2018年中考数学试题分类汇编：考点(7)二次根式(Word版,含解析)
2018中考数学试题分类汇编考点3代数式含解析
考点3 代数式一．选择题（共25小题）1．（2018•齐齐哈尔）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（）A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数【分析】分别判断每个选项即可得．【解答】解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确；B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确；C、将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力，正确；D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误；故选：D．2．（2018•大庆）某商品打七折后价格为a元，则原价为（）A．a元B． a元C．30%a元D． a元【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案．【解答】解：设该商品原价为：x元，∵某商品打七折后价格为a元，∴原价为：0.7x=a，则x=a（元）．故选：B．3．（2018•河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【解答】解：∵原正方形的周长为acm，∴原正方形的边长为cm，∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为（+2）cm，则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），因此需要增加的长度为a+8﹣A=8cm．故选：B．4．（2018•临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（）A．B．C．D．【分析】整个组的平均成绩=15名学生的总成绩÷15．【解答】解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为．故选B．5．（2018•枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．【解答】解：依题意有3a﹣2b+2b×2=3a﹣2b+4b=3a+2b．故这块矩形较长的边长为3a+2b．故选：A．6．（2018•桂林）用代数式表示：a的2倍与3的和．下列表示正确的是（）A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3）D．2（a+3）【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a+3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论．【解答】解：a的2倍就是：2a，a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3．故选：B．7．（2018•安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a【分析】根据2016年的有效发明专利数×（1+年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．故选：B．8．（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．【解答】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意．故选：A．9．（2018•贵阳）当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】把x的值代入解答即可．【解答】解：把x=﹣1代入3x+1=﹣3+1=﹣2，故选：B．10．（2018•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（）A．x=3，y=3 B．x=﹣4，y=﹣2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2【分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．【解答】解：A、x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15，不符合题意；B、x=﹣4、y=﹣2时，输出结果为（﹣4）2﹣2×（﹣2）=20，不符合题意；C、x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12，符合题意；D、x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20，不符合题意；故选：C．11．（2018•包头）如果2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，那么的值是（）A．B．C．1 D．3【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入求值．【解答】解：∵2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，∴a+1=2，b﹣1=1，解得a=1，b=2．∴=．故选：A．12．（2018•武汉）计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2C．2x D．4x2【分析】根据合并同类项解答即可．【解答】解：3x2﹣x2=2x2，故选：B．13．（2018•淄博）若单项式a m﹣1b2与的和仍是单项式，则n m的值是（）A．3 B．6 C．8 D．9【分析】首先可判断单项式a m﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．【解答】解：∵单项式a m﹣1b2与的和仍是单项式，∴单项式a m﹣1b2与是同类项，∴m﹣1=2，n=2，∴m=3，n=2，∴n m=8．故选：C．14．（2018•台湾）若小舒从1～50的整数中挑选4个数，使其由小到大排序后形成一等差数列，且4个数中最小的是7，则下列哪一个数不可能出现在小舒挑选的数之中？（）A．20 B．25 C．30 D．35【分析】A、找出7，20、33、46为等差数列，进而可得出20可以出现，选项A不符合题意；B、找出7、16、25、34为等差数列，进而可得出25可以出现，选项B不符合题意；C、由30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，进而可得出30不可能出现，选项C符合题意；D、找出7、21、35、49为等差数列，进而可得出35可以出现，选项D不符合题意．【解答】解：A、∵7，20、33、46为等差数列，∴20可以出现，选项A不符合题意；B、∵7、16、25、34为等差数列，∴25可以出现，选项B不符合题意；C、∵30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，∴30不可能出现，选项C符合题意；D、∵7、21、35、49为等差数列，∴35可以出现，选项D不符合题意．故选：C．15．（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，当n=19时， =190＜200，当n=20时， =210＞200，所以最大的三角形数m=190；当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，所以最大的正方形数n=196，则m+n=386，故选：C．16．（2018•十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）A．2B． C．5 D．【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．【解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，∴第8行最后一个数为==6，则第9行从左至右第5个数是=，故选：B．17．（2018•临沂）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【解答】解：设原数为a，则新数为，设新数与原数的差为y则y=a﹣=﹣易得，当a=0时，y=0，则A错误∵﹣∴当a=﹣时，y有最大值．B错误，D正确．当y=21时，﹣ =21解得a1=30，a2=70，则C错误．故选：D．18．（2018•绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A．639 B．637 C．635 D．633【分析】由三角形数阵，知第n行的前面共有1+2+3+…+（n﹣1）个连续奇数，再由等差数列的前n项和公式化简，再由奇数的特点求出第n行从左向右的第m个数，代入可得答案．【解答】解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第+m奇数，即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1n=25，m=20，这个数为639，故选：A．19．（2018•宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c 的值．【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故选：B．20．（2018•重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个角形第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】根据第①个图案中三角形个数4=2+2×1，第②个图案中三角形个数6=2+2×2，第③个图案中三角形个数8=2+2×3可得第④个图形中三角形的个数为2+2×7．【解答】解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1，第②个图案中三角形个数6=2+2×2，第③个图案中三角形个数8=2+2×3，……∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16，故选：C．21．（2018•绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）A．16张B．18张C．20张D．21张【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行的时候，34枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【解答】解：①如果所有的画展示成一行，34÷（1+1）﹣1=16（张），∴34枚图钉最多可以展示16张画；②如果所有的画展示成两行，34÷（2+1）=11（枚）……1（枚），11﹣1=10（张），2×10=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画；③如果所有的画展示成三行，34÷（3+1）=8（枚）……2（枚），8﹣1=7（张），3×7=21（张），∴34枚图钉最多可以展示21张画；④如果所有的画展示成四行，34÷（4+1）=6（枚）……4（枚），6﹣1=5（张），4×5=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画；⑤如果所有的画展示成五行，34÷（5+1）=5（枚）……4（枚），5﹣1=4（张），5×4=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画．综上所述：34枚图钉最多可以展示21张画．故选：D．22．（2018•重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．11 B．13 C．15 D．17【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．【解答】解：观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，…故第⑥个图形有3+2×5=13（个），故选：B．23．（2018•绍兴）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c ×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（）A． B． C． D．【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20=10，不符合题意；B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6，符合题意；C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，不符合题意；D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20=7，不符合题意；故选：B．24．（2018•济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：C．25．（2018•烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）A．28 B．29 C．30 D．31【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，第n个图形有玫瑰花：4n，令4n=120，得n=30，故选：C．二．填空题（共17小题）26．（2018•岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 5 ．【分析】利用整体思想代入计算即可；【解答】解：∵a2+2a=1，∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，故答案为5．27．（2018•白银）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为 1 ．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【解答】解：当x=625时， x=125，当x=125时， x=25，当x=25时， x=5，当x=5时， x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时， x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时， x=1，…（2018﹣3）÷2=1007.5，即输出的结果是1，故答案为：128．（2018•菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是15 ．【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．【解答】解：当3x﹣2=127时，x=43，当3x﹣2=43时，x=15，当3x﹣2=15时，x=，不是整数；所以输入的最小正整数为15，故答案为：15．29．（2018•杭州）计算：a﹣3a= ﹣2a ．【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】解：a﹣3a=﹣2a．故答案为：﹣2a．30．（2018•成都）已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018=﹣．【分析】根据S n数的变化找出S n的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣（a+1），S6=﹣S5﹣1=（a+1）﹣1=a，S7==，…，∴S n的值每6个一循环．∵2018=336×6+2，∴S2018=S2=﹣．故答案为：﹣．31．（2018•黔南州）根据下列各式的规律，在横线处填空：，， =，…，+﹣=【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“+﹣=（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：∵ +﹣1=， +﹣=， +﹣=， +﹣=，…，∴+﹣=（n为正整数）．∵2018=2×1009，∴+﹣=．故答案为：．32．（2018•咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2018个数的和为++++…+，再用裂项求和计算可得．【解答】解：由数列知第n个数为，则前2018个数的和为++++…+=++++…+=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．33．（2018•孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是﹣24 ．【分析】由已知数列得出a n=1+2+3+…+n=，再求出a10、a11的值，代入计算可得．【解答】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知a n=1+2+3+…+n=，∴a10==55、a11==66，则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24，故答案为：﹣24．34．（2018•淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是2018 ．【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．35．（2018•荆门）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，S n=a1+a2+…+a n，则S2018= 63．【分析】由1+2+3+…+n=结合+2=2018，可得出前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，进而可得出S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=63，此题得解．