二次函数应用题之最值问题
二次函数应用题最值解法技巧
二次函数应用题最值解法技巧
求解二次函数的最值，是高中数学教学中常见的问题，也是学生学习，应对考试经常遇到的难题。
下面介绍一般常用的求解二次函数最值的技巧：
一、求图像上最大最小值的步骤：
1、分析二次函数的几个重要关于最值的性质。
首先，二次函数的最值总是取决于它的顶点，而顶点的横纵坐标即为二次函数的最值。
2、求得顶点的横纵坐标，可以采用求导法：二次函数y=ax2+bx+c的导数为y'=2ax+b，上下两个函数图像关于x轴对称，故用y'=0即可求得函数最大最小值点的横坐标值。
3、求得二次函数最值点的横坐标后，就可以替换到y=ax2+bx+c中，求出该点处函数的值，就是函数的最值。
二、求导法求解二次函数最值的注意事项：
1、求导时，需要用合适的表达式；
2、求导法仅适用于求确定数学函数的最大最小值，不能用来求未定义函数或参数函数的最大最小值；
3、求导时，需要判断函数在不同区域的极大值极小值情况，以及确定顶点的横纵坐标值。
以上内容是求解求解二次函数的最值的常用技巧，但是学生在复习时，还需要多积累二次函数求解最值的实际应用实例，熟悉不同情况下的求解步骤，加强对求解最值的熟练操作。
第二十二章 第12课 二次函数的应用(1)——最值问题
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3， 当运动 x 秒时，则 AQ＝x，BP＝x， ∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x， ∴S△ADQ＝21AD·AQ＝12×4x＝2x， S△BPQ＝12BQ·BP＝12(3－x)x＝23x－12x2，S△PCD＝12PC·CD＝12·(4－ x)·3＝6－32x，
又 S 矩形 ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S 矩形 ABCD－S△ADQ－ S△BPQ－S△PCD ＝12－2x－32x－12x2－6－32x＝12x2－2x＋6＝12(x－2)2＋4， 即 S＝12(x－2)2＋4，∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x ＝2，
2．如图，小明用铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车 场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门(不用铁栅 栏)，小明共用铁栅栏 40 米，设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米， 矩形的面积为 S 平方米．
(1)写出 S 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成 192 平方米的场地，AD 的长是___6____. (3)当 x 取何值时，S 有最大值？ 并求出最大值．
1．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 40 元．根据市场 调查，在一段时间内，销售单价是 60 元时，销售量是 100 件， 而销售单价每降低 1 元，就会多售出 10 件． (1)写出销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的函数解析式． (2)写出销售该品牌童装获得的利润 w(元)与销售单价 x(元)之 间的函数解析式．
则当 AC＝__5____时，ABCD 的最大面积为__2_______.
4．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，动点 Q 从点 A 出发，以每 秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发， 仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD， PD.若两个点同时运动的时间为 x 秒(0＜x≤3)，设△QPD 的面 积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最小 值？ 并求出最小值．
专题74 二次函数在实际应用中的最值问题(解析版)
专题74 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】（1）10%；（2）217.7352(19){36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）0.5． 【详解】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，10（1﹣x ）2=8.1，x =10%或x =190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x ＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y =（9﹣4.1）（80﹣3x ）﹣（40+3x ）=﹣17.7x +352，∴﹣17.7＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =1时，y 有最大值，y 大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x ＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y =（8.1﹣4.1）（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x +400）=﹣3x 2+60x +80=﹣3（x ﹣10）2+380，∴﹣3＜0，∴当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10＜x ＜15时，y 随x 的增大而减小，∴当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）．综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a ）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a ）﹣115，a ≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）【答案】（1）p =﹣30x +1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a =2． 【详解】（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩, ∴301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ∴所求的函数关系式301500p x =-+,（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元,故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭, 解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【答案】（1）60；（2）316． 【详解】解：(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，根据题意得：()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：2040x y =⎧⎨=⎩，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a+120）+（﹣0.5a 2+16a+160） =﹣a 2+12a+280=﹣（a ﹣6）2+316， 当a=6，w 最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）w=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元． 