余角、补角、对顶角 课件
第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)
第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
6.3余角、补角和对顶角
A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。
《余角和补角》图形初步认识PPT课件
探究新知
已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4
相等吗？为什么？
1
2
3 4
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以 ∠2＝180º－∠1.
由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º，所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，所以180º－∠1＝180º－∠3， 所以∠2＝∠4.
北 A
30°
C
60°
西
东
O
25°
B 南
课堂小结
1.余角的定义： 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角， 即其中每一个角是另一个角的余角. 2.补角的定义： 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其 中一个角是另一个角的补角. 3.余角与补角的性质： 同角（等角）的补角相等； 同角（等角）的余角相等. 4.方位角
又因为∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，
且∠1＝∠2，
所以∠ADC＝∠BDC．
课堂练习
（2）∠ADF＝∠BDE．
理由：因为∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，
又因为∠1＝∠2，
所以∠ADF＝∠BDE．
C
A
B
E
1
2
D
F
课堂练习
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α 与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中 ∠α与∠β相等？
课堂小结
本图片资源介绍了两角互余与互补的概念及余（补）角 的性质，适用于余角和补角的教学.若需使用，请插入 图片【知识点解析】互余与互补.
(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件
× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的 红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什 么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
6.3余角、补角、对顶角(2)课件
课堂小结
• 学习了对顶角的概念及其性质； 学习了对顶角的概念及其性质； • 经历“观察－－猜想－－说理”的 经历“观察－－猜想－－说理” －－猜想－－说理 认知过程，发展空间观念和有条理 认知过程， 的表达能力． 的表达能力．
因为OE平分∠ 因为 平分∠AOC， 平分 ， A 所以∠ 所以∠AOE= ∠EOC=25O E ∠AOC=2 ∠AOE=50O C 因为∠ 是对顶角, 因为∠AOC与∠BOD是对顶角 与 是对顶角 所以∠ 所以∠BOD= ∠AOC=50O 又∠AOE与∠BOE互补， 互补， ∠ 与 互补 COE与 DOE互补 互补， ∠COE与∠DOE互补， ∠AOC与∠COB互补 与 互补 所以∠ 所以∠BOE=180O- ∠AOE=155O ∠DOE=180O- ∠COE=155O ∠COB=180O- ∠AOC=130O 因为∠ 是对顶角, 因为∠AOD与∠BOC是对顶角 与 是对顶角 所以∠ 所以∠BOC= ∠AOD=130O
Ｂ ∠AOD与∠DOB互补 与 互补
2、如图，∠AOC=900，∠BOD=900， 、如图， 的关系是_____， 则∠１与∠３的关系是 相等 ，其理由 同角的余角相等 是__________________________.
B A
C
３ ２ １
o
D
0， 3、如图，∠1＋∠2＝180 、直线AB、 相交于点 相交于点O， 例1 如图，直线 、CD相交于点 ， OE平分∠AOC，∠AOE=250。你能说 平分∠ 平分 ， 出图中哪些角的度数？ 出图中哪些角的度数？
A E O C B D
练习1 练习 1.如图 直线 、DE相交于点 ，OE 如图,直线 相交于点O， 如图 直线AC、 相交于点 的平分线， 是∠AOB的平分线，∠COD=500， 的平分线 试求∠ 的度数。 试求∠AOB的度数 的度数
苏科版数学七年级上册6.3 余角、补角、对顶角课件
4. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等 的， 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 .
例1 如图 6.3 － 3，点O为直线AB上一点，∠ AOC=∠ DOE=90°.
解题秘方：由已知条件，结合互为 余角、互为补角的定义 解答 .
方法点拨 从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行： 一个方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：由已知得，∠ 1+ ∠ BOD=180°，∠ 4+ ∠ AOE=180°， 由(1)易知，∠ 1= ∠ 3，∠ 2= ∠ 4， 所以∠ 3+ ∠ BOD=180°，∠ 2+ ∠ AOE=180°. 又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180°，∠ AOC+ ∠ DOE=180°， ∠ DOE+ ∠ BOC=180°，
课堂小结
归纳新知
6.3 余角、补角、对顶角
数量关系 两个角
位置关系
互余和 互补
对顶角
同角（等角） 的余角（补角） 相等
对顶角相等
特别提醒 (1)如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. (2)“同角” 指同一个角，“等角”指度数相等的角. (3)余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
例2 如图 6.3 － 4，直线 AB 与∠ COD 的两边 OC， OD 分别相交于点 E， F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由 .
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°， 因为 OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25° .
