幂的相关运算及整式的乘除法
专题04 整式的乘除(原卷版)
专题04整式的乘除【热考题型】【知识要点】知识点一幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=·（其中m、n 为正整数）【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
例：a·a 2＝a 1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数）【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即pn m p n m a a a a ++=··（m，n，p 都是正整数）考查题型一同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （）A．aB．3aC．2a2D．a3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）A．810B．1210C．1610D．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（）A．8B．6C．5D．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（）A．0.11B．1.1C．11D．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnnm a a =)((其中m，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一 知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。
（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。
公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。
】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
幂的运算法则及整式的乘除
幕的运算法则及整式的乘除、知识提要幕的运算法则：a m a n = a m+n (a m ) n = a mn (ab) n = a nb n a m F n = a m-n二、专项训练【板块一】幕的运算法则的应用1. 下面计算中，正确的是() A. (-2mn)3=-8m 3n 3B. (m+n)3(m+ n)2=m 5+n 5C.-(-a 6 7b 2)3=-a 9b 6D. ( - a 4b)2 - a 6b 2 3 62. -(-2ab 3)2= __________10n 10000 10n-2= _________ (n 为大于 2 的整数)若 3x 9x 27x =96,贝U x= _______3. 若 n 为整数，x 2n =2，则(3x 3n ) 2-4(x 2) 2n 的值是(C . 48D . 56 4. 数3555, 4444, 5333的大小关系是()A. 3555<4444<5333B. 4444<3555<5333 5 若 m=-2，贝U -m 2 (-m)4 (-m)3 的值是 _____ .6 若x , y 互为相反数且都不等于0, n 为正整数，贝U 下列各组中互为相反数的是()A.x n 和 y nB.x 2n 和 y 2nC.x 2n x 和 y 2" y7 2(4a 5) 2 (a 2) 2-(a 2)4 (a 3) 2 (2) 1234 1 \12312)A . 282C. 5333<4444<3555D. 5333<3555<4444D.x2n-1和- y2n-18. ________________________________________________ 已知 2012m =a , 2012n =b,则 20123m+2n = _________________________________________________已知 2m+5n=3,则 4m 32n = _____________________已知 a m+n =10, a n =2,则 a m = ; 【板块二】整式的乘除9. 若(a m+1b n+2)(評1 b)=a 5b 3，求 m+n 的值.10. [x(x 3y 2)2-2(x 2y)3+3] (-xy 2)3=討 4y2) (2xy2)2=(_c 3)2n ^c n-1= ____________ ；(2x n y 2n )3讯-xy)2n = ____________ (n 为正整数)；(54x 2y-108xy 2-36xy)十 18xy)= __________ .11. 已知有理数 a,b,c 满足 |a-b-3|+(b+1)2+|c-1|=0,则(3ab) (a 2c 6b 2c)的值 为 _________ .12. 已知计算(2-nx+3x 2+mx 3) (-4x 2)的结果中不含x 5项，那么m 应等 于13. 已知x 2+mx+8与x 2-3x+n 的积中不含x 3项与x 项,贝U m= ________ , n= ________ .【板块三】拓展拔高已知 x m =5, x n =9,则 x m+n = m-n X = ___________若 x m =4, x n =3,则 x 3n = ________ m+2n,x = ___________14.当a=-1 时，[（-丄）2a5]3a7等于（）2A.-B.丄C. 1D. 14 64 3 6415. (-x2y m) 2(kx n+1y) =-2x6y3,则(k m) n等于（)A. -2B.2C. 4 D -416.若(2x-1)6=a o+a i x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6则a o+a i+a2+a3 +a4+a5+a6= , a o+a2+a4+a6= ________ .。
第一章整式的乘除2幂的乘方与积的乘方——第1课时幂的乘方
2. 计算: （1）（-b2）5·（-b3）2；
解：原式=-b10·b6=-b16.
（2）（-x3）2·（-x2）3； 解：原式=x6·（-x6）=-x12.
（3）（y3）2·（y2）3. 解：原式=y6·y6=y12.
课后作业
夯实基础
新知 幂的乘方法则与运算
1. 计算（-a3）2的结果是 A. a6 C. -a5
解：（1）原式=xn-2+n+2=x2n.
（2）原式=-x15.
（D ）
8. 计算： （1） x2·x3+（x3）2； （2） -2（a3）4+a4·（a4）2； （3）（x+y）·［（x+y）2］3.
解：（1）x5+x6.
（2）-a12.
（3）（x+y）7.
能力提升
9. 计算： （x4）2+（x2）4-x（x2）2·x3-（-x）3·（-x2）2·（x）.
B.（-x）5=-x5
C. x3·x2=x6
D. 3x2+2x3=5x5
5. 若3x·93-2x=1，则x的值为
A. 2
B. 0
C.
D. 3
（C ） Байду номын сангаасB ） （A ）
6. 已知10x=m，10y=n，则102x+3y等于
A. 2m+3n
B. m2+n2
C. 6mn
D. m2n3
7. 计算： （1）xn-2·xn+2；（n是大于2的整数） （2）-（x3）5.
