高中数学竞赛解题方法篇不等式
高中数学 不等式证明的基本方法 竞赛讲义
不等式证明的基本方法及例题讲解【学习目标】1. 熟练掌握不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题等【重点、难点】1. 不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题【教学过程】一、知识内容梳理 1. 不等式的基本性质 （1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒>注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3.）a b b c a c-+-≥-，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥二、不等式证明的基本方法：1.差值比较.欲证，b a >只需证明.0>-b a2.商值比较.欲证()0>>b b a ，,只需证明.1>ba三、例题讲解：1.()改编题设,1->a 求证：6322≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析 证明：欲证6322≥+aa ， 只需证明032623≥+-a a 即证()().0242≥+-a a因为,1->a所以()().0242≥+-a a2.设,1->a 求证：3040002≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析证明：欲证3040002≥+a a ， 只需证明040003023≥+-a a 即证()().010202≥+-a a因为,1->a所以()().010202≥+-a a3.()增加一个方法常规题-设,,a b c R +∈，求证：()3a b c a b ca b c abc ++≥思路1：函数法，所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。
高中数学竞赛解方程
高中数学竞赛解方程方程是数学中的重要概念，而解方程则是数学竞赛中常见的题型之一。
解方程的过程需要运用数学知识和逻辑推理，能够培养学生的分析和解决问题的能力。
本文将介绍高中数学竞赛中解方程的一些常见方法和技巧。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax+b=0。
解一元一次方程的基本思路是将方程中的未知数移到一边，将常数移到另一边，并进行化简。
常用的解法有等式相减法、等式相加法、等式相除法等。
例如，解方程2x+3=7，可以通过将3移到等号右边，再将2除以2，得到x=2。
这就是方程的解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法较为复杂，有配方法、因式分解法、求根公式法等。
配方法是指通过改变方程形式，将二次项与一次项构成一个完全平方，进而求解方程。
例如，解方程x^2+6x+9=16，可以将方程改写为(x+3)^2=16，再开方得到x+3=±4，进而解得x=1和x=-7。
三、二元一次方程组的解法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，其一般形式为{ax+by=c{dx+ey=f解二元一次方程组的方法包括代入法、消元法、等价变形法等。
代入法是指将一个方程的一个未知数表示成另一个方程的未知数，并代入另一个方程中求解。
例如，解方程组{2x+y=7{3x-2y=8可以将第一个方程中的y表示为7-2x，代入第二个方程得到3x-2(7-2x)=8，进而求解得到x=2，再将x代入第一个方程得到y=3。
所以方程组的解为x=2，y=3。
四、不等式方程的解法不等式方程是指方程中含有不等号的等式，如ax+b<0。
解不等式方程的方法与解一元一次方程类似，但需要注意不等号的方向。
例如，解不等式方程2x+3<7，可以通过将3移到不等号右边，再将2除以2，得到x<2。
所以不等式方程的解为x<2。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛holder不等式摘要：1.介绍高中数学竞赛的holder 不等式2.holder 不等式的基本原理3.holder 不等式的应用实例4.结论正文：一、介绍高中数学竞赛的holder 不等式在高中数学竞赛中，holder 不等式是一个非常重要的知识点，它是解决许多数学问题的关键思想。
holder 不等式是一种不等式，它的本质是关于p 和q 指数的不等式，可以广泛应用于各种数学问题中。
二、holder 不等式的基本原理holder 不等式的基本形式为：$|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|leqprod_{i=1}^{n}|a_ib_i|$。
其中，$a_i$和$b_i$是实数或复数，$n$是正整数，$p$和$q$是正实数，满足$1<p<q$。
holder 不等式的证明比较复杂，需要涉及到一些高级的数学知识，比如Hlder 不等式和Minkowski 不等式。
在理解holder 不等式的基本原理之前，需要先理解它的前提条件和结论。
三、holder 不等式的应用实例holder 不等式在实际应用中非常广泛，它可以用于解决各种数学问题，比如不等式问题、最大值最小值问题、积分问题等。
例如，考虑以下不等式问题：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$，如何求解$x,y,z$的取值范围？这就是一个典型的holder 不等式问题，可以通过holder 不等式来解决。
具体来说，我们可以把$x^2-4y^2+z^2$看作是一个三元数的平方，然后应用holder 不等式，得到：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$$Leftrightarrow |x|leq 1, |2y|leq 1, |z|leq 1$$Leftrightarrow -1leq xleq 1, -1/2leq yleq 1/2, -1leq zleq 1$因此，$x,y,z$的取值范围为$[-1,1]times [-1/2,1/2]times [-1,1]$。
数学竞赛常见解题方法总结
数学竞赛常见解题方法总结数学竞赛常见解题方法可以分为几个大类，包括代数、几何、概率与统计以及数论。
每个类别下又有不同的方法和技巧，适用于解答不同类型的题目。
下面将对这些常见解题方法进行总结和分析。
一、代数类解题方法1. 数列求和：对于给定的数列，可以用等差数列或等比数列的求和公式来快速求解。
此外，还可以利用差分法、二次差分法等方法求和。
2. 方程求解：对于一元二次方程、一次方程及其他更复杂的方程，可以运用配方法、因式分解、绝对值法、韦达定理等方法求解。
3. 不等式求解：针对不等式问题，可以运用代换法、区间判断法、平方运算法等方法，求解不等式的解集。
4. 函数图像分析：可以通过求导、极值问题等方法，对函数的图像进行分析和求解。
5. 组合函数求解：针对给定的复合函数，可以通过逆函数定义、复合函数的性质等方法进行求解。
二、几何类解题方法1. 平面几何定理：常用平面几何定理包括平行线定理、相似三角形定理、勾股定理等。
在解题过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法，将问题转化为已知几何定理的形式进行求解。
2. 三角形性质利用：针对三角形问题，可以应用三角形中位线、垂心定理、欧拉定理等几何性质进行解题。
3. 向量方法：向量方法在几何问题中有广泛应用，常用于求解线段的中点、平行四边形的性质、共线问题等。
4. 坐标系与方程运用：对于平面几何问题，可以通过建立坐标系，利用坐标运算进行解题。
此外，还可以通过方程的运用，表示几何图形，进而求解问题。
三、概率与统计类解题方法1. 随机事件计算：针对概率问题，可以利用集合论的知识进行解题，包括用频率定义概率、利用互斥事件和对立事件计算概率等方法。
2. 组合计数：在概率和统计问题中，常常需要进行组合和计数的运算。
可以利用阶乘、排列组合等方法进行计算。
3. 数据处理与分析：对于给定的数据集合，可以通过构造频率分布表、绘制直方图、计算中位数、算术平均数等方法进行数据的处理和分析。
高中数学竞赛 不等式
高 中 数 学 竞 赛 不等式 有答案1．不等式的概念与性质 【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。
2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。
【二】解题指导 例1： 若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。
例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习 一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >； （4）若xa y a 22>，则x y >。
其中正确的命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是 （A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有 （A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。
山东省实验中学高中数学竞赛辅导——不等式部分