【解答】解：∵1+2+3+…+n=， +2=2018，∴前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，∴S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=1+1+…+1+=63．故答案为：63．36．（2018•常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是9 ．【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．37．（2018•永州）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，若log22=1，则log216= 4 ．【分析】利用log2（x•y）=log2x+log2y得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．故答案为4．38．（2018•桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为（505，2）【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．∵2018÷4=504…2，504+1=505，∴2018在第505行，∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，∴自然数2018记为（505，2）．故答案为（505，2）．39．（2018•泰安）观察“田”字中各数之间的关系：则c的值为270或28+14 ．【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．【解答】解：经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰好是第8个奇数，即此“田”字为第8个．观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24等，则第8数为28．观察左下和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8个图多14．则c=28+14=270故应填：270或28+1440．（2018•枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…则2018在第45 行．【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2018在第45行．故答案为：45．41．（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055 个○．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．42．（2018•遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为4035 ．【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．三．解答题（共3小题）43．（2018•安徽）观察以下等式：第1个等式： ++×=1，第2个等式： ++×=1，第3个等式： ++×=1，第4个等式： ++×=1，第5个等式： ++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分字分别是1和n﹣1【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明： =∴等式成立44．（2018•河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，解得：x=﹣5，则第5个台阶上的数x是﹣5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1﹣2﹣5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．45．（2018•黔南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是60个、6n个．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有61 个圆圈；第n个点阵中有（3n2﹣3n+1）个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【解答】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．。
因式分解分式二次根式含解析-中考各地试题分类汇编
专题1.4 因式分解分式二次根式一、单选题1．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A． x（x2﹣1） B． x（1﹣x2） C． x（x+1）（x﹣1） D． x（1+x）（1﹣x）【答案】D【解析】【分析】直接提取公因式x，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案．【详解】x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选D．【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．2．【台湾省2018年中考数学试卷】已知某文具店贩售的笔记本每本售价均相等且超过10元，小锦和小勤在此文具店分别购买若干本笔记本．若小锦购买笔记本的花费为36元，则小勤购买笔记本的花费可能为下列何者？（）A． 16元 B． 27元 C． 30元 D． 48元【答案】D点睛：此题主要考查了质因数分解，正确得出笔记本的单价是解题关键．3．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】下列运算正确的是（）A． a3•a2=a6 B． a﹣2=﹣ C． 3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【答案】C【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．【详解】A、a3•a2=a5，故A选项错误；B、a﹣2=，故B选项错误；C、3﹣2=，故C选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【河北省2018年中考数学试卷】若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 0 D．【答案】A【点睛】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n（m，n是正整数）．5．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】已知，，则式子的值是（）A． 48 B． C． 16 D． 12【答案】D【解析】分析：先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．详解：（x-y+）（x+y-）===（x+y）（x-y），当x+y=4，x-y=时，原式=4×=12，故选：D．点睛：本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．6．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（）A．28×10﹣9m B． 2.8×10﹣8m C．28×109m D． 2.8×108m【答案】B【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．【四川省内江市2018年中考数学试卷】已知：﹣=，则的值是（）A． B．﹣ C． 3 D．﹣3【答案】C【解析】分析：已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．详解：∵﹣=，∴=，则=3，故选：C．点睛：此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.8．【四川省内江市2018年中考数学试卷】小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米,用科学记数法表示为（）A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．厘米【答案】A点睛：此题考查了科学记数法—表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．【河北省2018年中考数学试卷】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵=====，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 10．【四川省达州市2018年中考数学试】题二次根式中的x的取值范围是（）A． x＜﹣2 B．x≤﹣2 C． x＞﹣2 D．x≥﹣2【答案】D点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．11．【台湾省2018年中考数学试卷】算式×（﹣1）之值为何？（）A． B． C． 2- D． 1【答案】A【解析】分析：根据乘法分配律可以解答本题．详解：×（﹣1）=×﹣1=，故选：A．点睛：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．12．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B点睛：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则. 13．【湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题】下列运算正确的是（）A． B． C． D．=【答案】D【解析】分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；=a （a≥0）；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．详解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故原选项错误；B、=|a|，故原选项错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原选项错误；D、（a3）2=a6，故原选项正确.故选：D．点睛：此题主要考查了二次根式的性质、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，关键是掌握各计算法则和计算公式．二、填空题14．【山东省东营市2018年中考数学试题】分解因式：x3﹣4xy2=_____．【答案】x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为：x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．【答案】a（a﹣b）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．【湖南省怀化市2018年中考数学试题】因式分解：ab+ac=_____．【答案】a（b+c）【解析】分析：直接找出公因式进而提取得出答案．详解：ab+ac=a（b+c）．故答案为：a（b+c）．点睛：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．17．【河北省2018年中考数学试卷】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．18．【山东省威海市2018年中考数学试题】分解因式：﹣a2+2a﹣2=__．【答案】﹣（a﹣2）2【解析】分析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．详解：原式=﹣（a2﹣4a+4）=﹣（a﹣2）2，故答案为：﹣（a﹣2）2点睛：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．【湖南省湘西州2018年中考数学试卷】要使分式有意义，则x的取值范围为_____．【答案】x≠﹣2【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案．【详解】由题意可知：x+2≠0，∴x≠﹣2，故答案为：x≠﹣2.【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0.20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】计算的结果是_____．【答案】【点睛】本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握同分母公式加减法的法则是解题的关键，注意结果要化成最简分式.21．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】计算的结果是_____．【答案】【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案．【详解】原式===，故答案为：.【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键，本题属于基础题.22．【山东省滨州市2018年中考数学试题】若分式的值为0，则x的值为______．【答案】-3点睛：本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．23．【新疆自治区2018年中考数学试题】如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是_____．【答案】x≥1．【解析】分析：直接利用二次根式的定义分析得出答案．详解：∵代数式有意义，∴x-1≥0，解得，x≥1．∴实数x的取值范围是：x≥1．故答案为：x≥1．点睛：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．24．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．【答案】2【解析】分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．详解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．25．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】计算6﹣10的结果是_____．【答案】【解析】分析：首先化简，然后再合并同类二次根式即可．详解：原式=6-10×=6-2=4，故答案为：4．点睛：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．三、解答题26．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．27．【上海市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．【答案】原式=【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的步骤是解题的关键.28．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中x=﹣1．【答案】【解析】【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】====x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的方法是解答本题的关键.29．【云南省昆明市2018年中考数学试题】先化简，再求值：（+1）÷，其中a=tan60°﹣|﹣1|．【答案】原式=【解析】分析：根据分式的运算法则即可求出答案．详解：当a=tan60°-|-1|时，∴a=-1∴原式===.点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式运算法则.30．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．【答案】点睛：本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．31．【广西钦州市2018年中考数学试卷】计算：|﹣4|+3tan60°﹣﹣（）﹣1【答案】+2【解析】【分析】按顺序先进行绝对值的化简、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可得出答案．【详解】|﹣4|+3tan60°﹣﹣（）﹣1=4+3﹣2﹣2=+2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负指数幂的运算等，熟练掌握各运算的运算法则以及实数混合运算的运算法则是解题的关键.32．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】计算：（﹣1）2008+π0﹣（）﹣1+．【答案】1【解析】【分析】按顺序分别进行乘方的运算、0次幂的运算、负指数幂的运算、立方根的运算，然后再按去处顺序进行运算即可.【详解】（﹣1）2008+π0﹣（）﹣1+=1+1﹣3+2=1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0次幂、负指数幂，熟练掌握0次幂的运算法则、负指数幂的运算法则以及实数混合运算的运算法则是解题的关键.33．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x=2．【答案】，4-2.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键.34．【四川省达州市2018年中考数学试题】化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．【答案】0【解析】分析：直接将所给式子进行去括号，利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x的值，即可计算得出答案．