湖南省师大附中2010届高三第二次月考----文科数学试题
湖南师大附中高三月考试卷(二)数学文试题 Word版含答
湖南师大附中2015届高三月考试卷（二）数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0）C．[1，3）D．（0，1）2．设复数Z满足（2+i）•Z=1﹣2i3，则复数Z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∀x∈R，2x＜3”；命题q：“∃x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则（）A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3C．4D．55．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．92．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为（）A．1064 B．1065 C．1067 D．10688．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．210．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是_________．12．在区间[﹣π，π]内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为_________．13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为_________．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是_________．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=_________，（2）f（m，n）=_________．三、解答题（本题共6小题，75分）16．（12分）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．17．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？K2=．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．19．（13分）已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．21．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．17．解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．18．（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．19．解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①…②①﹣②得=2n﹣1﹣（n+2）2n+1=﹣n•2n﹣1，∴．∴20．解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．21．解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．。
湖南省师大附中高三数学文科第一次月考试卷
湖南省师大附中2007—2008学年高三第一次月考数学试题（文科）时量：120分钟 满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的体积公式334R V π=球，球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．使函数13)(23+-=x x x f 为减函数的区间是（ ）A ．（2，+∞）B ．（－∞，2）C ．（－∞，0）D ．（0，2）2．已知函数xx f --=11)(的定义域M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{<x xC ．}11|{<<-x xD ．φ3．给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc ； ②设11 .0,><≠∈abb a ab R b a ，则若，则； ③若|)(|2log )(2x f x x f x，则==是偶函数. 其中不正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③ 4．函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，1）C ．]9,1(D ．),9[+∞ 5．曲线)35,1(2313---=在点x y 处切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°6．设)1(l o g )()(21+=-x x f x f是函数的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．0B ．1C ．3log 2D ．2 7．命题“若1112<<-<x x ，则”的逆否命题是（ ）A ．若1112-≤≥≥x x x 或，则 B ．若1112<<<-x x ，则C ．若1112>-<>x x x ，则或D ．若1112≥-≤≥x x x ，则或8．已知)(x f 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为2，且当||)()1,1[x x f x =-∈时，，则函数)(x f y =的图象与函数y=x 4log 的图象的交点个数为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．已知对任意实数x ，有0)(0)(0)()(),()(>'>'>=--=-x g x f x x g x g x f x f ，时，，且，则0<x 时（ ）A ．0)(0)(>'>'x g x f ，B ．0)(0)(<'>'x g x f ，C ．0)(0)(>'<'x g x f ，D ．0)(0)(<'<'x g x f ，10．已知定义域为R 的函数),8()(+∞在x f 上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．)7()6(f f >B ．)9()6(f f >C ．)9()7(f f >D ．)10()7(f f >二、填空题：本大题共5小题，每小题5人，共25分，把答案填写在题中的横线上. 11．若关于),4()1,(01+∞⋃--∞>+-的解集为的不等式x ax x ，则实数a = . 12．已知函数=-⎩⎨⎧>≤-=))2((0,log 0,2)(2f f x x x x x f ，则13．函数x x x f 62)(3+=在区间[－1，2]上的最小值是 14．将函数ax y +=3的图象向左平移一个单位得曲线C ，若曲线C 关于原点对称，则a = 15．