《大高考》高考数学(理)一轮总复习高考AB卷：2.4指数与指数函数(含答案解析)
高考一轮复习课时作业(人教版)：2-4指数与指数函数word版含答案
2-4指数与指数函数A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 (数形结合法)如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1＜x －2＜0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.答案 B4．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A.答案 A5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20D ．100解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，解得m ＝10. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法)由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －18．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分)9．(11分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围． 解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ， ①式化为2x ≥32，即34≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…) (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e －2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y ) ＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y )]－[e x －y ＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y ) ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， ② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝3. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x*2－x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，2－x (x ＞0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f (x )≤1. 答案 C2．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )．A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 解析 由f (x )＝2x 1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x，由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－11＋2x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，∴f(x)＞－12，当x→＋∞，11＋2x→0，∴f(x)＜12，∴－12＜f(x)＜12，∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安庆模拟)若f(x)＝a－x与g(x)＝a x－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.解析g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a－x上，∴1＝a a－2.∴a－2＝0，即a＝2.答案 24．(★)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.答案－1≤b≤1【点评】本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围.三、解答题(共22分)5．(10分)已知f(x)＝10x－10－x 10x＋10－x.(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f(x)是定义域内的增函数．(1)解∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明 法一 f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1.令x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0. 又∵102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0， 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)．所以f (x )是增函数． 法二 考虑复合函数的增减性． 由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1. ∵y 1＝10x 为增函数， ∴y 2＝102x ＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x ＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．6．(12分)若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．解 ∵函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y＝－12－12x－1的定义域为{x|x≠0}．(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x－1＞12或－12－12x－1＜－12.即函数的值域为{y|y＞12或y＜－12}．。
2019届高考数学人教B版(理)一轮复习-专题2-第4讲-指数与指数函数(含答案)
第4讲 指数与指数函数A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2018·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2018·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c<b<aB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析 a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b<2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.答案 A3．(2018·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 C4．定义运算：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b ，如1] ( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f(x)＝2x*2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≤0，2－x，x>0，∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤1.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x<0，－＋4a ，x≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有1－2x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有1－2x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f(x)在R 上是减函数，则0<a<1，且(a －3)×0＋4a≤a 0，解得0<a≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x<0，－2－x，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________．