北京数学高三上期中复习3
2022届北京市第二中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2022届北京市第二中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（ ）． A ．0x ∀>，sin 21x x ≤- B ．0x ∃>，sin 21x x <- C ．0x ∀>，sin 21x x <- D ．0x ∃>，sin 21x x ≤-【答案】A【详解】根据命题的否定，特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x ≤-”．故选A ．2．已知复数z 的虚部为1，且2z =，则z 可以是（ ）A ．1i +B ．1i -C i +D i【答案】C【分析】首先由待定系数法得到z a i =+，再根据2z =求得a 的值，进而得到结果即可. 【详解】因为复数z 的虚部为1，可设复数z a i =+，又2z =2=整理得a =故z i =， 故选：C3．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题4．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5．已知向量a 为单位向量，3b =，且向量a 与向量b 的夹角为3π，则()3a a b ⋅+的值为（ ） A ．-2 B ．-12C ．52D ．4【答案】C【分析】利用平面向量数量积的定义及运算律即可得出答案. 【详解】解：因为向量a 为单位向量，3b =，且向量a 与向量b 的夹角为π3，得π3cos 32a b a b ⋅=⋅=，则()23533122a ab a a b ⋅+=+⋅=+=.故选：C.6．已知参数方程[]3234,,1,121x t t t y t t ⎧=-⎪∈-⎨=-⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的参数方程，令0=t 时，可排除A ；令1t =时，可排除C 和D ；结合0x =，可求得123330,,22y y y ==-=，即可求解. 【详解】由题意，参数方程[]3234,,1,121x t t t y t t⎧=-⎪∈-⎨=-⎪⎩， 当0=t 时，可得0,0x y ==，所以图象过原点，排除A ；当1t =时，可得1,0x y =-=，所以图象过点(1,0)- ，可排除C 和D ； 当0x =时，可得3340t t -=，解得123330,,22t t t ==-=， 从而得到123330,,22y y y ==-=，所以选项B 适合. 故选：B .7．已知抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则|AF |＝（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C【分析】根据题意可知AD ⊥BD ，利用抛物线的定义，可得∠ABD ＝30°，所以|AF |＝|BF |＝2×6＝12.【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD ⊥BD . 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以∠ABD ＝30°. 因为F 到准线的距离为6， 所以|AF |＝|BF |＝2×6＝12. 故选：C.8．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1PB 的最小值为（ ）A ．2B 5C ．3D 6【答案】D【分析】连接11,,AC D A D C ，根据面面平行的判定定理，可证平面EFG ∕∕平面1ACD ，结合题意，可得点P 在直线AC 上运动，再连接1,BP B P ，根据勾股定理，结合图象，即可得答案.【详解】连接11,,AC D A D C ，因为E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，所以11,EF AC FG BC AD ∕∕∕∕∕∕，又,EF FG ⊂平面EFG ，1,AD AC ⊂平面1ACD ， 所以平面EFG ∕∕平面1ACD ，因为直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，即1D P ∕∕平面EFG ，且P 是底面ABCD 内一动点，所以点P 在直线AC 上运动， 连接1,BP B P ，因为1BB ⊥底面ABCD ，所以1BB BP ⊥，所以1BB P 为直角三角形，所以2211PB BB BP =+ 由图可得当点P 位于AC 中点时，BP 最小，此时221122222BP BD ==+=， 所以221min ()2(2)6PB =+=. 故选：D【点睛】解题的关键在于找到点P 的位置，需结合题意及面面平行判定和性质定理解决，考查分析推理，空间想象，数形结合的能力，属中档题.10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题11．若423401234(41)x a a x a x a x a x -=++++，则1234a a a a +++=____________.【答案】80【分析】利用赋值法令1x =及0x =计算可得；【详解】解：令1x =，则401234381a a a a a ++++==，令0x =，则40(1)1a =-=，于是123480a a a a +++=. 故答案为：8012．若双曲线的右顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，则双曲线的离心率为_____.【分析】由已知中双曲线的顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a ，b ，c 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】解：设双曲线的右顶点为()0a ，，一条渐近线方程为by x a=，则右顶点到其渐近线的距离为12d a =，所以223a b ，所以22222141+1+33c b e a a ====，所以e =【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．13．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v 变换和4种w 变换 1:v 模变为原来的12倍，同时逆时针旋转90； 2:v 模变为原来的12倍，同时顺时针旋转90；1:w 倍，同时逆时针旋转45；2w 45；3:w 135；4:w 倍，同时顺时针旋转135记集合{}121234,,,,,S v v w w w w =，若每次从集合S 中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过n 次抽取，依次将第i 次抽取的变换记为()0,1,2,,i a i n =，即可得到一个n 维有序变换序列，记为()12,,,n n G a a a ，则以下判断中正确的序号是__________.①单位向量()1,0i =经过奇数次v 变换后所得向量与向量()0,1a =同向的概率为12；②单位向量()1,0i =经过偶数次w 变换后所得向量与向量()1,1b =同向的概率为14；③若单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-，则6G 中有且只有2个v 变换； ④单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-的概率为25253⨯. 【答案】①②③【分析】分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可； 【详解】对于①，单位向量()1,0i =经过奇数次v 变换后，情况如下： 1.最终状态为逆时针旋转90，此时，单位向量()1,0i =与向量()0,1a =同向； 2.最终状态为顺时针旋转90，此时，单位向量()1,0i =与向量()0,1a =逆向；所以，单位向量()1,0i =经过奇数次v 变换后所得向量与向量()0,1a =同向的概率为12；①对；对于②，单位向量()1,0i =经过偶数次w 变换后，情况如下： 1.最终状态为逆时针旋转90，与向量()1,1b =不同向； 2. 最终状态为顺时针旋转90，与向量()1,1b =不同向； 3. 最终状态为逆时针旋转45，与向量()1,1b =同向； 4. 最终状态为顺时针旋转45，与向量()1,1b =不同向；所以，单位向量()1,0i =经过偶数次w 变换后所得向量与向量()1,1b =同向的概率为14；②对对于③，单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-， 由于()1,0i =与()1,0j =-属于逆向关系，即单位向量，经过6G 变换后要保证模长不变，因此只能有2个v 变换和4个w 变换， 才能保证模长不会经过变换改变，因此，③对；对于④，单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-，经过6G 变换后要保证模长不变，因此只能有2个v 变换和4个w 变换，才能保证模长不会经过变换改变，并且经过6G 变换后最终要得到单位向量()1,0i =逆时针转180， 故，其中4次变换要回到单位向量()1,0i =，由③可得，单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-， 6G 中有且只有2个v 变换，满足题意的这2个v 变换的情况有：1.1v 两次变换；2. 2v 两次变换；3. 1v 和2v 各一次变换；然后， 据此再讨论这3种情况下的w 变换，明显地，④错； 故答案为：①②③【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据题意，分类讨论各种成立的情况，属于难题；三、双空题14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知tan(+4A π)＝2，则sin A 的值为______，若B ＝4π，a ＝4，则△ABC 的面积等于___． 【答案】16 【分析】利用正切的和与差化简tan(+4A π)＝2．可得tan A 的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sin A 的值，由正弦定理可求得b 的值，同角三角函数基本关系式求cos A 的值，两角和的正弦函数公式求sin C 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】∵由tan(+4A π)＝2，可得：1tan 21tan A A +=- ∴tan A ＝13，即sin 1cos 3A A = 又∵cos 2A +sin 2A ＝1 ∴解得：sin A∵B ＝4π，a ＝4，sin A∴由正弦定理：sin sin a bA B=，可得：4sin sin a B b A ===∵tan A ＝13，sin Asin cos tan A A A ==∴sin C ＝sin(A +B )＝sin A cos B +cos A sin B=∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×45×255＝16． 故答案为：1010，16 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 15．已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==． ①若3AB AC =，则AB CD ⋅=____；②若AP AB AD =+，则AP 的最大值为____． 【答案】 34- 2【详解】 由题意，（1）中，因为3AB AC =，所以C 为线段AB 的三等分点， 因为1CB CD ==，所以31,22AB AC ==，如图所示，则()3130cos0224AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=-⨯=-，（2）中，因为AP AB AD =+，所以222222AP AB AD AB AD AB AD AB AD BD BD =+=++⋅=+==， 如图所示，当点C 是线段BD 的中点时，此时BD 取得最大值， 此时最大值为2BD BC CB =+=，所以AP 的最大值为2．点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．四、解答题16．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π；②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调； （Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.【答案】（Ⅰ）①②成立，理由见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（Ⅱ）()f x 的最大值为1；最小值为12.