点睛：此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．35．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|【答案】【解析】【分析】按顺序先分别进行乘方的计算，零指数幂的运算、绝对值的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|=1+1-（2-）=1+1-2+=.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．36．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中x为整数且满足不等式组．【答案】，.【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，由x为整数且满足不等式组可以求得x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可得答案.【详解】===，由得，2＜x≤3，∵x是整数，∴x=3，∴原式=.【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式的化简求值的方法是解答本题的关键.37．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣2x ﹣5=0．【答案】5点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3．【答案】原式==﹣2．【解析】分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．详解：原式===，当a=﹣3时，原式==﹣2．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．39．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】（1）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（）﹣1﹣（2018﹣）0（2）先化简（1﹣）•，再在1、2、3中选取一个适当的数代入求值．【答案】（1）6；（2）-2（2）（1﹣）•，===，当x=2时，原式=．点睛：本题考查分式的化简求值、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．40．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：．其中x=sin60°．【答案】【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．详解：原式==，当x=sin60°=时，原式==．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．41．【江苏省盐城市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中.【答案】原式=x-1=点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．42．【湖北省恩施州2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中x=2﹣1．【答案】【解析】分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．详解：==，把x=2-1代入得，原式==．点睛：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．43．【新疆自治区2018年中考数学试题】先化简，再求值：（+1）÷，其中x是方程x2+3x=0的根．【答案】-2点睛：本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．44．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中.【答案】-4【解析】分析: 首先计算括号里面的减法，然后再计算除法，最后再计算减法，化简后，再代入a的值可得答案.详解:原式====-当a=-时，原式=-4.点睛：此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.45．【四川省眉山市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0.【答案】点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．46．【湖南省常德市2018年中考数学试卷】先化简，再求值：，其中.【答案】【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可得.【详解】原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，当x=时，原式=﹣3=﹣．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．47．【湖南省常德市2018年中考数学试卷】计算：.【答案】-2.【解析】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．48．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．【答案】x+2，5点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．49．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；（2）化简：（2﹣）÷．【答案】（1）2﹣5；（2）【解析】分析：（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．详解：（1）原式=1+2×﹣（2﹣）﹣4=1+﹣2+-4=2﹣5；（2）原式=,=，=．点睛：本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．50．【山东省菏泽市2018年中考数学试题】先化简，再求值：，其中，.【答案】7点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。
5.14三角形综合题(第4部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省孝感市-第10题-3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【思路分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP= =x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答过程】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2018年湖北省荆门市-第11题-3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A B C．1 D．2【知识考点】轨迹；等腰直角三角形【思路分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答过程】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【总结归纳】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．3．（2018年江苏省扬州市-第8题-3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答过程】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二、填空题1．（2018年江苏省泰州市-第14题-3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．【知识考点】三角形中位线定理；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．【解答过程】解：∵∠ACD=90°，∠D=α，∴∠DAC=90°﹣α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，∵∠ABC=90°，EAC的中点，∴BE=AE=EC，∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，∴∠CEB=180°﹣2α，∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠D=α，∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，故答案为：270°﹣3α．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题1．（2018年湖北省荆门市-第19题-9分）如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB 边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【思路分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．【解答过程】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．【总结归纳】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．2．（2018年湖北省江汉油田/潜江市/天门市/仙桃市-第24题-10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答过程】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE==6，∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=DE=6．【总结归纳】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2018年湖南省岳阳市-第23题-10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD 交BB'于点E ，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC ，求证：CD=2BE ；（2）如图2，若AB≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连结EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12S S （用含α的式子表示）． 【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性质证明CD=BB′即可； （2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD ，可得==，推出=，可得CD=2•BE•tan2α；（3）首先证明∠ECF=90°，由∠BEC+∠ECF=180°，推出BB′∥CF，推出===sin（45°﹣α），由此即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．【总结归纳】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2018年江苏省南通市-第26题-12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=，BC=，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP 的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P 与H重合时，CP⊥AB，此时t=2；（2）分两种情形求解即可解决问题；（3）分两种情形：①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH；②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．求出QM即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，∵CH⊥AB，∴∠CHB=∠CHB=90°，∴AC2﹣AH2=BC2﹣BH2，∴（4）2﹣（6﹣x）2=（2）2﹣x2，解得x=2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2．（2）如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4，此时t=4．如图3中，当CP=CB=2时，CQ⊥PB，此时t=6+（4﹣2）=6+4﹣2．（3）①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH=×t×4=t．②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．易知BG=AG=3，CG=．MQ=BG=．∴S=×PC×QM=••（6+4﹣t）=+6﹣t．综上所述，s=．【总结归纳】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2018年江苏省连云港市-第27题-14分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．S 时，求AE的长．（4）如图2，当△ECD的面积16【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的性质即可证明；（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；【解答过程】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．理由：如图1中，∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF．（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，∵S四边形ABCF=，∴S△ABE=，∴•AE•AB•siin60°=，∴AE=．（3）结论：S2﹣S1=．理由：如图2中，∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，∴S△BDF=，∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，∴∠ABC=∠DCB，∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，∴CD=x﹣，∵CD∥AB，∴=，即=，化简得：3x2﹣x﹣2=0，解得x=1或﹣（舍弃），∴CE=1，AE=3．【总结归纳】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2018年江苏省扬州市-第27题-12分）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN 的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答过程】解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【总结归纳】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2018年江苏省常州市-第27题-10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？【知识考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；作图—复杂作图．【思路分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵EK垂直平分线段BC，∴FC=FB，∴∠CFD=∠BFD，∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠CFD．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．理由：设PP′交GN于K．∵∠G=60°，∠GMN=90°，∴∠N=30°，∵PK⊥KN，∴PK=KP′=PN，∴PP′=PN=PM，∴∠P′=∠PMP′，∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，∴∠PMP′=30°，∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，∴QM=QN，QM=QG，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