【详解】（1）根据题意，得：w =（﹣4x +220）x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）∴w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4（x ﹣27.5）2+2025，∴当x =27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD 原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）21m -；（2）22(2)44y x x x =--=-；（3）103a <≤或1a ≥或13a ≤- 【详解】解：（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -，2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，故答案为：21m -； （2）1a =-时，21:(1)4C y x =--，∴当112t ≤<时， 12x =时，有最小值2154y =， x t =时，有最大值21(1)4y t =--+，则21215(1)414y y t -=--+-=，无解； ∴312t ≤≤时， 1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值22(1)4y t =--+， 12114y y -=≠（舍去）； ∴当32t >时， 1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值22(1)4y t =--+， 212(1)1y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0）， 故222:(2)44C y x x x =--=-； （3）0m =，22:(1)4C y a x a =-++，点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --， 当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，当2C 过点'A 时，2(01)41y a a =-++=，解得：13a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =，故：103a <≤或1a ≥； 当0a <时，当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13a =-，故：13a ≤-；综上，故：103a <≤或1a ≥或13a ≤-． 6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．∴分别求出当和时，与的函数关系式；∴设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30（2）∴y=t+15，y=t+30∴当t为55天时，W最大，最大值为180250元【详解】（1）由题意得解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）∴当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+30∴由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t∴3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∴-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．【详解】（1）∴=，∴当x=25时，占地面积y最大；（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∴26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．【详解】（1）设p=kx+b（k≠0），∴第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴321 725 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：118kb=⎧⎨=⎩，所以p=x+18；（2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，∴﹣10＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，∴当x =13时，w 最大为361，综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A 、B 两种“火龙果”促销，若买2件A 种“火龙果”和1件B 种“火龙果”，共需120元；若买3件A 种“火龙果”和2件B 种“火龙果”，共需205元．（1）设A ，B 两种“火龙果”每件售价分别为a 元、b 元，求a 、b 的值；（2）B 种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B 种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B 种“火龙果”每天的销售量就减少5件． ∴求每天B 种“火龙果”的销售利润y （元）与销售单价（x ）元之间的函数关系？∴求销售单价为多少元时，B 种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【详解】（1）根据题意得：2120{ 32205a b a b +=+= ，解得：a =35，b =50；（2）∴由题意得：y =（x ﹣40）[100﹣5（x ﹣50）]∴y =﹣5x 2+550x ﹣14000；∴∴y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，∴当x=55时，y最大=1125，∴销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，∴-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，∴-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y与x的函数解析式为()()20022006102001012x xyx⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【详解】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，∴1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200，当10＜x≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩； (2)设利润为w 元，当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ∴－200＜0，6∴x≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，∴200＞0，∴w ＝200x －1200随x 增大而增大，又∴10＜x≤12，∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，∴w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）2200(3060)y x x =-+≤≤；（2）每千克60元，最大获利为1950元【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+∴20a =-<；∴抛物线开口向下；∴对称轴65x =；∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大；∴3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值；22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
二次函数的最值与应用题解析
二次函数的最值与应用题解析二次函数是一种常见的函数类型，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
掌握二次函数的最值及其在应用题中的解析方法，对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍二次函数的最值的概念、求解方法以及应用题的解析方法。
一、二次函数的最值概念与性质二次函数通常具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b和c都是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像一般是一个抛物线，开口方向由a 的正负决定。
1. 最小值与最大值对于二次函数f(x)，如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≥ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值；如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≤ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值。
2. 寻找最值的方法（1）若a > 0，即抛物线开口向上，则函数的最小值为抛物线的顶点，可以通过顶点的横坐标求得；（2）若a < 0，即抛物线开口向下，则函数的最大值为抛物线的顶点，同样可以通过顶点的横坐标求得。
二、二次函数最值的求解方法下面将介绍两种常用的方法来求解二次函数的最值。
1. 利用顶点坐标求解对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过求顶点的横坐标来获得函数的最值。
