离散数学(一)
011001[离散数学(1)] 天津大学考试题库及答案
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离散数学（1）复习题一、单项选择题1、下列命题正确的是（ A ）。
A. φ⋂{φ}=φB. φ⋃{φ}=φC. {a}∈{a，b，c}D. φ∈{a，b，c}2、设集合｛1 2 3 4 ｝，A上的关系R=｛（1 1）（2 3）（2 4）（3 4）｝则R具有（ B ）。
A. 自反性B. 传递性C. 对称性D. 以上答案都不对3、设Z是整数集，函数f定义为：Z Z→, f(x)=|x|-2x,则f是（ A ）。
A. 单射B. 满射C. 双射D. 非单射也非满射4、设R为实数集，定义R上4个二元运算，不满足结合律的是（ B ）。
A. f1(x,y)= x+y B. f2(x,y)=x-yC. f3(x,y)=xy D. f4(x,y)=max{x,y}5、设(A,≤) 是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ B ）。
A. 每个元素都有一个补元B. 每个元素至少有一个补元C. 每个元素都无补元D. 每个元素都有多个补元6、图G和'G的结点和边分别存在一一对应关系是G和'G同构的（ B ）。
A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、集合上A的等价关系R，其等价类集合{ [a] 天津大学考试题库及答案R| a∈A }称为（ C ）。
A. A与R的并集，记作A Y RB. A与R的交集，记作A I RC. A关于R的商集，记作A/RD. A与R的差集，记作A—R8、设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目是（ C ）。
A. 2B. 3C. 4D. 59、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ C ）。
A. 析取范式B. 合取范式C. 主析取范式D. 以上答案都不对10、设谓词():Q x x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为P x x是人，():（ D ）。
A. (()())⌝∃→⌝x P x Q x ∀∧ B. (()())x P x Q xC. (()())⌝∃∧⌝x P x Q x ⌝∃∧ D. (()())x P x Q x11、设 |A|=m，|B|=n，则 |ρ(A×B) | 等于（ C ）。
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
离散数学 代数系统(1)
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律 吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，23≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23 +32）× 44）=（=223+，2×（32） 3+）2 ×44≠=216 （，3而 42） （，3 故4）该运
运算在A上满足结合律。
例10.1.6 设A为非空集合， 为集合A上的二元运算，对任意 的a，b∈A，ab=a，证明 是可结合的。
证明 因为对于任意的a，b，c∈A，
（a b） c=a c=a，而a （b c）= a b=a， 所以有（a b）c= a （b c），因此运算是可结合的。
10.1 二元运算及其性质
b∈Z，a b =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
a b=2a+b=2 b +a=b a，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1 .4y）设 z=为x集 （合y Az）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
有零元；对于乘法运算来说，1是单位元，0是零元。
例 设有一个由有限个字母组成的集合X，叫字母表，在X 上构造任意长的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母 的个数叫做这个串的长度，且当一个串的长度n=0时用符 号∧表示，称作空串。这样构造出了一个在X上的所有串 的集合X*。
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统
例 设代数系统（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的 一个二元运算。对于表10.2-1中所确定的几个运算，试分 别讨论它们的交换性、等幂性，并且讨论在A中关于*是 否有零元及单位元，如果有单位元，那么A中的元素是否 有逆元。
离散数学之1—命题逻辑
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
离散数学知识点总结（1）-命题逻辑
离散数学知识点总结（1）-命题逻辑⼀、命题命题：陈述句，有唯⼀真值/⾮真既假（不⼀定知道）简单命题/命题常元：真值确定。
命题变元p：常⽤来表⽰命题。
只有明确表⽰某个命题时才有具体的含意和确定的真值。
命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与⾮联结词、或⾮联结词p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。
即p为假时，p→q必定为真⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然⼆、命题公式命题公式/命题形式/合式公式/公式：（1）可满⾜式：⾮重⾔的可满⾜式重⾔式/永真式（2）⽭盾式/永假式（不存在成真指派）命题公式不是命题，只有当公式中的每⼀个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从⽽成为⼀个命题。
三、命题逻辑的等值演算A⟺B：A和B有等值关系。
对任意真值指派，A与B取值相同。
A⟷B为永真式。
等值关系⼀般通过真值表法或者等值演算法得到。
⽽不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得⼀个为真⼀个为假德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A例题：p→(q→r)⟺┐p∨(┐q∨r)⟺(┐p∨┐q)∨r⟺┐(p∧q)∨r⟺(p∧q)→r四、范式由有限个⽂字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个⽂字的合取所组成的公式称为合取式形如A1∨A2∨…∨A n的公式称为析取范式DNF（其中A i为合取式）；形如A1∧A2∧…∧A n的公式称为合取范式CNF（其中A i为析取式）任⼀命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟⼀的。
极⼩项q1∧q2∧…∧q n：⼀共2n种解释，每个极⼩项只在⼀个解释下为真。
每个极⼩项对应⼀个⼆进制数，该⼆进制数正是该极⼩项真值为真的指派，即m0可表⽰┐q1∧┐q2∧…∧┐q n极⼤项q1∨q2∨…∨q n：⼀共2n种解释，每个极⼤项只在⼀个解释下为假。
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递推公式及其求解
生成函数及应用
2014-6-15
Preface
知识点
图 与 树 无向图与有向图
树 生成树 遍历策略 欧拉回路与哈密顿回路
（6）
CS
CE
ห้องสมุดไป่ตู้SE
IT
代数 结构
数论
布尔代数
计算机工程中的逻辑应用 分解因式,素数性质 最大公约数最小公倍数 欧几里得算法 同余算术,中国剩余定理
2014-6-15
§1.1 Propositional Logic
The proposition p q is called the disjunction of p and q .
