1122,,,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，且1212x x =-，则m 的值为 A. 32 B. 52 C. 2 D. 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线()220y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = . 14.从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从体重在[)[)[)60,70,70,80,80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，在从这6人中选2人担任正副队长，则这2人的体重不在同一组内的概率为 .15.已知0,,a x y >满足条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a = .16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(){}121,2n n a a nS n a ==++为等差数列，则{}n a 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若1,2cos 2.a C c b =+=（1）求A;（2）若12b =，求sin C .18.（本题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,ABC PA ∠=⊥o平面ABCD ，点,M N为,BC PA 的中点，且 2.PA AB ==（1）证明：BC ⊥平面AMN ；（2）求三棱锥N AMC -的体积；（3）在线段PD 上是否存在一点E,使得//MN 平面ACE ，若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.19.（本题满分12分） 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369”的绿色环保活动小组，对2016年1月——2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行检测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计数据.（1）若某市某企业每天有空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？20.（本题满分12分）已知动圆P 与圆()221:249F x y ++=相切，且与圆()222:21F x y -+=向内切，记圆心P 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M,N 两个不同的点，求QMN ∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln .f x x ax a R =-∈（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数），求实数a 的值；（3）若关于x 的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数t 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
【精选高中试题】湖南省衡阳市高三第三次联考(三模)数学(理)试题Word版含答案
姓 名 准考证号 绝密★启用前2018届高中毕业班联考（三）理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥。
根据欧拉公式.则复数i e41π在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|22=+y x y }，则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2]C.[-4,4]D. 03.等差数列{n a }的公差不为0, 210282624a a a a +=+}，则S 13 =A. -1B.OC.-2D.-34.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示：根据上述数据得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则大致可以判断 A. a ˆ>0，b ˆ<0 B. a ˆ<0，b ˆ<0 C. a ˆ>0，b ˆ>0 D. a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆12222=+b y a x （a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为12222=-b y a x ，则椭圆的标准方程为A.13422=+y x B. 12322=+y xC. 1222=+y x D. 1422=+y x 7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为 A. 55 B. 45 C. 66 D. 408.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多。
湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考文数试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
( )A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】由题意可知：错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.本题选择A选项.2. 已知错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
是实数，错误！未找到引用源。
是虚数单位，则错误！未找到引用源。
（）A. 0B. 1C. 2D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】由复数的运算法则有：错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
0.本题选择A选项.3. “直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
相交”是“错误！未找到引用源。
”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当错误！未找到引用源。
时，直线错误！未找到引用源。
与圆错误！未找到引用源。
都相交，因此题中应选必要不充分条件．4. 在等差数列错误！未找到引用源。
中，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的错误！未找到引用源。
，依次输入的错误！未找到引用源。
为3，3，7，则输出的错误！未找到引用源。
（）A. 9B. 21C. 25D. 34【答案】C6. 已知错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 3C. 错误！未找到引用源。
或3D. 错误！未找到引用源。
或3【答案】D【解析】由题意可得：错误！未找到引用源。
，则：错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
三角函数w的取值范围答案