【解析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域，即可得出最值. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=.由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，Z k ∈.由③得，44m m πωπωωπϕπ+=⇒=-，m Z ∈220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤ 若①②成立，则2ω=，6πϕ=，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意.若②③成立，则()1266264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--≥，Z k ∈与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立.所以，只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（Ⅱ）由题意得，()5102136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤. 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1； 当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12.17．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，且 PD CD =，过棱PC 的中点 E ，作EF PB ⊥交 PB 于点F ，连接 ,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【分析】（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面 ABCD ，所以PD BC ⊥， 由底面ABCD 为长方形，有 BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=， 所以．而DE PCD ⊂平面，所以 BC DE ⊥．又因为PD CD =，点 E 是PC 的中点，所以 DE PC ⊥．而PC BC C ⋂=，所以 DE ⊥平面PBC ．而 PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥， DEEF E =，所以PB ⊥平面 DEF ．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面 DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长 BC 与FE 交于点 G ，则DG 是平面 DEF 与平面ABCD的交线．由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面 ABCD ，所以PD DG ⊥．而 PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面． 故BDF ∠是面 DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==， BC λ=，有21BD λ+ 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则 2πtan tan 133BDDPF PDλ=∠=+解得2λ=所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． （解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线 ,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==， BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-，点E 是 PC 的中点，所以11(0,,)22E ， 11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即 PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而 DEEF E =，所以PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面 DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面 ABCD 的一个法向量； 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面 DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos322BP DP BP DPλ⋅===⋅+， 解得2λ=12DC BC λ= 故当面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC 【解析】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角．18．已知函数()1ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【详解】试题分析：（1）求导：111()ln()111x f x f x x x x'+=⇒=+-+-，利用导数几何意义得切线斜率：(0)2k f '==，又(0)0f =，由点斜式得切线方程：2y x =（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：33()2()()2()033x x f x x f x x >+⇔-+>，令3()()2()3x g x f x x =-+，只需证min ()0g x >（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知2k ≤时3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上恒成立，只需证明当2k >时，3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了．试题解析：（1）111()ln()111x f x f x x x x'+=⇒=+-+-，利用导数几何意义得切线斜率：(0)2k f '==，又(0)0f =，由点斜式得切线方程：2y x =（2）3422()()2()(),(0,1)()0()(0)031x x g x f x x g x x g x g x g x =-+⇒=∈⇒>⇒>'=-'，结论成立（3）由（2）知2k ≤时3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上恒成立当2k >时，令3()(),3x h x f x k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则422(),1kx k h x x -+-'=当0x <<()0,h x '<()(0)0h x h <=，即当2k >时，3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在（0，1）上不恒成立 k 的最大值为2．【解析】导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．19．体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ︒）平均在36C 37C ︒-︒之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热（有生命危险）：40T >．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：（I ）请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值；（II ）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查，记X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；（III ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．【答案】（I ）平均值为39.55C ︒（II ）分布列见解析，65．（III ）“抗生素C ”治疗效果最佳，理由见解析.【解析】（I ）根据所给表格，可计算体温不低于39C ︒的各天体温平均值；（II ）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而求得数学期望；（III ）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断.【详解】（I ）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C ︒，记平均体温为x ， ()139.439.740.139.939.239.039.55C 6x =+++++=︒． 所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C ︒ （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2()3032351010C C P X C ===， ()213235631105C C P X C ====， ()1232353210C C P X C ===，则X 的分布列为：所以()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）“抗生素C ”治疗效果最佳，理由如下：①“抗生素B ”使用期间先连续两天降温后又回升0.1C ︒，“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C ︒，说明“抗生素C ”降温效果最好，故“抗生素C ”治疗效果最佳②“抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C ︒，方差约为0.0156：“抗生素C ”平均体温38C ︒，方差约为0.1067，“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C ”治疗效果最佳．【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法， 分析实际问题方案的解决方法，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点(4,0)P【解析】（1）由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解；（2）设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +-+-+==-，联立方程组表示出12y y +、12y y ，代入即可得解.【详解】（1）由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得:2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=. （2）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y . 假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且10x x ≠，02x x ≠. 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则1110y k x x =-，2220y k x x =-. 因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在1x my =+上，故111x my =+，221x my =+，而x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”， 继而等价于120k k +=. 则12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--. 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22(34)690m y my ++-=， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+. 则0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--，即040m mx -+=，故04x =或0m =（舍）. 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.21．