已知)(x f 是定义在R 上的函数，给出下列两个命题：p ：若4))(()(212121=+≠=x x x x x f x f ，则；q ：若0)()()](2,(,21212121>--≠-∞∈x x x f x f x x x x ，则，则使命题“p 且q ”为真命题的函数)(x f 可以是 三、解题答题：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于x =2对称，且当时，)2,2(-∈x1)(2+-=x x f ，求)()2,6(x f x 时，--∈的表达式.17．（本题满分12分）设函数.|4||12|)(--+=x x x f （Ⅰ）解不等式2)(>x f （Ⅱ）求函数y=)(x f 的最小值. 18．（本小题满分12分）已知三个集合，，}01|{}023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A }02|{2=+-=bx x x C ，问同时满足A C A A B =⋃⊂≠，的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）设定义在R 上的函数1)(0)(>>x f x x f 时，，满足当，且对任意的R y x ∈,，有0)(>x f ，2)1()()()(=⋅=+f y f x f y x f ，.（Ⅰ）求)0(f ；（Ⅱ）求证：函数)(x f 为R 上的单调增函数； （Ⅲ）解不等式：4)3(2>-x x f .20．（本小题满分题13分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（53≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的售价为)119(≤≤x x 元时，一年的销售量为2)12(x -万件.（Ⅰ）求分公司一年利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q（a ）.21．（本小题满分14分） 已知函数0)1()0(023)(2>⋅=++++=f f c b a c bx ax x f ，，若. 求证： （Ⅰ）方程0)0(=f 有实数根； （Ⅱ）12-<<-ab； （Ⅲ）设21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，则.32||3321<-≤x x参考答案一、选择题1—5 DCBCB 6—10 DDABD 二、填空题11．4 12．2 13．－8 14．－115．只须满足2)(=x x f 的图象关于直线对称，且在]2,(-∞上为增函数即可. 如m x x f m x x f +--=+--=|2|)()2()(2或等.16．（本题满分12分）解：∵)(x f 是定义在R 上的偶函数，∴)()(x f x f =-， 又图象关于x=2对称，∴)()4(x f x f -=+∴)()4(x f x f =+，∴y=)(x f 是以4为周期的周期函数， 当，时，)2,2(4)2,6(-∈+--∈x x ∴1)4()4(2++-=+x x f ∴).2,6(1)4()4()(2--∈++-=++x x x f x f ， 17．（本题满分12分）解：令|4||12|--+=x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<---≤--=4 5421 33215x x x x x x y ，，，作出函数|4||12|--+=x x y 的图象，它与直线y=2的交点为（－7，2）和（35，2）. 所以),35()7,(2|4||12|+∞⋃--∞>--+的解集为x x . （Ⅱ）由函数|4||12|--+=x x y 的图象可知，当21-=x 时，取得最小值29-. 另外，本题（Ⅰ）也可以直接解分段不等式得到其解集；（Ⅱ）由函数的单调性得每一区间上的最小值，其中最小的为函数的最小值. 18．（本小题满分12分）解：∵}0)1)(1(|{},2,1{}023|{2=+--===+-=a x x x B x x x A ， 又∵A B ≠⊂ ∴211==-a a 即∵A C A C A ⊆∴=⋃, 则C 中的元素有以下三种情况：（1）若C=φ时，即方程022=+-bx x 无实根.∴.2222082<<-∴<-=∆b b ，（2）若C={1}或C={2}，即方程022=+-bx x 有两个相等的实根. ∴.22082±=∴=-=∆b b ，此时C={2}或C={－2}，不合题意，舍去.（3）若C={1，2}时，则b=1+2=3，而两根之积恰好等于2.综上所述，存在实数a=2，－22<b<22或a=2，b=3满足题中条件. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令)1()0()10(10f f f y x ⋅=+==时，，∵1)0(2)1(=∴=f f ，（Ⅱ）任取.0)(1)(0,112122121>>-∴>-<∈x f x x f x x x x R x x ，，，则，且 ∴)(])[()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-0)(]1)([)()()(1121112>⋅--=-⋅-=x f x x f x f x f x x f∴)()(21x f x f <∴)(x f 为R 上的单调增函数.（Ⅲ）∵4)1()1()2(2)1(=⋅=∴=f f f f ，∴21,23)2(4)3(22<<∴>-∴=>-x x x f x x f ，∴不等式的解集为（1，2）. 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：]11,9[,)12)(3(2∈---=x x a x L（Ⅱ）化简得：).3218)(12(x a x L -+-='令123260=+=='x a x L 或得（不合题意，舍去）. ∵.328326853≤+≤∴≤≤a a ，在a x 326+=两侧L ′的值由正变负， 所以（1）当]11,9[29393268在时，即L a a <≤<+≤上是减函数.∴).6(9)912)(39()9(2max a a L L -=---== （2）当a x L a a 326]11,9[,5293283269+=≤≤≤+≤上于在时即处取最大值. 即：32max)313(4)]326(12)[3326()326(a a a a a L L -=+---+=+=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=529 ,)313(4293 ),6(9)(3a a a a a Q答：若293≤≤a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值 Q （a ）=9（6－a ）（万元）；若529≤≤a ，则当每件售价为)326(a +元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=4（3－a 31）3（万元）.21．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）若a=0，则b=－c0)23()1()0(2≤-=++=c c b a c f f 与已知矛盾，所以0≠a∵方程0232=++c bx ax 的判别式0]43)21[(4)3(4222>+-=-=∆c c a ac b故方程0)(=x f 有实根.（Ⅱ）由0)23(0)1()0(>++>c b a c f f ，得 由条件0=++c b a ，消去c ，得0)2)((<++b a b a∵0)2)(1(,02<++∴>aba b a ∴12-<<-ab（Ⅲ）由条件知ab a ac x x a b x x 33,322121+-==-=+ ∴31)23(944)()(221221221++=-+=-a b x x x x x x∵12-<<-a b∴.32||3394)(3121221<-≤⇒<-≤x x x x。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷
湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷命题人：李勇审题人：韩湘萍、袁建光命题范围：必修1、选修1、选修3时量：90分钟总分：100分一、单项选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 据《礼记·玉藻》记载和考古发现得知，簋是重要的礼器，主要用于祭祀时放置煮熟的饭食，一般与鼎相配合使用。
周礼规定，天子用九鼎八簋，诸侯用七鼎六簋，卿大夫用五鼎四簋，士用三鼎二簋。
这种现象反映的本质问题是A．西周社会奢侈腐败现象严重B．西周社会呈现等级森严的特征C．西周手工业中冶铜业落后西周利簋D．西周各地经济发展不平衡解析：根据“天子用九鼎八簋，诸侯用七鼎六簋，卿大夫用五鼎四簋，士用三鼎二簋”说明西周是按照级别规定祭祀用品数量，充分体现了西周社会呈现等级森严的特征。
故选B项。
2. 柳宗元被贬谪湖南永州时所创作《封建论》中说：“周之兵，在于制；秦之失，在于政，不在制。
”文中的两个“制”分别是指A．分封制和郡县制 B．宗法制和郡县制C．分封制和专制主义中央集权制 D．宗法制和专制主义中央集权制解析：柳宗元《封建论》是对分封与郡县两种政治体制的优劣利弊进行深刻的分析与评述的哲学论文。
故选A项。
3. 《水经注? 湘水》云：“秦灭楚，立长沙郡。
” 长沙郡下设湘、罗、益阳、阴山、零陵、衡山、宋、桂阳等9县。
从此，长沙开始纳入全国统一的政治体制，并第一次明确地以一个行政区域载入史册。
根据所学知识判断下列说法错误的是A．郡守是长沙郡最高的行政长官 B．长沙郡守需要定期向皇帝汇报工作C．郡守职位由皇帝直接任命 D．县令、县长也由皇帝直接任命解析：秦朝郡县制下，郡守和县令、县长都由皇帝直接任命，郡守需定期向丞相汇报工作，而非皇帝，因此B项错误。
4．范仲淹公元1015年中进士，曾先后做过河中府通判、饶州知州、延州知州等地方官，于1043年回朝任枢密副使、参知政事，继而推行新政。
湖南省师大附中2010届高三数学第二次月考(文)
ABC A 1 B 1C 1 M 某某省师大附中2010届高三第二次月考试卷数 学（文科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是 （ B ） A.21 B .－1C.i -D. 1【解】因为22(1)i z i +=+=i i i i i i i -=⋅+=+212)2(22，所以复数z 的虚部是－1，故选B. 2.在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5·a 6·a 7的值为 （ A ） A ．±8 B ．－8 C ． 8 D ．64【解】因为{a n }为等比数列，则a 62＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6=±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A. 3.“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ D ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【解】1()f x x=为奇函数，但(0)f 不存在；对函数2()f x x =，有(0)0f =，但()f x 为偶函数，故选D.4.某单因素单峰试验的因素X 围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是 （ C ） A. 16.18 B. 55.62 C. 71.8 D.61.8【解】据黄金分割法原理，8.71)10110(618.0101=-⨯+=x ，故选C.5.函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 （ D ）A.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈B. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈ C.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈【解】22sin 22cos 1cos sin sin )cos (sin sin )(2x x x x x x x x x f --=⋅-=-= )42sin(2221π+-=x .由πππππk x k 224222+≤+≤+-，得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故选D.6.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上 一动点，已知△BCM面积的最大值是M ―BC ―A的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ A ） A.33 B. 23 C. 3 D. 32【解】当点M 与点A 1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M ―BC ―A 也为最大. 由已知可得，ABC S ∆=2333cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积33V =，故选A.7.已知曲线C 的参数方程是5cos 26sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，则曲线C 上的点P 到定点M (－2，0)的最大距离是 （ C ）A.9B. 8C. 7D. 6 【解】解法一：因为28cos 20cos )sin 62()2cos 5(||222++=++=ϕϕϕϕPM72)10(cos 2-+=ϕ，所以当1cos =ϕ时，7||max =PM ，故选C.解法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程，得2212524x y +=，它表示焦点在x 轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P 位于椭圆的右顶点时，|PM |为最大，且最大值为5＋2＝7，故选C.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是 （ B ） A. a b c << B. c a b << C. c b a << D. b c a <<【解】由()(2)f x f x =-可得，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(1)f f =-． 又当(),1x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<，即'()0f x >，则()f x 在(),1-∞上单调递增． 所以1(1)(0)()2f f f -<<．即c a b <<，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，a }，B ＝{3，4}，若(){3}U A B，则a 的值为 4 . 