三角函数k x A y ++=)sin(ϕϖ中ϖ的取值范围一 内容回顾： 二 典型例题： 题组一1.已知函数2sin()(0)y x ωθω=+>为偶函数，0θπ<<，其图象与直线2y =的某两个交点的横坐标为1221,,||x x x x -若的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,24πωθ== C ．1,22πωθ== D ．2,4πωθ== 解：2sin()y x ωθ=+为偶函数2k πθπ∴=+k z ∈ 又02πθπθ<<∴=由诱导公式得函数2cos y x ω=，又其图象与直线2y =某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若21||x x -的最小值为π∴函数的周期为π 即22cos2y x ω=∴=∴函数在[,]2x k k k z πππ∈-+∈上为增函数故选：A ．2.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2014()()(11+≤≤x f x f x f成立，则ω的最小正值为 B A ．20141 B ． 2014π C ．40281 D ．4028π解：题意可得区间1[x ，12014]x +能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得())4f x x πω+，由1220142πω，求得ω的最小值．()sin cos )4f x x x x πωωω++，由题意可得1220142πω，求得2014πω，故ω的最小正值为2014π，故选：B ．3.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） DA ．512πB ．3πC ．4πD ．6π解：()sin 2f x x =，()sin(22)g x x ϕ∴=-，由12|()()|2f x g x -=，可知1()f x 、2()g x 分别为两个函数的最大值和最小值（或最小值和最大值）． 不妨设1222x k ππ=+，k Z ∈，22222x m πϕπ-=-+，m Z ∈，则12()2x x k m πϕπ-=-+-，由12||3min x x π-=，可得23ππϕ-=，解得6πϕ=，故选：D ．4.函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴( )A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 解：因为3()0f x dx π=⎰，即且30sin()0x dx πϕ-=⎰，所以30cos()|cos()cos 03x ππϕϕϕ--=--+=，所以sin()06πϕ-=，解得6k πϕπ=+，k Z ∈；所以()sin()6f x x k ππ=--，所以函数()f x 的图象的对称轴是62x k k ππππ--='±，所以其中一条对称轴为23x π=； 故选：A ．题组二1．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．2D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．2.（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4A 【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.3．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0( D ．]2,0(A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ，所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数，需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥，解得1524ω≤≤．方法二 特值验证，21=ϖ，1=ϖ，()sin()4f x x π=+在),2(ππ单调递减，选A解法三：【利用三角函数的单调性求解】 函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ单调递减，在0ω>的前提下，需同时满足：12222()24232()42k k Z k k Z πππωπππωππππωπ⎧-≤⋅⎪⎪⎪+≥+∈⎨⎪⎪+≤+∈⎪⎩，解得0214()252()4k k Z k k Z ωωω⎧⎪<≤⎪⎪≥+∈⎨⎪⎪≤+∈⎪⎩综上，12≤ω≤54，故选A ． 4．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．3B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 5．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C 【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈， 因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-， 由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈），得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）6．（2016年全国III）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π=-=-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 7．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为A ．11B ．9C ．7D ．5 B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，218365T≤-ππ, 所以11,62T k π，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．解析：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法.若11=ϖ时，,4111πϕπk =+-4111+=πϕk ,由2||πϕ≤,当31-=k ,得4πϕ-=，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，)365,18(ππ∈x ,由411π-=x t ,可得ππ36463613≤≤t ,不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调若9=ϖ时，,491πϕπk =+ππϕ491-=k ,由2||πϕ≤,当21=k ,得4πϕ=π9,4ωϕ==，此时，)365,18(ππ∈x ,由49π+=x t ,可得ππ2343≤≤t ，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减, 故选B ．方法三 4221ππϕ++=k k .1)(212+-=k k ω，Z k k ∈21,2||πϕ≤4πϕ=∴或4πϕ-= ()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，0>ϖ.120≤<∴ϖ若4πϕ=，则021=+k k ，142+=k ϖ，951，，=ϖ验证： 若4-πϕ=，则1-21=+k k ，342+=k ϖ，1173，，=ϖ验证：2020尖子生TOP300联考8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4，43π=x 为y ＝f (x )图象的两条对称轴，且f (x )在)12,0(π上单调函数，则ω的最大值为( )A ．12B ．11C ．10D ．9解：两条对称轴之间的距离是周期T 的)(2Z k k ∈倍，或者2T 的k 倍，ϖπππ22443⋅=+k ，k =ϖf (x )在)12,0(π上单调函数，故存在Z k ∈0,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++-≤+-12)1(40400πϖππϖππk k)1(3k 400+≤≤k ϖ，由)1(3k 400+≤k 可得30≤k ，这时的ω最大值为12同理，用43π=x 也可以算 方法二。
湖南省2017届高三下学期六校联考试题-数学(理)Word版含答案