2018年广东省深圳市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年广东省深圳市中考数学试卷(含答案解析版)12．（3.00分）（2018•深圳）如图，A、B是函数y=12x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）①△AOP≌△BOP；②S△AOP =S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3.00分）（2018•湘西州）分解因式：a2﹣9= ．14．（3.00分）（2018•深圳）一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：．15．（3.00分）（2018•深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是．16．（3.00分）（2018•深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=√2，则AC= ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（5.00分）（2018•深圳）计算：（12）﹣1﹣2sin45°+|﹣√2|+（2018﹣π）0．18．（6.00分）（2018•深圳）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2．19．（7.00分）（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a= ，b= ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？20．（8.00分）（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．21．（8.00分）（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？22．（9.00分）（2018•深圳）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=√10 10．（1）求AB的长度；（2）求AD•AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．23．（9.00分）（2018•深圳）已知顶点为A抛物线y=a(x−12)2−2经过点B(−32，2)，点C(52，2)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．2018年广东省深圳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）（2018•深圳）6的相反数是（）A．﹣6 B．−16 C．16D．6【考点】14：相反数．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：6的相反数是：﹣6．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3.00分）（2018•深圳）260000000用科学记数法表示为（）A．0.26×109B．2.6×108C．2.6×109D．26×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：260000000用科学记数法表示为2.6×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）（2018•深圳）图中立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】55：几何图形．【分析】根据主视图是从正面看的图形解答．【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有两个小正方体，在右边两个．故选：B．【点评】本题考查了三视图，关键是根据学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力进行解答．4．（3.00分）（2018•深圳）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形．【专题】27 ：图表型．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3.00分）（2018•深圳）下列数据：75，80，85，85，85，则这组数据的众数和极差是（）A．85，10 B．85，5 C．80，85 D．80，10【考点】W5：众数；W6：极差．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差进行计算即可．【解答】解：众数为85，极差：85﹣75=10，故选：A．【点评】此题主要考查了众数和极差，关键是掌握众数定义，掌握极差的算法．6．（3.00分）（2018•深圳）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．3a﹣a=2a C．a8÷a4=a2D．√a+√b=√ab【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；78：二次根式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、3a﹣a=2a，正确；C、a8÷a4=a4，故此选项错误；D、√a+√b无法计算，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．7．（3.00分）（2018•深圳）把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（2，4）D．（2，5）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F9：一次函数图象与几何变换．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．【解答】解：∵该直线向上平移3的单位，∴平移后所得直线的解析式为：y=x+3；把x=2代入解析式y=x+3=5，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．（3.00分）（2018•深圳）如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠2+∠4=180°D．∠1+∠4=180°【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论．【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，∴∠3=∠4，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．9．（3.00分）（2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个．下列方程正确的是（ ）A ．{x +y =708x +6y =480 B ．{x +y =706x +8y =480 C ．{x +y =4806x +8y =70D ．{x +y =4808x +6y =70【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设大房间有x 个，小房间有y 个，由题意得：{x +y =708x +6y =480，故选：A ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元二一方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．10．（3.00分）（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）A ．3B ．3√3C ．6D ．6√3【考点】MC ：切线的性质．【专题】1 ：常规题型；55A ：与圆有关的位置关系．【分析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3√3，∴光盘的直径为6√3，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．11．（3.00分）（2018•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣b2a，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣b2a，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＞0，错误；C、3a+c＜0，正确；D、ax2+bx+c﹣3=0无实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3.00分）（2018•深圳）如图，A、B是函数y=12x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）①△AOP≌△BOP；②S△AOP =S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16A．①③B．②③C．②④D．③④【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】15 ：综合题．【分析】由点P 是动点，进而判断出①错误，设出点P 的坐标，进而得出AP ，BP ，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN=4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点P 是动点，∴BP 与AP 不一定相等，∴△BOP 与△AOP 不一定全等，故①不正确；设P （m ，n ），∴BP ∥y 轴，∴B （m ，12m）， ∴BP=|12m ﹣n|，∴S △BOP =12|12m ﹣n|×m=12|12﹣mn|∵PA ∥x 轴，∴A （12n ，n ），∴AP=|12n ﹣m|，∴S △AOP =12|12n ﹣m|×n=12|12﹣mn|，∴S △AOP =S △BOP ，故②正确；如图，过点P 作PF ⊥OA 于F ，PE ⊥OB 于E ，∴S △AOP =12OA ×PF ，S △BOP =12OB ×PE ，∵S △AOP =S △BOP ，∴OB ×PE=OA ×PE ，∵OA=OB ，∴PE=PF ，∵PE ⊥OB ，PF ⊥OA ，∴OP 是∠AOB 的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ，∴AM ⊥y 轴，BN ⊥x 轴，∴四边形OMPN 是矩形，∵点A ，B 在双曲线y=12x上，∴S △AMO =S △BNO =6， ∵S △BOP =4，∴S △PMO =S △PNO =2，∴S 矩形OMPN =4，∴mn=4， ∴m=4n， ∴BP=|12m﹣n|=|3n ﹣n|=2|n|，AP=|12n﹣m|=8|n|，∴S △APB=12AP ×BP=12×2|n|×8|n|=8，故④错误；∴正确的有②③，故选：B ．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3.00分）（2018•湘西州）分解因式：a2﹣9= （a+3）（a﹣3）．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．14．（3.00分）（2018•深圳）一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：12．【考点】X4：概率公式．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可知正六面体的骰子六个面三个奇数、三个偶数，从而可以求得相应的概率．【解答】解：个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率为：3 6=1 2，故答案为：1 2．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．15．（3.00分）（2018•深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是8 ．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】根据正方形的性质得到AC=AF ，∠CAF=90°，证明△CAE ≌△AFB ，根据全等三角形的性质得到EC=AB=4，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=AF ，∠CAF=90°，∴∠EAC+∠FAB=90°， ∵∠ABF=90°， ∴∠AFB+∠FAB=90°， ∴∠EAC=∠AFB ， 在△CAE 和△AFB 中，{∠CAE =∠AFB∠AEC =∠FBA AC =AF ，∴△CAE ≌△AFB ，∴EC=AB=4，∴阴影部分的面积=12×AB ×CE=8，故答案为：8．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．（3.00分）（2018•深圳）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，AD 、BE 相交于点F ，且AF=4，EF=√2，则AC= 8√105．【考点】IJ ：角平分线的定义；KQ ：勾股定理；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】先求出∠EFG=45°，进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1，进而求出AE ，最后判断出△AEF ∽△AFC ，即可得出结论．【解答】解：如图，∵AD ，BE 是分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACB=90°，∴2（∠2+∠4）=90°，∴∠2+∠4=45°，∴∠EFG=∠2+∠4=45°，过点E 作EG ⊥AD 于G ，在Rt △EFG 中，EF=√2，∴FG=EG=1，∵AF=4，∴AG=AF ﹣FG=3，根据勾股定理得，AE=√AG 2+EG 2=√10，连接CF ，∵AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ， ∴CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACF=45°=∠AFE ，∵∠CAF=∠FAE ，∴△AEF ∽△AFC ， ∴AE AF =AF AC， ∴AC=AF 2AE =√10=8√105，故答案为8√105．【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（5.00分）（2018•深圳）计算：（12）﹣1﹣2sin45°+|﹣√2|+（2018﹣π）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣2×√22+√2+1=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6.00分）（2018•深圳）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：原式=x−x+1x−1⋅(x+1)(x−1)(x+1)2=1x+1把x=2代入得：原式=1 3【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（7.00分）（2018•深圳）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为100 人，a= 0.25 ，b= 15 ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”求解可得；（2）根据频数分布表即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：（1）总人数为40÷0.4=100人，a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，故答案为：100、0.25、15；（2）补全条形图如下：（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及利用样本估计总体，根据题意求出样本总人数是解题关键．20．（8.00分）（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【考点】N3：作图—复杂作图；S9：相似三角形的判定与性质；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA ∴四边形ACDB 是菱形，∵∠ACD 与△FCE 中的∠FCE 重合，它的对角∠ABD 顶点在EF 上，∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形；（2）解：设菱形ACDB 的边长为x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CE ，∴∠FAB=∠FCE ，∠FBA=∠E ，△EAB ∽△FCE则：FA FC =AB CE ，即x 12=6−x 6，解得：x=4，过A 点作AH ⊥CD 于H 点，∵在Rt △ACH 中，∠ACH=45°，∴AH =AC√2=2√2，∴四边形ACDB 的面积为：4×2√2=8√2．【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD 是菱形是解此题的关键．21．（8.00分）（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【专题】34 ：方程思想；522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据题意得：3•1600x=6000x+2，解得：x=8，经检验，x=8是分式方程的解．答：第一批饮料进货单价为8元．（2）设销售单价为m元，根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，解得：m≥11．答：销售单价至少为11元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．22．（9.00分）（2018•深圳）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=√10 10．（1）求AB的长度；（2）求AD•AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．【考点】MR：圆的综合题．【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．