3.21几类不同增长的函数模型

几种常见函数的增长情况：
常数函数
没有增长
一次函数
匀速上升
指数函数 急剧增长
对数函数 先快后平缓
作业:P107 T1、2
知识总结 一次函数y＝kx＋b(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)， 对数函数y＝logax(a＞1)增长有什么特点？ 一次函数直线上升，其增长量固定不变；
指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上 升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上 升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时， 这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指 数爆炸”来形容． 对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时， 其增长速度小于直线上升的速度．
15 1130 80
20 2005 105
5
5 5
94.478 1758.2 33733 6.37 105 1.2 107 2.28 108
2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
y4
关于x呈指数型函数变化的变量是
。
2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传 播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么 每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被 感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病 毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 多少台计算机被感染？
x
y
120
函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
100
80
y＝10x
y＝40
60
40 20 O 2 4 6 8 10
x
y
120
函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
100
80
y＝0.4×2x－1
y＝10x
y＝40
60
40 20 O 2 4 6 7 8 9 10
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；
y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一 天多回 报10元； y=10x (x∈N*) 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报 比前一天翻一番。 y=0.4×2x-1 (x∈N*)
x/天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 30
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进 行奖励时， 奖金总数不超5万元， 同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润 一般不会超过公司总的利润。 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符 合公司要求即可。 不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到 初步的结论再通过具体计算，确认结果。
收获
几种常见函数的增长情况： 常数函数 没有增长 直线上升 匀速增长 指数爆炸 急剧增长
实际 问题
读懂问题 基础
将问题 抽象化 过程
数学 模型 关键
解决 问题 目的
例2、某公司为了实现1000万元利润的目 标，准备制定一个激励销售部门的奖励方 案：在销售利润达到10万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着 销售利润x (单位：万元)的增加而增加， 但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。现有三个奖励模型： y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求呢？
方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
方案二
y/元
方案三
增长量/元
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
0.4 10 10 10 10 10 10 10 10 … 10 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 … 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
函数模型及其应用
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水嬉戏的 兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由 于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子 数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳 大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起 来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧 草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的 主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各 种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科 学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳 大利亚人才算松了一口气．
x
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 第5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
图112-1
有人认为投资1~4 天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案 三？
累积回报表
天数 方案 一 二 三 1
40 10 0.4
2
80 30 1.2
3
120 60 2.8
4
160 100 6
… 300
214748364.8 107374182.4
y
120
函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
100
80
60
40 20 O 2 4 6 8 10
x
y
120
函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
100
80
60
y＝40 40 20 O 2 4 6 8 10
5
200 150 12.4
6
240 210
7
280 280
8
320 360 102
9
360 450 204.4
10
400 550
11
440 660
25.2 50.8
409.2 816.8
结论
投资1~6天，应选择第一种投资方案； 投资7天，应选择第一或二种投资方案； 投资8~10天，应选择第二种投资方案； 投资11天（含11天）以上，应选择第三 种投资方案。
3、某动物的数量y（只）与时间x（年）的关系为 y a log 2 ( x 1), 设第一年有100只，则到第七 300 年这种动物发展到____________只
要是关系为 y a 2 x 1 第一年有100只
6400 则到第七年这种动物发展到______________只。
解决实际问题的步骤： 实际问题
读 懂 问 题 抽 象 概 括
实际问题的解
还 原 说 明
数学问题 演 算 推 理 数学问题的解
1、四个变量 y1 , y2, y3 , y4 随变量
x 变化的数据如
25 3130 130 30 4505 155
下表：
x
y1
y2 y3
0 5
5 130 30
10 505 55
交易
我每天给你10万元，而你第 一天给我1角钱，第二天给我2角 钱，第三天给我4角钱，以后每 天都是成倍增长，时限一个月 （30天）你是否同意这个交易？
例题：
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？