【解】显然0,3a a ，检验知，只有当a ＝4时才符合条件.10.博才实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是 760 人． 【解】设该校女生人数为x ，则男生人数为(1600)x -．由已知，200200(1600)1016001600x x ⨯--⋅=，解得760x =．故该校的女生人数是760人． 11.不等式43220x x-⋅+<的解集是{01}x x <<.【解】由243220(2)3220xxx x-⋅+<⇒-⋅+<(21)(22)0xx⇒--<122x⇒<<.所以01x <<，故不等式的解集是{01}x x <<.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角是60°. 【解】由已知，(a ＋b )2＝3(a －b )2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2).因为|a |＝|b |＝1，则a 2＝b 2＝1，所以2＋2a ·b ＝3(2－2a ·b )，即a ·b ＝12. 设向量a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cosθ＝12，即cosθ＝12，故θ＝60°. 13.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作回归分析，分别求得相关系数r 与残差平方和2σ如下表：甲 乙 丙 丁 r0.82 0.78 0.69 0.85 2σ106115124103则这四位同学中，其中 丁 同学的分析结果体现出A ，B 两变量具有更强的线性相关性． 【解】因为2σ越小表明回归方程预报精度越高，|r |越大表明线性相关性越强．由表可知，应填丁同学．14.已知圆C 经过点A(2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y ＝1相切，则圆C 的标准方程是2)2()1(22=++-y x .【解】因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上，可设圆心为C （a ，－2a ）. 则点C 到直线x ＋y ＝1的距离21122a a a d --+==.据题意，d AC =，则()()2212122a a a +=-+-+，解得1a =.所以圆心为C （1，－2），半径2r d ==，故所求圆的方程是2)2()1(22=++-y x ． 15.某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n ).计算机的工作原理如下：31)1(=f 为默认值，f (n ＋1)的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-”后计算得出.则f (2)＝115； 当从入口A 输入的正整数n ＝__12__时，从出口B 输出的运算结果是5751. 【解】由题设，f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-，所以f (2)＝1513151)1(3212=⨯=⋅+-f .设从A 口输入的最后一个正整数为n ，因为3212)()1(+-=+n n n f n f ，则()(1)(2)232527311()(1)(1)(2)(1)212123753f n f n f n n n f n f f n f n f n n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--211(2n 1)(2n 1)41n ==+--. 令4n 2－1＝575，则n 2＝144，即n ＝12.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知552)2sin(=+A π.(Ⅰ) 求A 2tan 的值； (Ⅱ) 若10,10103cos ==c B ，求ABC ∆的面积. 【解】（Ⅰ）因为sin （A A cos )2=+π，由已知，552cos =A . （2分） 因为角A 是△ABC 内角，且cosA ＞0，则角A 是锐角. 所以21tan ,55cos 1sin 2==-=A A A . （4分） 故54tan 1tan 22tan 2=-=A A A . （6分）(Ⅱ)因为10103cos =B ，B 为三角形的内角，所以10sin 10B =. （7分） 于是221015210351cosAsinB sinAcosB )B A (sin sinC =+=+=+=. （9分）因为c ＝10，由正弦定理，得sin 210sin c Aa C⋅==. （11分） 故1110sin 21010102210ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. （12分）17.(本小题满分12分)某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw /h )，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1︰2︰3，试估计：（Ⅰ）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？（Ⅱ）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）【解】（Ⅰ）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P ，2P ，3P .由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)×2＝0.25. （2分）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P ＋2P ＋3P ＝0.75，即P ＝0.125. （4分）所以3P ＋0.0875×2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%. （6分）35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 月均用电量频率组距0.0375 0.0875（Ⅱ）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P －2P ＝0.5－0.375＝0.125， （8分）设样本数据的中位数为39.5＋x .因为正中间一个矩形的面积为3P ＝0.375，所以x ︰2=0.125︰0.375，即x ＝23≈0.67.（10分）从而39.5＋x ≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw /h ).（12分）18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BCD ，E 分别是AC 1和BB 1的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角. 【解】（Ⅰ）取AC 的中点F ，连结DF ，BF. 则FD ∥CC 1，且112FD CC =.