【解答】解：（1）作AM⊥BC，∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，∴CM=12BC=1，∵cosB=BMAB=√1010，在Rt△AMB中，BM=1，∴AB=BMcosB=√10；（2）连接DC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ACE+∠ACB=180°，∴∠ADC=∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴AC AD =AE AC，∴AD•AE=AC 2=10；（3）在BD 上取一点N ，使得BN=CD ，在△ABN 和△ACD 中{AB =AC∠3=∠1BN =CD，∴△ABN ≌△ACD （SAS ），∴AN=AD ，∵AN=AD ，AH ⊥BD ， ∴NH=HD ，∵BN=CD ，NH=HD ，∴BN+NH=CD+HD=BH ．【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（9.00分）（2018•深圳）已知顶点为A 抛物线y =a(x −12)2−2经过点B(−32，2)，点C(52，2)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若∠OPM=∠MAF ，求△POE 的面积；（3）如图2，点Q 是折线A ﹣B ﹣C 上一点，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将△QEN 沿QE 翻折得到△QEN 1，若点N 1落在x 轴上，请直接写出Q 点的坐标．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】15 ：综合题；537：函数的综合应用．【分析】（1）将点B 坐标代入解析式求得a 的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF 知OP ∥AF ，据此证△OPE ∽△FAE 得OP FA=OE FE=134=43，即OP=43FA ，设点P （t ，﹣2t ﹣1），列出关于t 的方程解之可得；（3）分点Q 在AB 上运动、点Q 在BC 上运动且Q 在y 轴左侧、点Q 在BC 上运动且点Q 在y 轴右侧这三种情况分类讨论即可得．【解答】解：（1）把点B(−32，2)代入y =a(x −12)2−2，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y =(x −12)2−2；（2）由y =(x −12)2−2知A （12，﹣2），设直线AB 解析式为：y=kx+b ，代入点A ，B 的坐标，得：{−2=12k +b 2=−32k +b，解得：{k =−2b =−1，∴直线AB 的解析式为：y=﹣2x ﹣1，易求E （0，1），F(0，−74)，M(−12，0)，若∠OPM=∠MAF ， ∴OP ∥AF ，∴△OPE ∽△FAE ，∴OP FA =OE FE =134=43，∴OP =43FA =43√(12−6)2+(−2+74)2=√53，设点P （t ，﹣2t ﹣1），则：√t 2+(−2t −1)2=√53解得t 1=−215，t 2=−23，由对称性知；当t 1=−215时，也满足∠OPM=∠MAF ，∴t 1=−215，t 2=−23都满足条件，∵△POE 的面积=12OE ⋅|l|，∴△POE 的面积为115或13．（3）若点Q 在AB 上运动，如图1，设Q （a ，﹣2a ﹣1），则NE=﹣a 、QN=﹣2a ，由翻折知QN′=QN=﹣2a 、N′E=NE=﹣a ，由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，∴QR N′S =RN′ES =QN′EN′，即QR 1=−2a−1ES =−2a −a=2，∴QR=2、ES=−2a−12，由NE+ES=NS=QR 可得﹣a+−2a−12=2，解得：a=﹣54，∴Q （﹣54，32）；若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，如图2，设NE=a ，则N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=√5、SE=√5﹣a ，在Rt △SEN′中，（√5﹣a ）2+12=a 2，解得：a=3√55，∴Q （﹣3√55，2）；若点Q 在BC 上运动，且点Q 在y 轴右侧，如图3，第31页（共31页）设NE=a ，则N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=√5、SE=√5﹣a ，在Rt △SEN′中，（√5﹣a ）2+12=a 2， 解得：a=3√55， ∴Q （3√55，2）．综上，点Q 的坐标为（﹣54，32）或（﹣3√55，2）或（3√55，2）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．。
(完整版)2018年北京市中考数学试卷(含答案解析)
2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体中，是圆柱的为A．B．C．D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是103214234A．||4a>B．0c b->C．0ac>D．0a c+>3．方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m，则FAST的反射面积总面积约为A．327.1410m⨯B．427.1410m⨯C．522.510m⨯D．622.510m⨯5．若正多边形的一个外角是60︒,则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒6．如果a b-=，那么代数式22 ()2a b aba a b+-⋅-的值为A．B．C．D．127．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x (单位:m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为4020 O 46.254.057.9x/my/mA ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0）,表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时,表示左安门的点的坐标为（5,6-）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0）,表示广安门的点的坐标为（12-,6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）； ③当表示天安门的点的坐标为(1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为(11，11-）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5)，表示广安门的点的坐标为（16.5-，7.5-)时，表示左安门的点的坐标为(16.5，16.5-)．上述结论中,所有正确结论的序号是3A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>"，“="或“<”）EDCBA10在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______．11．用一组a ，b ,c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____,b =______,c =_______．12．如图，点A ，B ，C ,D 在O 上，CB CD =,30CAD ∠=︒,50ACD ∠=︒，则ADB ∠=________．13．如图，在矩形ABCD 中,E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为________．FEDCB A14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：45分钟”的可能性最大．15．某公园划船项目收费标准如下：某班18________元．16．2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．45三、解答题（本题共68分,第17-22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分,第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线"的尺规作图过程．已知:直线及直线外一点P ．lP求作：PQ ，使得PQ l ∥． 作法：如图，l①在直线上取一点A ，作射线PA ,以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；②在直线上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心,CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程,（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______,CB=_______,∴PQ l∥（____________）（填推理的依据）．18．计算:04sin45(π2)|1|︒+---．19．解不等式组：3(1)1922x xxx+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．620．关于x的一元二次方程210ax bx++=．(1)当2b a=+时，利用根的判别式判断方程根的情况;(2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根．21．如图，在四边形ABCD中，AB DC∥,AB AD=,对角线AC，BD交于点O,AC平分BAD∠，过点C作CE AB⊥交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形;（2）若AB=，2BD=，求OE的长．OED CBA22．如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC,PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证:OP CD⊥；（2）连接AD，BC，若50DAB∠=︒，70CBA∠=︒，2OA=，求OP的长．78A23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x =（0x >)的图象G 经过点A （4,1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ,B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界)为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ,P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．9A小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ,2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2xOy x ，1y )，（x ,2y ）,并画出函数1y ，2y 的图象;(3）结合函数图象,解决问题:当APC △为等腰三角形时，AP 的长度约为____cm ．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制),并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组:4050≤，7080x<x<≤，≤，6070x<≤，5060x<≤≤）；≤，90100xx<8090频数/分x<≤这一组是：b．A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.5 79 79 79 79.5c．A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：(1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________(填“A”或“B"），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过75.8分的人数．101126．在平面直角坐标系xOy 中,直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ,将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ． （1）求点C 的坐标; （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点（不与点A,B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G,连接DG，过点E作EH DE⊥交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF GC=；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明．DA28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d （M,N）．已知点A（2-,6），B（2-,2-)，C（6,2-）．（1)求d（点O，ABC△)；12（2）记函数y kx=,直接写出k的取值范=（11k≠）的图象为图形G，若d(G，ABCx-≤≤，0△）1围；(3）T的圆心为T（，0)，半径为1．若d(T，ABC=，直接写出的取值范围．△）113142018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为A． B． C． D．【答案】A【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱,D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是13214234A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >D ．0a c +>【答案】B【解析】∵43a -<<-,∴34a <<，故A 选项错误；数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确; ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误;∵0a <，0c >，a c >,∴0a c +<，故D 选项错误．15【考点】实数与数轴3．方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=-⎩C ．21x y =-⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=-⎩【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D 选项同时满足两个方程，故选D ． 【考点】二元一次方程组的解4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m ，则FAST 的反射面积总面积约为 A ．327.1410m ⨯ B ．427.1410m ⨯ C ．522.510m ⨯ D ．622.510m ⨯【答案】C【解析】5714035249900 2.510⨯=≈⨯（2m ），故选C ． 【考点】科学记数法5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为360660n ︒==︒，其内角和为()2180720n -⋅︒=︒． 【考点】正多边形，多边形的内外角和．6．如果a b-=，那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】原式()2222222a ba b ab a a a ba ab a a b-+--=⋅=⋅=--，∵a b-=∴原式=．【考点】分式化简求值，整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y（单位：m)与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系2y ax bx c=++（0a≠）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为my/A．10m B．15m C．20m D．22.5m【答案】B【解析】设对称轴为x h=，1617由（0,54.0）和（40，46.2）可知，040202h +<=， 由（0，54.0）和（20，57.9）可知,020102h +>=， ∴1020h <<，故选B ．【考点】抛物线的对称轴．8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为(5，6-);②当表示天安门的点的坐标为(0,0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-)时，表示左安门的点的坐标为（10，12-)； ③当表示天安门的点的坐标为(1,1）,表示广安门的点的坐标为(11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5)，表示广安门的点的坐标为（16.5-,7.5-)时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②③ B ．②③④ C ．①④ D ．①②③④【答案】D【解析】显然①②正确；③是在②的基础上,将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0）,表示广安门的点的坐标为(18-，9-）时，表示左安门的点的坐标为(15,18）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系,点坐标的确定，点的平移1819二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“="或“<"）EDCBA【答案】>【解析】如下图所示，G FABCD EAFG △是等腰直角三角形,∴45FAG BAC ∠=∠=︒，∴BAC DAE ∠>∠．