在无穷数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的正整数，21||n n n a a a ++=-，n *∈N . (1)若15a =，23a =，写出2019a ，2020a ，2021a 的值；(2)证明：存在m *∈N ，当n m >时，数列{}n a 中的项呈周期变化； (3)若1a ，2a 的最大公约数是k ，证明数列{}n a 中必有无穷多项为k . 【答案】(1)20190a =，202020211a a ==； (2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】（1）由15a =，23a =，结合21||n n n a a a ++=-，*n ∈N ，求出2019a ，2020a ，2021a ； （2）利用反证法证明，假设*N i ∀∈，0i a ≠，由于21||n n n a a a ++=-，证得当当>n m 时，数列{}n a 中的项呈周期变化；（3）利用反证法证明数列{}n a 中必有“k ”，再利用综合法证明数列{}n a 中必有无穷多项为k ．【详解】(1)解：由15a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，*n ∈N ．得3|35|2a =-=，4|23|1a =-=，5|12|1a =-=，6|11|0a =-=， 7|01|1a =-=，8|10|1a =-=，9|11|0a =-=，10|01|1a =-=，⋯⋯ 从第四项开始满足*3132331,0,N k k k a a a k +++===∈， 故20190a =，202020211a a ==；(2)证明：(反证法)假设*N i ∀∈，0i a ≠，由于21||n n n a a a ++=-， 记1max{m a =，2}a ，则1a m ，2a m ． 则3210<=||1a a a m --，4320<=||1a a a m --， 5430<=||=2a a a m --，6540<=||=2a a a m --，⋯，依次递推，有7650<=||3a a a m --，8760<=||3?a a a m --， 则由数学归纳法易得21n a m n +-，*n ∈N ． 当>n m 时，2+1<0n a ，与2+1>0n a 矛盾． 故存在i ，使0i a =．∴数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项；故存在*N m ∈，当>n m 时，数列{}n a 中的项呈周期变化； (3)证明：①先证数列{}n a 中必有“k ”（反证法）:假设数列{}n a 中没有“k ”，由（2）知数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是(3)m a m ，令1m a p -=，>p k ，*N p ∈，则必有2=m a p -，于是由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数，由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数，依次递推，可得p 是1a ，2a 的因数，因为>p k ，所以这与1a ，2a 的最大公约数是k 矛盾， 所以数列{}n a 中必有“k ”； ②再证数列{}n a 中必有无穷多项为:k假设数列{}n a 中第一个“k ”项为是t a ，令1t a q -=，>q k ，*N q ∈， 则11||t t t a a a q k +-=-=-，若1t a q k k +=-=，则数列中的项从t a 开始依次为“k ，k ，0”的无限循环，故有无穷多项为k ；若+1=>t a q k k -，则21||2t t t a a a q k ++=-=-，321||t t t a a a k +++=-=；若22t a q k k +=-=，则进入“k ，k ，0”的无限循环，故有无穷多项为k ；若+2=2>t a q k k -，则从t a 开始的项依次为k ，q k -，2q k -，k ，3q k -，4q k -，k ， 必出现连续两个“k ”，从而进入“k ，k ，0”的无限循环，故有无穷多项为k ； 综合①②知：数列{}n a 中必有无穷多项为k ．【点睛】关键点点睛：主要考查递推数列、合情推理及与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题．。
北京市.第四中学.高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版) 【全国百强校高考预测真题】
2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A ．B ．C ．D ．3．函数（）的大致图象是A ．B ．C ．D ． 4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B ．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D ．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。
10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。
12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。
2023_2024学年北京市高三上册期中考试数学试题(附答案)
2023_2024学年北京市高三上册期中考试数学试题A ．B ．8274910．对于函数﹐若集合()f x {x x 1,()2xx f x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪15．某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下图所示）．关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内(1)当点为棱中点时，求证：平面G 1AD //BG 1D EC (2)求证：平面；AB ⊥1D BE成绩分组频数[)75,802 [)80,856 [)85,9016()(PM PN PO OM PO ⋅=+⋅ ，2224PO OM PO =-=- 点在正六边形的边上运动，P ABCDEF 因此的最小值等于中心PO所以，，//FG AE 1=2FG AE 在等腰梯形，ABCD //，BC AD 所以，可得1=2BC AE //FG BC 所以四边形为平行四边形，FGBC 又因为平面，BG ⊄1D EC CF因为平面平面，平面1D EC ⊥ABCE 平面，1D E ⊂1D EC 1D E CE ⊥因为平面，所以AB ⊂ABCE 因为，//，⊥BC AD CE AD AD 2AB =2AE =BE 所以()()(2,0,01,1,00,1,0A B C ，，，所以，()10,1,1CD =-(12,0,D A = 设为平面的一个法向量，(),,n x y z =1ABD 可得，即1100D A n D B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20x z x y z -=⎧⎨+-=⎩20．(1)极小值为-1，无极大值；(2)3【分析】(1)对函数求导，分析导函数在其零点分定义区间上的正负即可得解；()f x (2)将给定不等式等价转化，构造函数，并讨论其最值即可得解；(3)讨论函数的零点，构造函数并讨论其单调性，再借助单调性即可作答()g x 【详解】(1) 函数定义域为()ln 2f x x x =--情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.。
北京市数学高三上期中阶段测试(含答案解析)
一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABCS =,则b =（ ）A ．5B ．25CD．7．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．88．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．136B ．9C ．18D ．369．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．410．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．1411．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞12．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202013．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）A ．34B ．56 C ．78 D ．2314．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832315．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题16．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）17．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .19．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．20．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a使得1=，则14m n+的最小值为__________． 21．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅_______________．22．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC的最大值是__________．23．点D 在ABC 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.24．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .25．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．三、解答题26．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 27．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .28．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．29．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．30．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．A 10．A12．B13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题17．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+18．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式19．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A（53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画20．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故21．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c23．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行25．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,数列{}n a 是等比数列, 则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c ，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．6．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 7．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．8．