（2分） 因为BB 1∥CC 1，E 是BB 1的中点,所以BE ∥CC 1，且112BE CC =. （4分）于是FD ∥BE ，且FD ＝BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，从而DE ∥FB. （5分）又FB ABC ⊂面，故DE ∥平面ABC. （6分） （Ⅱ）连结BC 1，取BC 1的中点M ，连结DM ，EM.因为D 为AC 1的中点，所以DM ∥AB. （7分）由AB ＝1，AC ＝2，BC ，可知AB ⊥BC.又AB ⊥BB 1，所以AB ⊥面BB 1C 1C. （9分） 从而DM ⊥面B 1C 1CB ，故∠DEM 为直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角. （10分） 在Rt △DME 中，1122DM AB ==，EM ＝112B C =12，所以DM tan DEM=EM 3∠=. 故∠DEM ＝30º，即直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为30º. （12分） 19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x 公里的相邻两AC 1A 1B 1E CB DA C 1 A 1B 1 EC B DF M增压站之间的输油管道费用为2x x +万元.设余下工程的总费用为y 万元. （Ⅰ）试将y 表示成关于x 的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少万元？ 【解】（I ）设需要修建k 个增压站，则(1)240k x +=，即2401k x=-. （2分）所以2224024096000400(1)()400(1)()240160y k k x x x x x x x x=+++=⨯-++=+-.（5分）因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤240. （6分）故y 与x 的函数关系是96000240160(0240)y x x x=+-<≤. （7分）（II ）96000240160160248001609440y x x =+-≥=⨯-=. （10分） 当且仅当96000240x x = 即 20x =时取等号.此时，240240111120k x =-=-=. （12分）故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元. （13分）20.(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P (2，0)为定点． （Ⅰ）若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB |为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由． 【解】(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p. （2分） 由已知，22p=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =． （4分）(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . （5分）因为圆M 过点P (2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. （6分）令0x =，得22440y by a -+-=. （7分）则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. （8分）所以||AB ===. （9分）设抛物线C 的方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. （10分）所以||AB == （11分）由此可得，当4m =时，||4AB =为定值． （12分）故存在一条抛物线24y x =，使|AB |为定值4. （13分）21.(本小题满分13分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明211121<+++nS S S ； （Ⅲ）设集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k ，若存在m ∈M ，使对满足m n >的一切正整数n ，不等式210052nn a S >-恒成立，求这样的正整数m 共有多少个？【解】（Ⅰ）由已知，n n n a a S +=22，且0n a >. （1分）当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a . （2分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S .于是1212122----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12122---+-=n n n n n a a a a a . 于是1212--+=-n n n n a a a a ，即111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a .因为01>+-n n a a ，所以)2(11≥=--n a a n n . （4分） 故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，且n a n =. （5分） （Ⅱ）因为n a n =，则)111(2)1(2+-=+=n n n n S n . （7分） 所以=+++n S S S 11121 2(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n . （9分）（Ⅲ）由210052n n a S >-，得210052)1(2n n n >-+，即10052>n，所以2010>n . （10分）由题设，2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，因为m ∈M ， 所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列. （12分）设这个等差数列共有k 项，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．故集合M 中满足条件的正整数m 共有495个. （13分）。
2010届湖南师大附中高三月考语文试题
2010届湖南师大附中高三月考试题(六)语文命题人：湖南师大附中杨晓春纪爱萍王静审题人：湖南师大附中刘爱国刘芳王斌一、语言知识及运用（15分，每小题3分）1.下列各组词语中加点的字，读音全都正确的一组是（）A. 噱头xuã膻味shàn 一暴十寒pù危如累卵lěiB. 梵文fàn 趿拉tā潜移默化qiǎn 趑趄不前zīC. 倔强juã洞穴xuã管窥蠡测lí蒙头转向mēnɡD. 鸡肫zhūn 罡风gāng 拾级而上shí卖官鬻爵yù2.下列词语中没有错别字的一项是（）A.一叶障目箴口不言鹬蚌相争暴戾恣睢B.悬梁刺骨泾渭分明破釜沉舟秉笔疾书C.寡廉鲜耻真知卓见鳞次栉比莫衷一是D.名门望族变本加厉推心置腹鞠躬尽瘁3.下列各句中加点的熟语使用不恰当的一项是（）A.《狼图腾》里作者笔下的草原狼，既是生物的狼，也是人文的狼；既是现实的狼，也是历史的狼。
这部书堪称为一部力透纸背的大书。
B. 超级大国妄图称霸世界的野心，他们一刻也没放弃，我们从世界的各个角落都能看到。
