(lzk)第10~11课时：列方程解决实际问题(4~5)——行程问题和工程问题

第10课时列方程解决实际问题（4）——行程问题
【学习目标】学会分析行程问题中的环形问题以及流水行船问题的数学关系，能运用方程解决问题. 【学习重点】行程问题中的环形问题、流水行船问题的数学关系分析.
【学习过程】
一、预备练习
行程问题，涉及的等量关系为：路程=速度×时间，
预备练习：甲、乙两地相距x千米，小王每小时行4千米，小李每时行5千米，从甲地到乙地，小李比小王少用小时.
二、典型例题
例1，小明每天早上要在7:30分之前赶到距家1000米的学校上学.一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带数学书.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他，问爸爸追上小明用了多长时间？此时小明距离学校还有多元？
分析：当爸爸追上小明时，小明行走的路程和爸爸行走的路程是相等的，根据这个等量关系，我们可以立出方程求解。

解：设爸爸追上小明用了x分钟，根据题意有：
5×80＋80x =180x,
解之得：x =4，
∴爸爸追上小明用了4分钟.
此时，小明距离学校的距离=1000－80×（5＋4）=1000—720=280（米）.
下面我们来学习两类特殊的行程问题的解法.
三.流水行船问题
流水行船中，船的顺水速度＝船静水中的速度＋流水的速度，
船的逆水速度＝船静水中的速度－流水的速度.
例2，一条轮船在两码头间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，水速是2千米，求轮船在静水中的速度.
分析：顺水速度＝静水速度＋水流速度, 逆水速度＝静水速度－水流速度
寻找等量关系：顺水航行的路程＝逆水航行路程
解：设轮船静水速度为x千米/小时，依题意得方程：
，
解出：x=，
答：.
即时练习1：
静水中，甲、乙两船的速度为22千米、18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2
小时，若水速是每小时4千米，则甲开出后小时可追上乙.
四、环形跑道问题
环形跑道问题中，若是同向出发，则是追及问题，当两人第一次相遇时，一人比另一人多跑一圈：若是背向出发，则是相遇问题，当两人第一次相遇时，两人所行的路程之和等于环形跑道一周的长度.
例3，甲、乙二人在450米环形跑道上练习跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，问：（1）二人同时同地背向而跑，多少时间后两人第一次相遇?
（2）二人在相距9米处同时背向而跑，多少时间后两人第二次相遇?
分析：因是背向出发，是相遇问题.
在问题（1）中，两人第一次相遇时跑过的距离之和是跑道一圈的长度450米；
在问题（2）中，两人第二次相遇时跑过的距离之和是两圈差9米，即
450×2- 9= 891（米）.
解：（1）设x分钟后甲、乙第一次相遇，则根据题意得方程为：
，
解之得：x=，
答：.
（2）
即时练习2：
李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两人同时从起跑点出发同向而行，则出发后李明第一次追上张忆时，张忆跑了米.
分析：因为是同向出发，是追及问题，李明的速度比张忆快，所以当李明第一次追上张忆时，李明实际上比张忆多跑了一圈，即有等量关系：李明的路程=张忆的路程＋300米.请你思考，应怎样设未知数？
五、反思小结
行程问题中，要分清楚不同的人在各段时间内行走的路程，以及这些路程之间的关系.
1.流水行船问题中，顺水速度=静水速度＋，逆水速度= －水流速度；
2.环形行程问题中，若是同向出发，则是问题，其数量关系是：；若是背向出发，则是问题，其数量关系是.
本课时达标检测
一、必做题
1．A、B两个车站相距离108千米，某天16点整，甲乙两辆汽车分别同时从A、B两站出发，相向而行，已知甲车的速度为45千米/时，乙车的速度为36千米/时，则两车相遇的时间是（）
A. 16：30
B. 17：20
C. 17:30
D. 16：50
2．已知一船往返于A、B两港之间，逆水行驶速度为6km/h，顺水行驶速度为10km/h，则船在静水中的速度为（）
A. 16km/h
B. 4km/h
C. 20km/h
D. 8km/h
3.一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两城市之间的飞行路程是多少千米？
二、选做题
4．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）
A. 2或2.5
B. 2或10
C. 10或12.5
D. 2或12.5
5.一条船从A地顺流而下，每小时35千米到达B地后，又逆流而上回到A地.逆流比顺流多用4小时，已知水速是每小时5千米，则A、B两地相距千米.
6. 已知一辆汽车从A地以60km/h的速度匀速开往B地，40分钟后，另一辆汽车从B地以70km/h 的速度匀速开往A地，A、B两地相距300km，求两车相遇地点距A地有多远？
三、能力提升
7.两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟比乙多跑50米，如果两人同时同地反向出发，则经过5分钟相遇.如果两人同时同地同向出发，则经过45分钟甲追上乙. 求甲、乙两人的速度
第11课时 列方程解决实际问题（5）——工程问题
【学习目标】学会分析工程问题中的数学关系，能运用方程解决问题.
【学习重点】工程问题中的数学关系分析.
【学习准备】
1．工程问题中，我们把总工作量看作单位1，则工作效率是=
工作时间1. 2．预备练习：（请选择合适的答案的番号填入括号内）
若一个工程甲单独做需要4天才能完成，则甲每天完成总工程量的（ ）；乙单独做需要6天才能完成，则乙每天完成总工程量的（ ）；若两人合作，则两人每天可完成总工程的（ ），且共需（ ）天才能完成这项工作. A.41 B.61 C.125 D. 5
12 【学习过程】
下面这道题的类型，你在小学可能就做过，让我们复习一下这类问题的解法，请你完成解答过程.
例1，一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现由甲独做了10小时.
（1）如果剩下的由乙独做，需几小时完成?
（2）如果剩下的由甲、乙合做，还需多少小时完成?
（3）如果剩下的先由乙独做5小时，再由甲、乙合做，还需多少小时完成?
解：（1）甲的工作效率是30
1，甲、乙合做的工作效率是241， 则乙单独做的工作效率为241－30
1= ， 所以如果剩下的由乙独做，则需要的时间为： （1－30
1×10）÷ = . （2）如果剩下的由甲、乙合做，则需要的时间为： （1－30
1×10）÷ = . （3）如果剩下的先由乙独做5小时，再由甲、乙合做，则需要的时间为： （1－
301×10－5× ）÷241= . 即时练习1：
（1）某项工程甲单独做要45天完成，乙单独做要30天完成，若乙先单独做22天，剩下的甲花了x 天才做完.
则根据题意，可列出的方程是: .
例2，要修一条公路，甲工程队单位独修12天可以完成，乙工程队单独修完要比甲工程队多用3天，甲工程队单独修3天后，乙工程队加入，则还需要多少天才能完成？
解：设需要x 天才能完成工程，
甲队的工作效率是121，则乙队的工作效率是15
1， ∴两队合做的工作效率是121＋151=20
3， 根据题意，可列方程为：
1－121×3=20
3x ， 解之得：x =5（天），
答：乙加入后，都还需要5天才能完成工程.
归纳：对比例1的（2）问和例2的解法，我们发现利用等量关系，运用方程的思想，更容易解决问题。

