数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
实数集与函数
第一章 实数集与函数§1.1实数授课章节：第一章 实数集与函数——§1.1 实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授与讨论相结合 教学过程： 引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．问题： 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、 实数及其性质(一) 实数(,qp q p⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数01,n x a a a =其中009,1,2,,,0,i n a i n a a ≤≤=≠为非负整数,记0119999n x a a a -=；对于正整数0,x a =则记0(1).9999x a =-；对于负有限小数（包括负整数）y ，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？(二) 两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n nx x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n nn x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01ny b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<． 证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．1）封闭性：实数集Ｒ对,,,+-⨯÷四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=． 3）传递性：,a b b c a c <>⇒>．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤． 提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-. 二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）． （一）绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．（二）几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．（三）性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）； 2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>； 4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅； 6）||||a ab b =（0b ≠）． 三、几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤ (2) 均值不等式: 对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值),)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤ 等号当且仅当n a a a === 21时成立.(3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式 . ,1)1(N ∈+≥+n nx x n当1->x 且 0≠x , N ∈n 且2≥n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n +>+ 证 由 01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+> .1)1( nx x n +>+⇒(4) 利用二项展开式得到的不等式: 对,0>∀h 由二项展开式 ,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.练习 P4．5课堂小结：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.作业: P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§1.2 数集和确界原理授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 引言 (一) 检查:上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §1.1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥.2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. (二) 引申:1、由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？2、由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；3、课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）. (三) 本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）. 一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧⎪∈<<=⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间(二) 邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.2、点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.3、a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}0(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+4、点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中M 为充分大的正数）； {}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二、有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集. 若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例： 例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明. 解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个). 三、 确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=命题1 sup M E = 充要条件1） M 是E 上界，2） E x ∈'∃>∀,0ε使得ε->'M x .证明 必要性，用反证法.设2）不成立，则,00>∃ε使得E x ∈∀，均有0ε-≤M x ，与M 是上确界矛盾.充分性， 用反证法.设M 不是E 的上确界，即M '∃是上界，但M M '>.令0>'-=M M ε，由2），E x ∈'∃，使得M M x '=->'ε，与M '是E 的上界矛盾.定义3（下确界） 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.命题2 inf S ξ=的充要条件： 1）ξ是S 下界；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+ 上确界与下确界统称为确界.例3（1） ,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则._______inf ______,sup ==S S （2） {}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup ______, inf ______.E E ==注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3 设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的. 证明 设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例 sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a .例4 设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃ 则有 .inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5 设A 和B 是非空数集. 若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤ 则有.inf sup B A ≤证明 ,B y ∈∀ y 是A 的上界, .sup y A ≤⇒ A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6 A 和B 为非空数集, .B A S = 试证明: {}. inf , inf min inf B A S = 证明 ,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈ 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf min .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf min B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf min inf B A S ≥⇒ 又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf ⇒是A 的下界, ;inf inf A S ≤⇒ 同理有.inf inf B S ≤ 于是有{} inf , inf min inf B A S ≤. 综上, 有 {} inf , inf min inf B A S =.1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释.2、确界与最值的关系: 设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.