C【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[12a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =12a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=12a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n =12a n （a n +1）-12a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以a 18=18 故选C9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.12．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．13．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．14．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．15．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>，1b c ∴>，01a <<，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误 对于C ，01a <<，10a ∴-<，1b c >>，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>，c b log a log a ∴<，故正确故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题17．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．18．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q ，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.19．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．20．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q 122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q =+,解得2q 或1q =-.因为各项全为正,所以2q.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=；当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116,故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.21．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析：【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，求出()()12112122212n n n n aa a a ++--++=--+=，计算()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅即可得解.【详解】由题2nn a =， ()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅()2112224n n aa a a +-+++===.故答案为：4 【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c解析：2√2【解析】试题分析：由题意得12bcsinA =12a 2⇒bcsinA =a 2，因此AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC=b c+cb+a 2bc=b 2+c 2+a 2bc=a 2+2bccosA+a 2bc=2cosA +2sinA ≤2√2,从而所求最大值是2√2考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43【解析】 【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤， 所以3AB BC +的最大值为43. 故答案为：43. 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy+的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.25．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay +1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x解析：（﹣∞，265] 【解析】 【分析】由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1x y+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1， 即a ≤x+y+1x y+，令t=x +y ∈[5，+∞）， 则问题转化为a ≤t+1t，因为函数y=t +1t在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265， 所以a ≤265， 故答案为（﹣∞，265] 【点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．三、解答题 26．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合 （2）()11111n b n n n n ==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.27．（1）12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出112b =，318b =，5132b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当112b =，318b =，5132b =时成立. 此时公比23114b q b ==，12q = 所以12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）因为()1312nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以123...n n T c c c c =++++()1231111258...312222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()2311111125...343122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()123111111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 5135222n n +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 28．(1) 23n a n =- (2) 22n T n =【解析】【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =， 所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.29．（1）3π；（2）12. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A sin B B cos A ，求得tan A A ∈（0，π），可求A =3π． （2）利用三角形的面积公式可求bc =8，由余弦定理解得b +c =7，即可得解△ABC 的周长的值．（1）由题意，在ABC ∆中，因为asinB =，由正弦定理，可得sin A sin B sin B cos A ，又因为(0,)B π∈，可得sin B ≠0，所以sin A A ，即：tan A因为A ∈（0，π），所以A =3π； （2）由（1）可知A =3π，且a =5，又由△ABC 的面积12bc sin A ，解得bc =8， 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得：25=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =（b +c ）2-24， 整理得（b +c ）2=49，解得：b +c =7，所以△ABC 的周长a +b +c =5+7=12．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．30．（1）72（2）3a >- 【解析】【分析】 （1）由题得()122f x x x =++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立． 设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞， 因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2024北京北师大附中高三(上)期中数学(教师版)
2024北京北师大附中高三（上）期中数 学班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=−<∣∣，则M N =（ ）A. {21}x x −≤<∣B. {21}x x −<≤∣C. {2}xx ≥−∣ D. {1}xx <∣ 2. 设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（ ） A. b c a << B. c b a << C. b a c <<D. a b c <<3. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 将y =cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin 2y x = B. cos 2y x =C. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. cos 26y x π⎛⎫=−⎪⎝⎭5. 已知函数()21x f x =−，则不等式()f x x ≤的解集为（ ）A. (],2−∞B. []0,1C. [)1,+∞D. []1,26. 设函数()e ln x f x x =−的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,47. 在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（ ）A.94 B. 4C.92D. 68. 已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（ ）A. 6B. 7C. 9D. 109. 设R c ∈，函数(),0,22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. {}[)01,+∞C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++−．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数4i1iz =−，则复数z 的模z =________． 12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =________．13. 在ABC 中，222a c b +=．则B ∠的值是________；cos y A C =+的最大值是________．14. 设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩①当0a =时，((10))f f =________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是________．15. 已知函数()222f x x x t =−+，()e xg x t =−.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增； ③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2. 其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在ABC 中，2π3A ∠=，AC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =（1）求ADC ∠的值； （2）求BC 的长度； （3）求BCD △的面积．