江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：平面向量
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．2、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =二、解答题1、（常州市2015届高三）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．D（第16题）2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．(1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．3、（南京市、盐城市2015届高三）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .4、（南通市2015届高三）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .A PB （第16题）BACDB 1A 1 C 1 D 1 E第16题图O5、（南通市2015届高三）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º。
江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编 平面向量 苏教版
平面向量1、（常州市2013届高三期末）已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ．答案：2、（连云港市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ . 答案：4+22; 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ▲ ．答案：04、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，若AB =1，AC =3，||||AB AC BC +=，则||BA BC BC ⋅= ▲ ．答案：12． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是 ▲ .76、（苏州市2013届高三期末）已知向量a ，b ，满足1a =，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为 ．127、（无锡市2013届高三期末）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是8、（扬州市2013届高三期末）已知向量()()k b a ,1,1,2-==，若b a ⊥，则k 等于 ▲ ．AB MNECF第14题图答案：29、（镇江市2013届高三期末）已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实数x = ▲ ． 答案：09、（镇江市2013届高三期末） 在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ▲ ． 答案：－1210、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值；(2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. ………………………………14分 11、（泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b +的值 （2）若a b ⊥，求θ （3）20πθ=，求证：a b解：（1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分）｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin ((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z ……………………………………..........9分（3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·s in ［(10－λ) θ］=cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b (14)分12、（无锡市2013届高三期末） 已知向量(sin ,1)m x =-，向量1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n =+·m 。
江苏省常州市2015届高三第一学期期末考试(一模) 数学试卷 含答案
江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则A B I = ▲ ． 2． 设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲ ． 4． 函数()22()log 6f x x =-的定义域为 ▲ ．5．函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．6． 右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．8． 若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．9． 曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲ ．10．已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲ ．11．已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 ▲ ．12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = ▲ ．13．若不等式22()2cx y x x y --≤对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲ ．（第6题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c ，3A C p +=． （1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．D（第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分） 已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一 点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α 是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点P ，Q 分别在两条直线1:l y x =和2:l y x =-上运动，且它们的横坐标分别为角q 的正弦，余弦，[0,π]q ∈.记OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r，求动点M 的轨迹的普通方程.D ．选修4—5：不等式选讲已知0,0a b >>，证明：222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥.（第21-A 题）C【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,,,A B C D E 五种商品有购买意向.已知该网民购买,A B 两种商品的概率均为34，购买,C D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.23．（本小题满分10分）设n 个正数12,,,n a a a L 满足12n a a a L ≤≤≤（*N n ∈且3n ≥）． （1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a L 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{}0,1 23．