电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第6章习题解答

第6章习题解答已知空气中存在电磁波的电场强度为 ()80cos 6π102πy E e E t z =⨯+r rV /m试问：此波是否为均匀平面波传播方向是什么求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H r。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。

电场强度瞬时式可以写成复矢量j 0e kzy E e E -=r r &。

该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z E e ⋅=r r ⇒z E e ⊥r r ，此波为均匀平面波。

传播方向为沿着z -方向。

由时间相位86π10t t ω=⨯ ⇒ 86π10ω=⨯ 波的频率Hz 1038⨯=f 波数2πk =波长2π 1 m k λ== 相速p 310 m/s v kω==⨯ 由于是均匀平面波，因此磁场为j 0w w1() e kz z x EH e E e Z Z -=-⨯=r r r v &&有一频率为600MHz 的均匀平面波在无界理想介质(r r 4,1εμ==)中沿x +方向传播。

已知电场只有y 分量，初相位为零，且010t t ==s 时，1x =m 处的电场强度值为800kV/m 。

试写出E v 和H v的瞬时表达式。

解：根据题意，角频率812π10ω=⨯，r r 0028πk cωεμεμεμ====，因此 80cos(12π108π)y E e E t x =⨯-r r由s 10=t ，m 1=x 处的电场强度值为kV /m 800，可以得到kV/m 8000=E8800cos(12π108π) kV/m y E e t x =⨯-r r根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为j8π800e kV/m x y E e -=r r&波阻抗为()0r w r 060π ΩZ μμμεεε===。

因此磁场强度复矢量为 j8πw 140() e kA/m 3πx x z H e E e Z -=⨯=r r r r &&因此，磁场的瞬时表达式为840cos(12π108π)3πz H e t x =⨯-r r在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 ()80sin 2π102πx E e E t z =⨯-r rV /m已知介质的r 1μ=，试求其r ε，并写出H r的表达式。

解：根据电场的瞬时表达式可以得到82π10ω=⨯，2πk =，而r r r 00k ωεεμεμεμ===⇒2r 9kc εω⎛⎫== ⎪⎝⎭电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 πj2πj 20e z x E e E --=r r &波阻抗为w 40π ΩZ με==，则磁场强度复矢量为 πj2πj 02w 1() e40πz z y E H e E e Z --=⨯=r r r r && 因此磁场为 80sin(2π102π)40πy E H e t z =⨯-r r无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为()πj 423e kz x y E e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-r r r &V /m写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度。

解：首先判断是均匀平面波。

该电场幅度为13，相位和方向均不变，且0z E e ⋅=r r ⇒z E e ⊥r r，因此磁场强度复矢量可写成j(π/4)j(π/4)w 111() [(23)]e (23)e 120π120πkz kz z z x y y x H e E e e e e e Z --=⨯=⨯-=+r r r r r r r r &&平均功率流密度为 2av 1113Re() (23)(23) W/m 2240π240πx y y x z S E H e e e e e =⨯=-⨯+=*r r r r r r r r &&在无界理想介质(r r 1,5με==)中传播均匀平面波。

已知其磁场强度复矢量为()j2π340.5e x y z H e -+=r r&A /m试求该平面波的传播方向、电场强度及其坡印廷矢量的平均值，并写出电磁波的瞬时表达式。

解：由 ()2π34x y z k r k x k y k z x y ⋅=++=+r r得 6πx k =，8πy k =，0z k =该电磁波的波数为10πk k ===r电磁波的角频率为910Hz kv ω=== 该电磁波在传播方向上的单位矢量为 0.60.8y x z k xy z x y k k k k e e e e e e k k k k==++=+rr r r r r r而该均匀平面波的磁场强度复矢量为()()())()j2π34j2π34w 0.50.60.8e 0.40.3e x y x y k z x y x y E Z H e e e e e e -+-+⎡⎤=⨯=⨯+=-+⎣⎦r r r r r r r r &&)2av 1Re() 0.30.4 W/m 2x y k S E H e e =⨯=+=*r r r r r r &&()()}0.4cos 2π340.3cos 2π34x y E e t x y e t x y ωω=--++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦r r r下列表达式中的平面波各是什么极化波如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋（1）()()00sin cos x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-r r r；（2）()()00sin 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-r r r；（3）()()00sin π/4cos π/4x y E e E t kz e E t kz ωω=-++--r r r；（4）()()00sin π/4cos x y E e E t kz e E t kz ωω=-++-r r r。