思路也更简单.
例3，一项工程，甲单独干需36天完成，乙单独干需24天完成，丙单独干需18天完成。

开始时，三人合作，3天后甲因事离开，又过了3天，乙也因事离开，问：丙还需多少天才能完成这项工程？
分析：本题中，三人完成的工作总量还是1，为了理清各人完成了多少工作总量，我们建立下表，请你把表格内容完善. 设丙还需x 天才能完成这项工程.
现在要解决这个含未知数的问题，最重要的是要找到方程.想一想，等量关系在哪里呢？你会解答了吗？试一试吧！
解：
三、反思小结
工程问题中始终要抓住单位1，并根据等量关系列方程解决问题. 甲 乙 丙
工作效率 工作时间 工作总量
本课时达标检测
一、必做题
1．一件工程，若甲独做需要3小时完成，乙单独做需要5小时完成，则两人合做x 小时完成的工作量是 .
2. 一个水池有甲乙两个水龙头，单独开甲龙头，2小时可把空池灌满，单独开乙龙头3小时可把空池灌满. 若只开甲龙头，则注满水池的3
2需要（ ）. A. 2小时 B. 34小时 C. 43小时 D. 3
1小时 3.整理一批资料，由一人做需80小时完成，现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的
4
3，则最先安排了多少人做？
二、选做题 4.一个数，它的六分之一，它的十二分之一，它的七分之一，它的一半，加起来的总和比它本身少数9，设这个数为x ，则可以立出的方程是 ，解方程得这个数是 .
5．一项工程，甲队单独做需要9天完成，乙队独做需要6天完成，丙队单独做需要15天完成. 若甲、丙两队合作3天后，由乙、丙两队继续合作，问乙、丙两队还需合作几天才能完成？
三、能力提升
6. 学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天. 现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？。