8 4．(),-∞+∞U 5．2p 6．127 7．9108．1 9．202x y p --= 10．[)0,2 11 12．63413．4 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为A B C p ++=，3A C p +=，所以2B C =． ………………………2分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b Bc C=，2sin cos sin C C C =，化简得，cos C =………………………5分（2）因为()0,C p ∈，所以sin C ==．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………8分 （3）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………10分因为A B C p ++=，所以sin sin()sin cos cos sin 1()3A B C B C B C +-=++== ………………………12分因为b c =， b =92c =．所以△ABC 的面积119sin 222S bc A ==⨯． ………………………14分 16．证明：（1）连结AC ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． ………………………2分 在△PAC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥PA ． ………………………4分 因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分（2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ， 所以PO ⊥BD ．又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD I 平 面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD 所以PO ⊥平面ABCD ．从而PO ⊥CD ．……………………8分又因为CD ⊥PC ，PC PO P =I ,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ．因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分 因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分 又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CD PC C =I ,所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 17．解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分18． 解：（1）由题设，得11,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12,c a =⎧⎨=⎩，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………4分（2）令0m =，则3(1)2A ，，3(1)2B -，或者3(1)2A -，，3(1)2B ，．当3(1)2A ，，3(1)2B -，时，3(4)2P ，；当3(1)2A -，，3(1)2B ，时，3(4)2P -，，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =． ………………………6分 下面证明点P 恒在直线4x =上．设11()A x y ，，22()B x y ，，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明1(4)P y ，在直线BD 上． ………………………8分D由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(43)690m y my ++-=，2144(1)0m D =+>Q ，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+．① ………………………10分 ∵212212122233()002255533341()222222DB DPy y my y y y y k k x my my -----=-=-=--+-- 121222+332y y my y my -=-， ………………………13分 ①式代入上式，得0DB DP k k -=， 所以 =DB DP k k ． ………………………15分 ∴点1(4)P y ，恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ， 所以存在一条定直线2l ：4x =使得点P 恒在直线2l 上． ………………16分 19．解：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞U ． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-Q ，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分20．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分 （2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立． ………………………5分1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-I （，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<， 故函数()y Q x =在11,1x b ∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞U ，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 12b =，从而实数b 的取值集合为1{}2． ………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． ………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角， 所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分 同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． ………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：由题意，1l ，2l 是方程2()0a f ab b l l l l-==-=-的两根． 因为11l =，所以1ab =．① ………………………2分又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ ………………………5分 所以221ab l ==． 因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． ………………………8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设(,)M x y ，则sin cos ,sin cos ,x y q q q q =+⎧⎨=-⎩………………………2分 两式平方相加得222x y +=． ………………………5分又π),4x q =+π),4y q =-[0,π],q ∈所以x ⎡∈-⎣，y ⎡∈-⎣. ………………………8分所以动点M 轨迹的普通方程为222x y +=（,x y ⎡∈-⎣）．