重要不等式应用汇总1． 排序不等式：设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 2． 均值不等式：当+∈R a i （n i ,2,1=）时，有：na a a na a a a a a a a a nn nnn n22221212121111+++≤+++≤≤+++3． 柯西不等式：设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni in i i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ. 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a（2）设i i b a ,同号，且,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni ii b a a b a4． 琴生（Jensen ）不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．幂均值不等式：设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=6. 切比雪夫不等式：设两个实数组n a a a ≤≤≤...21，n b b b ≤≤≤...21则)....(1)...(12211111121n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- （该不等式的证明只用排序不等式及∑∑==⋅n i ini ib a 11的表达式就可得证）7．一个基础不等式：y x y x )1(1αααα-+≤- 其中]1,0[,0,∈≥αy x ,若y x ,中有一个为零，则结论成立8．赫尔德（Holder ）不等式：设 ).,...2,1(0,n k b a k k =≥ 1,≥q p 且111=+qp ，则 qnk q kpnk p kknk k b a ba 11111)()(∑∑∑===⋅≤（等号成立当且仅当q k p k tb a =）*9.与对数函数有关的一个不等式：x x xx<+<+)1ln(1， .0>x （该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10．三角函数有关的不等式：x x x tan sin << )2,0(π∈x*11．绝对值不等式: 设C a a a b a n ∈ ,,,,21，则有：│|a |-|b |│≤│a +b │≤│a │+│b │；│n a a a +++ 21│≤n a a a +++ 21*12．舒尔（Schur ）不等式：设+∈R z y x ,,，则0))(())(())((≥--+--+--y z x z z z y x y y z x y x x *13. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式：如果n x x x ,......,,21与n y y y ,......,,21都是非负实数1≥p ， 那么pni p ipni pippi ni i y x y x 111111)()())((∑∑∑===+≤+14. 贝努利不等式（1）设2,,2,1,1≥=->n n i x i 且同号，则∑∏==+>+ni in i ixx 111)1(（2）设1->x ，则（ⅰ）当10<<α 时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α 时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立。
全国高中数学竞赛专题：不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
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高中数学竞赛解题方法篇不等式The pony was revised in January 2021高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++.例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++有3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++即lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故3()a b c a b ca b c abc ++≥.例2设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r s n nn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然12...n d d d ≥≥≥因为12...n b b b ≤≤≤，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s=≤+∑又因为12...n a a a ≤≤≤所以11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111n nnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故11111r s sr n nn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑故原式得证.2.均值不等式定理2设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =，12...()na a a A n n+++=，分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证()()G n A n ≤.记c =，令ii a b c=， 则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取12,,...,n x x x 使11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --===则1.n n x b x = 由排序不等式，易证下证()()A n Q n ≤因为222212121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++- 2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用()()G n H n ≤，得 即()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+.证明：由于01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤，即14x y +≤。
又因为2111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14)时取得所以 1log ()log 28x y a a a a +≤+.例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1.证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤证明：令,,y y za b c x z x===，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为 ()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤（2-1）记,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvw xyz ≤<，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式y ≤z ≤xyz ≤即uvw xyz ≤，（2-1）式得证.例6已知12,,...,0n a a a >，且12...1n a a a +++=.求证：1223131211...1...1 (21)n n n n a a a na a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia -可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑，对12222,, (222)a a a ---，利用()()A n H n ≥有即22211221122122ni ni i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =-. 3．柯西不等式定理3设i a ，i b R ∈（i=1,2,…n ）,恒有不等式222111.()n n niii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，当且仅当利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数n n b b b a a a ,,,;,,,2121 有柯西—拉格朗日恒等式由实数性质()R ∈≥αα02可得柯西不等式成立。
以上给出了柯西不等式的几种证法。
不难看出柯西不等式的重要性。
它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。
所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。
柯西不等式的推广 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。
证明：∑∑==ni in i ib a 1212, 收敛，⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。