解：（1）左旋圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。

（2）线极化波。

（3）线极化波。

（4）左旋椭圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。

试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。

证明：设圆极化波沿着z +方向传播，其磁场强的的瞬时式为0000cos()sin()x y E e E t kz e E t kz ωϕωϕ=-+±-+r r r对应的复振幅矢量为0j j 00(j )e kz x y E e E e E ϕ-+=r rr &m根据均匀平面波的传播特性可以得到该圆极化波的磁场强度的复振幅矢量为j j 00w wj j 00w11() [(j )]e 1(j )e kz z z x y kz y x H e E e e E e E Z Z e E e E Z ϕϕ-+-+=⨯=⨯=±r v r r r r &&m r r对应的瞬时值为0000w1 [cos()sin()]y x H e E t kz e E t kz Z ωϕωϕ=-+-+r r r m瞬时坡印廷矢量为2222200000w w1[cos ()sin ()]z z zE S E H e E t kz e E t kz e Z Z ωϕωϕ=⨯=-++-+=r r r r r r 由此可见，圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。

已知聚苯乙烯在频率为1GHz 时损耗角正切e tan 0.0003δ=，r 2.54ε=，r 1μ=。

试求此时电磁波对聚苯乙烯的趋肤深度以及电场、磁场之间的相位差。

解：显然聚苯乙烯在频率为1GHz 时可以视为一种弱导电媒质，即e e etan tan πtan 0.0031422k f c cδωδδα≈==== 于是有 1318.5m δα==而此时电场、磁场之间的相位差仅为11arctan arctan 0.00030.008622σωε==o铜的电导率75.810σ=⨯S/m ，r r 1με==。

试求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗：（1）1f =MHz ；（2）100f =MHz ；（3）10f =GHz 。

解：已知90110 F/m 36πε-≈⨯和704π10 H/m μ-=⨯，那么18r 01 1.044102πf f σσωεεε==⨯⨯ (1) 当MHz 1=f 时，110044.112>>⨯=ωεσ，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为 310132.15132.152⨯====f ωμσβα相速：p 4.152100.4152 m/s v ωβ-==⨯= 波长：42π 4.15210 m λβ-==⨯ 透入深度：m 106.615-⨯==αδ波阻抗：74wj) 2.6110(1 2.6110(1j)Z --=+=⨯+=⨯+& (2) 当MHz 100=f 时，110044.110>>⨯=ωεσ，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数α和相位常数β分别为 410132.15132.152⨯====f ωμσβα相速：p 4.152104.152 m/s v ωβ-==⨯= 波长：52π 4.15210 m λβ-==⨯ 透入深度：m 106.616-⨯==αδ波阻抗：73wj) 2.6110(1 2.6110(1j)Z --=+=⨯+=⨯+&(3) 当GHz 10=f 时，110044.18>>⨯=ωεσ，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为 510132.15132.152⨯====f ωμσβα相速：m/s 52.4110152.44=⨯==-f v p βω 波长：62π 4.15210 m λβ-==⨯ 透入深度：m 106.617-⨯==αδ波阻抗：72wj) 2.6110(1 2.6110(1j)Z --=+=⨯+=⨯+&海水的4σ=S/m ，r r 81,1εμ==，试求频率为10kHz ，10MHz 和10GHz 时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。

解：已知90110 F/m 36πε-≈⨯和704π10 H/m μ-=⨯，那么910981⨯=f ωεσ。

(1) 当kHz 10=f 时，110981098159>>⨯=⨯=f ωεσ，则海水可看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为397.01097.323=⨯===-f ωμσβα相速5p 1.58210 1.58210v ωβ==⨯=⨯ 波长 2π15.83 m λβ== 透入深度 m 52.21==αδ 波阻抗3wj)0.316π10(10.099(1j)Z -=+=⨯+=+& (2) 当MHz 10=f 时，189.8810982>>=⨯=ωεσ，海水也可近似看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为 55.121097.323=⨯===-f ωμσβα相速6p 1.58210 5.0010v ωβ==⨯=⨯ 波长 2π0.500 m λβ== 透入深度m 080.01==αδ 波阻抗3wj)0.316π10(1 3.139(1j)Z -=+=⨯+=+& (3) 当GHz 10=f 时，1089.010981098119<<=⨯=⨯=-f ωεσ，海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数α和相位常数β分别为80πrad /m 3α==18π600πm /sec f c β=== 相速 8p 110 m/s 3v ωβ==⨯ 波长 2π1 m 300λβ== 透入深度 m 012.01==αδ 波阻抗w40πj )(1j0.045)23Z σωε==+=+& 平面波在导电媒质(r r 1,0.11μεσ===S/m )中传播，电磁场的频率1950f =MHz ，试求：（1）波在该媒质内的相速和波长；（2）场强经过一个波长的衰减量。