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为0,0a b >>所以2230a b ab ab ++=>≥， ………………………4分22130ab a b ab ++>≥， ………………………8分 所以222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥. ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,4,5i A i =，则：5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=,114223322133221223311()(1)(1)(1)4433244332334423P A C C =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=,……………2分 所以该网民至少购买4种商品的概率为 541111()()8324P A P A +=+=. 答：该网民至少购买4种商品的概率为1124. ………………………3分 （2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,4,5， 332211(0)(1)(1)(1)(1)(1)44332288P h ==-⨯-⨯-⨯-⨯-=,11223322122331(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P C C h ==⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯-+1332211(1)(1)(1)(1)24433288⨯-⨯-⨯-⨯-=, 3322122331(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P h ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯-⨯-+11222233133221(1)(1)(1)(1)(1)(1)3344244332C C -⨯⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 112233221(1)(1)(1)44332C C +⨯-⨯⨯-⨯-=47288, 1114711(3)1(0,1,2,4,5)128828828838P P h h ==-==-----=97288, 41(4)()3P P A h ===, 51(5)()8P P A h ===. ………………………8分 所以：随机变量h 的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………10分23．解：（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ =0， 所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++++≥成立． ………………………4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）．…5分 记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L +， 当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立；假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L ≥+． 则当1n k =+时，()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=+++++-++++L L + =111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-++++---+ …………………………7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+ =()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a a a a +++++++=≤， 所以10k F +≥， 所以当1n k =+，不等式成立． …………………………9分 综上所述，不等式23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）成立．…10分。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：不等式
小值为
．
8．(苏州市 2015 届高三上期末)已知 a, b 为正实数，且 a b 2 ，则 a2 2 b2 的最小值为 a b1
9．(泰州市 2015 届高三上期末)已知实数 a, b, c 满足 a2 b2 c2 ， c 0 ，则 b 的取值范围为 a 2c
10．(无锡市 2015 届高三上期末)已知正实数 a, b 满足 9a2 b2 1，则 ab 的最大值为 3a b
6
的最大值为
3．(连徐淮宿四市 2015 届高三)若实数 x ， y 满足 x y 4≥0 ，则 z x2 y2 6x 2y 10 的最小值为
____________
4．(连徐淮宿四市
2015
届高三)已知函数
f
x
x2 ,
x2
x ≥ 0, 2x, x 0
，则不等式
f
(
f
(x)) ≤3 的解集为
2x y 0
(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
5
6．(无锡市 2015 届高三上期末)已知函数 f x x 1 x a ． (1)当 a 2 时，解不等式 f x 4 ； (2)若不等式 f x a 恒成立，求实数 a 的取值范围．
(1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)求 S 的最大值．
2
2．(南京市．盐城市 2015 届高三)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图
乙所示：曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E(0,t) ( 0 t 25 ，单位：米)；曲线 BC 是抛
物线 y ax2 50(a 0) 的一部分； CD AD ，且 CD 恰好等于圆 E 的半径． 假定拟建体育馆的
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：导数及其应用
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（常州市2015届高三）曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲二、解答题1、（常州市2015届高三）已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，求证：1212x x +≥．3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+. （1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.4、（南通市2015届高三）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()(1)x f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）7、（无锡市2015届高三上期末）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数2(),()xf x eg x ax bx c ==++。
江苏省苏州市2015届高考数学 必过关题7 平面向量