方法技巧 进行角的计算时， “对顶角相等”这个结论常常被用
人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件
理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
人教版数学七年级上册 4.余角与补角课件(24张)
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的 度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种 疑问， 即为什 么只有 一部分 人会发 生联觉 现象。 一些人 用基因 来解释 这个问 题。有 研究者 已经注 意到， 如果一 个家族 中有一 人具有 联觉能 力，那 么很可 能会出 现更多 这样的 人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现 在数学 较差的 人身上 ，此外 ，左撇 子、方 向感较 差以及 有过预 知经历 的人也 通常会 出现联 觉现象 。也有 人认为 ，联觉 能力与 一个人 的创造 力有关 ，许多 著名的 科学家 和艺术 家都具 备联觉 能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180
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°
100
30
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60
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120
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150
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170
°
(1)若 1 2 3 180 ,则 1, 2, 3 互为补角. ( (2)互为余角、互为补角的两个
0
×)
×)
角一定有公共顶点.
(
1.定义中的“互为”是相互的意思.互为余角 和互为补角是对两个角来说的. 2.互为余角、互为补角的两个角不一定有 公共顶点.
教学目标：
1.掌握并理解余角和补角概念 2.熟练掌握余角和补角性质， 并且会用运性质求角的计算
复习回顾
(1) 1平角=180 B (2) 2 O 1 ∠1+∠2= ∠ AOB
1直角= 90
A
∠ 2= ∠ AOB- ∠1
今天我们继续研究两角之间的关系
这是同学们手中 的三角板的模型
1 和 2有什么关系？
例⒈已知∠α与∠β互为补 角，且∠β比∠α大300.求 ∠α与∠β的度数？
（３）一个角的补角是它余角的3倍，这个角 是多少度？ 解：设这个角为x度，则它的余角为 （90-x）度，它的补角为（180-x）度 列方程：3（90-x）=180-x x=45° 答：这个角为 45°.
观察与思考:
通过刚才的观察，如果 ∠1＝∠2那么
1
互为余角仅仅表明了两个角的数量 关系，而与角的位置关系无关。
2
如图这是一个长方形
P
1 2
1和 2有什么关系？
∠1＋∠2＝1800
互补：如果两个角的和等于1800（平角），我们 就说这两个角互为补角。把其中一个角称为另一 个角的补角
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角? 哪些互为补角?
∠1＋∠2＝900
互余：如果两个角的和等于900（直角），我
们就说这两个角互为余角。把其中一个角称 为另一个角的余角
如果 1＝300， 2＝250， 3＝350，那么 它们互为余角。 （错）
互为余角只是对两个角而言的。 两副直角三角板中， 1＝300， 2＝600, 它们互为余角. （对）
(1).∠ADC与∠ BDC 有相等的关 系，你能说明为什么吗？
E 1
D 2
F
A C
B
∵∠1＋∠ADC＝900， ∠2＋∠BDC＝900 ∴ ∠ADC＝900－ ∠1， ∠BDC＝900－∠2 又∵ ∠1＝ ∠2 ∴ 900－ ∠1＝ 900－∠2 即∠ADC＝ ∠BDC
等角（或同角）的余角相等。
试一试
类似的你能得到等角或同角的补角也相等吗?
如图, ∠1与∠ 2互补, ∠ 3与∠ 4互补,如果∠ 1= ∠ 3,那么∠ 2与∠ 4相等吗?为什么?
4
2
1
3
等角（或同角）的补角相等
练一练:在下列图形中找出一组相等的
角,你会用几何语言叙述为什么吗?
A 2 1 3 O4 B D
C
知识应用
一副三角板本身就蕴含着相等和互余，用一 副三角板还能构造出其它一些图形，其中蕴 含着相等、互余或者是互补的角，请大家动 手尝试，构造设计一些这样的图形.
1.上本作业：数学课本P163 习题1 、 3 2.课外作业：复习本节所学内容做练 习册对应内容
3.预习余角与补角(二)---方向角
(1) 角α
比一比，看谁填得快
α的余角 α的补角
500 670 23035' 900 1350 100035'
400 230 66025'
1300 1130 156025' 900
直角的补角是直角； 钝角的补5'
（2）若一个角为x度，则它的余角为 （ 90-x） 度，它的补角为__________ （180-x） ________ 度。
O
入 反 射 射 角 角
数学小知识
打台球时，球的反射角总是等于入射角.
back
A 1
6 7
B 2
8
9
3 4
5 C
40°
D
学以致用：如果∠5=40°,那么∠1应等于多少 度,才能保证蓝色球准确入袋？请说明理由.
今天我们学了什么？
（1）余角、补角的概念
注意：余角、补角与两个角的大小有关系，与
它们的位置没有关系。 （2）余角、补角的性质 等角(或同角）的余角相等； 等角（或同角）的补角相等。