解析 当x>0时，有f(x)<0；当x<0时，有f(x)>0.故f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧2，，－2－，＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x，x>0，－2－2x，x<0.而当x>0时，－1<－2－x <0，则12<2－2－x<1.而当x<0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x<－12.则函数y ＝f(f(x))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝2x－12＋1.(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求证f(x)在R 上为增函数．(1)解 因为函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f(－x)＋f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－x＋2x＋1＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝1－2x 21＋2＋，∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)在R 上是增函数．8．(13分)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0.解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f(x)＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R 上是减函数)． 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－1)＝f(－2t 2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t 2－2t>－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t>1或t<－13. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f(x)＝a x＋log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )． A.12B.14C ．2D ．4解析 由题意知f(1)＋f(2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C2．若函数f(x)＝(k －1)a x－a －x(a>0且a≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a (x ＋k)的图象是下图中的( )．解析 函数f(x)＝(k －1)a x－a －x为奇函数，则f(0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f(x)＝a x－a－x，又f(x)＝a x－a －x为减函数，故0<a<1，所以g(x)＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x≥2，2x＋1，x<2，且f(f(1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由已知得f(1)＝21＋1＝3，故 f(f(1))>3a 2⇔f(3)>3a 2⇔32＋6a>3a 2.解得－1<a<3. 答案 (－1,3)4．已知f(x)＝x 2，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f(x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g(x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g(x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f(x 1)≥g(x 2)，只需f(x)min ≥g(x)min，即0≥14－m ，故m≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x ∈[－1,0]时，f(x)＝14x －a2x (a ∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f(－x)＝14－x －a 2－x ＝4x －a·2x，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x ∈[0,1]．令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24，当a2≤1，即a≤2时，g(t)max ＝g(1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a<4时，g(t)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a≥4时，g(t)max ＝g(2)＝2a －4. 综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a －1；当2<a<4时，f(x)的最大值为a24；当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝a ln 2×2x－ln 4×4x＝2xln 2·(a－2×2x)≥0，∴a －2×2x≥0恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4. 6．(13分)已知定义在R 上的函数f(x)＝2x－12|x|. (1)若f(x)＝32，求x 的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x<0时， f(x)＝0，无解； 当x≥0时，f(x)＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x>0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m(22t －1)≥－(24t－1)， ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练2.4指数函数(含答案详析)
第二篇第 4 节一、选择题x－ x，若 f(a)＝ 3，则 f(2a)等于 ()1．已知 f( x)＝ 2＋ 2A． 5 B ．7C． 9D． 11分析：由 f(a)＝3得 2a＋ 2－a＝ 3，两边平方得22a＋ 2－2a＋ 2＝ 9，即 22a＋ 2－2a＝7，故 f(2a)＝ 7，选 B.答案： B2． (2014 天津市滨海新区联考)设 a＝ 40.7，b＝ 0.30.5， c＝ log23，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()A． b<a<c B ．b<c<aC． a<b<c D． a<c<b分析： a＝ 40.7>4 12＝ 2,0<b＝0.30.5<1,1< c＝ log23<2，因此 b<c<a，应选 B.答案： B3． (2014 杭州一检 )设函数 f(x)＝ 2|x|，则以下结论中正确的选项是() A． f(－1)< f(2)< f(－2) B ．f(－2)<f( －1)< f(2)C． f(2)< f( －2)<f(－ 1)D． f(－1)< f(－2)< f(2)分析：由题意， f(x)＝ 2|x|＝ 2|－x|＝ f( －x) ，即 f(x)为偶函数．f－ 1 ＝ f 1 ，故f － 2 ＝ f 2 .明显 x≥ 0 时， f(x)＝ 2x单一递加．因此 f(1)< f(2)< f(2) ，即 f(－ 1)<f(－2)< f(2) ．应选 D.答案： Dx |x|a4． (2014 陕西汉中模拟 )函数 y ＝ x (a>1)的图象的大概形状是( )分析： 当 x>0 时， y ＝ a x ；当 x<0 时， y ＝－ a x .又 a>1，应选 B.答案： B5． (2014 北京市延庆log 4x ， x>0， 则 ff 1＝()3 月模拟 )已知函数 f(x)＝3x ， x ≤ 0，161 A ． 9B. 91C ．－ 9D ．－9分析： 由于 f 1 ＝ log 4 1＝－ 2，16 16121因此 ff 16＝f(－ 2) ＝ 3－＝ 9.