要他们放弃这种野心一如俟河之清，不过是一场梦！C. 搞经济开发区占一点地，也在情理之中，可是这个镇的领导借开发之名行卖地营私之实，这种换汤不换药的做法，使农民难以忍受。
D. 随着经济政策的调整，现在这个行业越来越规范了，要空手套白狼不再容易了，房地产的门槛也渐渐高了，手头没几个亿是进不来的。
4.下列各句中没有语病的一句是（）A. 日前，网易、新浪等网站联合向全国互联网界发出文明办网倡议书，倡议互联网界文明办网，把互联网站建设成为传播先进文化的阵地。
B. 我们要对那些常年在城里打工，有固定工作和固定住所而又没有户籍的人们，让他们尽快地融入城市，享受和城里人同样的权利和待遇。
C. 北京奥运会期间，北京的具有悠久历史的长城、十三陵、故宫、颐和园等，无不以其厚重的文化积淀和迷人的风姿，为中外游客所倾倒。
届湖南师大附中高三第二次月考(文)
2010届湖南师大附中高三第二次月考数学（文科）试卷本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是（ ）A ．21B ．－1C ．i -D ． 12．在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5·a 6·a 7的值为 （ ） A ．±8B ．－8C ． 8D ．643．“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．某单因素单峰试验的因素范围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是（ ）A ． 16．18B ． 55．62C ． 71．8D ． 61．8 5．函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是（ ）A ．5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈B ． 5[,]()88k k k Z ππππ++∈ C ．3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,]()88k k k Z ππππ-+∈6．如下图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM 面积的最大值是M ―BC ―A 的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ ）A ．B ．C ．D ．7．已知曲线C的参数方程是5cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则曲线C 上的点P 到定点M（－2，0）的最大距离是（ ）A ．9B ． 8C ． 7D ． 68．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<（其中()f x '为()f x 的导数）。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考(二)生物试题(原卷版)
苹果根系置于含有13C标记的葡萄糖培养液中
苹果根系置于葡萄糖培养液中，用13C标记的CO2处理苹果叶片
根系13C含量（mg）
地上13C含量（mg）
根系13C含量占比（%）
A.转运蛋白1和2运输H+的方式不同，前者为协助扩散，后者为主动运输
B.Na+经转运蛋白1和2发生的运输过程都不需要消耗能量
C.转运蛋白在运输H2O时，一定会发生构象的改变
D.将H+运出根细胞的过程是主动运输，其载体蛋白还具有催化ATP水解的功能
8.真核生物的mRNA3'末端都有由100~200个A组成的Poly(A)尾。Poly(A)尾不是由DNA编码的，而是转录后的前mRNA以ATP为前体，由RNA末端腺苷酸转移酶，即Poly(A)聚合酶催化聚合到3'末端，如果不能及时合成Poly(A)尾巴，mRNA则不能在细胞质中被检测到。下图为酵母细胞中某种酶分子的作用过程模式图。下列相关叙述错误的是（ ）
实验共分6组，其中4组的实验处理和结果如下表。
组别
实验处理
实验结果
①
葡萄糖溶液＋无菌水
－
②
葡萄糖溶液＋酵母菌
＋③Leabharlann 葡萄糖溶液＋A溶液－
④
葡萄糖溶液＋B溶液
－
注：“＋”表示有乙醇生成，“－”表示无乙醇生成
回答下列问题：
（1）除表中4组外，其它2组的实验处理分别是：___________；__________。本实验中，这些起辅助作用的小分子和离子存在于酵母菌、___________。
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A 1B 1C 1M 湖南省师大附中2010届高三第二次月考数学文试题本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是 （ B ） A.21 B.－1C.i -D. 1【解】因为22(1)i z i +=+=i ii i i ii -=⋅+=+212)2(22，所以复数z 的虚部是－1，故选B.2.在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5²a 6²a 7的值为 （ A ）A ．±8B ．－8C ． 8D ．64【解】因为{a n }为等比数列，则a 62＝a 5²a 7＝a 3²a 9＝4，所以a 6=±2，a 5²a 6²a 7＝±8，故选A.3.“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ D ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解】1()f x x=为奇函数，但(0)f 不存在；对函数2()f x x =，有(0)0f =，但()f x 为偶函数，故选D.4.某单因素单峰试验的因素范围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是 （ C ） A. 16.18 B. 55.62 C. 71.8 D. 61.8 【解】据黄金分割法原理，8.71)10110(618.0101=-⨯+=x ，故选C.5.函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 （ D ） A.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈ B. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈C.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D.3[,)88k k k Z ππππ-+∈ 【解】22sin 22cos 1cos sin sin)cos (sin sin )(2x xx x x x x x x f --=⋅-=-=42sin(2221π+-=x .由πππππk x k 224222+≤+≤+-，得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故选D.6.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM面积的最大值是M ―BC ―A的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ A ）A.B.D. 