17. 已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =−的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2； 条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛⎝． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023−年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．记20152023−年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”． （1）从20152023−年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318−年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；（3）从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19. 已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P −和()Q .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20. 已知函数()ln ()x a f x x−=．（1）若1a =，求函数()f x 的零点：（2）若1a =−，证明：函数()f x 是(0,+∞)上的减函数；（3）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，求a 的值． 21. 已知()12:,,,4n n A a a a n ≥为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈−,都有11i i a a +−≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n ijT i j a aj i n i j n =−≤≤−≤−=．（1）判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A −−是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;（2）若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;（3）给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥−∣，{10}{|1}N x x x x =−<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =−≤<.故选：A 2. 【答案】C【分析】利用“0,1分段法”来确定正确答案.【详解】ln1ln 2ln e,01a <<<<，0.20221c =>=，π2π,cos 202b <<=<， 所以b ac <<. 故选：C 3. 【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A. 4. 【答案】D【分析】利用三角函数平移变换结论求解. 【详解】将cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选：D ． 5. 【答案】B【分析】将不等式()f x x ≤转化为两个函数12y y ，，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为()21xf x =−，所以()f x x ≤，即21x x ≤+，令122,1xy y x ==+，且均为增函数，则不等式为12y y ≤，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当0x =时01221,011y y ===+=， 当1x =时，11222,112y y ===+=， 所以由图像可知：12y y ≤的解集为：[0,1]， 故选：B.6. 【答案】B【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域是(0,+∞)，()1e xf x x='−，f ′(x )在区间(0,+∞)上单调递增， ()120,1e 102f f ⎛⎫=''=− ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=，且在区间(00,x 上()()0,f x f x '<在()00,x 单调递减，在区间()0,x ∞+上()()0,f x f x '>在()0,x +∞单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点， 所以1,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫⎪⎝⎭所以()0,3CB =，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯= 故选：C8. 【答案】B【分析】求得等比数列{}n a 的首项和公比，由此化简2024n n S a +>并求得正确答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12111626a q a a q a q =⎧⎨++=⎩，123a q =⎧⎨=⎩或11813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）， 所以()121323,3113n n n na S −−=⋅==−−.由1123123024531nn n n n S a −−+>=−+⋅=⋅−，13405n −>，5632434057293=<<=，所以n 的最小值为7.故选：B 9. 【答案】D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移，以及对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到， 易知当0c =时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意； 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点； 当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥； 综上可得c 的取值范围是{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：D 10. 【答案】A【分析】转化题给条件为27725ab a b ++=，再由,a b 皆为正整数分类讨论即可求解.【详解】由题意知，8n =，于是得最底层小球的数量为(7)(7)cd a b =++，即7c a =+，7d b =+. 从而有8[(27)(214)(7)7]2406b b a b b a ⋅+++++++=，整理得(27)(214)(7)7180b b a b b a +++++++=，(37)(314)(7)173b a b a ++++=，373142198173ab a ab a b +++++=， 6212175ab a b ++=，27725ab a b ++=，由于,a b 皆为正整数，所以（i ）当1,1a b ==时，21171711625⋅⋅+⋅+⋅=<， 当1,2a b ==时，212717225⋅⋅+⋅+⋅=，（iii ）当1,3a b ==时，21371733425⋅⋅+⋅+⋅=>， （iv ）当2,2a b ==时，22272723625⋅⋅+⋅+⋅=> 只有1,2a b ==符合题意，即ab 的值为2. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定27725ab a b ++=是解决本题的关键. 分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的a 值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】()()()()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z +===+=−+−−+，z ==故答案为： 12.【答案】8−【分析】求得等差数列{}n a 的公差，进而求得8S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则261261260,2a a a d d d +=+=+==−， 所以8182848568S a d =+=−=−. 故答案为：8− 13. 【答案】 ①.π4##45︒ ②. 1 【分析】利用余弦定理求得cos B，从而求得B ；利用三角恒等变换的知识求得cos y A C =+的最大值.【详解】由222a cb +=+，得222cos 22a cb B ac +−==，所以B 为锐角，且π4B =.πcos cos 4y A C A A ⎛⎫=+=−+ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 3π04A <<，πππ44A <+<，所以当ππ42A +=，即π4A =时，cos y A C =+取得最大值为1.故答案为：π4；1 14. 【答案】 ①. 0 ②. (][),02,−∞⋃+∞【分析】①根据函数解析式求得((10))f f .②对a 进行分类讨论，根据()f x 零点的个数求得a 的取值范围.【详解】①，0a =时，()()21,1lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()10lg101f ==， 所以()((10))1lg10f f f ===.②，令()0f x =，可得:当1x <时，()()110x a x −++=， 所以1x =−或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解1x =−，当0a <或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为1x =−或1x a =−， 当1x ≥时，lg 0x a −=， 所以当0a ≥时，10a x =，当0a <时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解， 综上，当0a <时，函数()f x 有两个零点1,1a −−， 当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−， 当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −， 因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤， 所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞. 故答案为：0；(][),02,−∞⋃+∞ 15. 