2.2.1等差数列的概念课件(41张) 高中数学 必修5 苏教版
高中数学苏教版必修5： 第1课时等差数列的概念及通项公式
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．()(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝.【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【答案】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝.【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【答案】6[小组合作型]等差数列的判定与证明判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.【精彩点拨】作差a n－a n―→代数运算―→利用等差数列定义判断＋1－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意【自主解答】(1)a n＋1性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n }是等差数列的基本方法，其步骤为： (1)作差a n ＋1－a n ； (2)对差式进行变形；(3)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d 是一个定值，它不随n 的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)，记b n ＝a n ＋1－a n .求证：对任意实数p 和q ，数列{b n }是等差数列．【证明】 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ， ∴b n ＋1－b n ＝(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n ) ＝2p 为一个常数， 故数列{b n }是等差数列.等差数列的通项公式已知数列{a n }是等差数列，且a 5＝10，a 12＝31.【导学号：92862034】(1)求{a n }的通项公式； (2)若a n ＝13，求n 的值．【精彩点拨】 建立首项a 1和d 的方程组求a n ；由a n ＝13解方程得n . 【自主解答】 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意可知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】 依题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16， 即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]等差数列的应用探究1 若数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋1且a 1＝1，则a 5如何求解？ 【提示】 由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1. ∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2，∴a 5＝52＝25.探究2 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】 设第n 排有a n 个座位，由题意可知 a n －a n －1＝2(n ≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n＝－20，n≥2，n∈N*.所以－1每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123...？ (60)距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.1．下列数列中是等差数列的为(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10. 【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【答案】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【答案】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝.【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【答案】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是数列，其公差为.【导学号：92862035】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【答案】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.。
数学：《等差数列》课件(苏教版必修5)
解：a1=1,
a2 1 1 1 2
a3 1 1 2 3 2
a4 1
2 3
5 3
a
a1=4
a2=5=a1+1
a3=6=a2+1 …………
an=an-1+1 （2≤n≤7）
定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几 项），
且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数 列的递推公式
试求 a p q .
解：设公差为 d , 则因为 a p a q ( p q ) d ,
所以 d
a p aq pq
q p pq
1.
从而 a p q a p qd q q ( 1 ) 0 .
所以 a p q 0 .
Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
已知数列
a n 中，
a1 3,
1 an
1 a n 1
5 ( n 2 ),
则 a n ____ .
已知数列 a n1
a n 满足，
a 1 1,
2a n an 2
( n N ), 则 a n ____ .
设数列
a n 是等差数列，
a p q , a q p ( p q ),
5. 在等差数列{an}中a1+an
=
a2+ an-1 = a3+ an-2
=…
数列 a n 是等差数列，
m ,n,p,q N ,且 m n p q,
求证： a m a n a p a q .
证明：设
必修五221等差数列的概念PPT课件
(2)在数列{an}中,若对于任意的正整数n(n≥2)，
a a 都满足 a n
n 1
n 1
2
那么数列{an}一定是等差数列。
课堂练习
❖ 教材P35,1-5
10
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
解 :设这三个数为a d,a,a d.
定义：如果一个数列从第 _二__ 项起，每一项
减去它的 前__一__项__的差都等于 __同___ 一常数 d，
这个数列叫做 _等__差__数__列___ ，d 为此数列的 ___公__差_____。
问题1：由数列的前几项（有限项）按 定义作差都为同一常数，能否说明此数 列为等差数列？ 不能
问题2：公差d一定是由 后 项减 前 项 所得。 问题3：判断数列为等差数列的方法：
15
要 5、如果在两a个 与b数 中间插入一A，个
使得 a、、A、构成等差，数那列么 A叫做
点 a与b的等差中 . 项
复
6、如果 a、、A成 、等差，数那列么
习
Aab
2
16
2.2.1 等差数列的概念
镇江市实验高级中学 张强
观察下列数列： （1） 6，3，0，－3，－6，－9，…
（2） 1，11，21，31，41，… （3） 1，1，1，1，…
请同学们仔细观察，看看以上三个数 列有什么共同的特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它 前面一项的差等于同一个常数。
我们给具有这种特征的数列一个名 字------等差数列
课后作业
❖1.双测：P19-P20
❖2.预习2.2.2等差数列的通项公式
今天下午活动课考试名单：陈纪先、陈若彦、邓 毓婷、杜雪滔、纪晓苏、李浩铭、李嘉俊、李欣 媚、林宇、刘天石、卢修文、马蕾、沈羿安、束 放、王郁楠 、吴淦、吴越、徐畅、徐天钧、徐煜 宇、杨家欢、易霖、张海燕、张若弛、张天羿、 张依林
苏教版高中数学必修五课件2.2.1-2《等差数列(2)》.pptx
2．在等差数列{an }中，a2 a8 10，
log2 a3 log2 a7 4，求an.