（2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若E max 存在, 必有 .sup max E E = 对下确界有类似的结论.3、确界原理:定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.这里我们给一个可以接受的说明.⊆E R ，E 非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1+p 是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得 1）S x ∈∀，有n x >； 2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n １０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间].,.(10111+n n n n １０等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明 S inf =η．1) 对任意S x ∈，η>x ；2) 对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α． 作业： P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§1.3 函数概念授课章节：第一章 §1.3 函数概念 教学目标：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学. 教学过程： 引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、 函数的定义 (一) 定义定义１ 设,D M R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x D ∀∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →).函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D .即{}()|(),f D y y f x x D ==∈. (二) 几点说明(1) 函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.(2) 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）.(3) 函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.(4) “映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.(5) 函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.(6) 定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出.不是完美的、现代意义上的函数定义.事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象.从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程.这个进程中充满了斗争.历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究, 则在17世纪以后，现代函数定义是在1921年，则库拉托夫斯基给出.定义如下：设f 是一个序偶集合，若当(,)x y f ∈时，y z =，则f 称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第４期） 二、 函数的表示方法 (一) 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法. (二) 可用“特殊方法”来表示的函数1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0s g n 0,01,0xx x x>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数） （借助于Sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）. 2、用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数） 例 (1) []y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 1][][+<≤x x x , 及1][0<-≤x x .与此有关一个的函数][)(x x x f -=的图形是一条大锯，画出图看一看.(2) 1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Dirichlet ）这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形. 它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.(3) 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q qR x x ⎧=∈+⎪=⎨⎪=⎩当为假分数),当和内的无理数.（Riemman 函数） 三、函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =⋃，并设D φ≠，定义f 与g 在Ｄ上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D =+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈.若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：1) 若12D D D φ=⋃=，则f 与g 不能进行四则运算.2)为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f fg f g fg g+-. 四、 复合运算 (一) 引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率Ｅ为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得 221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.问题: 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.(二) 定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，记{}()E x f x D E =∈⋂，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应Ｄ内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量. (三) 例子例1 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例2 (1) 2(1)1, ()___________.f x x x f x -=++= (2).1122x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例 讨论函数(),[0,)y f u u u ==∈+∞与函数2()1,u g x x x R ==-∈能否进行复合，求复合函数. (四) 说明1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,,1y u u v v x ===-，复合成：2sin 1,[1,1]y x x =-∈-.2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.① 22log 1,(0,1)log ,,1.a a y x x y u u z z x =-∈→===- ② 22arcsin 1arcsin , 1.y x y u u x =+→==+ ③ 2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→=== 五、反函数(一) 引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2(),1,f u u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不公要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. (二) 反函数概念定义 设→X f :R 是一函数，如果∀1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠⇒≠ (或由2121)()(x x x f x f =⇒=)，则称f 在X 上是 1-1 的. 若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个解x .定义 设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈∀, 由)(x f y =唯一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 Y X f →:X Y f →-:1显然有X X I f f →=-:1(恒等变换）Y Y I f f→=-:1(恒等变换)Y X f f →=--:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我把反函数记为 )(1x f y -=,们还是这样它的图形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.y=f(x)严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1、确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=. 2、按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得 )(1x f y -=.例 求2)(xx e e x sh y --== ：R → R 的反函数.解 固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为122-=z zy 0122=--zy zy=f(x)y=f -1 (x)0xy12+±=y y z ( 舍去12+-y y ) 得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理 给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ，若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=.分析： 要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证)()(1y f y g -=.