2015届苏州市高三数学过关题7——平面向量一、填空题【考点一】平面向量的概念及线性运算1．在平面直角坐标系xoy 中，点( 1.2) B A --、(2,3),C(-2,-1)．则以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 ．【答案】[解析] 由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=，∴．||||AB AC AB AC +=-=∴所求的两条对角线的长分别为、2．[2012年第4版·必修4教材第72页第10题]设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若==,，= ，= （用,表示）． 【答案】221,333OP OB BA a b =+=+[解析]因为b -=所以221,333OP OB BA a b =+=+ 112333OQ OB BA a b =+=+ ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = ．【答案】()1,1--.[解析](1,3)(2,4)(1,1)AD AC AB =-=-=--.4．[2012年第4版·必修4教材第78页例4]已知),,(),,(222111y x P y x P P 是直线21P P 上一点，且)1(21-≠=λλPP P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】)1,1(2121λλλλ++++y y x x[解析]设),(y x P ，则).,(),,(222111y y x x PP y y x x P --=--=由21PP P λ=得),(),(2211y y x x y y x x --=--λ 得到⎩⎨⎧-=--=-)(),(2121y y y y x x x x λλ因为,1-≠λ所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 因此，P 点坐标为)1,1(2121λλλλ++++y y x x ．5．ABC ∆中设,,AB a AC b ==AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP = ．（用,a b 表示）【答案】2477AP a b =+[解析]()1122AP AC CP AC CR AC BR BC =+=+=+-()()1142AC AQ AB AC AB =+--- 111248AC AB AP =++,所以2477AP a b =+【考点二】平面向量的数量积6．若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+ ，1232,b e e =-+ 则a b ⋅= ．【答案】72-[解析] ()1212127(2)324.2a b e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅=- 考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积.7．[2009·重庆卷]已知向量(1,1),(2,)a b x ==若a b + 与42b a - 平行，则实数x 的值是．【答案】2x =[解析]解法1 因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- 由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =．解法2 因为a b +与42b a -平行，则存在常数λ，使(42)a b b a λ+=-，即(21)(41)a b λλ+=-，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故2x =8．[2012年第4版·必修4教材第87页例4]在⊿ABC 中，设),,1(),3,2(k ==且⊿ABC是直角三角形，则k 的值为 ． 【答案】;32-或;311或2133± [解析]若∠A =90°，则AB AC ⊥，于是0312=⨯+⨯k ，解得;32-=k 若∠B =90°，则AB BC ⊥ ，又()13BC AC AB ,k ,=-=--故得0)3(3)1(2=-⨯+-⨯k 解得;311=k 若∠C =90°，则AC BC ⊥，故0)3()1(1=-+-⨯k k解得2133±=k ； 所求k 的值为;32-或;311或2133±.9．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = ．【答案】 77(,)93--[解析] 不妨设(,)C m n = ，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=- ，对于()//c a b + ，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-，所以c =77(,)93--10. [2009·辽宁卷理]平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += ．【答案】[解析] 由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=11．[2014·江苏卷] 如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅ 的值是 ． 【答案】22.AP AD DP ABP BC CP B=+==+= [解析]由题意所以221313()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅=+⋅-=-⋅-即1322564216AD AB =-⋅-⨯,解得22AD AB ⋅=12．[2012年第4版·必修4教材第89页15题]设()()321a x,,b ,,==-若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 【答案】23<x [解析]cos ||||a ba b θ⋅==因为θ为钝角，所以0cos <θ则032<-x 所以23<x ． 【考点三】平面向量的基本定理第11题13．设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若12DE AB AC λλ=+(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .【答案】12[解析]1212()2323DE AB BC AB AC AB =+=+- 12DE AB AC λλ=+所以1212λλ+=． 14．如图,在△ABC 中,AN =31NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +112AC ,则实数m 的值为 ．[解析]【答案】311 [解析]123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=- ,设,NP NB λ= 则14AB AC λλ-= 344mAB AC - ，3.11m λ==15．如图,在正方形ABCD 中,已知2=AB ,M 为BC 的中点,若N 为正方形内（含边界）任意一点,则AM AN ⋅的最大值是 ．【答案】6[解析]以AB 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,设N （x ，y ）则(,)AN x y = ,(2,1)AM = ,则2AM AN x y ⋅=+因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,由线性规划的知识可得26AM AN x y ⋅=+≤ ．【考点四】平面向量的应用16．在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,AB ·BC＝1,则BC ＝ ．【答案】 3.[解析]由AB →·BC →＝1可得2||BC cos (180°－B )＝1,即2|BC |cosB ＝－1,又由三角形的余弦定理可得32＝||BC 2＋22－2×2||BC cosB ，把2||BC cosB ＝－1代入,解得9＝||BC 2＋4＋2,即||BC＝第14题BDCNMA第15题3.17．在△ABC 中,若AB =1,AC||||AB AC BC += ,则||BA BC BC ⋅ =________． 【答案】12. [解析]本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅ =2BA =1 . 