【配套K12】2018_2019学年高二数学上学期开学考试试题理

四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线l 过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直,则l 的方程为 A.3210x y +-= B.2310x y +-= C.3210x y ++= D.2310x y --=2.已知等差数列{}n a 中，若415a =，则它的前7项和为A.120B.115 错误！未找到引用源。

C.110 错误！未找到引用源。

D.1053.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆A. 一定是锐角三角形B. 一定是钝角三角形C. 一定是斜三角形D. 一定是直角三角形 4．一个球的内接正方体的表面积为54,则该球的表面积为A. 27πB. 18πC. 19πD. 54π 5．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a＋2b的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5 6．给出下列四种说法：① 若平面βα//，直线βα⊂⊂b a ,，则b a //； ② 若直线b a //，直线α//a ，直线β//b ，则βα//； ③ 若平面βα//，直线α⊂a ，则β//a ；④ 若直线α//a ，β//a ，则βα//.其中正确说法的个数为A.4个B.3个C. 2个D.1个7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.5B.6C.7D.88．已知函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨ >⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是A ．3-≤a ＜0B ．3-≤a ≤2-C ．a ≤2-D ．a ＜09．一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为13，则这个三棱锥的外接球的表面积为A ．16πB ．32πC . 36πD ．64π10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23sin ab A=，224a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为 A ．43 B ．23 C ．13 D ．1611．将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间[0,]4π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5(,)126ππ--上，则ϕ的取值范围是 A ．(,]64ππB ．(,)62ππC ．(,]124ππD ．(,)122ππ12.在ABC ∆中，若⋅=⋅=⋅，且A b B a cos cos =，4=c ，则=⋅A ．8B ．2 C.2- D ．8-第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列}{n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 . 14.已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，且()⊥-a a b ，则a 与b 的夹角为 ． 15．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，x = .16.已知数列{}n a 错误！未找到引用源。