PQ truth table
(8)
P T T F F
2014-6-15
Q T F T F
PQ T T T F
2014-6-15
算法设计与分析、计算复杂性、编码
人工智能、形式语义学 数字电路设计、密码学、软件形式化方法
Chapter 1
The Foundations: Logic and Proof
2014-6-15
Seven Muddy children problem
2014-6-15
Seven Muddy children problem
离散数学成绩的评定
平时（10%）+ 闭卷笔试（90%）
About Mathematics
Mathematics and its Application? What is the Mathematics character?
2014-6-15
About Mathematics
阶 段 计算 对象 中学数学 数学分析 离散数学 形式语言与自动机
Actual situation: Ten students in a classroom,and seven students get mud on their foreheads. Teacher came into the classroom and said, 1 at least one of you has a muddy forehead. 2 Do you know whether you have a muddy forehead? Put up your hands if you know. 3 Teacher asked six times.no one put up his hands. 4 What happen when the seventh times. why?
2014-6-15
Preface
离散数学 集合 关系 其他专业课程
（7）
形式语言、编译技术、计算复杂性、软件形式化方法 关系数据库
函数
图 树
算法设计与分析、软件形式化方法
数据结构、网络技术、算法设计与分析、人工智能 数据结构、网络技术、算法设计与分析
计数技术
数理逻辑 代数结构
F
§1.1 Propositional Logic
（5）implication （conditional ）
(11)
Definition: Let p and q be arbitrary propositions. The implication pq is the compound proposition that is false when p is true and q is false, and is true otherwise.
2014-6-15
§1.1 Propositional Logic
1.1.2 Propositions
1.1.2.1 Proposition
(2)
A statement that contains no connectives is called a simple statement or an atomic statement ,or atomic proposition.
§1.1 Propositional Logic
（4）exclusive or
(9)
Definition: Let p and q be arbitrary propositions. The exclusive or of p and q , denoted by p q, is the compound proposition that is true when exactly one of p and q is true and is false otherwise.
2014-6-15
Preface
知识点
证 明 技 巧 命题逻辑推理系统 形式证明结构 证明方法：直接,反例,逆反式, 反证法,数学归纳法与强归 纳法 组合计数公式 二项式定理与组合恒等式 容斥原理
（5）
CS
CE
SE
IT
计 数 基 础
集合及其运算 关系及其性质 函数的满射、单射、复 合、求逆 鸽巢原理
基数和可数性
Preface
基 本 逻 辑 知识点 命题逻辑 CS CE SE
（4） IT
范式（合取式、析取式）
永真性
谓词逻辑 假言推理与否定式推理
谓词逻辑局限性
2014-6-15
§1.1 Propositional Logic
1.1.2 Propositions
1.1.2.2 Connectives and Compound Propositions
(3)
（1）negation
Definition:
Let p be an arbitrary proposition,the statement “It is not the case that p” is another proposition,called the negation of p.
教材：《Discrete Mathematics and Its Applications》 (英文Sixth Edition), Kenneth H.Rosen著，机械工业出版社；
《离散数学》，左孝凌著，上海科技文献出版社； 《离散数学》，耿素云、屈婉玲著，高等教育出版社； 《离散数学及其应用》，傅彦、顾小丰著，电子工业出版社； 《 Discrete Mathematical Structures》（ 英 文 Fourth Edition），B Kolman, Robert C. Busby, Sharon Ross著，高等教育出版社；
§1.1 Propositional Logic
（3）disjunction
(7)
Definition: Let p and q be arbitrary propositions. The proposition “p or q” denoted p q is the compound proposition that is false when both p and q are false and is true otherwise.
离散系统建模及性质分析
（2）
应用
数 论
代 数 结 构
函数 关系 集 合
树 图
计 数 技 术
离 散 概 率
概念 工具 方法 基础
证 明 技 巧 基 本 逻 辑
2014-6-15
Preface
知识点 函 数 关 系 集 合
2014-6-15
（3） CS CE SE IT
2014-6-15
§1.1 Propositional Logic
（1）negation
(4)
The negation of p is denoted by p. The proposition p is read “not p”.
Truth Table
P T F
P F T
2014-6-15
(13) p 蕴含 q p 仅当 q q 的充分条件是 p q 每当 p q 是 p 的必要 条件 q 是从 p 中推 出
p is sufficient p 是 q 的充分 for q 条件 q if p q when p a necessary condition for p is q
2014-6-15
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§1.1 Propositional Logic
The proposition p q is called the conjunction of p and q .
PQ truth table
(6)
P T T F F
Q T F T F
PQ T F F F
2014-6-15
.
PQ truth table
P T T F F
2014-6-15
Q T F T F
PQ T F T T
§1.1 Propositional Logic
If p,then q If p,q 如果 p，那么 q 如果 p，则 q p implies q p only if q a sufficient condition for q is p q whenever p q is necessary for p q follows from p
Discrete structures