拓展提高：
已知
f
(x)
3x x3
，数列 an
满足 1
an
f
( 1 )(n 2) an 1
，且
a1
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复习回顾
①等差数列定义：即 an an1 d (n≥2)
②等差数列通项公式：an a1 (n 1)d (n≥1)
推导出公式： an am (n m)d
d an am
nm
还有其他 性质吗？
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
取出数列中的奇数项，组成一个新的数列， 这个新数列是等差数列吗？
2an ank ank (n k 0)
探究
1，3，5，7，9，11，13，15，……
a1 a5 a2 a4 ? a2 a5 a3 a4 ? 猜想若m n p q,则am an ap aq
在等差数列an中，若m n p q,
则am an ap aq 即下标和相等，对应项之和相等
例题分析 例1 .在等差数列{an}中: (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
例题分析
例2.三个数成等差数列，它们的和为12， 首尾二数的积为12，求此三数.
例 3：已知数列{bn }和{an }是正数项等差数列，
满足bn aan (n N * )，又 b2 b6 38，b3 15，求a2007 .
高中数学第二章数列2.2第一课时等差数列的概念及通项公式课件苏教版选修5
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为 ________． 解析：∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：an＝6－2n
第六页，共20页。
3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则实数a 的值为________． 解析：由题意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)， 即2＝a＋2，∴a＝0. 答案：0
第十六页，共20页。
等差数列通项公式的综合应用
题点一：求通项公式中的未知项 1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…
＋a7，则k＝________. 解析：因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d， 而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d， 所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 答案：4
1≤m≤100， 所以共有25对相同项．
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等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意 公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到 一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更 加便捷．
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又∵b1＝a1－1 2＝12，
∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
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要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数 列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．
第十五页，共20页。
[活学活用] 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)， 由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数， 所以这个数列不是等差数列.
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》1
等差数列的概念
【教学目标】
1 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】。
苏教版高中数学必修五等差数列张PPT课件
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
练习二 （1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
a1=2,d=9-2=16-9=7 ∴这个数列的通项公式是：
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7
an=a1+(n-1)d=4n-1
=7n-5(n≥1)
∴a4=4×4-1=15,
令100=7n-5,得 n=15
d=am-an /(m-n)
可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个 数列的递推公式。
四 个 实 例 我们经常从这样第数二数项，起从，0开后始一，项每与隔前5数一一项次的，可差以是得5到。数列：
0，5， ， ， ，…
①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥从运第会二上项，起女子，举后重一被项正与式列 为比赛项目。该项目共设置了7个级别前，一其项中的较差轻的是45个。级别体重
aa =、a +a(n、-1n)d、d知 •所 aaaaaa…a234n234----===以aaaaa设123naaa===-21有=ddd-一123,,,ad+++：1个ddd==,d等=（,a差(3aa-数1a1++2列2=ddd){）,a+an4}d+-(+∴即的aad…2a-=31=an+首=-1na()aaa+1d=项n通以的1(-1,(a+a+n3n…-是--3过用系a11)122)d=)da+(d观数an(1a-1,n14-与)察有公ad3) 差d：什是表么a2d示，特,则出点a有来3？：，；a4a都1与可d an=a1+(n-1)d 三求一 当n=1时，上式也成立。
高一数学必修5课件《2.2.1 等差数列(一)》
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知a1=15，an=3，d= -3，则n=__5___； （2）已知a1=8，a6=23，则d=__3___； （3）已知d=2，a7=9，则a1 =_-__3___ ；
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
思考:若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，能 否求出通项公式？
若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则有：
方法1：∵由等差数列的定义可得
a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…
不完全 归纳法
∴ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d ……