【解】当点M 与点A 1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M ―BC ―A 也为最大.由已知可得，ABC S ∆=33cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积V =，故选A.7.已知曲线C的参数方程是5cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数)，则曲线C 上的点P 到定点M(－2，0)的最大距离是 （ C ） A.9 B. 8 C. 7 D. 6 【解】解法一：因为28cos 20cos )sin 62()2cos 5(||222++=++=ϕϕϕϕPM72)10(cos 2-+=ϕ，所以当1cos =ϕ时，7||max =PM ，故选C.解法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程，得2212524xy+=，它表示焦点在x 轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P 位于椭圆的右顶点时，|PM|为最大，且最大值为5＋2＝7，故选C.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b，c 三者的大小关系是 （ B ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a <<【解】由()(2)f x f x =-可得，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(1)f f =-． 又当(),1x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<，即'()0f x >，则()f x 在(),1-∞上单调递增． 所以1(1)(0)()2f f f -<<．即c a b <<，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9.设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，a }，B ＝{3，4}，若(){3}UA B =I ð，则a 的值为 4 . 【解】显然0,3a a 构，检验知，只有当a ＝4时才符合条件. 10.博才实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是 760 人． 【解】设该校女生人数为，则男生人数为(1600)x -． 由已知，200200(1600)1016001600x x ⨯--⋅=，解得760x =．故该校的女生人数是760人．11.不等式43220x x -⋅+<的解集是{01}x x <<.【解】由243220(2)3220x x x x -⋅+<⇒-⋅+<(21)(22)0x x ⇒--<122x ⇒<<. 所以01x <<，故不等式的解集是{01}x x <<.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a ＋b |a －b |，则向量a 与b 的夹角是 60° . 【解】由已知，(a ＋b )2＝3(a －b )2，即a 2＋2a ²b ＋b 2＝3(a 2－2a ²b ＋b 2). 因为|a |＝|b |＝1，则a 2＝b 2＝1，所以2＋2a ²b ＝3(2－2a ²b )，即a ²b ＝12.设向量a 与b 的夹角为θ，则|a |²|b |cos θ＝12，即cos θ＝12，故θ＝60°.13. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作回归分析，分别求得相关系数r 与残差平方和µ2σ如下表： 甲 乙 丙 丁 r0.82 0.78 0.69 0.85 µ2σ106115124103则这四位同学中，其中 丁 同学的分析结果体现出A ，B 两变量具有更强的线性相关性．【解】因为µ2σ越小表明回归方程预报精度越高，|r|越大表明线性相关性越强．由表可知，应填丁同学．14.已知圆C 经过点A(2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y ＝1相切，则圆C 的标准方程是2)2()1(22=++-y x .【解】因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上，可设圆心为C （a ，－2a ）.则点C 到直线x ＋y ＝1的距离d ==.据题意，d A C ==得1a =.所以圆心为C （1，－2），半径r d ==，故所求圆的方程是2)2()1(22=++-y x ．15.某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n).计算机的工作原理如下：31)1(=f 为默认值，f (n ＋1)的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-”后计算得出.则f (2)＝115；当从入口A 输入的正整数n ＝__12__时，从出口B 输出的运算结果是5751.【解】由题设，f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-，所以f (2)＝1513151)1(3212=⨯=⋅+-f .设从A 口输入的最后一个正整数为n ，因为3212)()1(+-=+n n n f n f ，则()(1)(2)232527311()(1)(1)(2)(1)212123753f n f n f n n n f n f f n f n f n n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--L L 211(2n 1)(2n 1)41n ==+--.令4n 2－1＝575，则n 2＝144，即n ＝12.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知552)2sin(=+A π.(Ⅰ) 求A 2tan 的值； (Ⅱ) 若10,10103cos ==c B ，求ABC ∆的面积.【解】（Ⅰ）因为sin （A A cos )2=+π，由已知，552cos =A . （2分）因为角A 是△ABC 内角，且cosA ＞0，则角A 是锐角. 所以21tan ,55cos 1sin 2==-=A A A . （4分） 故54tan1tan 22tan 2=-=AA A . （6分）(Ⅱ)因为10103cos =B ，B 为三角形的内角，所以sin 10B =. （7分）于是221015210351cosAsinB sinAcosB )B A (sin sinC =+=+=+=. （9分）因为c ＝10，由正弦定理，得sin sin c A a C⋅==（11分）故11sin10102210ABCS ac B∆==⨯⨯=. （12分）17.(本小题满分12分)某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw/h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1︰2︰3，试估计：（Ⅰ）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？（Ⅱ）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）【解】（Ⅰ）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P，2P，3P.