的前n 错误！未找到引用源。

项和为n S 错误！未找到引用源。

，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.若21S =，201820165S S -=，2018S =______.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共70分） 17.（本小题满分10分）光线通过点)3,2(A ，在直线01:=++y x l 上反射，反射光线经过点)1,1(B . (Ⅰ)求点)3,2(A 关于直线l 对称点的坐标； (Ⅱ)求反射光线所在直线的一般式方程．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求n T19．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)x x =m ，2(2sin ,4cos )x x =n ，函数()f x =⋅m n ．(Ⅰ)当[0,]2x π∈时，求)(x f 的值域；(Ⅱ)若对任意[0,]2x π∈，2()(2)()20f x a f x a -+++≥，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC 与BD 的交点为O ,E 为侧棱SC 上一点.(Ⅰ)当E 为侧棱SC 的中点时,求证:SA ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面SAC ;(III)当二面角E BD C --的大小为45︒时, 试判断点E 在SC 上的位置,并说明理由.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C +-=，c =(Ⅰ)若5a b +=，求ABC ∆的面积；(Ⅱ)求a b +的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.22.（本小题满分12分）已知函数R a x a x x f ∈+--=],8)12(2[log )(22. (Ⅰ)若)(x f 在),(+∞a 内为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若关于x 的方程)3(log 1)(21+-=x x f 在]3,1[内有唯一实数解，求实数a 的取值范围.四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理科）答案1-5：ADDAA 6-10：DBBAB 11-12：CA 13．⎩⎨⎧≥-==)2(32)1(2n n n a n 14．3π15.x=3 cm 16．302717.（Ⅰ）设点)32(，A 关于直线l 的对称点为),(000y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=--0123221230000y x x y 3分解得3,400-=-=y x ，即点)32(，A 关于直线l 的对称点为)3,4(0--A ． 5分（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点)3,4(0--A 和)1,1(B ，所以反射光线所在直线的方程为)1(541-=-x y 即0154=+-y x . 10分18.(1).当1n =时, 12a =.当2n ≥时, 1122n n S a --=-,所以1n n n a S S -=-()11222222n n n n a a a a --=--=-,即()122,nn a n n N a *-=≥∈, 所以数列{}n a 是以首项为2,公比为2的等比数列,故()2n n a n N *=∈.……………………………………………6分(2).令112n n n n n b a ++==,则12323412222n nn T +=++++①, ①12⨯,得234112*********n n n n n T ++=+++++②, ①-②,得23111111122222n n n n T ++=++++-13322n n ++=-,整理得332n n n T +=-……………………………………………12分19．（12分）解：（1）22()2sin cos 4cos f x x x x x =-+ …………………1分222cos cos x x x =+-3cos22x x =+ ……………………………………………3分2cos(2)33x π=++ ……………………………………………4分当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-， 所以)(x f 的值域为[1,4]． ……………………………………………6分 （2）令()t f x =，[0,]2x π∈，由（1）得[1,4]t ∈，问题等价于2(2)20t a t a -+++≥，[1,4]t ∈恒成立， …………………7分 当1t =时，a ∈R ； ………………………………………………8分 当1t ≠时，1(1)1a t t ≤-+-，(1,4]t ∈恒成立，因为(1,4]t ∈，1(1)21t t -+≥=-，当且仅当2t =时，等号成立， 所以1(1)1t t -+-的最小值为2，故2a ≤， ………………………………11分 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞． …………………………………12分 20.证明:(1)连接OE ,由条件可得SA ∥OE .因为SA ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE , 所以SA ∥平面BDE 4分 (2)由已知可得,SB SD =,O 是BD 中点, 所以BD SO ⊥, 又因为四边形ABCD 是正方形,所以BD AC ⊥. 因为ACSO O =,所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面,所以平面BDE ⊥平面SAC 8分(3)解:连接OE ,由(Ⅱ)知BD SAC ⊥面. 而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥. 所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角,即45EOC ∠=︒. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2,在SAC ∆中,2SA SC ==, AC =所以SO =又因为12OC AC ==SO OC ⊥, 所以SOC ∆是等腰直角三角形. 由45EOC ∠=︒可知,点E 是SC 的中点 12分21．解：由()()272cos cos 12得272cos 2sin42=-+-=-+C B A C BA 271cos 2cosC 222=+-+∴C ， ()21cos ,01cos 22=∴=-∴C C 3,0又ππ=∴<<C C由余弦定理得：()6,37,a 7222=∴-+=∴-+=ab ab b a ab b2333sin 21==∴∆πab S ABC（2）法一：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=+A A BA R sin 32sin 3212sin sin 2b a π ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 72sin 23cos 233212πA A A 6566,320ππππ<+<∴<<A A 72最大为时，3即,26当b a A A +==+∴πππ此时ABC ∆为等边三角形 法二：由余弦定理得：()ab b a ab b 3a 7222-+=-+==()()()4437222b a b a b a +=+-+≥∴ ()72,282≤+∴≤+∴b a b a当且仅当b a =等号成立，72最大为b a +∴ 此时ABC ∆为等边三角形.22. （1）设8)12(2)(2+--=x a x x g ，由题知)(x g 在),(+∞a 上为增函数，且)(x g >0⎩⎨⎧≥-≥∴0)(12a g a a 即⎩⎨⎧≥+--≤08)12(212a a a a 解得134≤≤-a ………5分（2）关于x 的方程)3(log 1)(21+-=x x f 在]3,1[内有唯一实数解即方程8)12(22+--x a x =)3(2+x 在]3,1[内有唯一实数解，……………………7分x x a 24+=∴在]3,1[内有唯一实数解， 设xx x 2)(+=ϕ，则)(x ϕ在)2,1[单调递减，在]3,2(单调递增，且3)1(=ϕ，22)2(=ϕ，311)3(=ϕ224=∴a 或31143≤<a ，22=∴a 或121143≤<a ……………………12分。