应选 B.答案： B3 x， 0≤ x ≤ 1，6．(2014 湖南长沙模拟 )已知函数则不等式 1<f(x)<4 的解集为f( x)＝x 2－ 4x ＋ 4， x>1，()A ． [0,1] ∪ (3,4)B ．(0,1] ∪ (3,4)C ． (0,1) ∪ (3,4)D ． (0， log 34)∪ (3,4)分析： 当 0≤ x ≤1 时， 1<3x <4，解得 0<x<log 34，此时 0<x ≤ 1.当 x>1 时， 1< x 2－ 4x ＋ 4<4 ，联合 x>1，解得 3<x<4.故所求不等式的解集是(0,1] ∪(3,4) ．应选 B.答案： B二、填空题17． (2014 吉林市二模 )已知函数 f(x)＝ －x 2， x>0则 f(f(9)) ＝ ________.2x ， x ≤ 0，1分析： f(f(9)) ＝ f(－ 3)＝ .8答案：188．设函数 － |x|且 a ≠1) ，若 f(2) ＝ 4，则 f(－ 2)与 f(1) 的大小关系是 ________．f(x) ＝a (a>0 分析： ∵f(2)＝ a －21＝ 4，∴a ＝ 2.1－|x|＝ 2|x|，∴f(x)＝ 2∴f(－ 2)＝ 4， f(1) ＝ 2，∴f(－ 2)> f(1)．答案： f(－ 2)> f(1)9．函数 f( x)＝ a x ＋2013－ 2014(a>0 且 a ≠ 1)所经过的定点是________．分析： 令 x ＋ 2013＝ 0，得 x ＝－ 2013，这时 y ＝ 1－ 2014＝－ 2013，故函数过定点 (－2013，－ 2013)．答案： (－ 2013，－ 2013)x10．已知函数 f( x)＝ |2 － 1|， a<b<c ，且 f(a)>f(c)>f(b)，则以下结论中，必定建立的是________ ．① a<0， b<0， c<0; ② a<0，b ≥ 0， c>0；－ ac; a c③2 <2④2 ＋2 <2.分析： 画出函数 f(x)＝ |2x － 1|的大概图象 (如下图 ) ，由图象可知： a<0， b 的符号不确立， 0< c<1，故①②错；∵f(a)＝ |2a － 1|， f(c) ＝ |2c － 1|，∴|2a － 1|>|2c － 1|，即 1－2a >2c － 1，故 2a ＋ 2c <2，④建立．又 2a ＋ 2c >2 2a ＋c，∴2a ＋c<1 ，∴a ＋c<0 ，∴－a>c ，∴2－a>2c ，③不建立．答案： ④三、解答题11．化简以下各式：(1)[(0.064 1 －2.5 2 － 3 3 05 ) ] 3 － π；3 8a 4－ 8a 1b33 2(2)3 3÷a － 2－ 2 b ×a · a (a>0， b>0) ．2 ＋ 23 2 3 a 5a ab ＋ 4b 33 3a · a解： (1)原式＝3 52 3 270.48 － 15－23－32 3＝ 0.4－ 23－ 2－1＝ 0.4－1－52＝ 0.15a 3 a － 8ba a 6 (2)原式＝ 2 112×11×1a 3＋ 2a 3b 3＋4b 3 a 3－ 2b 3 a 62a － 8ba＝1313a 3 － 2b 3 2a － 8b a＝a － 8b＝a2.12．已知定义域为R 的函数(1)求 a， b 的值；(2)若对随意的t∈R，不等式－2x＋ bf(x)＝2x＋1＋a是奇函数．22恒建立，求 k 的取值范围．f(t－2t)＋ f(2t － k)<0解： (1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数，－1＋ b∴f(0)＝ 0，即＝ 0，2＋ a解得 b＝ 1.－2x＋ 1进而有 f(x)＝.2x＋1＋ a1－ 2＋1－2＋ 1又由 f(1) ＝－ f(－ 1)知＝－，4＋a1＋a解得 a＝ 2.经查验 a＝ 2 合适题意，∴所求 a、 b 的值为 2,1.(2)由 (1)知 f(x)＝－ 2x＋ 11＋1.＝－2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在 ( －∞，＋∞) 上为减函数．又因 f(x)是奇函数，进而不等式f(t 2－ 2t)＋ f(2t2－ k)<0 ，等价于 f(t2－ 2t)< －f(2t2－ k)＝ f( － 2t 2＋ k)．因 f(x)是减函数，因此由上式推得 t2－ 2t>－2t2＋ k.即对全部 t∈R有 3t2－ 2t－ k>0.进而鉴别式＝ 4＋12k<0，1解得 k<－3.。
2023年新高考数学大一轮复习专题09 指数与指数函数(解析版)
专题09 指数与指数函数【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠； ③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈； ③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈． 2.指数函数【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()x y a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．【答案】18 【解析】 【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可 【详解】)()2ln321e 1lg 4lg 0.25431lg 40.25184-⎛⎫+-++=+-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：18例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】将原不等式变为1631101010x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由10631xxx--≥，可得1631101010x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤， 1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =【答案】D 【解析】 【分析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，根据甲计算出常数c ，根据乙计算出常数b ，再将,b c 代入关于x 的方程220x x b c -+⋅+=解出x 即可 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2-D ．[)()2,02,-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+，则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，()4322x xf x =-⨯+，当0x <时，0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+，而当0x ≥时，()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，0(4322)6x x x --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩， 变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤，所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a . 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（ ）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a【答案】C 【解析】 【分析】依据图像列不等式求得m a 、的取值范围，即可进行选择 【详解】由图像可知，当0x >时，()0f x <，则0x >时，2()0x m +>，则0m ≥， 又由()f x 图像不关于原点中心对称可知0m ≠，则0m > 则0x >时，0xxa a--<，即210x xa a -<，则01a <<故选：C例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为|1|2x y =-与y m =只有一个交点，画出|1|2x y =-的图象，应用数形结合法求m 的取值范围. 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∴m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；解不等式()12f x >可判断C 选项；利用指数型函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出()f x 的对称性，求得()0f x <的解集，从而求得()250xf -<的解集.