信号与系统——系统函数
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
杨晓非信号与系统第3章(2)
f (t ) (t nT ) f (t ) T (t )
n
14
3-3 抽样定理
F(j) 引例：信号数字处理
(Sampling theorem)
S(j)
开关 信号
一、抽样(采样、sampling)： 利用开关信号s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。
11
例：图（a）所示系统，频率特性如图(b)所示，求响应y(t)。其中
f (t ) 2 4 cos5t 4 cos10t
【解】
方法1：
H ( j 0) 1
1 H ( j 5) 2
(a)
(b)
H ( j10) 0
y(t ) 2 2 cos5t
方法2： f (t )
t
8
j j 2 t j j 2 t 1 y (t ) 1 e e 1 sin 2t 2 2
3.2 连续时间LTI系统对复指数信号的响应
f(t)
LTI系统 H(p)
t
y(t)
f (t ) e
y f (t ) f (t )* h(t ) h(t )* f (t ) h( ) f (t )d
1 Fs ( j) F ( j) * S ( j) f s (t ) f (t ) s(t ) 2 f (t )的全部信息？ 需解决的问题： f s (t )能否包含
Fs ( j)与F ( j)的关系？
如何进行抽样？
15
复习：周期信号的傅立叶变换
fT (t )
两边同取傅立叶变换
解：
1 H ( j ) 2 j
F ( j )
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
信号与系统第三章(Lec)
线性时不变系统的时域分析
描述方程
线性时不变系统的数学模型通常 由微分方程或差分方程表示，如 Laplace变换、Z变换等。
冲激响应
系统的冲激响应h(t)是系统对单位 冲激信号δ(t)的响应，可以用来描 述系统的动态特性。
阶跃响应
系统的阶跃响应g(t)是系统对单位 阶跃信号u(t)的响应，可
极点
系统函数的极点是使得系统函数 值为无穷大的复数点，对应于系 统的稳定性。
02
零点
系统函数的零点是使得系统函数 值为零的复数点，对应于系统的 频率响应特性。
03
极点与零点对系统 性能的影响
极点和零点的分布决定了系统的 频率响应特性、稳定性以及动态 性能。
系统响应的计算方法
02
CATALOGUE
信号的基本特性
信号的时域特性
周期性
信号在时间上重复出现，具有周期性。周期 是信号重复一次所需的时间长度。
连续性
信号在时间上是连续不断的，即信号在任意 时间点都有对应的值。
确定性
信号在时间上是确定性的，即信号在任意时 间点上的值是确定的。
可变性
信号在时间上是可变的，即信号在任意时间 点上的值可以改变。
定义
系统的幅度响应是描述系统 对不同频率信号的幅度变化 。
分类
最大幅度、最小幅度、平均 幅度等。
意义
幅度响应决定了系统对不同 频率信号的增益，影响信号 的强度和信噪比。
系统的群延迟响应
定义
系统的群延迟响应是描述系统对信号的群延迟效 应。
分类
恒定群延迟、线性群延迟等。
意义
群延迟影响信号的传播速度和波形，对信号的完 整性、失真度和处理效果有重要影响。
信号系统-第5章 拉普拉斯变换与系统函数
事实上，由于X(s)是一个复平面上 的函数，将其视为一个数学上的变换而 不强调其物理意义更易理解。
利用复变函数理论中的围线积分、留
数定理和约当（Jordon）引理等知识，反 变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可 简化为如下所示的留数计算。
x(t)
1 2πj
j∞ j∞
X
(s)est ds
因此，反演公式同样适用于单边拉 普拉斯反变换。
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论
5.3.1 定义与说明
式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变 换的定义，这里重写于下：
∞
X (s) x(t)estdt 0
图5-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换
【例5-5】 求(t)的拉普拉斯变换。
解 取为“0+”时，
1
j∞
X (s)estds
x(t) 2πj j∞
0
t≥0 t0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 et ejt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X (j) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
变收换 敛与 域单 也边相拉同普，拉均斯 为变Re换s相同，，均即为右F半(s)平 s面1（， 包括大半或小半，视 而定）。
【例5-4】 因果信号 f1(t) et (t) 与非因 果信号 f2 (t) et (t) 具有相同的双边 拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1(s)
∞
et (t)estdt
0
0
令 s j ，即 Res ， Ims，
第七章 系统函数
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
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时域： lim ht 0 t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
2020/3/10
17
1.H(s)和频响特性的关系
设系统函数为Hs，激励源et Em sinω0t
系统的稳态响应
rmmt EmH0 sinω0t 0
输出与输入序列的幅度之比
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28
结论:
凡极点位于左半开平面,零点位于右半开 平面,且所有的零点与极点对于j轴为一 镜像对称的系统函数即为全通函数.