一、等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 公差 通常用字母 d 表示。 注意： 等差数列的定义可用符号表示为：
an+1-an=d (n∈N*) ，其中d为常数 （或an-an-1=d，n≥2 ）
an=an-1+d=a1+(n-1)d
苏教版数学必修五同步讲义：2.2.1等差数列的概念
2．2等差数列2．2.1等差数列的概念1.理解等差数列的概念．2.理解等差中项的概念．3.能够利用等差数列的定义去解决一些问题．,[学生用书P21])1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第二项起；②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．3．等差数列的判定方法(1)利用定义：若a n＋1－a n＝d(常数)，n∈N*⇔{a n}为等差数列．(2)借助等差中项：若2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)⇔{a n}为等差数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．★答案☆：(1)×(2)√(3)√2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．解析：(－3)－(－6)＝3，故d＝3.★答案☆：33．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．★答案☆：34．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于______．解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.★答案☆：60°等差数列的判断[学生用书P22]判断下列数列是否是等差数列．(1)a n＝4n－3；(2)a n＝n2＋n.【解】(1)因为a n＋1－a n＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，所以{a n}是首项为1，公差为4的等差数列．(2)法一：由a n＝n2＋n可得a1＝2，a2＝6，a3＝12.因为a2－a1≠a3－a2，所以{a n}不是等差数列．法二：a n＋1－a n＝[(n＋1)2＋(n＋1)]－(n2＋n)＝2n＋2.因为2n＋2的值与n有关，不是一个常数，所以{a n}不是等差数列．判断数列是等差数列的基本方法(1)要证一个数列是等差数列，可以运用定义证明，即证a n＋1－a n＝d(其中d是与n无关的常数)，n∈N*成立即可．(2)要证一个数列不是等差数列，既可以运用定义证明，也可以通过举出反例加以说明．举反例时只需举出一个反例即可，不必逐一说明．1.设各项均为正数的无穷数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*都有2b n＝a n ＋a n＋1，且a2n＋1＝b n·b n＋1.求证：{b n}是等差数列．证明：由a2n＋1＝b n·b n＋1，得a n＋1＝b n·b n＋1，所以a n＝b n－1·b n.代入2b n＝a n＋a n＋1，得2b n＝b n－1·b n＋b n·b n＋1.所以2b n＝b n－1＋b n＋1.所以{b n}是等差数列．等差数列定义的运用[学生用书P22]已知三个数成等差数列，它们的和为3，它们的平方和为11，求这个等差数列．【解】 法一：设第一个数为a 1，公差为d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝3，a 21＋（a 1＋d ）2＋（a 1＋2d ）2＝11，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，①3a 21＋6a 1·d ＋5d 2＝11，②将d ＝1－a 1代入②式，并化简得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝－1或a 1＝3.从而d ＝2或d ＝－2.故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.法二：设所求数列为a －d ，a ，a ＋d ，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝3，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，3a 2＋2d 2＝11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±2. 故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…(公差为d )；偶数个数成等差，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…(公差为2d )．2.已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．解：设这三个数依次是a －d ，a ，a ＋d ，则由题意可知，(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12，得a ＝4.由(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，得d ＝±2，所以所求的三个数是2，4，6或6，4，2.等差中项问题[学生用书P23]在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．【解】 因为－1，a ，b ，c ，7成等差数列，所以b 是－1与7的等差中项，则b ＝－1＋72＝3， 又a 是－1与3的等差中项，所以a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，所以c ＝3＋72＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7.等差中项的应用若a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，由A ＝a ＋b 2也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2. 3.若三个数5＋26，m ，5－26成等差数列，则m ＝________．解析：因为5＋26，m ，5－26成等差数列，所以5＋26＋5－26＝2m ，所以m ＝5.★答案☆：51．对等差数列概念的理解(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合；其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作差．(2)定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两层：其一，作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻．(3)定义中要求“同一个常数”，否则这个数列不是等差数列．2．对等差中项的两点说明(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．(2)如果a n －a n －1＝a n ＋1－a n (n ≥2)，则该数列{a n }为等差数列，反之亦然．