【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92##4.5【解析】 【分析】根据指数函数过定点的求法可求得()1,2A ，代入直线方程可得()122m n -+=，根据()()1211212121m n m n m n ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n-=-，即53m =，23n =时取等号）， 121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞ 【解析】 【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【答案】(1)1k =- (2)72【解析】 【分析】（1）由(0)0f =求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4f n f m =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可求得,m n ．(1)由()f x 是奇函数得(0)10f k =+=，1k =-，此时()22x x f x -=-是奇函数； (2)由复合函数的性质得1()2222x x xxf x -=-=-在定义域内是增函数， 所以(1)15()4f nf m =⎧⎪⎨=⎪⎩，13222n =-=，115224m m -=，24m =或124m=-（舍去）， 2m =，所以37222m n +=+=．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A 【解析】 【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭， 因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21x f x a a =-+为实常数). （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数； （2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值． 【详解】 解：（1）当32a =时()()3322302121xx f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数； 因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故 ()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数； （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+； 由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(xt +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭ 由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2xuf x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u = 例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤. 【解析】 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解； （2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]， ①52a 时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍)②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，11212222t t a t t =+=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[0,9]；（2）34m -；（3）8m -. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围； （3）将问题转化为()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）当[1,3]x ∈-时，函数2()[0f x x =∈，9] ()f x ∴的值域[]0,9（2）对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1．而()g x 在[]0,2上单调递减，所以2112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即34m -（3）对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9 由19m -，8m ∴-【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解． 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【解析】 【分析】根据题意，化简得到()()22f x f x +-=，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数()4sin 22xx f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222x x f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S ff f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以4043S =. 故答案为：4043.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【解析】 【分析】根据已知条件，求得(2)2()f x f x +=，结合()0f 的值以及递推关系，即可求得结果. 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别在2x ≤、23x <≤、34x <≤和4x >的情况下，根据()f x 和()1f x -的解析式和符号依次求解即可. 【详解】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2【过关测试】 一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在R 是单调递增 B ．是奇函数，且在R 是单调递增 C ．是偶函数，且在R 是单调递减 D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得； 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!n xx x x x n =+++++++，其中R,N x n ∈∈（精确到0.01）（ ） A ．1.63 B ．1.64C ．1.65D ．1.66【答案】C 【解析】应用题设泰勒展开式可得 121111e 12848!2nn =++++++⋅, 随着n 的增大，数列1!2n n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e 的近似值. 【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 01231211e 111222220!1!2!3!!nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++⋯+1111 1.646 1.652848≈+++≈≈ 故选：C4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的性质可得当m 1≥时，1312m +-=-，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，求出m 的值，从而可求出()6f m + 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A5．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）． A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知有1x >，根据零点得到0009(1)x x t -==，利用指对数的关系及运算性质得到01x -关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t 值即可. 