（C ）
3. 下列各式中，计算结果不可能为a14的是 （ A ）
A.（a7）7
B. a8 ·（a3）2
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
14.1整式乘法-幂运算(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《14.1整式乘法-幂运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多次相同因数的乘积的情况？”（如：计算2的5次方）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索幂运算的奥秘。
3.成果分享：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幂运算的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对幂运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-理解并运用积的乘方法则，特别是对于多个变量的乘积的幂运算；
-将幂运算应用于实际问题，建立数学模型。
举例：
a.难点一：在讲解同底数幂的除法时，学生可能难以理解当m < n时，a^m ÷ a^n = a^(m-n)中的指数为负数的含义。此时，教师需要通过具体的实例和图形，帮助学生形象地理解这一概念。
b.难点二：在讲解幂的乘方法则时，学生可能对指数相乘的理解存在困难。教师可以通过展示不同底数和指数的幂运算，让学生通过观察和总结，发现规律并加深理解。
另外，我发现学生在小组讨论环节表现得相当积极，他们能够围绕幂运算在实际生活中的应用提出很多有趣的观点和问题。但在分享讨论成果时，部分学生表达不够清晰，这可能是由于他们对知识点的掌握还不够熟练。针对这一点，我打算在之后的课程中加强学生的表达和交流能力，鼓励他们更自信地分享自己的观点。
此外，实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，可能是因为组内分工不明确。为了提高讨论效率，我会在下一节课前明确给出分组讨论的要求和分工，确保每个学生都能参与到讨论中来。
幂的运算方法归纳总结
幂的运算方法总结作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。
不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。
而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。
幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①am×an=am+n ②(am)n=amn③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1已知a7am=a3a10，求m的值。
思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。
方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。
方法原则：可用公式套一套。
但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。
问题2已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。
思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。
因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。
方法原则：整体不同靠一靠。
然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。
思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。
简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。
方法原则：逆用公式倒一倒。
当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4已知22x+3－22x+1=48，求x的值。
思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。
整式乘除及因式分解讲义
第八章整式乘除与因式分解【知识点1】幂的运算1.同底数幂的乘法法例：a m a n a mn（m,n都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数能够是多项式或单项式。
如：(ab)2(ab)3(a b)5x16x x6同底数幂的乘法法例能够逆用：即a p a mn a m a n如：x7x25x2x5x34x3x4能够依据已知条件，对本来的指数进行适合地“分解”。
2.幂的乘方法例：(a m)n a mn（m,n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：(35)2310幂的乘方法例能够逆用：即a p a mn(a m)n(a n)m如：46(42)3(43)23.积的乘方法例：(ab)n a n b n（n是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（2x3y2z)5=(2)5(x3)5(y2)5z532x15y10z5积的乘方法例能够逆用：即1n(a1)na n1n 1,b a;a nb n ab n,常有：a n a n1，n为偶数a n1a(1)1n,b a.a a1，n为奇数4.同底数幂的除法法例：a m a n a mn（a0,m,n 都是正整数，且m n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3同底数幂的除法法例能够逆用：即a p a mn a m a n如：已知x75,x33，则x4x73x7x3535 35.零指数幂：a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。
6.负整指数幂：a p1（a0,p是正整数）a p科学计数法：（1）绝对值大于1的数可记为a 10n，此中1a10，n是正整数，n等于原数数位减1.如2040000记为106（2）绝对值小于1的数可记为a10n，此中1a10，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前方的零的个数（包含小数点前的0）.如104记为考点1同底数幂的乘法【例1】以下各式中，正确的选项是（）A．m4m4m8 B.m5m52m25 C.m3m3m9 D.y6y62y12【例2】x y5y x4________【例3】若a m＝2，a n＝3，则a m+n等于() A．5【例4】已知n是大于1的自然数,则c n1cn1()等于A.c n21 B.2nc C.c2n D.c2n【练习】2·107＝2.a4a a53.在等式a3·a2·()＝a11中，括号里面人代数式应当是_____4.aa 3a m a 8,则m=5. －t 3·(－t)4·(－t)5_____6. 已知xm －n ·x 2n+1=x 11，且ym －1·y4－n=y 7，则m=____，n=____.考点2幂的乘方【例1】（1） x24（2）a 4a 8（3）()2＝a 4b 2【例2】若a x 2,则a 3x =【练习】1.x k12 =31xy 2z 3 22. =23.计算x 43x 7的结果是()A.x 12B.x 14C.x 19D.x 844. a 24a 3(-a n )2n 的结果是x 25=考点3 积的乘方【例1 】下边各式中错误的选项是（ ）．A ．（24）3=212B ．（－3a ）3=－27a 3C ．（3xy 2）4=81x 4y 8D ．（2a 2b 2）2=2a 4b 2【例2】计算(1)2010(5)2009(1.2)20106【练习】1.面各式中正确的选项是（）A．3x2·2x=6x2B．（1xy2）2=1x2y439C．（－2xy2）3=－2x3y6D．（－x2）·（x3）=x52.当a=－1时，－（a2）3的结果是（）A．－1B．1C．a6D．以上答案都不对3.与[（－3a2）3]2的值相等的是（）A．18a12B．243a12C．－243a12D．以上结论都不对4.以下计算正确的选项是（）A．(b2)3b5B．(a3b)2a6b2C．a3a2a5D．2a238a62345.计算3ab的结果是()A.81a8b12B.12a6b7C.12a6b7D.81a8b126.计算（1）9220259643（2）（－1a2x4）2－（2ax2）43（3）－a3·a4·a+（a2）4+（－2a4）2（4）2（x3）2·x3－（3x3）2+（5x）2·x77）20087）2008（5）（－·（12127.已知a2b33，求a6b9的值。