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形10在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______．【答案】0x ≥【解析】被开方数为非负数，故0x ≥． 【考点】二次根式有意义的条件．2011．用一组a ,b ,c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____,b =______，c =_______．【答案】答案不唯一,满足a b <，0c ≤即可，例如：，2,1- 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变． 【考点】不等式的基本性质12．如图，点A ，B ,C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒,50ACD ∠=︒，则ADB ∠=________．【答案】70【解析】∵CB CD =,∴30CAB CAD ∠=∠=︒,∴60BAD ∠=︒，∵50ABD ACD ∠=∠=︒，∴18070ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠=︒．【考点】圆周角定理，三角形内角和定理13．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =,3AD =，则CF 的长为________．FEDCB A21【答案】103【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==,AB CD ∥，90ADC ∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴5AC ==， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==,∵AB CD ∥，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位:分钟）的数据，统计如下：45分钟"的可能性最大． 【答案】C【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C ． 【考点】用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：某班18元．【答案】380【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380++=（元）【考点】统筹规划16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从下图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．2223【考点】函数图象获取信息三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知:直线及直线外一点P ．lP求作：PQ ，使得PQ l ∥． 作法：如图，l①在直线上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；24②在直线上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ,以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ; ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明:∵AB =_______，CB =_______，∴PQ l ∥（____________）（填推理的依据）．【解析】(1）尺规作图如下图所示:l(2）PA ，CQ ,三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图,三角形中位线定理18．计算：04sin 45(π2)|1|︒+--．【解析】解：原式4112=-+=- 【考点】实数的运算2519．解不等式组:3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【解析】解：由①得,2x >-,由②得，3x <，∴不等式的解集为23x -<<．【考点】一元一次不等式组的解法20．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=．（1）当2b a =+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a ，b 的值,并求此时方程的根． 【解析】(1）解：由题意:0a ≠．∵()22242440b a a a a ∆=-=+-=+>, ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：解:令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．【考点】一元二次方程21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =,对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；26（2)若AB =2BD =，求OE 的长．OEDCB A【解析】（1）证明:∵AB CD ∥∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD 是菱形（2）解:∵四边形ABCD 是菱形,对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴112OB BD ==．在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒．27∴2OA ==． ∵CE AB ⊥, ∴90AEC ∠=︒．在Rt AEC △中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===．【考点】菱形的性质和判定,勾股定理,直角三角形斜边中线22．如图，AB 是O 的直径,过O 外一点P 作O 的两条切线PC ,PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证:OP CD ⊥；（2)连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．A【解析】（1)证明：∵PC 、PD 与O ⊙相切于C 、D ．∴PC PD =，OP 平分CPD ∠．在等腰PCD △中，PC PD =，PQ 平分CPD ∠． ∴PQ CD ⊥于Q ，即OP CD ⊥． （2）解：连接OC 、OD ．28∵OA OD =∴50OAD ODA ∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒ 同理：40BOC ∠=︒∴18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒． 在等腰COD △中，OC OD =．OQ CD ⊥ ∴1302DOQ COD ∠=∠=︒． ∵PD 与O ⊙相切于D ． ∴OD DP ⊥． ∴90ODP ∠=︒．在Rt ODP △中，90ODP ∠=︒，30POD ∠=︒∴cos cos30OD OA OP POD ====∠︒【考点】切线的性质，切线长定理,锐角三角函数23．在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x =（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ,B 之间的部分与线段OA ,OC ，BC 围成的区域(不含边界）为W ．①当1b =-时,直接写出区域W 内的整点个数；A29②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围． 【解析】（1)解：∵点A （4，1）在ky x=（0x >)的图象上． ∴14k=， ∴4k =．（2）① 3个．（1，0），（2，0)，(3，0）．② a ．当直线过（4,0）时:1404b ⨯+=，解得1b =-b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=,解得74b =d ．当直线过（1，3）时:1134b ⨯+=，解得114b =30∴综上所述：514b -<-≤或71144b <≤． 【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题24．如图,Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ,A ，C 两点间的距离为2cm y ．A小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ,2y 与x 的几组对应值；(2xOy x ,1y ），(x ，2y ），并画出函数1y ,2y 的图象；（3）结合函数图象,解决问题:当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【解析】(1）3.00（2)如下图所示:（3）3.00或4.83或5.88．如下图所示,个函数图象的交点的横坐标即为所求．3132【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A,B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组:4050x <≤，5060x <≤，6070x <≤，7080x <≤，8090x <≤,90100x ≤≤）； /分频数b ．A 课程成绩在7080x <≤这一组是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.533c ．A ，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：(1）写出表中m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76分，B 课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”),理由是_______；(3）假设该年级学生都参加此次测试,估计A 课程成绩超过75.8分的人数． 【解析】（1）78.75（2）B ．该学生A 课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B 课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A 课程成绩超过75.8的人数为36人．∴3630018060⨯=（人) 答：该年级学生都参加测试．估计A 课程分数超过75.8的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体26．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．(1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象,求a 的取值范围．34【解析】（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．∴A （1-,0),B （0，4） ∴C （5,4）(2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0)∴30a b a --=．2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212ax a-=-=． (3）解：①当抛物线过点C 时．251034a a a --=，解得13a =． ②当抛物线过点B 时．3534a -=，解得43a =-． ③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1,4）∴234a a a --=，解得1a =-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-．【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题27．如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ,连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．(完整版)2018年北京市中考数学试卷(含答案解析)36HDA【解析】（1）证明：连接DF ．∵A ,F 关于DE 对称． ∴AD FD =．AE FE =． 在ADE △和FDE △中．AD FDAE FE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADE FDE △≌△ ∴DAE DFE ∠=∠． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90A C ∠=∠=︒．AD CD = ∴90DFE A ∠=∠=︒∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒ ∴DFG C ∠=∠ ∵AD DF =．AD CD = ∴DF CD =在Rt DCG △和Rt DFG △．DH37DC DFDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DCG △≌Rt DFG △ ∴CG FG =．(2)BH =．证明：在AD 上取点M 使得AM AE =,连接ME ． ∵四这形ABCD 是正方形． ∴AD AB =．90A ADC ∠=∠=︒．∵DAE △≌DFE △ ∴ADE FDE ∠=∠ 同理:CDG FDG ∠=∠∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠1122ADF CDF =∠+∠ 1452ADC =∠=︒ ∵DE EH ⊥ ∴90DEH ∠=︒∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒ ∴EHD EDH ∠=∠ ∴DE EH =． ∵90A ∠=︒MHD38∴90ADE AED ∠+∠=︒ ∵90DEH ∠=︒ ∴90AED BEH ∠+∠=︒ ∴ADE BEH ∠=∠ ∵AD AB =．AM AE = ∴DM EB =在DME △和EBH △中DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=∠⎩∴DME △≌EBH △ ∴ME BH =在Rt AME △中，90A ∠=︒，AE AM =．∴ME ==∴BH =．【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义:P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离"，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B (2-，2-），C （6，2-）． (1）求d （点O ，ABC △）;（2)记函数y kx=，直接写出k的取值范=（11xk≠）的图象为图形G，若d（G，ABC-≤≤，0△）1围；（3)T的圆心为T（,0），半径为1．若d（T，ABC=，直接写出的取值范围．△）1【解析】（1）如下图所示:∵B（2-,2-)，C（6,2-）∴D（0，2-）∴d（O，ABC==OD△）2（2）10<≤kk≤或01-<39（3)4t=-或04t-≤≤或4t=+．【考点】点到直线的距离，圆的切线40。
中考数学试题分类解析汇编：代数式和因式分解
中考数学试题分类解析汇编：代数式和因式分解A. 选择题1.（3分）在下列各组根式中，是同类二次根式的是【 】（A ）2和12； （B ）2和21； （C ）ab 4和3ab ；（D ）1-a 和1+a ．【答案】B ，C 。
．【考点】同类二次根式。
【分析】首先把各选项中不是最简二次根式的式子化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断：A =2被开方数不同，不是同类二次根式；B =2被开方数相同，是同类二次根式；C 被开方数相同，是同类二次根式；D 、被开方数不同，不是同类二次根式。
故选B ，C 。
．2.（3分）下列运算中，计算结果正确的是【 】A. 4312a a a⋅= B. a a a 632÷= C. ()a a325= D. ()a b a b 333⋅=⋅ 【答案】D 。
【考点】同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、应为437a a a ⋅=，故本选项错误；B 、应为633a a a ÷=，故本选项错误；C 、应为()236aa =，故本选项错误；D 、()ab a b 333⋅=⋅，正确。
故选D 。
3.（4分） 】AB C D 【答案】C 。
【考点】同类二次根式。
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a 的选项即可：A故二者不是同类二次根式；B 故二者不是同类二次根式；C D 2a 不同，故二者不是同类二次根式。
故选C 。
4.（4分）计算23a a g 的结果是【 】A ．5aB ．6aC ．25aD ．26a 【答案】D 。
【考点】单项式乘单项式。
【分析】根据单项式乘单项式直接得出结果：11223=6=6a a a a +g。
故选D 。
5.（4分）计算32()a 的结果是【 】 A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a 【答案】B 。
实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)(解析版)2018年数学全国中考真题-2