证 要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.∀1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =， 则由定理条件，我们有11))((x x f g = ,22))((x x f g =21x x =⇒，即 Y X f →: 是 1-1 对应.再证 )()(1y f y g -=.∀Y y ∈，∃X x ∈，使得)(x f y =.由反函数定义)(1y f x -=，再由定理条件x x f g y g ==))(()()()(1y f y g -=⇒.例 :f R → R ，若))((x f f 存在唯一（|∃）不动点，则)(x f 也|∃不动点.证 存在性: 设)]([* * x f f x =，)]([)(* *x f f f x f=，即 )(*x f 是f f的不动点，由唯一性* * )(x x f =，即存在)(x f 的不动点* x .唯一性：设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，说明 x 是f f的不动点，由唯一性，x =* x .从映射的观点看函数.设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.3、注释(1) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；(2) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈(3) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),()y f x x f D -=∈.应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别. 六、初等函数（一）基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）； 幂函数 ()y x R αα=∈； 指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数 l o g (0,a y x a a =>≠；三角函数 s i n,c o s ,,y x y x y t g x y t g x====；反三角函数 a r c s i n ,a r c c o s ,y x y x y a r c t g x ya r c c t g x====. 注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义2 给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xra r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义xa 的缺陷．问题 这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” (二) 初等函数定义3 由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数.如：sin 22112sin cos ,sin(),l g ,||.x a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点. 例２．求下列函数的定义域. （１） 1xy x =-； （２） ln |sin |.y x = (三) 初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则 ⑴ )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =⑵ {})( , )(max )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(min )(x g x f x =φ都是初等函数,因为 {})( , )(max )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, {})( , )(min )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= .⑶ 幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==作业 P 15 ３；４:（２）、（３）； ５:（２）； ７:（３）； １１§1.4 具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§1.4具有某些特性的函数教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语;深刻理解有界函数、单调函数的定义;理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.教学过程：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数(一) 有上界函数、有下界函数的定义定义 1 设f为定义在D上的函数，若存在数()∈有M L，使得对每一个x DM L称为f在D上的一个上（下）≤≥，则称f为D上的有上（下）界函数，()f x M f x L()(())界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L 为f 在D 上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f 在D 上有界⇔()f D 是一个有界集⇔f 在D 上既有上界又有下界⇔f 在D 上的有上界函数，也为D 上的有下界函数.(二) 有界函数定义定义2 设f 为定义在D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为D 上的有界函数.注：(1)几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；(2)f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义.(三) 例题例1 证明→X f :R 有界的充要条件为：∃M ,m ，使得对 X x ∈∀, M x f m ≤≤)(. 证明 如果 →X f : R 有界，按定义∃M >0，X x ∈∀有 M x f ≤)(，即M x f M ≤≤-)(, 取M m -=, M M =即可.反之如果∃M ,m 使得 X x ∈∀, M x f m ≤≤)(，令|)|,1|max(|0m M M +=，则0|)(|M x f ≤， 即 ∃ 00>M ，使得对X x ∈∀, 有0|)(|M x f ≤，即→X f :R 有界.例2 证明 1()f x x=为(0,1]上的无上界函数. 例3 设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+；（2）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+.例4 验证函数 325)(2+=x x x f 在R 内有界. 解法一 由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+ 当0≠x 时,有.3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界.解法二 令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根. 22245 y -=∆∴.2 ,42425 ,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三 令 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是==+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)( .6252sin 625)( ,2sin 625≤=⇒=t x f t二、 单调函数定义3 设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5 证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明 设21x x < ，))((222121213231x x x x x x x x ++-=- 如021<x x ，则3231120x x x x <⇒>>如120x x > ，则223311221200x x x x x x ++>⇒-< 故03231<-x x 即得证. 例6 讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性.注：(1) 单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；(2) 严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1 设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在Ｒ上严格递减.三、 奇函数和偶函数定义4 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx;偶函数:y=sgnx;非奇非偶函数:y=sinx+cosx;既奇又偶函数:y 0.（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可.四、 周期函数(一) 定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期.(二) 几点说明（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.。
第一章实数集与函数
数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数(连续量) 什么是连续量?
初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除) 两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不
等式来刻划等式(用极限的概念) 学习方法的不同： 初、高中： 从填鸭式 －> 启发式， 以教师为主，强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 －> 个人自发，以学生本身为主，教师引导。 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，
培养自己的积极思考问题、分析问题和解决问题的能力。
一、内容简介
主要讲述实数系的连续性（戴德金意义下）、确界定义和确 界存在定理。由于本章是建立数学分析理论的基础，对于习 惯于中学数学思维方式的大学新生来讲，会感到很抽象，学 习的难度相对会大一些．
二、学习要求
（1）了解数系的演变； （2）正确理解上、下确界的概念； （3）掌握实数连续性描述：确界存在定理 三、学习的重点和难点
使得 na > b.
５ 实数的稠密性，即任何两实数之间必有另 一实数，且既有有理数，也有无理数.
６ 实数与数轴上点一一对应.