由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)³2＝0.25. （2分）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P＋2P＋3P＝0.75，即P＝0.125. （4分）所以3P＋0.0875³2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%. （6分）（Ⅱ）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P－2P＝0.5－0.375＝0.125，（8分）设样本数据的中位数为39.5＋x.因为正中间一个矩形的面积为3P＝0.375，所以x︰2=0.125︰0.375，即x＝23≈0.67.（10分）从而39.5＋x≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw/h).（12分）月均用电量18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点.（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求直线DE与平面BB1C1C所成的角.【解】（Ⅰ）取AC的中点F，连结DF，BF.则FD∥CC1，且112F D C C=. （2分）因为BB1∥CC1，E是BB1的中点,所以BE∥CC1，且112B EC C=. （4分）于是FD∥BE，且FD＝BE，所以四边形BEDF是平行四边形，从而DE∥FB. （5分）又FB ABC⊂面，故DE∥平面ABC. （6分）（Ⅱ）连结BC1，取BC1的中点M，连结DM，EM.因为D为AC1的中点，所以DM∥AB.（7分）由AB＝1，AC＝2，BC AB⊥BC.又AB⊥BB1，所以AB⊥面BB1C1C. （9分）从而DM⊥面B1C1CB，故∠DEM为直线DE与平面BB1C1C所成的角. （10分）在Rt△DME中，1122D M A B==，EM＝112B C=12，所以D Mtan D EM=EM3∠=.故∠DEM＝30º，即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30º. （12分）19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为2x x+万元.设余下工程的总费用为万元.（Ⅰ）试将表示成关于的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少万元？【解】（I）设需要修建k个增压站，则(1)240k x+=，即2401kx=-. （2分）AC1A1B1EC BDAC1A1B1EC BDFM所以2224024096000400(1)()400(1)()240160y k k x x x x x x xx=+++=⨯-++=+-.（5分）因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤240. （6分）故y 与x 的函数关系是96000240160(0240)y x x x=+-<≤. （7分）（II ）96000240160160248001609440y x x=+-≥=⨯-=. （10分） 当且仅当96000240x x= 即 20x =时取等号.此时，240240111120k x =-=-=. （12分）故需要修建11个增压站才能使最小，其最小值为9440万元. （13分）20.(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．（Ⅰ）若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由． 【解】(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p . （2分） 由已知，22p =，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =． （4分）(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . （5分）因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. （6分）令0x =，得22440y by a -+-=. （7分）则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. （8分）所以||AB ===（9分）设抛物线C 的方程为2(0)y m x m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. （10分）所以||AB ==（11分）由此可得，当4m =时，||4AB =为定值． （12分）故存在一条抛物线24y x =，使|AB|为定值4. （13分）21.(本小题满分13分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明211121<+++nS S S ；（Ⅲ）设集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k ，若存在∈M ，使对满足m n >的一切正整数，不等式210052n n a S >-恒成立，求这样的正整数共有多少个？【解】（Ⅰ）由已知，n n n a a S +=22，且0n a >. （1分）当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a . （2分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S .于是1212122----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12122---+-=n n n n n a a a a a . 于是1212--+=-n n n n a a a a ，即111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a .因为01>+-n n a a ，所以)2(11≥=--n a a n n . （4分） 故数列{}n a 是首项为，公差为的等差数列，且n a n =. （5分） （Ⅱ）因为n a n =，则)111(2)1(2+-=+=n nn n S n . （7分） 所以=+++nS S S 111212(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n . （9分）（Ⅲ）由210052n n a S >-，得210052)1(2nn n >-+，即10052>n ，所以2010>n . （10分）由题设，2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，因为∈M ， 所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为的等差数列. （12分）设这个等差数列共有k 项，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．故集合M 中满足条件的正整数共有495个. （13分）。