【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =−，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当0t =时，()()()22e xy f x g x x x ==−，则()22e xy x '=−，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =−的增区间为(,−∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =−>，当02x <<时，()22e 0xy x x =−<， 故函数()22e xy x x =−在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=−−+−+=−+−+，令()e 1xh x x =−+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=−>，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0xh x x h =−+≥=>，则e 1e 0x x −≤−<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=−+−+≥可得()22e2e 1xxx t x −≥−+，构造函数()()22e e 1x x x p x x −=−+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x x xx x x x x x x x p x x x ⎛⎫−+− ⎪−+−⎝⎭'==−+−+， 令()2442e x q x x x =−+−，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=−−<， 所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=−<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减， ()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对； 对于③，()()22e x y f x g x x x t =+=−++，22e x y x '=−+，因为函数22e x y x '=−+在R 上单调递增，010x y ==−'<，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =−++单调递减，当0x x >时，0y >'，此时函数22e x y x x t =−++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =−++有最小值，③错；对于④， 令()22e xu x x x =−++()010u t =+=，即取1t =−， 由③可知，函数()22e 1xu x x x =−+−在()0,x −∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =−>， 所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）π4（2（3）1)4【分析】（1）在ADC △中，利用正弦定理即可得解； （2）由（1）可求出ACD BCD ∠=∠，判断出ABC 为等腰三角形，进而求得BC . （3）根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC A=∠∠，所以2πsin sin2AC A ADC CD⋅∠∠===， 因为π03ADC ∠<<， 所以π4ADC ∠=； 【小问2详解】 由（1）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=−−=， 由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC 为等腰三角形，所以π2cos6BC AC =⨯⨯=. 【小问3详解】ππ1sin 3422224⎛⎫−=⨯−⨯= ⎪⎝⎭，所以BCD △的面积11π1)sin 22124BCD SBC CD BCD −=⋅⋅∠==. 17. 【答案】（1）π6ϕ= （2）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间πππ,π63k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】（1）根据条件，代入()2,01A f ==，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为2A =，()01f =，则12sin 1,sin 2ϕϕ==，且π02ϕ<<，则π6ϕ=. 【小问2详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，则2ω=，若选①②，则2A =，且5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且π02ϕ<<，则5π5π4π663ϕ<+<，则5ππ6ϕ+=，则π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择①③，则2A =，且ππ2sin 126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 62ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π02ϕ<<，则ππ2π663ϕ<+<，则ππ63ϕ+=，则π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 若选择②③，由②可知，π6ϕ=，由③可知，πππsin 12662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ()π2sin 22cos 22cos 26h x x x x x ⎛⎫=+−=− ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k −+≤−≤+，k ∈Z ， 得ππππ63k x k −+≤≤+，k ∈Z ， 所以函数ℎ(x )的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 18. 【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103E Z =（3）2018年和2019年【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a ，b 的值，在确定X ，Y 的所有可能值，进一步得Z 的所有可能的取值，再求Z 的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1详解】记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年． 所以()49P A =． 【小问2详解】因为18.7a =，15.4b =，所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为234,,．2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ． 所以Z 的分布列为：故Z 的数学期望()210234151553E Z =⨯+⨯+⨯=． 【小问3详解】2018年和2019年． 19. 【答案】（1）22182x y += （2）2y x =+或0x =【分析】（1）两个点()()2,1,P Q −代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GM GN ⋅=是否成立；斜率存在时把l 设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率k 来表示，然后GM GN ⋅用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】 将点()()2,1,P Q −坐标代入椭圆E 的方程，得222411,81,a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得228,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22182x y += 【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 重合，B 和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,，此时((222GM GN ⋅=⨯=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，()()(11221,,2A x y B x y x ≠−且)22x ≠−，联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22411680k x kx +++=，()()()2222116324132410,,4k k k k ∆=−+=−>∴>即12k >或12k <− 11212221216841411PA y k x x x x k k k x −−+=⋅==+++，所以直线PA 的方程为()111212y y x x −=+++，取0x =得()11210,12y M x −⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得()22210,12y N x ⎛⎫−+ ⎪+⎝⎭由2GM GN ⋅=得()()121221*********y y x x −−+−⋅+−=++，即()()1212212111222y y x x −−−⋅−=++，所以()2121221222x x k x x −⋅=++，即()()212121221224x x k x x x x −=+++，即()222284121283244141k k k k k +−=−++++ 即()22211483k k k −=−+，因为12k >，所以得21123k k −=−，即1k =，经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+综上所述，直线l 的方程为2y x =+或0x =.20. 【答案】（1）2 （2）证明见解析.（3）0.【分析】（1）直接解方程即可求出零点；（2）利用导数证明函数的单调性；（3）先由()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，得到()ln 11a a a−=−，用图像法求出a =0.【小问1详解】当1a =时，()ln 1()x f x x−=. 令()ln 1()0x f x x−==，解得：x =2. 即函数()f x 的零点是2.【小问2详解】当1a =−时，()ln 1()x f x x +=定义域为()()1,00,−+∞.所以()()()21ln 1()1x x x f x x x −++'=+.令()()()1ln 1g x x x x =−++，则()()ln 1g x x '=−+当x ∈(0,+∞)时，()0g x '<恒成立，所以()g x 在x ∈(0,+∞)上单调递减，所以当0x >时，都有()()00g x g <=.所以()0f x '<在x ∈(0,+∞)上恒成立，所以函数()f x 是(0,+∞)上的减函数.【小问3详解】()()()2ln ()x x a x a f x x x a −−−'=−.所以()()11ln 1(1)1a a k f a−−−'==−. 因为()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y −=平行，所以()()11ln 1(1)11a a k f a −−−'===−. 即()ln 11a a a−=−. 记()()()ln 111a h a a a a=−−<−，则()()21a h a a '=−. 当0a <时，()()201a h a a '=<−，所以()h a 单调递减；当01a <<时，()0h a '>，所以()h a 单调递增.而()0ln100h =−=，所以a =0是方程()ln 11a a a−=−的唯一解. 故a =0.21. 【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T = （2）证明见解析 （3）3n −【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a −=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出5T ;(2) “4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.(3) 设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d −≥+,以此类推可得44n d d n ≥+−,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥−,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1, 1.2,0.5A −−,即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===−=− 因为32 1.31a a −=>,所以4A 不具有性质P ,由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a ===== 因为21324311,0.51,11,a a a a a a −=≤−=≤−=≤54510.51,11,a a a a −=≤−=≤故5A 具有性质P , 因为41420.51,0.51,a a a a −=≤−=≤523501,0.51,a a a a −=≤−=≤故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =;【小问2详解】“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中, 则有31421,1,a a a a −>−>不妨设12a a ≤,若23a a >,则由()()313221a a a a a a −=−+−,可得3111a a −≤−<, 与311a a −>矛盾,故23a a ≤,同理34a a ≤,从而1234a a a a ≤≤≤, 所以()()01414221421a a a a a a a a a a −=−=−+−≥−>,与4A 具有性质P 矛盾,所以假设不成立,即4T ≠∅;【小问3详解】设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤−规定1k =时,1k n a a −=, k n =时,11k a a +=,则[]11,,1k k k k a a a a −+∈+, 所以111k k a a +−−≤,考虑数列311:,,k k k B a a a −+,112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a −−+,由题设可知,他们均具有性质P ,设n T 中元素个数最小值为n d ,所以11n n d d −≥+,所以124124n n n d d d d n −−≥+≥+≥≥+−, 由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥−,当21n m =+时,令()()31,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+−=+, 当2n m =时,令()()11,2,,,1,2,,2i m i a i i m a m i i m +===+−=,此时均有3n d n =−,所以n T 中元素个数的最小值为3n −.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.。