2018年数学全国中考真题实数的运算（含二次根式 三角函数特殊值的运算）（试题二）解析版一、选择题 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. C. 9 D.【答案】C【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算． 详解：（-3）2=9， 故选C ．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．2. （2018黑龙江绥化，4，3分） 下列运算正确的是（ ） A.2a +3a =5a 2B.552-=-)( C.a 3·a 4=a12D.(π-3)0=1【答案】D.【解析】解：A 、235a a a +=，故错误； B 255-=()，故错误；C 、34347·a a a a +==，故错误；D 、0(3)1π-=，故正确.故选：D.【知识点】合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的乘法，零指数幂的意义3. （湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为- 3℃〜2 ），则这一天的温差是( )A ．1℃B ．-1℃C ．5℃D ．-5℃ 【答案】C【解析】解：根据“温差=最高气温-最低气温”，2℃－（－3））=2℃+3℃=5℃，故选C ． 【知识点】有理数的减法运算4. （2018吉林省，1, 2分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣3【答案】A【解析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出（﹣1）×（﹣2）=2．故选A ．【知识点】有理数的乘法5. （2018贵州铜仁，10，4）计算990013012011216121++++++ 的值为（ ） A. 1100 B. 99100 C. 199D. 10099【答案】B【解析】∵21-121121=⨯=，31-2132161=⨯=，41-31431121=⨯=，51-41541201=⨯=， 61-51651301=⨯=，……，1001-90110099199001=⨯=， ∴990013012011216121++++++ =11111111111122334455699100 =1991100100.6.（2018云南省昆明市，12，4分）下列运算正确的是（ ）A .2193-=⎛⎫ ⎪⎝⎭B . 020181-=- C . 32326(0)a a a a -⋅=≠ D =【答案】C ．【解析】A 选项是幂的乘方，213-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（13-）×（13-）＝19，故A 选项错误； B 选项02018-1－（－2）＝3，故B 选项错误；3232a a -⋅＝3×2·32a -＝6a ，故C 选项正确是同底数幂的乘法，其法则是底数不变，指数相加，即32325a a a a +⋅==，故C 选项正确；D ==故D 选项错误，故选C ．【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负指数幂；合并同类二次根式7. （2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．【答案】1838．【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．8. （2018辽宁锦州，6，3分）下列运算正确的是A 、7a －a=6B 、a 2·a 3=a 5C 、(a 3)3=a 6D 、(ab)4=ab 4【答案】B ，【解析】：根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行解答． 二、填空题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3分）112()2--= ．【答案】0【解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．2323)21(23331=--+=--+-【知识点】二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂2. （湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：1111,,,,,261220则这个数列的前2018个数的和为__________. 【答案】20182019【解析】11111111,,,,,21262312342045====⨯⨯⨯⨯则第2018个数为120182019⨯ 则这个数列的前2018个数的和为111111223344520182019+++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111223344520182019-+-+-+-++- =112019-=20182019【知识点】探究规律3. （2018年黔三州，19,3）根据下列各式的规律，在横线处填空： 11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，... (1)2017+12018− =12017×2018 . 【答案】11009【解析】按照等式顺序，第一个为11+12−1=12，第二个为13+14−1(3−1)÷2+1=13×4，第3个式子15+16−1（5−1）÷2+1=15×6，17+18−1(7−1)÷2+1=17×8，… …以此类推，12017+12018−1(2017−1)÷2+1 =12017×2018 . 【知识点】等式规律探索4. （2018江苏常州，9，2）计算:3-1-=_______． 【答案】2 【解析】21313=-=--5. （2018四川巴中，21（1），6分）（1）计算：│－2│ －2cos 60°＋()－1－(2018－）0【答案】原式＝2－2×＋6－1＝2﹣1＋6﹣1＝6.【解析】依据数的绝对值意义，│－2│＝2；由特殊角的三角函数值得cos 60°＝；由负整数指数幂的意义得()－1＝611＝6或者()－1＝（6－1）－1＝6；根据a 0＝1（a ≠0）得(2018－）0＝1.6.（2018广西南宁，17，3） 观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 ． 【答案】3，【解析】∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81∴各位数4个数一循环， ∴(2018+1)÷4=504余3， ∴1+3+9=13∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字3．7. （2018湖北十堰，14，3分） 对于实数a ，b ，定义运算“）”如下，a ）b ＝a 2－ab ，例如，5）3＝52－5*3＝10．若（x ＋1））(x －2)＝6，则x 的值为 ． 【答案】1【解析】由于（x ＋1））(x －2)＝6，所以（x ＋1）2－（x ＋1）（x －2）＝6，即有3x ＋3＝6，解得x ＝1，故答案为：1．8. （2018湖北随州11，3分）8|2－2＋2tan45°＝______．【答案】4．【解析】842⨯2根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得|2－2|＝22－2；熟记特殊角的三角函数值可得2tan45°＝2×1＝2，所以原式＝222)＋2＝222＋2＝4．三、解答题1. （2018省市，题号，分值）计算：11220182-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【思路分析】先计算各项的值，进而求得结果，一个负数的绝对值为它的相反数，任何非零数的零次幂都为1，一个数的-1次幂相当于它的倒数 【解题过程】原式=2-1+2=3【知识点】绝对值；零指数幂和负整指数幂；有理数加减2. （2018省市，题号，分值）先化简，再求值：22221644a a a aa-+-，其中a 【思路分析】先将分式化简，再将a 值代入求值【解题过程】()()()222244216224444a a a a a a a a a a a a +--==+-+-,当a =2时，原式 【知识点】分式的乘除；二次根式3. （2018广西省桂林市，19，6分）1103)6cos 45+2---︒⎛⎫⎪⎝⎭．【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．1103)6cos 45+2---︒⎛⎫ ⎪⎝⎭＝6+121232-⨯=-=． 【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简4. （2018黑龙江省龙东地区，21，5分） 先化简，再求值：2221(1)21a a a a a a --÷+++，其中a ＝sin30°． 【思路分析】先化简分式，再求a 的值，最后把a 的值代入计算即可．【解题过程】解：原式＝2222(1)()(1)(1)a a a a a a a a a a ++-+-++＝22(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++-＝1aa -．当a ＝sin30°＝12时，原式＝－1．【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式5. （2018山东省东营市，19①，4分） 计算：02018112133012)tan ()()--︒+-- 【思路分析】根据绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂的法则性质进行计算即可。
2018中考数学试题分类汇编考点02 无理数与实数(含解析)
2018中考数学试题分类汇编：考点2无理数与实数一．选择题（共24小题）1．（2018•铜仁市）9的平方根是（）A．3 B．﹣3C．3和﹣3 D．81【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：9的平方根是±3，故选：C．2．（2018•南通模拟）的值是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣2 【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：=2，故选：B．3．（2018•杭州）下列计算正确的是（）A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2【分析】根据=|a|进行计算即可．【解答】解：A、=2，故原题计算正确；B、=2，故原题计算错误；C、=4，故原题计算错误；D、=4，故原题计算错误；故选：A．4．（2018•黔南州）下列等式正确的是（）A．=2 B．=3 C．=4 D．=5【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可得．【解答】解：A、==2，此选项正确；B、==3，此选项错误；1 / 11C、=42=16，此选项错误；D、=25，此选项错误；故选：A．5．（2018•济宁）的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【解答】解：=﹣1．故选：B．6．（2018•恩施州）64的立方根为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：64的立方根是4．故选：C．7．（2018•衡阳）下列各式中正确的是（）A．=±3 ；B．=﹣3；C．=3 D．﹣=【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：A、原式=3，不符合题意；B、原式=|﹣3|=3，不符合题意；C、原式不能化简，不符合题意；D、原式=2﹣=，符合题意，故选：D．8．（2018•广州）四个数0，1，，中，无理数的是（）A．B．1 C．D．0【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，1，是有理数，是无理数，故选：A．9．（2018•玉林）下列实数中，是无理数的是（）A．1 B．C．﹣3 D．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：1，﹣3，是有理数，是无理数，故选：B．10．（2018•聊城）下列实数中的无理数是（）A．B．C．D．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：，，是有理数，是无理数，故选：C．11．（2018•菏泽）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．【解答】解：在﹣2，0，，0.020020002…，π，中，无理数有0.020020002…，π这2个数，故选：C．12．（2018•黄石）下列各数是无理数的是（）A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．3 / 11【解答】解：A、1是整数，为有理数；B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；C、﹣6是整数，属于有理数；D、π是无理数；故选：D．13．（2018•温州）给出四个实数，2，0，﹣1，其中负数是（）A．B．2 C．0 D．﹣1【分析】直接利用负数的定义分析得出答案．【解答】解：四个实数，2，0，﹣1，其中负数是：﹣1．故选：D．14．（2018•荆门）8的相反数的立方根是（）A．2 B．C．﹣2 D．【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．【解答】解：8的相反数是﹣8，﹣8的立方根是﹣2，则8的相反数的立方根是﹣2，故选：C．15．（2018•眉山）绝对值为1的实数共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：绝对值为1的实数共有：1，﹣1共2个．故选：C．16．（2018•天门）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（）A．|b|＜2＜|a| B．1﹣2a＞1﹣2b C．﹣a＜b＜2 D．a＜﹣2＜﹣b【分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、|a|的数量关系．【解答】解：A、如图所示，|b|＜2＜|a|，故本选项不符合题意；B、如图所示，a＜b，则2a＜2b，由不等式的性质知1﹣2a＞1﹣2b，故本选项不符合题意；C、如图所示，a＜﹣2＜b＜2，则﹣a＞2＞b，故本选项符合题意；D、如图所示，a＜﹣2＜b＜2且|a|＞2，|b|＜2．则a＜﹣2＜﹣b，故本选项不符合题意；故选：C．17．（2018•枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．故选：B．18．（2018•常德）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，5 / 11﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．19．（2018•福建）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，故最小的数是：﹣2．故选：B．20．（2018•苏州）在下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣3B．0 C．D．【分析】将各数按照从小到大顺序排列，找出最大的数即可．【解答】解：根据题意得：﹣3＜0＜＜，则最大的数是：．故选：C．21．（2018•淄博）与最接近的整数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．【解答】解：∵36＜37＜49，∴＜＜，即6＜＜7，∵37与36最接近，∴与最接近的是6．故选：B．22．（2018•南京）下列无理数中，与4最接近的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近4的无理数．【解答】解：∵=4，∴与4最接近的是：．故选：C．23．（2018•台州）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】直接利用2＜＜3，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选：B．24．（2018•重庆）估计（2﹣）•的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案．【解答】解：（2﹣）•=2﹣2=﹣2，∵4＜＜5，∴2＜﹣2＜3，故选：B．二．填空题（共10小题）25．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x=2．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案为：2．26．（2017•恩施州）16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，7 / 11∴16的平方根是±4．故答案为：±4．27．（2018•资阳）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=﹣1．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵（a﹣1）2+=0，∴a=1，b=﹣2，∴a+b=﹣1．故答案为：﹣1．28．（2018•上海）﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．29．（2017•西藏）下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的有②③（填序号）．【分析】根据无理数的定义即可判断；【解答】解：下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的为：②③，故答案为②③30．（2018•襄阳）计算：|1﹣|=﹣1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：|﹣|=﹣1．故答案为：﹣1．31．（2018•昆明）在实数﹣3，0，1中，最大的数是1．【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数进行分析即可．【解答】解：在实数﹣3，0，1中，最大的数是1，故答案为：1．32．（2018•陕西）比较大小：3＜（填“＞”、“＜”或“=”）．【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．【解答】解：32=9，=10，∴3＜．33．（2018•咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）．【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，即为比2大比3小的无理数．故答案为．34．（2018•烟台）（π﹣3.14）0+tan60°=1+．【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=1+．故答案为：1+．三．解答题（共8小题）35．（2018•怀化）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2×﹣1+﹣1+2=1+．36．（2018•台州）计算：|﹣2|+（﹣1）×（﹣3）【分析】首先计算绝对值、二次根式化简、乘法，然后再计算加减即可．【解答】解：原式=2﹣2+3=3．9 / 1137．（2018•曲靖）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2+1+3﹣3=3．38．（2018•海南）计算：（1）32﹣﹣|﹣2|×2﹣1（2）（a+1）2+2（1﹣a）【分析】（1）直接利用二次根式性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式去括号进而合并同类项得出答案．【解答】解：（1）原式=9﹣3﹣2×=5；（2）原式=a2+2a+1+2﹣2a=a2+3．39．（2018•遵义）2﹣1+|1﹣|+（﹣2）0﹣cos60°【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=+2﹣1+1﹣=2．40．（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°=1+9﹣+4×=1+9﹣2+2=10．41．（2018•连云港）计算：（﹣2）2+20180﹣．【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．【解答】解：原式=4+1﹣6=﹣1．42．（2018•桂林）计算：+（﹣3）0﹣6cos45°+（）﹣1．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=3+1﹣6×+2=3+1﹣3+2=3．11 / 11。