（1）对于抛物线开口向上：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最小值；（2）对于抛物线开口向下：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最大值。
2. 利用二次函数的性质求解利用二次函数的几何性质也可以求解最值。
（1）对于抛物线开口向上：最小值为y轴截距，即 f(0) = c；（2）对于抛物线开口向下：最大值为y轴截距，即 f(0) = c。
三、二次函数在应用题中的解析方法除了求解二次函数的最值，我们还可以通过二次函数来解决一些实际问题。
1. 最优解问题某公司生产一个产品，每个产品成本为C(x) = ax^2 + bx + c，销售价格为p。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题二次函数是一种常见的函数形式，其方程通常可以表示为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c是常量，a不等于零。
在二次函数中，最值问题是常见的应用问题之一。
本文将探讨二次函数的最值问题，并分析如何求解。
1. 二次函数的最值概念二次函数在平面直角坐标系中的图像通常是一个抛物线，根据抛物线的几何特性，可以确定二次函数的最值。
最值是函数在特定区间上的极大值或极小值，也就是函数的最大值和最小值。
2. 寻找二次函数最值的方法为了求解二次函数的最值，我们可以使用以下两种常见的方法：图像法和代数法。
2.1 图像法通过观察二次函数的图像，我们可以大致确定其最值的位置。
对于抛物线开口向上的情况，最值通常是抛物线的顶点；对于抛物线开口向下的情况，最值通常是抛物线的最低点或最高点。
但这只是一个初步判断，还需要使用代数法来求解具体数值。
2.2 代数法通过数学推导和运算，我们可以使用代数方法准确地求解二次函数的最值。
具体步骤如下：2.2.1 定义二次函数给定二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于零。
2.2.2 求导对二次函数进行求导，得到导数y'，即一次函数。
求导的目的是找到函数的驻点（即极值点）。
2.2.3 解方程令一次函数y'等于零，解方程得到x的值。
这些x值即为函数的驻点。
2.2.4 计算函数值将x的值代入原二次函数，计算得到对应的y值。
2.2.5 比较大小比较所有的y值，即可确定二次函数的最值：若a大于零，则最小值是所有y中的最小值；若a小于零，则最大值是所有y中的最大值。
3. 举例让我们以具体的例子来说明求解二次函数最值的过程。
例子：已知二次函数y=x^2-4x+3，求其最值。
解：1. 求导对二次函数求导，得到一次函数y'=2x-4。
2. 解方程令y'等于零，得到2x-4=0，解方程得到x=2。
3. 计算函数值将x=2代入原二次函数，得到y=2^2-4*2+3=3。
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二次函数应用题之最值问题（讲义）一、知识点睛1.理解题意，辨识类型．二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．2.梳理信息，确定_______________及__________________，建立函数模型．①梳理信息时需要借助_______________．②函数模型：确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．例如：问“当售价为多少元时，年利润最大”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=(售价-进价)×年销量，用x表达年销量，从而确定y与x之间的函数关系．3.根据二次函数性质求解，_____________．验证结果是否符合实际背景及自变量取值范围要求．二、精讲精练1.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出，且每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大最大是多少元（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏【分析】解：2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元．【分析】解：3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大最大面积是多少（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．18米苗圃园4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元．（利润=出厂价-成本价）①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大最大利润是多少【分析】解：5.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一次函数：（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损若盈利，最大利润是多少若亏损，最少亏损多少（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利1 790万元若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．【分析】解：三、回顾与思考【参考答案】知识点睛2．函数表达式，自变量取值范围．①列表、图形．3．验证取舍．精讲精练1．（1）50 1 400-+；x（2）当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大是5 000元．（3）当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏．2．（1）2=-++（115y x x10110 2 100x≤≤，且x为正整数）；（2）每件商品的售价定为5元或6元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2 400元；（3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润 恰为2 200元，每件商品的售价m 满足5160m ≤≤时，每 个月的利润不低于2 200元． 3．（1）230y x =-+（615x <≤）；（2）垂直于墙的一边的长为152米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是2252平方米；（3）611x ≤≤．4．设一张薄板的边长为x cm ，出厂价为y 元，利润为w 元．（1）210y x =+； （2）①2121025w x x =-++； ②当边长为25cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最 大利润是35元． 5．（1）13010y x =-+（150300x ≤≤）； （2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310万元； （3）不能，理由略． 二次函数应用题之最值问题 （随堂测试）1.某商场将进货单价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的销售单价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请求出y与x之间的函数关系式．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少【分析】【参考答案】 1．（1）2224 3 20025y x x =-++． （2）每台冰箱应降价200元．（3）每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润 最高，最高利润是5 000元．二次函数应用题之最值问题（作业）1. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．（2）当每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为 2 520元（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大最大的月销售利润是多少 【分析】解：2.在Rt△ABC的内部作一个矩形DEFG，按如图所示的位置放置，其中∠A=90°，AB=40 m，AC=30m．（1）如果设矩形的一边DE=x m，那么DG边的长度如何表示（2）在（1）的条件下，设矩形的面积为y m2，则当x取何值时，y的值最大最大值是多少G FEDCBA3.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）．（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出当x为何值时，y的值最大；（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门的干预，销售单价不得高于90元/kg，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元【分析】解：4. 