北京市数学高三上期中经典题(含答案解析)
一、选择题1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9002．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或56．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1827．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）8．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n9．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．5-D ．7-10．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣11．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 13．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2114．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 15．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．17．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．18．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 19．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a n λ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．20．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．21．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.22．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．23．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．24．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.25．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.27．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 28．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.29．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 30．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．C4．A5．B6．B7．A8．B9．D10．D11．B12．C13．A14．D15．D二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理17．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+18．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换19．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题20．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据21．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题22．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC ＋sin23．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为24．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还25．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S取得最小值易得(C为锐角)则则三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c ，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．A解析：A【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
北京市第七中学2022届高三数学上学期期中试题含解析
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．
【详解】y 为奇函数，不符合题意，
y＝ 为偶函数，在区间 单调递增，符合题意，
定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，
是偶函数，且x＞0时，y＝1-x单调递减，不符合题意．
故选：B．
北京市第七中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 、 ，由图可知阴影部分区域所表示的集合为 ，由此可得结果.
11.函数 的定义域是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： .
【点睛】求解函数的定义域的求解策略：
1、根据函数的解析式有意义，列出不等式（组），取交集求得函数的定义域；
故答案为： ；
14.已知函数 若 ，则 的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论 的取值范围，分别代入对应解析式即不等式即可求出 的取值范围.
【详解】由 ，
若 ，
当 时，则 ，解得
当 ，则 ，解得
综上所述， 或 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：该题考查了求解分段函数的不等式，在解题的过程中，关键点是需要分类讨论，属于中档题.
2021届北京市第四中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市第四中学2021届高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21xA x =<，{}20B x x =-<，则()UA B =（ ）A. {|2}x x >B.{}02x x ≤<C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤『答案』B『解析』210x x <⇒<，{}0A x x ∴=<，{}2B x x =<，{}0UA x x =≥，(){}02U AB x x ∴⋂=≤<.故选：B2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A.,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈>『答案』A『解析』对于A ．因为1sin 1x -≤≤，错误；对于B ．当x =对于C ．2,0∈≥∀x R x ，正确；对于 D ．,20xx R ∀∈> ，成立，正确；故选：A.3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ） A.1- B. 1C.2D. 5-『答案』D『解析』(3,2)a b m -=+，(2,2)b =-，且a b -与b 共线，62(2)0m ∴--+=，解得5m =-．故选：D ．4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1-『答案』C『解析』()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =，令0,0x x -,则有12()log ()()f x x f x -=-=-，则当0x <时，12()log ()f x x =--，所以， 1212log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩，所以，当12log 00x x >⎧⎪⎨⎪>⎩或12log ()00x x -->⎧⎪⎨⎪<⎩， 解得()(),10,1x ∈-∞-故选：C.5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A. sin 26xB. 2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x -『答案』C『解析』由题意()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是( ) A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +>D.2b aa b+≥ 『答案』D『解析』，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』B『解析』三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形. 三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B.8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dm ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A. 105倍B. 108倍C. 1010倍D. 1012倍『答案』B『解析』设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，2110x =， ()221210lg 60110x f x -=⨯=⨯，6210x -=，所以81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍.故选：B9. 函数ππ2sin ,,22y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为 A. B.C. D.『答案』D『解析』∵()2sin ,[,]22f x x x x ππ=-∈-∴()2sin()2sin f x x x x x -=---=-+∴()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，故排除,A B ∵()12cos f x x '=-∴当(,)33x ππ∈-时，()0f x '<，即()f x 在(,)33ππ-上为减函数，故排除C 故选D10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3『答案』C『解析』①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =，则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.函数y =_________.『答案』[)2,+∞『解析』y =202x x -≥⇒≥，所以函数的定义域[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞ 12. