高等数学第三章中值定理与导数的应用
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3.3第三章：中值定理及导数的应用
上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出
f
/ 1
f
/ 1 1, 从而
f x 在 0,2 内
可导，且
f
/ x
x,0 x 1,
1 x2 ,1 x
2.
因此， f x 在 0,2上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论： 0,2 ，使
f
/
f
2
2
f 0
0
1 2
.不难算得：
1 或 2
2 0,2.
x 2x
lim x
x 1 21
2 x x
.
对于不直接表现为 0 型或 型的不定型，要首先合理转化，使其成为 0
四．洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 0 型，要么是 0
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则—
—洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 0 或 的极限问题。 0
例 6．设 f x x 1x 2x 3x 4 ，证明方程 f x 0 有三个实根，并
且它们分别位于区间 1, 2, 2,3, 3, 4. （见书第 105 页）
例 7．证明方程 x5 x 1 0 只有一个正根.(反证).
拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.
推论 1：若对任意 x I , f / x 0 ，则 f x C,x I.
x
x.
.
( .
1,1
x
)
例 3.证明：对 x 0,ex 1 x. .
例 4．证明：对 x 0, ln 1 x x. .
大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高数中值定理
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
高等数学（XAUAT）
o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
高等数学（XAUAT）
o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
中值定理与导数的应用(高等数学)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
函数旳极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值旳点称为极值点.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意：可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值 定理，即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意：可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值 定理，即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
(整理)第三章中值定理与导数的应用学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识脉络理定值中分微 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(21麦克劳林公式泰勒公式柯西定理推论推论拉格朗日定理罗尔定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩∞∞求方程的近似解渐屈与渐伸线曲率和曲率半径弧微分其它应用函数作图求凹凸区间与拐点凹凸性判别定义凹凸性与拐点求单调区间单调性判定定义单调性函数性态题最大值与最小值应用问极值的应用极值点的判定件函数取得极值的必要条定义概念函数极值型导数应用:二、重点与难点1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。
2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论； ②定理的条件是充分的，但不是必要的；③三个定理都是存在性定理，只肯定了有ξ存在，而未指出如何确定该点。
2．学习罗必塔法则应注意问题： ①罗必塔法则仅仅用于00型和∞∞型未定式； ②如果()()x g x f ''lim 不存在（不包括∞），不能断言()()x g x f lim 不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； ③∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞也叫未定型，必须转化为00型或∞∞型之后，方可用罗必塔法则求极限；思路“：∞⋅0型转化为∞⋅∞1或010⋅型； ∞-∞可通分转化为00型或∞∞型；00型转化为0ln 00ln 0⋅=e e ，其中指数是∞⋅0型； ∞1型转化为1ln 1ln ⋅∞=∞e e ，其中数是0⋅∞； 0∞型转化为∞∞=ln 0ln 0e e ，其中指数是∞⋅0型。
④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用； ⑤有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是00型或∞∞型。
微分中值定理与导数应用
F( x) 单调增．再由 F(0) 0 即知，x 0时 F( x) 0 ， 从而 F ( x) 单调减； x 0时， F ( x) 单调增． F(0) 0 是
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
高数上册第3章微分中值定理与导数的应用
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) . 至少存在一点 使 f ( ) ba f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( )
1 sec 2 x 1 1 tan 2 x lim lim 2 x0 1 cos x 2 x 0 1 cos x
1 x2 lim 2 2 x 0 x 2
0 型 0
1.
二、 型未定式 定理 2. (洛必达法则)
(2) 存在 0，使得x U ( x0 , ) 时，f ( x), g ( x)可导，
f ( x) (3) lim A (或为∞) x x0 g ( x )
f ( x) f ( x) lim lim . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
例4. 求 解: 原式 lim
1 x n 1
x
nx
1 0 lim n x n x
则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) g (a) f (a) g (b) (a) (b) g (b) g (a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f (b) f (a) f ( ) . g (b) g (a) g ( )
ba 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
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1 0. 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos
0? 问是否可由此得出 lim cos 1 x
x0
不能 !
因为 ( x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
1
分析:
例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( )
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba
f (b) f (a ) x ( x) f ( x) 作辅助函数 ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (11 )0 F (0)
即
F ( )
例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 x1 f ( )( 2 1 ) 0 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) (1 2 )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F ( x) F ( x) F (a ) F ( ) f ( ) 3) lim x a F ( )
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
3. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
且
f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第三章
极值的定义
且除x0 外，在该邻域有
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F (t ) t
罗尔定理
F (t ) t
f (b) f (a)
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
(3) 证明有关中值问题的结论
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a)
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
弦的斜率
x F (t ) 连续光滑曲线 y f (t )
切线斜率
y
a t b f (b)
注意:
d y f (t ) d x F (t )
f (a)
o F (a)F ( )
F (b) x
柯西(Cauchy)中值定理
f (b ) f (a ) (t ) F (t ) f (t ) F (b) F (a )
证: 作辅助函数
f (b ) f (a ) (t ) F (t ) f (t ) F (b) F (a )
则 (t ) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导,
罗尔定理条件.
4. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f ( x) f (0) f ( )( x 0) ,
即
(0 , x )
1 cos 1 ) x, ( 2 sin x 2 sin 1 (0 , x ) x
1 2 sin 1 x sin 1 cos x
f ( x) 3) lim 存在 (或为 xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
)
(洛必达法则)
定理条件:
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 3) lim 存在 (或为 ) xa F ( x )
洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
例1. 求 解: 原式 lim
0 型 0
x1
3x 3 3x 2 2 x 1
求证存在 (0 ,1) , 使 设辅助函数 ( x) x n f ( x) 证：
显然 ( x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
2. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有