所以||BA BC BC ⋅=12 18．[2006·江苏卷]已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为________.【答案】x y 82-=[解析]设P （x ，y ），0,0x y >>，M （－2，0）、N （2，0），MN 4=，则MP (2,), NP (2,)x y x y =+=-，由|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则4(2)0x -=，化简整理得x y 82-=19．在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上,则2+⋅的最小值是 ．【答案】[解析]解法一：问题可转化为已知PBC ∆的面积为1,求2+⋅的最小值. 设PBC ∆中点,,P B C 所对的边分别为,,p b c ， 由题设知sin 2bc P =，∴22222cos (2cos )cos 2(2cos )2cos sin PC PB BC bc P b c bc P b c bc P P bc bc P P ⋅+=++-=+--≥-=从而进一步转化为2cos sin PP-的最小值.（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）解法二：建立坐标系，立即得目标函数.由题设知，PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>,则22(,),(,),PB t PC a t a a=--=--∴222222443()()024a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+当且仅当,2at a ==,∴2+⋅的最小值是20．对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b ＝ ．【答案】32.[解析]根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |≥cos θ>22,b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |≤cos θ<1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以b ∘a ＝|b |cos θ|a |＝12,|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ<2,所以1<a ∘b <2,所以a ∘b ＝32.二、解答题21．[2012年第4版·必修4教材第97页第12题]已知)1,(),3,7(),5,3(),1,(-b D C B a A 是菱形的四个顶点，求实数b a ,的值． 【答案】9,55,1====b a b a 或[解析]（1）若BC 为菱形的边，且=，即)2,()2,4(--=-a b则,4=-a b 且AB 的模等于的模，即41616)3(2+=++a 所以9,55,1====b a b a 或（2）若BC 为菱形的边，且=即)2,()2,4(b a -=-不成立（3）若BC 为菱形的对角线，则0=⋅，即1,04_)(4-=-=-a b a b 且=，即)4,7()4,3(--=-b a ，显然不成立． 综上可知，9,55,1====b a b a 或．22．在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段,OA OB 分别相交于点,M N ，若sin ,OM OA θ=⋅ cos ON OB θ=⋅ 其中，(0,)2πθ∈（1）求sin 2θ的值；（2）记OMN ∆的面积为1S ，平行四边形OABC 的面积为S ，试求1S S之值.【答案】（1）2；（2）112S S =[解析]（1）由题意得OC AB OB OA ==-所以(1sin )MC OB OA θ=-+⋅，又cos sin MN OB OA θθ=⋅-⋅又因为,,M N C 三点共线，得cos sin 11sin θθθ=+，则sin cos sin cos θθθθ-=⋅（1） （1）式两边平方，得2212sin cos sin cos θθθθ-⋅=⋅，即2sin 24sin 240θθ+-=解得：sin22)θ=或舍去（2）由题意得，11||||sin 2S OM ON AOB =⋅∠ =11sin 222AOB S S θ∆⋅=即112S S -=.23．在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【答案】4A π=[解析]（1）证：设ABC ∆三边分别为c b a ,,，则B ca A cb cos 3cos =，B A A B cos sin 3cos sin =∴，∴tan 3tan B A =；（2）法一：由cos C =2tan =C ，2tan )tan(-=-=+∴C B A ，2tan tan 1tan tan -=-+∴B A B A ，又tan 3tan B A =，2tan 31tan 42-=-∴AA，1tan =∴A ，由tan 3tan B A =＞０知)2,0(π∈A ，=∴A 4π．法二：由（1）B a A b cos 3cos =得22222b c a =+，由c os C =得ab c b a 52222=-+，从而ab b a 52322+=，aba b 52322+=，解得53=a b ，53sin sin =∴A B ，59cos 1cos 122=--∴A B ，结合B a A b cos 3cos =与53=a b 知A a b B cos 3cos =， 22cos =∴A ，又由（1）知)2,0(,π∈B A ，=∴A 4π．24．在平面直角坐标系x O y 中,点A (－1,－2)、B (2,3)、C(－2,－1) ． （1）求以线段AB 、A C 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()AB tOC OC -⋅=0,求t 的值．【答案】（1）所求的两条对角线的长分别为（2）115t =-[解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ,则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E 为B 、C 的中点,E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为B C=A D=（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(()AB tOC OC -⋅ =0,得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=,从而511,t =-所以115t =-．或者 2· AB OC tOC = ,(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- ．25．如图ABC ∆中,3,AB BC CA PQ ==是以A 为圆心,以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时,BP CQ ⋅有最大值和最小值．【答案】0θ=时BP CQ ⋅ 有最大值0；πθ=时BP CQ ⋅有最小值-6 [解析]11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅ 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅ 22221cos ()2ar b c a r θ=++--，当cos 1θ=，即0θ=时， ()2222max11()(239)131022BP CQb c a r ar ⋅=+--+=+--+⨯=； 当cos 1θ=-，即πθ=时， ()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-．26．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的点，若 ,AE mAB AF nAC ==，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．