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.『答案』 (1). 45-(2). 7- 『解析』因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-，所以3sin 35tan 4cos 45ααα===--，所以3tan tan 144tan 7341tan tan 1144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++⨯- ⎪⎝⎭故答案为：45-，7- 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 『答案』2π 『解析』||||a a b =-，∴2222a a a b b =-+，即212a b b =，211()022a b b a b b -=-=∴12a b -与b 的夹角为2π．故答案为：2π． 14. 圆2220+-+=xy ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________.『答案』 (1).(2). 40x y +-=『解析』（1）由条件可知点()3,1A 在圆上，即2231320a +-+=，解得：4a =， 圆的方程()222242022x y x x y +-+=⇔-+=，所以圆的半径r =（2）设圆的圆心()2,0C ，10132AC k -==-， 由条件可知直线AC 与直线l 垂直，所以直线l 的斜率1k =-， 所以直线l 的方程()13y x -=--，即40x y +-=.40x y +-=15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________.『答案』 (1). 1 (2). (1,)+∞『解析』（1）函数()ln g x x =，函数的值域为R ，并且函数是单调递增函数，故方程()g x t =，只有一个解，故()1f t =，（2）若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，当0a ≤时，()g x 的图象如下图所示，直线2y t =+在y t =的上方，()()2f t f t +>不成立；当0a >时，()g x 的图象如图所示，当0t a <<，22a t a a <+<+时，若存在t 使得()()2f t f t +>，所以()2min 2a a t +>+，即22a a +>解得：1a >，故a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：1；()1,+∞三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）值．解：（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭.解得5c =.所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin 2B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==.在ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()f x 在[]0,2上的最大值； (3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.解：（1）由3()f x x x =-，得2()31f x x =-'，所以(1)2f '=，又(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()021y x -=-， 即：220x y --=.（2）令()0f x '=，得x =. ()f x 与()'f x 在区间[0,2]的情况如下：因为()00,f =()26,f =所以函数()f x 在区间[]-23，上的最大值为6. （3）证明：设()()()h x f x g x =-=333x x -+，则()()2()33311h x x x x =-=-+'，令()0h x '=，得1x =±.()h x 与()h x '随x 的变化情况如下：则()h x 的增区间为(),1-∞-，()1,+∞，减区间为()1,1-.又()110h =>，()()-110h h >>，所以函数()h x 在()-1,+∞没有零点，又()-3-150h =<，所以函数()h x 在(),1-∞-上有唯一零点0x .综上，在(),-∞+∞上存在唯一的0x ，使得00()()f x g x =. 18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+. (I)求f (0)的值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期. 解：(I)2(0)2cos 0sin 02f =+=； (II)①121,2ωω==，由题意得2()2cos sin 2cos 2sin 21+)+14f x x x x x x π=+=++=，T π∴=，[,]26x ππ∈-，372[,]4412x πππ∴+∈-，故sin 2124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当2x π=-时，()f x 取最小值1-. ②121,1ωω==，22()2cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++，[,]26x ππ∈-，令sin x t =，21[1,],()222t f t t t ∴∈-=-++，∴当1t =-时，函数取得最小值为(1)1f -=-.2()2cos sin f x x x =+，22(+2)2cos (+2)sin(+2)2cos sin f x x x x x πππ∴=+=+，2T π∴=19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x . （1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <；（3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.解：()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--= （1）()0f π'=；（2）令31()()3g x f x x =-，则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-，当(0)2x π∈，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-< 所以()t x 在(0)2x π∈，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<= 即sin x x <，所以()0g x '<所以()g x 在(0)2π，上单调递减，所以()(0)0g x g <=， 所以31()3f x x <. （3）原题等价于sin x kx >对(0)2x π∈，恒成立，即sin x k x <对(0)2x π∈，恒成立， 令sin ()x h x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x-'==-. 易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0)2π，单调递增，所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<， 故()h x 在(0)2π，单调递减，所以2()2k h π≤=π. 综上所述，k 的最大值为2π. 20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M （﹣2，0），可设直线l ：y ＝k （x +2）． 因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2＝1上，所以，1OP OQ ==， 因为12OP OQ ⋅=-，所以，12OP OQ OP OQ cos POQ ⋅=⋅⋅∠=-， 所以，∠POQ ＝120°，所以，O 到直线l的距离等于12．12=，得15k =±， 所以直线l﹣15y=0，或+15y=0，即x +2＝0，或x +2＝0．（Ⅱ）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以，2MQ MP =，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），所以，()222MQ x y =+，，()112MP x y =+，． 所以，()21212222x x y y ⎧+=+⎨=⎩，即()2121212x x y y ⎧=+⎨=⎩（*）； 因为P ，Q 两点在圆上，所以，2211222211x y x y ⎧+=⎨+=⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x y x y ⎧+=⎨++=⎩，所以，1178x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线l 的斜率MP k k == k = 21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？解：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素.所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅.所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.。
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解析几何中的弦长问题
8．设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，
12⋅=
a b ，则
()
R |
|x x +∈a b 的最小值为 （A ）．
5 B ．
3 C ．1
D ．2
9．设{a n }为等比数列，则“对于任意的
*2,m m a m a +∈>N ”是“{a n }为递增数列”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
11.在
6(15)x +的展开式中，x 的系数为 ▲
12.在等差数列{a n }中，若1216a a +=5,1,a =则1a = ▲ ；使得数列{}n a 前n 项的和S n 取到最大值的
n= ▲
1.高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问
选取代表的方法有几种．
，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
2.用012345
3.用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）
A．243 B．252 C．261 D．279
4.公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_______种不同的走法．
5.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
2. 函数的最小正周期为
A. B. C. D.
16.（本小题14分）
在中，（补充条件）
（I）求的面积；
（II）求
从①②③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，所有侧棱长与底面边长均相等，E 为SC 的中点．求证：
D
A
B
C
E
S
（1）SA ∥平面BDE ． （2）BD ⊥平面SAC ．
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC CB ⊥，点D 是AB 的中点．
（1）求证：1
AC BC ⊥．
（2）求证：1
AC ∥平面1
CDB ．
（3）设12AB AA =，AC BC =，在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥？若存在，确定点M 的位
置；若不存在，说明理由．
18．已知函数．（14分）（Ⅰ）求的值和函数的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递减区间及最大值，并指出相应的的取值集合．
19.(本小题满分14分) 设函数
其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
（20）（本小题15分） 已知函数()1
1
e x x x
f x -+=-
．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x
y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =的切线．。