湖南省2017届高三六校联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}{}|2,,|21,,|4,M x x n n Z N x x n n Z P x x n n Z ==∈==+∈==∈，则 A. M P ⊂ B. P M ⊂ C. N P ≠∅ D.N M ≠∅2.复数()2i i +的共轭复数的虚部为 A. 2 B. 2- C. 2i D.2i -3.若点P 到直线3y =的距离比到点()0,2F -的距离大1，则点P 的轨迹方程为 A. 28y x = B. 28y x =- C. 28x y = D.28x y =-4. 已知数列{}n a 满：对于,m n N *∀∈，都有n m n m a a a +⋅=，且112a =，那么5a = A.132B. 116C. 14D.125.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的3,2x n ==，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =A. 8B. 17C. 29D. 83 6.若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.79 B.23 C. 23- D.79- 7.为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3500元/箱的A,B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品的箱数，则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为 A. 200 B. 350 C. 400 D. 5008．圆O 的半径为3，一条弦AB=4，P 是圆O 上任意一点，则AB BP ⋅的取值范围是A. []16,0-B. []0,16C. []4,20-D. []20,4- 9.设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则()f x 关于函数有以下四个命题：①()(),1x R ff x ∀∈=；②()()()00000,,x yR f x y f x f y ∃∈+=+；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 是周期函数.其中真命题的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 110.若函数()()sin cos 05,0f x a x b x ab ωωω=+<<≠的图象的一条对称轴方程是4x πω=，函数()f x '的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期是 A.4π B. 2πC. πD.2π11.点P 为棱长是1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度是A.πB. 2πC. 4πD. 12.已知函数()()()()2120,log 2xf x x xg x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A. (,-∞B. (-∞C. (,-∞D.⎛-⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个总体分为A,B 两层，其个体数之比为5:1，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 .14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6立方寸，则图中的x 为 .15.设F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，若点F 关于双曲线的一条渐近线的对称点P 恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 .16.已知数列{}n a 是各项均为正整数的等差数列，公差d N *∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项，若16m a =，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）某学校的平面示意图为如下图的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB,BC,CD,DE,EA,BE 为学校主要道路（不考虑宽度）.29,,33.3310BCD CDE BAE DE BC CD km ππ∠=∠=∠==== （1）求道路BE 的长度；（2）求生活区面积ABE ∆的最大值.18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，190,ACB CC ∠=⊥ 底面ABC ，12,,,AC BC CC D E F ===分别是棱11,,AB BC B C 的中点，G 是棱1BB 上的动点.（1）当1BGBB 为何值时，平面CDG ⊥平面1A DE ； （2）求平面1A BF 与平面1A DE 所成的锐二面角的余弦值.19.（本题满分12分）随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为()01p p <<，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A,若化验结果呈阳性，则含A,呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶含有机物A 时，混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.（1）若13p =，试求3瓶该植物油混合样呈阳性的概率； （2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验； 方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望更小），并说明理由.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，四个顶点构成的菱形的面积为4，圆()()222:101M x y r r ++=<<，过椭圆C 的上顶点A 作圆M 的两条切线分别与椭圆相交于B,D 两点（不同于点A ）,直线AB,AD 的斜率分别为12,k k . （1）求椭圆C 的方程； （2）当r 变化时，①求12k k ⋅的值；②试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()ln .xf x xe a x x =-+（1）若函数()f x 恒有两个零点，求a 的取值范围； （2）若任意0x >，恒有不等式()1f x ≥成立. ① 求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin .xx e x x x >++请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题
二、填空题
13．60； 14．6-5； 15．-4； 16．02x．
三、解答题
11111111121112,224221440,21(1)()---------------22211(2)2(24),,1.24122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaanbbaaaaaaaaabbbnbbnacnnNcnyctt
17、（）证明：当时
是等差数列。
(6分）
根据单调性可知：
令21,=41111020---------------124242nnccytttt是关于的一次函数，单调递增，当时，
即可，或（分）
18、解：（1）
计算可得：5x， 1.072y，52110iixx，
所以0.640.0641ˆ0b，
1.0720.0
ˆ
ˆ6450.72ˆ
5aybx
，
所以从3月份至6月份y关于x的回归方程为0.0605ˆ.7yx.
将2016年的12月份12x代入回归方程得：
0.060.750.06120.ˆ751.47yx
，
所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1. 47万元/平方米.-----6分
（2）根据题意，X的可能取值为1,2,3
3
12
41
155PXC
，334312327355CPXC，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C A D C D C A D C A
27
211355PXPXPX
，
所以X的分布列为
因此，X的数学期望1272713612355555555EX.---------12分
19、解： (1)证明:因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥CD,BC⊥CC1,
又因为CD∩CC1=C,所以BC⊥平面DCC1D1,
因为D1E⊂平面DCC1D1,所以BC⊥D1E.------5分
(2)由(1)可知BC⊥D1E,又因为D1E⊥CD,且BC∩CD=C,
所以D1E⊥平面ABCD.