例3 设 a,b R ，证明：若对任何正数 ，
有 a < b ，则 a b
注： a,b R 为常数，不能为变数
四、 绝对值与不等式
实数 a 的绝对值定义、几何意义. 性质
而当 x a0 为正整数时，则记 x (a0 1).999 9 ,
例如 2.001 记为 2.000 999…；对于负有限小(包括负数) y， 则先将 -y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号.
例如 -8 记为 -7.999 9…； 又规定数 0 表示为 0.0000…. 于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.
《数学分析》第一章 实数集与函数
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
由二项展开式
(1+ h)n 1+ nh + n(n 1) h2 + n(n 1)(n 2) h3 + + hn ,
2!
3!
有 (1+ h)n >上式右端任何一项.
今日作业 P4,3, 4, 6, 7
§1.2 数集·确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质 1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a | a | , b 0
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第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数），则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
01实数集与函数
第一章实数集与函数第一节：实数说明：数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数一、实数及其性质1、实数的定义,(0,,)p q p q q ⎧⎧≠∈N ⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩有理数实数有限十进小数，或无限十进循环小数无理数：无限十进不循环小数2、实数的表示为以后需要，将有限小数（整数）表示为无限小数①正有限小数的表示令，其中（非负012.n x a a a a = 009,1,,,0,i n a i n a a +≤≤=≠∈N 整数）则记，如，若0121.999n x a a a a -= 1.25 1.24999x x =⇒= 为正整数时，记0x a =，如0(1).999x a =- 3 2.999x x =⇒= ②负有限小数的表示设为负有限小数，先将按①表示为有限小数，再加上负号，如y y -5.36 5.35999y y =-⇒=- ③零的表示规定00.000= 3、实数的比较① 非负实数的比较定义1：设，其中为非012.,n x a a a a = 012.n y b b b b = 00,a b负整数，为整数，,(1,2,)k k a b k = 0,9k k a b ≤≤ⅰ、，若x y =,0,1,2,k k a b k == ⅱ、，若，或x y >00a b >11,..,(0,1,2,,),k k l l l s t a b k l a b ++∃==> ② 负实数的比较ⅰ、，若x y =x y -=-ⅱ、，若x y <x y ->-③ 自然规律：非负实数>负实数④用有限小数比较实数大小ⅰ、非负实数的位不足（过剩）近似n 定义2：设为非负实数，称有理数012.,n x a a a a = 为实数的位不足近似；称有理数实数012.n n x a a a a = x n 110n n nx x =+的位过剩近似，，如，3位不足近似为x n 0,1,2,n = 3.2157x = ，3位过剩近似为3.215x = 3.216x =ⅱ、负实数的位不足（过剩）近似n 设负实数，则012.n x a a a a =- 位不足近似为，位过剩近似为n 0121.10n n n x a a a a =-- n 012.n nx a a a a =- 命题：设与为两个实数，则012.,n x a a a a = 012.n y b b b b = 非负整数，使得x y >⇔∃n n nx y >4、实数的性质实数集{|}R x x =为实数主要性质：性质2、实数集是有序的。
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
Chapter01-实数集与函数
数学分析
17
北方工业大学数学系
[a, ){ x|ax}, (, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x},
(, b){ x|x<b},
(, ){ x| |x|<}.
数学分析
S有上确界，则 h sup S S h max S . 例 3：
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S有下确界，则 h inf S S h min S .
证：仅证下确界的情况。
必要性：
h inf S , 故x S , x h . 而h S , 故h min S .
则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使得
x n yn ,
其中 x n 表示x的n位不足近似，y n 表示y的n位 过剩近似。
证明：见附录。
数学分析
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北方工业大学数学系
例1 设 x, y为实数，x<y. 证明：存在有理
数r 满足 x<r<y.
（此例说明任意两个不等的实数之间，都 有一个有理数）
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y,使得x+y=1” 可表示为“xR, yR, 使得x+y=1”
数学分析
2
北方工业大学数学系
3. 我们用符号“”表示“充分条件”或“推出”；
比如“ p q ”表示“ 若 p 成立, 则 q 也成立”。 即p 是 q 成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当”或“充要条件”；
显然 ， 任何一个不大于 1的实数都是 N 的下界 . M 0, 取 n0 [ M ] 1, 则 n0 M , 即 N 无上界 .