所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)⇔数列{a n }为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法．已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n －a n －1＝2(常数)．又n ≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a 2－a 1＝0≠a 3－a 2，所以数列{a n }不是等差数列．(1)等差数列定义中从第2项起每一项与前一项的差为同一个常数，“从第2项起”及“同一常数”往往被忽视．(2)对于等差数列概念的理解要注意理解准确是a n＋1－a n＝d对于n∈N*恒成立或a n－a n －1＝d对于n∈N*且n≥2恒成立，而证明不是等差数列，只要举出一个反例即可．1．已知等差数列{a n}中，a2＝2，a4＝－2，则它的公差为________．解析：由等差数列的定义得a4－a2＝2d＝(－2)－2＝－4，所以d＝－2.★答案☆：－22．已知a＝1 3＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为________．解析：a＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.★答案☆： 33．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝________．解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a1（a1＋2d）＝8，a1＋d＝3，解得d＝±1.★答案☆：±14．已知等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，ca n(c为常数，且c≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n－ca n－1＝c(a n－a n－1)＝cd.★答案☆：cd,[学生用书P85(单独成册)])[A基础达标]1．等差数列{a n}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝________．解析：因为{a n}是等差数列，由定义知a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，a5－a4＝d，所以d ＝a 5－a 35－3＝52，a 7＝2＋4×52＝12. ★答案☆：122．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________．解析：根据题意及等差数列的定义得，a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，所以a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，所以d ＝－12. ★答案☆：－123．已知a 和2b 的等差中项为5，2a 和b 的等差中项为4，则a 和b 的等差中项为________． 解析：由题意可知，a ＋2b ＝10，2a ＋b ＝8，相加得3a ＋3b ＝18，所以a ＋b 2＝3， 所以a ，b 的等差中项为3.★答案☆：34．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点有________个．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．★答案☆：1或25．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ＋b ＝________．解析：设公差为d ，所以d ＝a ＋3－(a ＋1)＝2，所以a ＋b －b ＝a ＝2，b ＝7，a ＋b ＝9. ★答案☆：96．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝7，a 5－a 2＝3d ＝6.所以d ＝2，a 1＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝13.★答案☆：137．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4. ★答案☆：48．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 3的值为________．解析：因为2a n ＋1－2a n ＝1，所以a n ＋1－a n ＝12. 所以数列{a n }是以12为公差的等差数列．所以a 3＝a 1＋2d ＝2＋2×12＝3. ★答案☆：39．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为多少？解：由log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，得2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)．所以(2x －1)2＝2·(2x ＋11)，化简，得(2x )2－4·2x －21＝0.解得2x ＝7或2x ＝－3(舍去)，故x ＝log 27.10．已知数列{a n }满足：a n ＝2a n －12＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是不是等差数列？说明理由．解：由题意可得，1a n ＝2＋a n －12a n －1＝1a n －1＋12(n ≥2)， 即1a n －1a n －1＝12(n ≥2)． 根据等差数列的定义可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[B 能力提升]1．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ∶b ∶c ＝________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＋c 2＝2b 2， 消去b ，知(a －c )2＝0，所以a ＝c ，从而2a ＝2b ，所以a ＝b ，即a ＝b ＝c .故a ∶b ∶c ＝1∶1∶1.★答案☆：1∶1∶12．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______．解析：设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766， 故第5节的容积为6766升．★答案☆：6766升 3．若三个数a －4，a ＋2，26－2a 适当排列后构成递增等差数列，则a ＝________． 解析：显然a －4＜a ＋2，①若a －4，a ＋2，26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，所以a ＝6，相应的等差数列为2，8，14.②若a －4，26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，所以a ＝9，相应的等差数列为5，8，11.③若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，所以a ＝12，相应的等差数列为2，8，14.★答案☆：6或9或124．(选做题)已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ＞1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2 ＝a n －22（a n －2）＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12， 所以数列{b n }是首项为12， 公差为12的等差数列．。