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】参变分离得到112x a >+，根据指数函数的性质求出112x +的取值范围，即可得解； 【详解】解：由题知()221xxa x ⋅>+∈R ，而21x ≥，所以112x a >+， 又1012x <≤，所以11122x <+≤． 因为关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解， 即112x a >+()x ∈R 有实数解，所以1a >，即()1,a ∈+∞．故选：A7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【解析】【分析】 根据1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()1f x f x +=-，2T =，则()3310log 90log 27f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将310log 27x =代入解析式，即可求解. 【详解】 因为1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11112222f x fx ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =， 所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ． 二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（ ）A 1，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断． 【详解】A 错，例如9,4a b ==1=，便51a b -=>；B 正确，2211a b =+>，1a >，又0b >，所以1a b +>，而22()()1a b a b a b -=-+=，所以1a b -<；C 正确，设21a m =>，21b n =>，1m n -=，则1m n =+，1112m n n n n+==+<， 所以222log log log 1mm n n=-<，即1a b -<． D 错误，222log log log 1aa b b -==，2a b=，2a b =，所以a b b -=，1b <不一定成立． 故选：BC ．11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（ ） A ．0a b -> B ．22a b >C ．ac bc >D ．22a b >【答案】AB 【解析】 【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确； 对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确； 对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB.12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先作出函数()f x 的大致图象，结合题意令()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解. 【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π===，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【解析】 【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得. 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对于()()()·f a b f a f b +=符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数. 【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．【答案】[)2,3 【解析】 【分析】令2x t =，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+，设2x t =，当1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，0t <≤()22123t ≤-+<，所以()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为[)2,3．故答案为：[)2,3．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x xx f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞.对于①：因为()()332222xx x xx x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确； 对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220t t -->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③ 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库 【解析】 【分析】（1）利用()1,2000求得y 关于t 的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间. (1)由图可知，当01t ≤≤时，y =2000t .当t >1时，25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为图象经过点()1,2000，所以220005k ⨯=，得k =5000 所以2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)令25000 2.5600.055t⎛⎫⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，即42128162550006255t ⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4t ≥，因为消防部门从t =1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库. 18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知1122a a -+=3，求22112a a a a --++++的值．【答案】（1）8336；（2）163． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出； （2）根据完全平方公式即可求出． 【详解】解：（1）原式32=-1﹣233393242⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭149839436-+=， （2）∵1122a a -+=3，∴a +a ﹣1＝（1122a a -+）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式47148167293+===+． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】讨论0<a <1或a >1，作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象，由数形结合即可求解. 【详解】①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图1． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(0<a <1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图2． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(a >1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，此时无解． 