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A B x x A or x B A B x x A and x B A \ B x x A and x B （也记为 A B ）
（也记为 A ） Ac \ A （ 是全集） 推广： （设 I 是一指标集，可以不可数）
I
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第一章 实数集与函数
则称 T 是 V 到 V 的单射。 如果 T 既是满射又是单射，则称 T 是 V 到 V 的双射或一一对应。 当 T 是 V 到 V 的一一对应，则对 V ，则有唯一的 V 与之对应，这样定义了
V 的映射，称为 T 的逆映射，记为 T 1 : V V , 。
T : V V , 。
称 为 在 T 下的象，记为 T ( ) ，并称 为 在 T 下的一个原象。 记
T (V ) T ( ) | V V
它表示 V 在映射 T 下象的集合。 记
T 1 ( ) | T ( ) V
对于任何 a 、 b R 有如下的三角形不等式：
o
o
o
a b ab a b
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第一章 实数集与函数
数学分析讲义
序言
数学分析是用极限的方法研究函数及其推广的一个数学分支。极限的概念与无穷小量 概念有着密切的联系， 因此也可以说， 数学分析是用无穷小量方法研究函数及其推广的一个 数学分支。 数学分析的核心内容是微积分。牛顿（Newton，1642-1727 ）和莱布尼茨（ Leibniz， 1646-1716）继承了公元 15－16 世纪以来许多杰出数学家的努力，在 17 世纪下半叶创立了 微积分。 ［注：牛顿和莱布尼茨与康熙大帝（1654-1722）处于同一时代］ 微积分被用来解决大量的天文、物理、力学等问题。但微积分的理论是不严密的。进入 19 世纪以后， 微积分的不严密性到了非解决不可的地步。 19 世纪五六十年代， 柯西 （Cauchy） , 黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等建立了严格的极限理论，并用极限的语 言严格地证明了微积分的所有定义和定理， 微积分严密化的任务终于在他们手中完成了。 这 些，构成现今数学分析教科书的主要内容。 什么是一门严密的数学学科？就是以公理化体系建立的学科。 这要从欧几里德几何说起 ［注： Euclid， 约公元前 330 年～前 275 年。 我国战国时代， 公元前 403 年～公元前 221 年］ 。 欧几里德所著的《几何原本》是世界上第一部以公理化体系写成的书。所谓公理化体系首先 要有一些最原始的概念， 这些概念不加定义， 而用这些概念去定义其他概念。如点、 线、面、 长度等作为原始概念。然后，用这些概念给出一些公理或公设。所谓公理或公设，指的是指 不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。其它所有命题可以 由这些公理或公设逻辑地推证出来。 下面谈一下欧氏几何。欧几里德几何提出了五条公理和五条公设。 五条公理： 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设： 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
它表示 V 在映射 T 下原象的集合。 如果 T (V ) V ，即 V 中的所有元素都有原象，则称 T 是 V 到 V 的满射。 如果 V 中任意两个不同的元素在 V 中的象也不同， 即当 T ( ) T ( ) 时， 必有 ，
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1 1
1
a, a 0 a a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离． 实数的绝对值有如下一些性质： 1 2 3 4
o
a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0 a a a a h h a h ； a h h a hh 0
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第一章 实数集与函数
4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180°，则 这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 第 5 条公设等价的说法还有：给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条 直线与之平行， 或三角形内角和为 180°。 它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平 行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不 能说是错误， 它所概括的是一种情况。 非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况 的讨论。 罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公 理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由 于平行公理不同， 经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 黎曼 几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中 不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼 几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。 