（1）,,A M N 三点共线，求证:m n =；（2）若1m n +=，求||MN的最小值．【答案】4[解析]（1）由,,A M N 三点共线，得//AM AN， 设AM AN λ= （λ∈R ），即11()()22AE AF AB AC λ+=+ ，所以()mAB nAC AB AC λ+=+，所以m n =．（2）因为MN AN AM =- ＝11()()22AB AC AE AF +-+ 11(1)(1)22m AB n AC =-+- ，BQACP第25题ABCEFM N 第26题又1m n +=，所以11(1)22MN m AB mAC =-+，所以22222111||(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅＝222111113(1)(1)()4444216m m m m m -++-=-+，故当12m =时，min ||MN = ．三．课本改编题：1. 原题[2012年第4版·必修4教材第73页习题2.2第15题] 已知,OA OB不共线，设OP OA bOB α=+,,a b 均为实数，且满足1a b +=，求证：,,A B P 三点共线．变式1：已知OA = a + 2b ，OB = 2a + 4b ，OC =3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-= a + 2b ，AC OC OA =-=2a + 4b ，∴ 2AC AB =所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA = a + b ，(2)OB m =-a + 2b ，(1)OC n =+a + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．【答案】260m n --=[解析](3)AB OB OA m =-=-a +b ，AC OC OA n =-= a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．2.原题[2012年第4版·必修4教材第91页复习题第10题]已知：,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥变式1：如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：222228PA PB PC PD r +++=证明：OP OA OP OA PA ⋅-+=2222 ，OB OP OB PB ⋅-+=22222，OP OC OP OC PC ⋅-+=22222 ，OP OD OP OD PD ⋅-+=22222， 以上各式相加可证．变式2：已知△ABC 中，===,,，若⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.证明：⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++， )(b a c +-=， 故0))((=-+- ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．变式3：已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OE OD OC OB OA 4=+++.证明∵E 是对角线AC 与BD 的交点，∴DE ED BE CE EC AE -==-==,. 在△OAC 中，=+，.同理有OE DE OD OE CE OC OE BE OB =+=+=+,, 四式相加可得：4=+++.变式4：四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：)(21+=证法一 ∵E 、F 分别为DA 、BC 的中点.∴BF FC EA DE ==,又∵+++=0①+++=0② ①+②，得2)()()(AE DE BA CD FB FC EF ++++++=0∴2+=-+-=)(∴)(21+= 证法二 连结EC ，EB∵=+，①=+② ①+②,得2+0=EB EC +，∴)(21+=又∵DC ED EC +=③ AB EA EB +=④③+④,得)(21AB EA DC ED EF +++=又∵EA ED +=0， ∴)(21DC AB EF +=.3.原题[原题[2007南通高三押题]如图,设P ,Q 为△ABC 内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ． 【答案】45. [解析] 设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ ,由平行四边形法则,知NP ∥AB ,所以ABP ABC S AN S AC∆∆=＝15,同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=,故45ABP ABQ S S ∆∆=． 变题1．已知点O 在ABC ∆内部，且有2=++． 求AOC ∆与AOB ∆的面积比．【答案】1:2[解析]如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：==+2，由题意知2-=+，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得C N MQPBAEDFO AB ABC S S ∆∆=2，AO C AD C ABC S S S ∆∆∆==42，因此AOC ∆与AOB ∆的面积比为1:2变题2．已知点O 在ABC ∆内部，且有42=++，求OAB ∆与OBC ∆的面积比．【答案】4:1[解析]如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为OE 的四等分点，这样才有42=++成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8===∆∆∆EO A D O E AO D S S S 所以4,1,2===∆∆∆OAB BO C AO C S S S ，所以OAB ∆与OBC ∆的面积比4:1通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的拓展 面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：已知点O 在ABC ∆内部，且有0321=++OC OB OA λλλ不妨设321,,λλλ均大于1 则321::::λλλ=∆∆∆O AB O AC O BC S S S证明：如图：设O 是DEF ∆的重心，那么=++（重心的向量式） 不妨设OC OF OB OEOA OD 321,,λλλ===，由三角形的面积公式得AOBS OAB ∠⋅=∆，AOB S ODE ∠=∆因此211λλ=∆∆ODE OAB S S ，同理321λλ=∆∆OEF OBC S S ，131λλ=∆∆OFD OCA S S ，又因为O FD O EF O D E S S S ∆∆∆== 所以321211332::1:1:1::λλλλλλλλλ==∆∆∆OAB OAC OBC S S S。
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：圆锥曲线