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前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称
为等差数列．
2．在等差数列在这4个变量中可以“知三求一 ”．其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首 项 和公差从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意
1 2． 已知数列{an}满足 a1＝4， an＝4－ (n>1)， 记 bn＝ . an－1 an－2 求证：数列{bn}是等差数列；
证明：∵bn＋1－bn＝ 1 1 － an＋1－2 an－2
4
1 1 an 1 ＝ － ＝ － 4 an－2 2an－2 an－2 4－a －2 n an－2 1 ＝ ＝ ， 2an－2 2 1 1 又∵b1＝ ＝ ， a1－2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为 ，公差为 的等差数列. 2 2
1．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p， q∈R)．p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？ 解：∵an＝pn2＋qn， ∴an＋1－an＝p(n＋1)2＋q(n＋1)－pn2－qn
＝pn2＋2pn＋p＋qn＋q－pn2－qn
＝2pn＋(p＋q)． 若数列{an}为等差数列， 则p＝0，q为任意实数．
知识点一 2.2 第一 课时
理解教材新知
知识点二 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
第 二 章 数 列
等 差 数 列
等差 数列 的概 念及 通项 公式
第一课时
等差数列的概念及通项公式
1．一个剧场设置了20排座位，从第1排起各 排的座位数为：38,40,42,44,46… 2．鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5…
一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．
[例1]
判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. [思路点拨] [精解详析] 利用an＋1－an是否为常数进行判断． (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)
＝3(n∈N*)，
由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2， 不是常数，所以这个数列不是等差数列．
[一点通]
判断一个数列是否为等差数列主要是利用
定义，利用定义法判断时，关键是看an＋1－an得到的结果 是不是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不 是，则不是等差数列．
答案：an＝5－4n
4．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝ a2n，
则 b15等于________．
解析：设数列{an}的公差为 d，
a2＝a1＋d＝6 由 a5＝a1＋4d＝15 a1＝3， ⇒ d＝3.
∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n. ∴b15＝6×15＝90.
[例2] 求ap＋q.
若等差数列{an}中，ap＝q，aq＝p，且p≠q，
[思路点拨]
利用通项公式求出首项和公差，再利
用通项公式求ap＋q，或利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数解决．
[精解详析] 设等差数列{an}的公差为 d.则：
a1＋p－1d＝q， 法一：由题意得 a1＋q－1d＝p. a1＝p＋q－1， 解之得 d＝－1.
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项减去它 的前一项所得的差都等于 同一个 常数，那么 这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差 数列的 公差 ．通常用字母d表示.
1,3,5,7,9，… 问题1：该数列是等差数列吗？公差d是多少？ 提示：是等差数列，d＝2. 问题2：能否用项数n，表示第n项an呢？ 提示：1＝2×1－1， 3＝2×2－1， 5＝2×3－1，
3．某长跑运动员7天里每天的训练量(单位：m)是： 7 500,8 000,8 500,9 000,9 500,10 000,10 500 问题1：这三组数是数列吗？ 提示：是数列． 问题2：这三组数有何共同特点？ 提示：这三组数的共同特点是：在每一组数中，后 一个数减去前一个数的差都是同一个常数．
答案：90
5．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解：设等差数列{an}的公差为 d，则
a1＋4d＝11， a1＋7d＝5， a1＝19， 解得 d＝－2.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝0.
法二：∵ap＝q，aq＝p， ap－aq q－p ∴d＝ ＝ ＝－1. p－q p－q ∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0. 即 ap＋q＝0.
法三：∵数列{an}是等差数列，∴an＝kn＋b. ∴点(n，an)在直线 y＝kx＋b 上． 即点 A(p，ap)，B(q，aq)，C(p＋q，ap＋q)三点共线． ap＋q－aq aq－ap ∴ p ＝ . q－p ap＋q－p p－q 将 ap＝q，aq＝p 代入，得 p ＝ ， q－p ∴ap＋q＝0.
7＝2×4－1，
………… ∴an＝2n－1.
等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an有：
an＝ a1＋(n－1)d .
1．等差数列定义的理解：
(1)“每一项与它的前一项的差”这一运算要 求 是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差 的顺序；②这两项必须相邻． (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去
[一点通]
知道等差数列中的任意两项，都可利
用方程组的思想求出a1，d，此类解法突出等差数列
两个基本量a1，d的作用．此题中的法二计算简捷， 但对特殊数列的定义要理解深刻．法三运用了函数 思想，an是关于n的一次函数．因此， 点(n，an)都在 一条直线上，从而任意两点确定的斜率都是相等 的．
3．等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式 ________． 解析：∵a1＝1，d＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d ＝1＋(n－1)×(－4) ＝5－4n.