在物理学家爱因斯坦的广义相对论中 的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认 为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的， 但是整个时空却是不均匀的。 在物理 学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都 构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都 是正确的。 再回到我们数学分析这门课程。 1. 理论体系：实数等概念我们不再定义，作为原始的概念。实数有（I）域公理、 （II） 序公理和（III）连续性公理。重点要讲的是实数的连续性公理，也称完备性公理。 2. 主要内容：数学分析的主要内容有：实数理论，极限理论、一元微分学，一元积分 学，级数理论，多元微积分学等。 3. 重要性：数学分析内容非富，思想深刻，应用广泛，是训练数学系学生的重要基础 课。 数学分析直接影响到许多后续专业课程的学习， 例如复变函数、 实变函数、 常微分方程、 拓扑学、泛函分析、微分几何、概率论与数理统计、偏微分方程等。 4. 学习方法：以听讲，做习题，学习本教材为主，暂不需要参考书。
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第一章 实数集与函数
第一章 实数集与函数 §1 实数
一、集合
集合是现代数学一个最基本的概念。 集合论的奠基人是 Cantor。 数学的各个分支普遍地 运用集合的符号和方法，我们要养成用集合的语言来表述数学命题的习惯。 1、集合的概念 具有某种性质的事物的全体称为一个集合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素。 解释下面记号： a A, a A, “集合”和“元素”是不定义的名词， “属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系 解释下面记号： A B ( B A) ， A B （定义是 A B, B A ） 3、映射 设 V 和 V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系 T ，使得对 V ，在 V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是 V 到 V 的一个映射。记为
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 对于两个无穷集，如何比较“多少”？ 凡是能建立一一对应关系的两个集合， 我们说它们 “一样多” 。 比如， 正整数 1, 2,3, 与偶数 2, 4, 6, “一样多” 。 凡是能与正整数 1, 2,3, 建立一一对应的集合，称为可数（无穷）集，也称可列（无 穷）集。如果一个无穷集不能与正整数建立一一对应关系，则称为不可数集，或不可列集。 可以证明： （1）有理数是可数的； （2）无理数与实数不可数； （3）任何区间中的无理数或实数与全体实数“一样多” ； 5、集合的运算及运算律 定义：
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o
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第一章 实数集与函数
3 4
o
A B C A B C , A B C A B C （结合律） A B C A C B C , A B C A C B C （分配律）
o
5
o
I
A
c
c A , A
I
I
A
I
c
c
（de Morgan 律，对偶律） 【作为作业】
6、常用符号 “蕴涵” ， “推得” ， “若…，则…” ： “充分必要” ， “当且仅当” ， “等价” ： “任意” ， “任一个” ， “对任一个” ，A ny ： ． “存在” ， “能找到” ，E xist ： ．
：使得[不常用]
R ：实数全体
Q ：有理数全体
Z ：整数全体
N ：正整全体
n
x
i 1 n
i
x1 x2 xn
x
i 1
i
x1 x2 、 （II）序公理和（III）连续性公理的集合。 （I）域公理：加法公理、乘法公理和分配律 （A）加法公理： （ A1 ） x, y R x y R （封闭性） （ A2 ） x, y R x y y x （交换律） （ A3 ） x, y , z R ( x y ) z x ( y z ) （结合律）
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第一章 实数集与函数
（ A4 ）存在唯一零元 0 R ， x R ，满足 0 x x （ A5 ） x R ，存在唯一负元 x R ，满足 x ( x ) 0 （M）乘法公理： （ M 1 ） x, y R xy R （封闭性） （ M 2 ） x, y R xy yx （交换律） （ A3 ） x, y , z R ( xy ) z x ( yz ) （结合律） （ A4 ）存在唯一单位元 1 R ， x R ，满足 1x x （ A5 ） x 0 R ，存在唯一逆元 x R ，满足 xx （D）分配律： x ( y z ) xy xz （II）序公理 （1）三歧性： x y , x y, x y 三者必居其一，也只居其一 （2）传递性： x y, y z x z （3）保序性： x y x z y z , x y, c 0 xc yc, （III）连续性公理（见第 2 节） 2、绝对值 实数 a 的绝对值定义为