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎫⎪⎝⎭．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数； （1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值． 【答案】（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-． 【解析】 【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数， 可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k = 当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =， 由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=， 即()2342,2g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(3,)-+∞，不是，理由见解析；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；（2）设2x t =，则可得(0,1)t ∈，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．【详解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤可化为0424x x a ≤+⋅≤必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x xa ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠ .(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根； (2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值； (3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.【答案】(1)0(2)4(3)1【解析】【分析】（1）将原方程转化为2(21)0x -=，由此求解即可．（2）由题意可知2(2)(())2f x f x =-，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．（3）求出()()22x x g x f x a b =-=+-，求出函数()g x 的导数，设函数()()h x g x '=，根据导数在函数最值中的应用，求出()g x 的最小值，再对()g x 的最小值进行分析，即可求出结果．(1) 解：因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. 方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.(2)解：由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.。
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
《大高考》高考数学(文)一轮总复习创新模拟题：2.4指数与指数函数(含答案解析)
全国新课标区模拟优选题：依据高考命题大数据剖析，要点关注基础题1，5，能力题 9，10.专项基础测试模拟优选题一、选择题1.(2016 广·东佛山调研)已知 a＝20.2， b＝ 0.40.2， c＝ 0.40.6，则 ()A.a ＞b＞ cB.a＞c＞ bC.c＞a＞ bD.b ＞ c＞ a分析由 0.2＜ 0.6， 0.4＜ 1，并联合指数函数的图象可知0.40.2＞ 0.40.6，即 b＞ c.由于 a＝ 20.2＞ 1， b＝ 0.40.2＜ 1，因此 a＞ b.综上 a＞ b＞ c，选 A.答案A2.(2015 常·德市期末 )设 f(x) 为定义在R 上的奇函数，当 x≥0时，f(x) ＝ 2x＋ 2x＋m(m 为常数 )，则 f( －1) ＝ ()A.3B.1C.－1D.－ 3分析∵f(x) 是 R 上奇函数，故f(0) ＝ 20＋ m＝ 0，故 m＝－ 1，∴f(－ 1)＝－ f(1) ＝－ (21＋ 2－ 1)＝－ 3，应选 D.答案 Db x3.(2016 长·春质量监测 )指数函数 y＝a与二次函数 y＝ ax2＋ 2bx(a∈ R， b∈ R)在同一坐标系中的图象可能是 ()分析 A 项中二次函数的对称轴－1<－b<0，与指数函数的底数b>1 矛盾， A 项错误； B a a项中二次函数的对称轴b0<b<1 矛盾， B 项错误； C 项中二0<－ <1 ，与指数函数的底数aa次函数的对称轴－bba<－ 1，与指数函数的底数a>1 相切合， C 项正确； D 项中二次函数的对称轴－bba<－ 1，与指数函数的底数 0<a<1 矛盾， D 项错误，应选 C.答案C4.(2015 山·东聊城模拟 )化简416x 8y4 (x＜ 0， y＜ 0)的结果为 ()A.2x 2yB.2xyC.4x 2yD.－ 2x2y分析416x 8y4＝424·（ x2）4y4＝ 2x2|y|＝－ 2x2y.应选 D.答案D－|x|， f(2) ＝ 4，则 ()5.(2014 湖·南十二校联考 )设函数 f(x) ＝a (a＞ 0，且 a≠ 1)A.f( － 2)＞ f(－ 1)B.f( － 1)＞ f( － 2)C.f(1) ＞ f(2)D.f( － 2)＞ f(2)分析－ |x|－ 2∵f(x) ＝ a (a＞ 0，且 a≠ 1)， f(2) ＝ 4，∴ a ＝ 4，∴ a＝1，21－ |x|∴ f(x) ＝2＝ 2|x|，∴ f( － 2)＞ f( － 1).答案A二、解答题f（ x＋ 2）（x<4），6.(2015 广·西柳州一模)(1) 设 f(x) ＝ 1 x2（x≥4），求 f(1＋ log 23)的值；(2) 已知 g(x) ＝ ln[(m 2－ 1)x 2－ (1－ m)x ＋ 1]的定义域为R，务实数m 的取值范围 .解 (1)由于 1＋ log 23<1 ＋ log24＝ 3，因此 f(1＋ log 23)＝ f(3 ＋ log23)＝13＋ log2313×1log 231× 2log1111. 2＝22＝2＝× ＝248383(2) 由题设得 (m2－ 1)x2－ (1－ m)x ＋ 1>0(*) 在 x∈ R 时恒建立，若 m2－ 1＝ 0? m＝±1，当 m＝1 时， (*) 为 1>0 恒建立；当m＝－ 1 时， (*) 为－ 2x＋ 1>0 不恒建立，∴ m＝ 1；若 m2－1≠0，m2－ 1>0，则＝ [－（ 1－ m） ]2－4（ m2－ 1） <0 m<－ 1或m>1，? m< －5或 m>1.?m<－5或 m>133综上，实数 m 的取值范围是－∞，－5∪(1，＋∞). 3创新导向题指数函数图象过定点问题x ＋ 27.函数 y＝ a－ 1(a>0 且 a≠1)的图象恒过的点是 ()A.(0 ，0)B.(0 ，－ 1)C.( － 2，0)D.( －2，－ 1)分析令 x＋ 2＝0得 x＝－ 2， y＝ a0－ 1＝0.即图象恒过点 (－ 2， 0).答案C与指数函数相关的单一性问题ax2＋ 1，x≥ 0，在 (－∞，＋∞)上单一，则 a 的取值范围是 ()8.函数 f(x) ＝（a2－ 1） e ax， x＜0A.( －∞，－ 2]∪ (1， 2]B.[ － 2，－ 1)∪ [2，＋∞)C.(1 ， 2]D.[2，＋∞)a＞ 0，a＜ 0，分析由题意得a2－1＞ 0，或 a2－ 1＞ 0，1≥ a2－ 11≤ a2－ 1，解得1＜a≤ 2或 a≤－ 2，应选 A.答案A专项提高测试模拟优选题一、选择题9.(2016 洛·阳市统考 )若 ? x∈ 0，1，均有 9x＜ log a x(a＞ 0，且 a≠ 1)，则实数 a 的取值范围是2()11A.[ 23，1)B.(0，23 ]11C.(23，3)D.(1 ，23)0＜ a＜1，1分析由题意可得：11解得 a∈ [ 23，1).log a≥9，22答案A二、填空题x2＋1a－ 2，x≤ 1，10.(2015广·东江门、佛山模拟 )已知函数f(x) ＝2xa － a， x＞ 1，若 f(x) 在 (0，＋∞)上单一递加，则实数 a 的取值范围为 ________.a＞ 1，分析若 f(x) 在 (0，＋∞)上单一递加，需知足即 1＜ a≤2.1＋a－2≤0，2答案(1， 2]11.(2014 辽·宁大连检测 )对于给定的函数f(x) ＝ a x－ a－x(x∈ R， a＞ 0， a≠ 1)，下边给出五个命题，此中真命题是 ________(只要写出全部真命题的编号).①函数 f(x) 的图象对于原点对称；②函数 f(x) 在 R 上不拥有单一性；③函数 f(|x|) 的图象对于y 轴对称；④当 0＜ a＜ 1 时，函数f(|x|) 的最大值是0；⑤当 a＞ 1 时，函数f(|x|) 的最大值是0.