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2015届高三）已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在该椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a =▲ .4、（南通市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是5、（苏州市2015届高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为6、（泰州市2015届高三上期末）双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲7、（无锡市2015届高三上期末）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x = ，则该双曲线的离心率为8、（扬州市2015届高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿二、解答题1、（常州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 恒谦网过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为14x =-，过点(0,2)M -作抛物线的切线MA ，切点为A (异于点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．（1）求抛物线的方程；（2）试问：MN MNMB MC+3、（南京市、盐城市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.4、（南通市2015届高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.5、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定6、（泰州市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N两点．若直线PQ时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．7、（无锡市2015届高三上期末）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .(1)若0m =时，求12k k ×的值； (2)若121k k ?-时，证明直线:l y kx m =+过定点.8、（扬州市2015届高三上期末）如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC ＝2AC 。
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江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
平面向量
一、填空题
1、（常州市2015届高三）已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 ▲
2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在△ABC 中，已知3AC =，45A ∠=，点D 满足2CD DB =，且13=AD ，则BC 的长为 ▲
3、（南京市、盐城市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B
两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344
OC OA OB =+，则r = ▲ . 4、（南通市2015届高三）如图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=， 则AB =
5、（苏州市2015届高三上期末）如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，
点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE 的值
为
6、（泰州市2015届高三上期末）在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC =，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足DP BP AP 4++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲
7、（无锡市2015届高三上期末）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?o ,点,E F 分别在边,BC DC 上，
,BE BC CF CD 恒谦网l l ==u u r u u u r u u u r u u u r .若1AE BF ?-uuu r uuu r ，则l =
8、（扬州市2015届高三上期末）已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿
二、解答题
1、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin
)θ=a ，π(sin(),1)3
θ=+b ，R θ∈． (1) 若⊥a b ，求tan θ的值；
(2) 若a ∥b ，且π(0,)2
θ∈，求θ的值．
2、（苏州市2015届高三上期末）已知向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ==，且,a b 共线，其中(0,
)2πθ∈. （1）求tan()4π
θ+的值；
（2）若5cos(),02πθϕϕϕ-=<<
，求ϕ的值.
3、（无锡市2015届高三上期末）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-r r . (1)当时，求tan()4
x p -
的值； (2)设函数()2()f x a b b =+ r r r ，当0,2x p 轾犏Î犏臌时，求()f x 的值域.
参考答案
一、填空题
1、3 3、4 6、2
8、e
解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+．
依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点． 1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a
-=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >， 设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >， 从而当且仅当log a x e =时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e =．
二、解答题
1、(1)因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，…………………………………………………………2分
所以π2sin sin 03θθ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin cos 022θθ+=． …………………4分
因为cos 0θ≠，所以tan θ=． …………………………………………6分 (2)由a ∥b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭， ………………………………………………8分
即2ππ2sin cos 2sin cos sin
133θθθ+=，即()11cos 22122θθ-+=， 整理得，π1sin 262θ⎛
⎫-
= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………11分 又π0,2θ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=． ……14分 2、解 （1）∵a ∥b ，∴sin 2cos 0θθ-=，即tan 2θ=． ………………………………4分 ∴π1tan 12tan()341tan 12
θθθ+++===---． ………………………………………………7分
（2）由（1）知tan 2θ=，又π
(0,)2θ∈，∴sin 55
θθ=
=， …………9分
∴5cos()θϕϕ-=，
∴5(cos cos sin sin )θϕθϕϕ+=ϕϕϕ+=，
∴cos sin ϕϕ=，即tan 1ϕ=， ………………………………………………………12分 又02πϕ<<，∴4πϕ=． ……………………………………………………………14分
3、。