高等数学第一章 第6节 极限存在准则及两个重要极限
高等数学1.6极限存在准则两个重要极限公式教学内容.ppt
2024年9月27日星期五
2
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
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内容小结
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
2024年9月27日星期五
15
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作业
习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6）
思考与练习
3（3）（4）
1. 填空题 ( 1～4 )
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
1-6极限准则两重要极限
例8 求极限 解 令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限 解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
第1章6__课堂REF__极限存在准则__两个重要极限
1.1 内容回顾.......................................................................................................................1 1.2两个准则.......................................................................................................................1 1.2.1 夹逼准则...........................................................................................................1 1.2.2 单调有界准则...................................................................................................1 1.2.3 习题...................................................................................................................2 1.3 第1个重要极限.. (3)1.3.1 习题...................................................................................................................3 1.3.2 练习...................................................................................................................4 1.4 第2个重要极限.. (4)1.4.1 证明过程：.......................................................................................................5 1.4.2 小结：第2个重要极限...................................................................................5 1.4.3 练习题...............................................................................................................7 1.5 小结. (8)1.1 内容回顾 函数→函数性质 →函数的极限→极限的运算法则1.2 两个准则 1.2.1 夹逼准则难点在于找)(),(n h n g ，且两个函数的极限存在且相等。
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
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当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
【几何解释】
单调减少
单调增加
广义单调数列
*
相应地，函数极限也有类似的准则
统称为单调有界准则
准则Ⅱ及
【准则 】
准则
*
【补例2】
【证】 (舍去) 递推公式 注意到
*
【说明】
该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论
如
①式两端取极限后 得
①
从而得
矛盾
*
【例4】
【解】 【例5】 【解】
*
【例6】
【解】 【例7】 【解】
*
三、小结
【两个准则】
【两个重要极限】 夹逼准则; 单调有界准则 .
*
【思考题】
求极限
*
【思考题解答】
抓大头
*
二、两个重要极限
三、小结 思考题
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
【证】
【夹逼准则】
*
上两式同时成立,
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
【注意】
02
利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.
*
【补例1】
【解】 由夹逼准则得 抓大头
*
【练习】
［提示］ ［提示］ ［提示］单调有界准则
*
［提示］ ［提示］ 由夹逼定理得 【注】记住[x]的运算性质： 当 x > 0 时
2.【单调有界准则】
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2 a.
A a,
9
二、两个重要极限
B
C
(1)
lim
x 0
sin x x
1
o
x
D
A
设单位圆
O , 圆心角 AOB x , ( 0 x
2
)
作单位圆的切线
，得 ACO .
x 弧 AB ,
扇形 OAB 的圆心角为
于是有 sin x BD ,
x , OAB 的高为 BD ,
tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜ △AOC的面积
即 1 2 sin x 1 2 x 1 2 tan x ,
10
sin x x tan x ,
1 x sin x 1 cos x
即 cos x
sin x x
1,
lim cos x 1,
第六节
极限存在准则 两个重 要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结及作业
1
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn x n z n ( 2) lim yn a ,
n
( n 1,2,3) lim z n a ,
2
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
1,
由夹逼定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
) 1.
5
记住结果：
(1)
(2)
lim
lim
n
n
n
n
n
n 1
a 1
n
(a 0)
例 2 lim
3 x
x
9e 9
0
23
练 习 题
一、填空题:
1、 lim sin x x sin 2 x sin 3 x __________ .
x 0
_________
.
2、 lim
x 0
3、 lim
x 0
arc cot x
x 0
__________
.
.
x
4、 lim x cot 3 x __________
x 1 x 2 x n x n 1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
7
例3 证明数列
式 )的极限存在 .
xn
3
3
3
( n 重根
证 显然 x x , n 1 n
又 x1
x n 是单调递增的
(1 1 n
1 n
)
n
1 n
2
1 n!
n ( n 1) ( n n 1) n!
1 n
n
1! n
11 1 2!
)
(1
1 n
)( 1
2 n
) (1
n 1 n
).
14
类似地, x n 1 1 1
1 n! 1 ( n 1 )! (1
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 z n的极限是容易求的 .
4
例1 求 lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
1 n n
2
).
解
n n n
2
n
1 n 1
2
1 1 1 n
n n 1
2
,
又 lim
n
n n
x 0
.
解: 令 t arcsin x , 则x sin t , 1 t lim 原式 lim 1 t 0 sin t t 0 sin t
t
13
(2)
lim (1
x
1 x
) e
x
先证 lim (1
n
1 n
) 存在：
n
设 x n (1
1 n 1 n ( n 1) 2!
n
n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
证 yn a ,
zn a ,
0 , N 1 0 , N 2 0 , 使得
2
当 n N 1时恒有 当 n N 2 时恒有
yn a , zn a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a yn a ,
解： x n 1
x n 1 xn
即
n
1 2
( xn
a xn
)
xn
a xn
a a
a
1 2
(1 x
a
2 n
)
1 2
(1
)
1
x n 1 x n
由
lim x n 存在，
n
设 lim x n A ,
A
1
(A
a A
),
lim x n
n
2 n n
3 A,
解得 A
1 2
13
, A
1 2
13
(舍去)
8
lim x n
n
1 2
13
.
例 4 设 x n 1
1 2
( xn
a xn
)
( n 1, 2 , 3 , )
x 1 0 , a 0 , 求 lim x n .
n
x0
1 f x ) 0
lim (1 f ( x ))
e
例6
lim (1
x
3 x
)
2x
lim (1
x
3 x
x
6
)3
lim [( 1
x
3 x
x 3
) ]
6
e
6
16
例7 求 lim (1
x
2 x
)
5x
.
解 原式 lim [( 1
5、 lim
sin x 2x
x
__________
1
.
6、 lim ( 1 x ) x _________
x 0
.
24
7 、 lim (
x
1 x x 1 x
) )
2x
_________ _________ .
.
8、 lim ( 1
x
x
二、求下列各极限:
]
1 x
e
2
17
例9
lim (sin cos ) .
x 1 x 1 x x
lim[(sin
x
1 x
cos ) ]
1 x 2
x 2
lim (1 sin )
x 2 x
x 2
1 sin 2 x 2 2 x
lim [( 1 sin )
x 2 x
sin
解：
n
n
1 2 3 4
n
n
4
1 2 3 4
n n
n
4 4
n
而 lim 4
n
n
4 4
n n
lim
n
n
1 2 3 4
n
4
6
2.单调有界准则
如果数列 x n 满足条件
单调数列
x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
.
sin x x
x0
cos x
1 1 1
例4 求 lim 解
1 cos x
2
x 0
2
x 2
1 2 sin lim
x 0
2
x 2
原式 lim
x 0
x
2
(
x 2
)
2
12
1 2
sin lim (
x 0
x 2 )2 1 12
1 2 .
x 2
2
例 5 lim
arcsin x x
;
3 xk
3 3 , 假定 x 3 , x k 1 k
3 3 3,
x n 是有界的
x n 1
A
2
; lim x n 存在 .
n
3 xn ,
x n 1 3 x n ,
2
lim x n 1 lim ( 3 x n ),
当 n N 时 , 恒有
上两式同时成立,
a zn a ,
a yn xn zn a ,
即 x n a 成立 ,
lim x n a .
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
3
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , ) (或 x M )时,有
1、 lim 1 cos 2 x x sin x