设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).
设D1E=a,则D1(0,0,a),B1(1,2,a).设平面BED1的一个法向量为n=(x,y,z),
因为EB=(1,1,0),ED1=(0,0,a),令x=1,得n=(1,-1,0).
设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
因为CB=(1,0,0),BC1=(-1,1,a),令z1=1,得m=(0,-a,1).
由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为
3
,
得|cos
3
,解得a=1.所以D1E=1.-------------12分
20、
解：（Ⅰ）连接FODF,2O(为原点,2F为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为)0,5(2F
因为FO是21FDF的中位线，且FODF1,所以bFODF222
所以baDFaDF22221，故baDFFF1121
在1FOFRt中，21212OFFFFO
即5)(222cbab,又225ab,解得4,922ba
所求椭圆E的方程为14922yx．---------6分
(Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为1222yx
根据题意可设),(nmP，则)0,(),,(mCnmA
则直线AC的方程为)(2mxmnny…①
过点P且与AP垂直的直线方程为)(mxnmny…②
①②并整理得：222222nmyx
又P在椭圆W上，所以1222nm
所以1222yx
即①、②两直线的交点B在椭圆W上,所以PBPA．---------12分
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为1222yx
根据题意可设),(nmP，则)0,(),,(mCnmA，PAnkm，2ACnkm
所以直线:()2nACyxmm
2
2
()212nyxmmxy
，化简得22222(1)2022nnnxxmm
所以22222ABmnxxmn
因为Axm,所以3222232Bmmnxmn,则322222BBnnnyxmmn
所以32232222232PBnnmmnkmmnnmmn，则1PAPBkk,即
PAPB
--------12分
21、解：2212()122()2,()11122aaxxaafxxaxaxaax
（Ⅰ）由已知，得1()02f即22122aa，
2
20,0,2.aaaa
经检验，2a满足条件.-----3分
（Ⅱ）当02a时，22212(2)(1)0,2222aaaaaaaa
221,22aa当12x时，2
202axa
.又201axax，()0,fx
故()fx在1,)2上是增函数-------------6分
（Ⅲ）当(1,2)a时，由（Ⅱ）知，()fx在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()1,22faa
于是问题等价于：对任意的(1,2)a，不等式211ln()1(1)022aama恒成立.
记211()ln()1(1),(12)22gaaamaa
则1()12[2(12)],11agamamamaa当0m时，有
2(12)2(1)10mamma
，且0,()1agaa在区间（1，2）上递减，且(1)0g，则
0m不可能使()0ga恒成立，故必有0.m
当0m，且21()[(1)].12magaaam
若1112m，可知()ga在区间1(1,min{2,1})2Dm上递减，在此区间D上有
()(1)0gag，与()0ga
恒成立矛盾，故1112m，这时()0ga，即()ga在（1，2）
上递增，恒有()(1)0gag满足题设要求.
01112mm
，即14m，
所以，实数m的取值范围为1[,)4.----------12分
22、解： (1)将直线l的极坐标方程2sin()42，化为直角坐标方程:x+y-1=0.
将圆C的参数方程化为普通方程:x
2+(y+2)2
=4,圆心为C(0,-2),半径r=2.
∴圆心C到直线l的距离为d=322>r=2,
∴直线l与圆C相离.(5分)
(2)将椭圆的参数方程化为普通方程为22143xy,
∵直线l:x+y-1=0的斜率为k1=-1,
∴直线l'的斜率为k2=1,即倾斜角为4,
则直线l'的参数方程为
cos42sin4xtyt
(t为参数),
即
2
2
2
22xtyt
错误！未找到引用源。(t为参数),
把直线l'的参数方程错误！未找到引用源。代入
22
143xy
,
整理得7t
2
-162t+8=0.(*)
由于Δ=(-162)
2
-4×7×8>0,
故可设t1,t2是方程(*)的两个不等实根,则有t1t2=
8
7
,121627tt
|AB｜＝2121212247tttt.(10分)
23解：（Ⅰ）由26xaa得26xaa，∴626axaa，即33ax，
∴32a，∴1a. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知211fxx,令nfnfn，