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-1)，且图象经过点(0，-3)．求这个二次函数的解析式．5. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A ．-3B ．3C ．-5D ．96. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：其中正确结论的序号是_______________．【参考答案】1．（1）210130 2 300y x x=-++（110x≤≤，且x为正整数）；（2）当每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰好为2 520元；（3）每件玩具的售价定为6元或7元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是2 720元．2．（1）255012DG x=-+；（2）当x=12时，y的值最大，最大值是300．3．（1）2240w x=-+；（2）2234015 000y x x=-+-，当x=85时，y的值最大；（3）第2个月里应该确定销售单价为75元．4．2243y x x=-+-5．B6．①②④⑤7．①④⑤⑥每周一练（二）1.△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan0B A--=，则△ABC 一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形2. 已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos -+αααα的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．163. 对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．当2x <时，y 随x 的增大而减小C ．函数有最小值-8D ．与y 轴交点的坐标为(0，-8)4. 在同一平面直角坐标系内，将函数2241y x x =++的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，所得图象的顶点坐标是（ ）A ．(-1，1)B ．(1，-2)C ．(2，-2)D ．(1，-1)5. 将抛物线2y ax bx c =++的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =-+，则有（ ） A ．b =2，c =6 B ．b =2，c =-6 C ．b =-6，c =14 D ．b =-6，c =06. 二次函数2()y a x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．二、三、四象限D．一、三、四象限7.反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（）A．kyx=，2y kx x=-B．kyx=，2y kx x=+C．kyx=-，2y kx x=+D．ky=-，2y kx x=-第7题图第8题图8.已知二次函数2y ax bx c=++（0a<）的图象如图所示，当50x-≤≤时，下列说法正确的是（）A．有最小值-5，最大值0 B．有最小值-3，最大值6C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值9. 已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过A (1，2)，B (3，2)，C (0，-1)，D (2，3)四点，且点P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )也在该函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y ≥B ．12y y >C ．12y y <D ．12y y ≤10. 若等腰三角形的面积为10，腰长为5，则此等腰三角形的底角的正切值为_________．11. 若抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是(-1，-2)，则b 与c 的值分别是_______、_______．12. 已知两数之和为-10，则它们乘积的最大值是________，此时两数分别为____________．13. 如图，已知函数3y x=-与2y ax bx =+（0a >，0b >）的图象交于点P ，且点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程230ax bx x++=的解为____________．14. 若不论x 取何值，抛物线221y ax x =-++的函数值总为正数，则抛物线的顶点在第___象限，a 的取值范围是_______．15. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．16. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0轴为直线x =1，则下列说法正确的有_________．①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +<；④当13x-<<()a b m am b +>+（m ≠1）． 17. 已知二次函数的图象经过A (0，3)，B (2，3)，C (-1，0)三点．（1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）若P (n ，y 1)，Q (4，y 2)是该二次函数图象上的两点，且12y y <，则实数n 的取值范围是_________________．18. 已知二次函数图象的顶点坐标为(3，-2)，且与y(0，25)．（1）求函数的解析式，并画出它的图象； （2）当y ≤6时，求自变量x 的取值范围．19. 如图，二次函数2(2)y x m =-+的图象与y 轴交于点C ，点B 与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足2+-+(2)kx b x m≥的x的取值范围．20.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示，广场的四角均为小正方形，阴影部分为四个矩形，且四个矩形的宽都与地面砖．（1）要使铺白色地面砖的面积为5 200角的小正方形的边长应为多少米（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，则当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少最少总费用是多少元21. 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式2(6) 2.6y a x =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）球能否越过球网球会不会出界请说明理由．y22.如图所示，一条小河的两岸1l∥2l，河两岸各有一座建筑物A和B．为测量A，B间的距离，小明从点B出发，在垂直河岸2l的方向上选取一点C，然后沿垂直于BC的直线行进24米到达点D，测得∠CDA=90°．取CD的中点E，测得∠BEC=56°，∠AED=67°，求A，B间的距离．（参考数据：sin56°≈45，tan56°≈32，sin67°≈1415，tan67°≈73，226=676，227=729）67°56°l2l1A F DECB23.如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东°的方向，前行1 200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°的方向，B位于南偏西41°的方向．（1）线段BQ与PQ是否相等请说明理由．（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈）l东北【参考答案】1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B9．C 10．2或1211．4，0 12．25；5-，5- 13．3x =- 14．二，1a <- 15．12m x x n <<< 16．①②③⑤17．（1）223y x x =-++；（2）(1，4)；（3）24n n <->或． 18．（1）21(3)22y x =--，图象略；（2）17x -≤≤． 19．（1）()221y x =--，1y x =-；（2）14x ≤≤． 20．（1）小正方形的边长应为10米或35米；（2）当广场四角小正方形的边长为米时，总费用最少， 最少总费用是199 500元．21．（1）()216 2.660y x =--+； （2）球能越过球网，球会出界，理由略． 22．A ，B 间的距离为26米．23．（1）相等，理由略；（2）A ，B 间的距离为2 000 m ．。