分析∵ f( －x)＝－ f(x) ，∴ f(x) 为奇函数，f(x) 的图象对于原点对称，①对；当 a＞1 时， f(x) 在 R 上为增函数，当0＜ a＜ 1 时， f(x) 在 R 上为减函数，②错；y＝f(|x|) 是偶函数，其图象对于y 轴对称，③对；当 0＜a＜ 1 时， y＝ f(|x|) 在 (－∞， 0)上为增函数，在 [0，＋∞)上为减函数；∴当 x＝ 0 时， y＝ f(|x|) 的最大值为 0，④对；当 a＞1 时， f(x) 在 (－∞， 0)上为减函数，在 [0，＋∞)上为增函数，∴当 x＝ 0 时， y＝ f(x) 的最小值为0，⑤错，综上，真命题是①③④.答案①③④三、解答题1， x＞ 0，12.(2015 山·东聊城一模)设 k∈ R，函数 f(x) ＝xF(x) ＝ f(x) ＋ kx， x∈ R.xe ， x≤ 0，(1)k ＝ 1 时，求 F(x) 的值域；(2) 试议论函数F(x) 的单一性 .1＋ x，x＞ 0，解(1)k ＝ 1 时， F(x) ＝ f(x) ＋ x＝xe x＋ x， x≤ 0.能够证明 F(x) 在 (0， 1)上递减，在 (1，＋∞)和 (－∞， 0]上递加，又 f(0) ＝ 1， f(1) ＝ 2，因此 F(x) 的值域为 (－∞， 1]∪ [2，＋∞).1＋ kx ，x＞ 0，(2)F(x) ＝f(x) ＋ kx ＝xe x＋ kx ， x≤ 0.若 k＝ 0，则 F(x) 在 (0，＋∞)上递减，在 (－∞， 0)上递加；1上递减，在1若 k＞ 0，则 F(x) 在 0，kk则 F(x) 在 (0，＋∞)上递减 .上递加，在 (－∞， 0)上递加；若k＜0，当 x≤0时， F′ (x) ＝e x＋ k，若 F′(x)＞ 0，即 x＞ ln( －k)；若 F′(x)＜ 0，则 x＜ln( － k).若 k≤－1，－ k≥1，则 F(x) 在 (－∞， 0]上递减，若－ 1＜k＜0，0＜－ k＜1，则 F(x)在(－∞，ln(－k))上递减，在 (ln(－ k)，0)上递加 .创新导向题指数函数与线性规划，不等式的综合问题x－y＋ 2≤0，13.设不等式组x≥ 0，表示的地区为 D.若指数函数 y＝ a x的图象上存在地区 D 内的 y≤ 4点，则 a 的取值范围是 ()A.(0 ，1)B.(1 ，2)C.[2 ， 4]D.[2 ，＋∞)分析依题意，不等式组表示的平面地区 D 如图暗影部分所示，此中点 A 的坐标为 (2，4)，要使指数函数 y＝ a x的图象上存在地区 D 内的点，则点 (2， a2)应在点 (2， 4)的上方或与其重合，故 a2≥ 4，∴ a≥ 2 或 a≤－ 2.又 a＞ 0 且 a≠1，∴ a≥2，应选 D.答案D。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《指数与指数》含答案
第五节指数与指数函数知识点一指数与指数幂的运算1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①(na)n＝a(n>1，且n∈N＋)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n为奇数，|a| n为偶数.2．有理指数幂(1)分数指数幂的含义：③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算法则：设a>0，b>0，对任意有理数α，β，有以下运算法则aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．1．判断正误(1)(4－2)4＝－2.(×)(2)na n＝a.(×)2．(必修1P59A组第1题改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得(D)A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.3．若x＋x－1＝3，则x2－x－2＝±3 5.解析：由(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，得x2＋x－2＝7.又(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±5，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±3 5.知识点二指数函数的图象与性质4．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞)． 解析：要使函数有意义，需1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，∴x ≥0，即定义域为[0，＋∞)．5．(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝ 3. 解析：依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 6．(必修1P58第2题改编)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：要使该函数有意义，解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．考向一指数与指数幂的运算【例1】化简、求值：幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式根据a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)可以相互转化．(2)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a 24写成a12必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)24＝4(－1)2＝1，而(－1)12＝－1无意义．(3)在进行幂的运算时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行运算．(4)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求： (1)a －1＋b －1(ab )－1；解：因为a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ， 所以a ＝19，b ＝9， (1)a －1＋b－1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab＝a ＋b＝19＋9＝829.考向二 指数的图象及应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为()(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2【解析】 (1)解法1：因为f (x )的定义域关于原点对称且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，排除A 选项；由f (2)＝e 2－1e 24>1，排除C 、D 选项．故选B.解法2：当x <0时，因为e x －e －x <0， 所以此时f (x )＝e x －e －xx 2<0， 故排除A 、D ；又f (1)＝e －1e >2，故排除C，选B.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.【答案】(1)B(2)D函数图象的识辨方法(1)由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)由函数的周期性识辨图象；(5)由函数图象上的特征点排除不符合要求的图象．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(D)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.考向三 指数函数的性质及应用方向1 指数函数的单调性【例3】 (1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－ 14 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a(2)已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3 .①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值． 