2020/3/10
29
例 研究下图所示RC低通滤
波网络的频响特性。
解:
H
jω
V2 V1
jω jω
v1t
R
C v2t
写出网络转移函数表达式
z1 p1
s s
z2 p2
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H
(
j)
j j
z1 p1
j j
z2 p2
A1 p1
A2
B B e 1 2
j 1 2 1 2 p2
A1 A2
B1 z1
B2
z2
A1=B1, A2 =B2, ︱H(j) ︱=B1 B2/ A1 A2=1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处
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RC
31
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
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23
极点:p=-1/Rc,左半开平面.
H ( j) 1
1
Rc j 1 Rc
定量: | H ( j) | 1
Rc
()=0-arctg
1 Rc
1
2 1 Rc2
2020/3/10
24
定性: 从0~∞变化.︱H(j) ︱= 1 1
()=0-
Rc A
j 1 n
j pi
i 1
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20
矢量分析法: Ai j
pi
i
︱pi︱
Bj
i
0 |zj|
e e 令j-pi= Ai ji j-zj=Bj j j
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H(
j)
bm B1B2...Bme j12 ...m A1 A2...Ane j12 ...n
Im[z] Z平面
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-1/3
1 2 Re[z]
13
极点位置与h(k)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
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14
利用z～s平面的映射关系
s平面(单极点)
z平面(单极点)
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
t 1
对于相同的幅频特 性的系统函数，零 点位于左半开平面 的系统函数，其相 频特性最小
b(ω) -a(ω)= 2π- 2(1 + 2) ≥0
35
结论
考虑到网络函数的零点可能在虚轴上 定义：
右半开平面上没有零点的系统函数为最小 相移函数
相应的网络称为最小相移网络
36
对于非最小相移函数
H(s)=k/s2, h(t)=kt(t),
limh(t) →∞
t→∞
p=±j(二阶),
h(t)=ktcos(t+),
limh(t) →∞
t→∞
2020/3/10
10
③右半开平面 : 实数: p=,
h(t)= e t
limh(t) →∞
t→∞
复数: p=±j,
h(t)= e t cos(t+)
R1C1 R2C2
jω
M1
M2
N1
1
1
R1C1
2 1
1 O σ R2C2
极点：p1
1 R1C1
，
p2
1 R2C 2
π/2 -π/2
零点：z 2020/13/10 0
33
最小相移函数
零、极点均位于s平面左半开平面
Ha
(s)
(s (s
s2 )(s s1 )(s
limh(t)=0
t→∞
2020/3/10
8
②在虚轴上: 一阶极点:p=0,
H(s)=k/s,h(t)=k(t), limh(t)=有限值 t→∞ 一阶共轭:p=±j, h(t)=kcos(t+) (t), limh(t)=有限值 t→∞
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9
虚轴上二阶极点: p=0(二阶),
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
k z
z 1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
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15
三、极点零点与频域响应的关系:
定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态 响 应随频率的变化情况。
2020/3/10
16
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
=
bm s z j
j 1 n
s pi
i 1
极点类型: 一阶:实数,虚数,复数.
多阶:实数,虚数,复数.
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5
2.离散系统: H(z)=B(z)/A(z)
m
bm z z j j 1
=n
z pi
i 1
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6
二、极点零点与时域响应的关系:
s2* ) s1* )
极点位于s平面左半开平面，零点位于s平
面右半开平面
Hb
(s)
(s (s
s2 )(s s1 )(s
s2* ) s1* )
幅频特性一致
34
jω
jω
s1
s2 1
s2*
s1
2
s1*
s1
σ
s1*
1b
s2
2b σ
s
* 2
1b= π - 1 ， 2b= π - 2 a(ω)= 1 + 2-1 - 2 b(ω)= 1b + 2b-1 - 2
s2* ) s1* )来自(s (s s2 s2
)(s )(s
s2* ) s2* )
Ha (s)Hc (s)
最小相移函数
全通函数
37
2.离散系统: z est e jT s j
因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位
圆上(|z|=1)也收敛
m
bm
e jT z j
O
c
截止频率
O
c
Hj 带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c2
2020/3/10
O
c1
c2
19
3.极点零点与频率响应:
1.连续系统:
m
bm s z j
H (s)
j 1 n
s pi
i1
m
bm j z j
H ( j) H (s) s j
j
A
j
-1/Rc 0
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1 ︱H(j) ︱
()
-π/2
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26
例: 全通函数. ︱H(j) ︱=常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-±j, 右半开平面,有一对零点, z1,2=±j
H
(s)
s s
n ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
2020/3/10
40
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω
H ejω ~ ω ：幅频特性
Hb (s)
(s (s
s2 )(s s1 )(s
s2* ) s1* )
可表示为最小相移函数 与全通函数的乘积
(s (s
s2 s1
)(s )(s
s2* ) s1* )
(s (s
s2 s2
)(s )(s
s2* ) s2* )
(s (s
s2 s1
)(s )(s
H s
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
2020/3/10
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
30
频响特性
V2
jω
1 V1
M1