5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)
第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年山东省东营市-第10题-3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【思路分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答过程】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2018年四川省绵阳市-第11题-3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若的面积为（）A B．3C1D．3【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB 的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答过程】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，∴S△AOC=2×=3﹣，故选：D．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．3．（2018年四川省达州市-第8题-3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC 的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．3【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【思路分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=DE=．故选：C．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1．（2018年四川省绵阳市-第18题-3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【知识考点】三角形的重心；勾股定理．【思路分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．【解答过程】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，∴BO2+AO2=，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案为．【总结归纳】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．2．（2018年四川省泸州市-第16题-3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【思路分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；【解答过程】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．故答案为13．【总结归纳】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．3．（2018年四川省德阳市-第16题-3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．【知识考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．【思路分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．【解答过程】解：∵D是AB中点∴AD=BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°∴CD=BD∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误∵∠DCB=30°，∠ACD=60°∴∠ACB=90°若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN=CP∵d12+d22=MN2=CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB∴CP=∴d12+d22=MN2=CP2=3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④【总结归纳】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．三、解答题1．（2018年山东省日照市-第22题-13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12 AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题；【解答过程】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2018年山东省淄博市-第23题-9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答过程】解：（1）连接BE，CD相较于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．3．（2018年四川省自贡市-第25题-12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OD=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（2018年四川省阿坝州/甘孜州-第27题-10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE=EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB=3，BD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠F，∴EA=ED，EA=EF，∴DE=EF．（2）解：结论：BD=CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．∵DE=EF．∠DEM=∠CEF，EM=EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM=CF，∠MDE=∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠DBM=45°，∴BD=DM，∴BD=CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA=ED，EN⊥AD，∴AN=ND，设BD=x，则DN=，DE=AE=，∵∠B=45°，EN⊥BN．∴EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2=DE2，∴（）2+（）2=（）2解得x=1或﹣1（舍弃）∴BD=1．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2018年四川省乐山市-第25题-12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若k=试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．（3）如图3，若k=D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°，故答案为：45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵BD=AF，∴，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴=，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE，∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°，在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6．（2018年四川省攀枝花市-第23题-12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=94S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答过程】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC=•AC•BE=，∴BE=，在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM=S△QCN，∴•PQ2=וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或．∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=，综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题( 含答案解析)
北师大版八年级数学上册2.7二次根式计算专题1．计算：（1）)3127(12+- （2）()()6618332÷-+- 【答案】（1）334- （2）2【解析】试题分析：（1==（2312=-= 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根实数运算知识点的掌握。
要求学生牢固掌握解题技巧。
2．(÷【答案】1【解析】试题分析：(-=(32⨯⨯1= 考点：二次根式的化简和计算点评：本题考查二次根式的化简和计算，关键是二次根式的化简，掌握二次根式的除法法则，本题难度不大3．计算（每小题4分，共8分）（1（2）【答案】【解析】试题分析：原式=-+2）原式+考点：实数的运算点评：实数运算常用的公式：（1）2(0)a a =≥（2,a =（30,0)a b =≥≥（40,0)a b=≥≥.4．计算：（1） （2）（3+ （4）14【答案】（1），（2），（3）194-13，（4【解析】本题考查二次根式的加减法.根据二次根式的加减法法则进行计算解：（1）原式= 2）原式=-（3）原式= 24+= 4（4）原式3-25．计算：)23(3182+-⨯【答案】-【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．6=-考点：二次根式化简．6．计算：2421332--． 【答案】22． 【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.-==． 考点：二次根式的计算.7．计算：)13)(13(2612-++÷-．2．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．1)=31-2． 考点：二次根式的化简．8⎝ 【答案】0.【解析】试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可.==⎝.考点：二次根式计算.9．计算：()0+1π错误！未找到引用源。
.【答案】1-【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：()0+1π11=-=-考点：二次根式的化简．10．计算：435.03138+-+【答案】323223+．【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2322322+-+=323223+．考点：二次根式的化简．11．计算：（1）（2）()02014120143π----【答案】（1）1（2）3-【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，试题解析：（1（2）()20141201431133π---=--+=-考点：1.实数的运算;2.有理数的乘方;3.零指数幂;4.二次根式化简;5.绝对值.12．计算：212)31()23)(23(0+---+【答案】2.【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．(1==+试题解析：解：原式=2123+--=2考点：二次根式的混合运算．130(2013)|+-+-．【答案】1.【解析】试题分析：0(2013)|+-+-1=+1=. 考点：二次根式化简.14．计算：⎛÷ ⎝2+ 【答案】5【解析】试题分析：解：原式13⎛=÷ ⎝153== 考点：实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的额掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。
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）
A． x＜﹣ 2 B． x≤﹣ 2 C． x＞﹣ 2 D． x≥﹣ 2
【分析】 根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】 解：由题意，得
2x+4≥ 0，
解得 x≥﹣ 2，
故选： D．
4．（ 2018?苏州）若
在实数范围内有意义， 则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
）
A． a2+a=2a3 B．
=a C．（ a+1）2=a2 +1 D．（ a3） 2=a6
【分析】 根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加， 所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变；
=a （ a≥ 0）；完全平方公式：（ a± b） 2=a2±2ab+b2；幂的乘方法则：底
数不变，指数相乘进行计算即可． 【解答】 解： A、 a2 和 a 不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
考点 7 二次根式
一．选择题（共 15 小题）
1．（ 2018?怀化）使
有意义的 x 的取值范围是（
）
A． x≤ 3 B． x＜ 3 C ． x≥ 3 D ． x＞ 3 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于
x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．
【解答】 解：∵式子 ∴x﹣ 3≥ 0，
有意义，
B、 =|a| ，故原题计算错误； C、（ a+1）2=a2+2a+1，故原题计算错误；
【解答】 解：由题意得 x+2≥0， 解得 x≥﹣ 2． 故选： D．
5．（ 2018?临安区）化简
的结果是（
）
A．﹣ 2 B．± 2 C． 2 D． 4 【分析】 本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
【解答】 解：
= =2．
故选： C．
6．（ 2018?无锡）下列等式正确的是（
A．（ ） 2=3 B．
= ﹣ 3 C．
） =3 D．（﹣
） 2=﹣3
【分析】 根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【解答】 解：（ ） 2=3， A 正确；
=3， B 错误；
= =3 ， C错误； （﹣ ）2 =3， D 错误； 故选： A．
7．（ 2018?张家界）下列运算正确的是（
解得 x≥ 3． 故选： C．来自2．（ 2018?扬州）使
有意义的 x 的取值范围是（
）
A． x＞ 3 B． x＜ 3 C ． x≥ 3 D ． x≠ 3
【分析】 根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】 解：由题意，得
x﹣ 3≥ 0，
解得 x≥ 3，
故选： C．
3．（ 2018?达州）二次根式
中的 x 的取值范围是（