【解析】 (1)因为－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝1，即a >b >1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34 <⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，所以c <1，综上，c <b <a .(2)①当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【答案】 (1)D (2)见解析 方向2 指数函数性质的综合应用【例4】 (1)函数f (x )＝a ＋be x ＋1(a ，b ∈R )是奇函数，且图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数f (x )为奇函数，则f (0)＝a ＋b2＝0①，函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫ln3，12，则f (ln3)＝a ＋b 4＝12②.结合①②可得a ＝1，b ＝－2，则f (x )＝1－2e x＋1.因为e x >0，所以e x ＋1>1，所以0<2e x ＋1<2，所以－1<1－2e x ＋1<1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为a >－34. 【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞1.比较指数式大小的问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1，0等中间量进行比较.2.解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.3.对于指数函数性质的综合应用，应首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解，关键是指数型函数的单调性要抓住“同增异减”.1．(方向1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是(B)A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2.∴0.6－1>0.62.C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2.∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.2．(方向2)(2019·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( B )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 解析：∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝{ 2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. 3．(方向2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.。
高三数学指数与指数函数试题答案及解析
高三数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】∵，，，∴.【考点】指对数的性质.2.已知为正实数,则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】根据指数的运算性质：，以及对数的运算性质：，可知，∴D正确.【考点】指对数的运算性质3.已知的值为__________.【答案】3【解析】由分段函数="1" , ="3" 所以=3【考点】1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算.4.函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A，则A点的坐标为________．【答案】(1,1)【解析】f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图像恒过点(1,1)．5. [2014·衡阳月考]“因为指数函数y＝a x是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以函数y＝()x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错【答案】A【解析】“指数函数y＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．6.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴.【考点】利用函数图象及性质比较大小.7.已知，则下列关系中正确的是（）A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】A【解析】由已知得，，，，故a>b>c．【考点】指数函数的图象和性质.8.函数f(x)＝a x＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，则a的值为()A．B．C．2D．3【答案】A【解析】a x与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝．9.已知，b=log42，c=log31．6，则A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【答案】A【解析】，，因为，即，所以。
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指数函数
1.(2014·辽宁，3)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a 解析 a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213
＝log 23∈(1，＋∞)，所以c>a>b. 答案 C
2.(2013·浙江，3)已知x ，y 为正实数，则( )
A.2lg x
＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B.2lg(x ＋y)＝2lg x ·2lg y C.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x ·2lg y
解析 ∵2lg(xy)＝2lg x
＋lg y ＝2lg x ·2lgy ，故D 正确.
答案 D 3.(2013·安徽，6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x<－1，或x>12，则f(10x )>0的解集为( )
A.{x|x<－1，或x>－lg 2}
B.{x|－1<x<－lg 2}
C.{x|x>－lg 2}
D.{x|x<－lg 2}
解析 由一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x<－1，或x>12，可知二次函数开口向下，∴f(x)>0时的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－1<x<12，所以有－1<10x <12.即x<lg 12＝－lg 2，选D. 答案 D
4.(2012·天津，4)函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数，如图.
答案 B
5.(2014·上海，9)若f(x)＝x 23－x －
1
2，则满足f(x)<0的x 的取值范围是________.
解析 令y 1＝x 23，y 2＝x －12，f(x)<0即为y 1<y 2，函数y 1＝x 23，y 2＝x －1
2的图象如图所示，由
图象知：当0<x<1时，y 1<y 2，所以满足f(x)<0的x 的取值范围是(0，1).
答案 (0，1)
6.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝a x ＋b(a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.
解析 当a ＞1时，f(x)＝a x ＋b 在定义域上为增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －
1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f(x)＝a x ＋b 在定义域上为减函数，
∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.
∴a ＋b ＝－32. 答案 －32。