大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限
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0106极限存在准则两个重要极限
n→ ∞
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
1.6极限存在准则 两个重要极限
1 x
)
x
1
2. (1 + 0 ) 趋势
( 1+ x )
∞
x ( 1+
1
3.
x
x
)
x
8
1 − cos x 例3 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 1 . = lim( = ⋅1 = x→0 x 2 2 2 2
sin x “配” 配 x
2. 三相同 3. x → 0
lim
x→0
sin x x
7
1 x lim(1 + x ) = lim(1 + ) = e x→0 x →∞ x
f ( x )g ( x ) 含
1 x
(1 + 0)∞ 的
型:
1. 倒数关系 ( 1+ x )
( 1+
1 x 1 x
方 法
“
(1+ x) , 1x (1+ ) x
13
思考题
1、求极限 、
x→+∞ →+∞ x→+∞ →+∞
lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
答： lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
= lim 9
x→+∞ →+∞ 1 x 3 3x ⋅ x
( )
x
1 x
1 + 1 x 3
1 x
1 = 9 ⋅ lim 1 + x x →+∞ 3
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
- 11 -
第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
-9-
1-6极限存在准则与两个重要极限
x 0
返回
微积分
第一章 极限与连续
五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
返回
微积分
按月计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为
n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
返回
微积分
第一章 极限与连续
四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
x
返回
微积分
第一章 极限与连续
例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
微积分
第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
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五、连续复利公式
设本金为 A , 年利率为 r .
按年计息 : 一年末本利和为 二年末本利和为 t 年末本利和为 : A(1 r) .
t
: A ( 1 r ); : A (1 r ) ;
2
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n
x n 6 ( n 1, 2 , )，
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四、第二个重要极限
1
lim (1 x )
x 0
x
e 或 lim (1
x
1 x
) e
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例4 求下列极限：
(1) lim (1
x 2
3 x
)
x
( 2 ) lim x 1 x
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第一章 极限与连续
第六节
极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
定理1： ( 1 ) 若当
n
n N 0时 , 有 y n x n z n , 且
n n
lim y n lim z n a , 则 lim x n a . ( 2 ) 若当 x U ( x 0 ) 时 , 有 g ( x ) f ( x ) h ( x ), 且
x 0
是
x 0
而 lim
x
;
sin[ ( x ]
( 3 ) 将 x 换成 ( x ), 则有 sin( 1 x ) 1 x 1.
(x)
1 ( ( x ) 0 ),
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
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当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
1 = lim (1 - t +1) -(t +1) t +
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
【几何解释】
单调减少
单调增加
广义单调数列
*
相应地，函数极限也有类似的准则
统称为单调有界准则
准则Ⅱ及
【准则 】
准则
*
【补例2】
【证】 (舍去) 递推公式 注意到
*
【说明】
该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论
如
①式两端取极限后 得
①
从而得
矛盾
*
【例4】
【解】 【例5】 【解】
*
【例6】
【解】 【例7】 【解】
*
三、小结
【两个准则】
【两个重要极限】 夹逼准则; 单调有界准则 .
*
【思考题】
求极限
*
【思考题解答】
抓大头
*
二、两个重要极限
三、小结 思考题
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
【证】
【夹逼准则】
*
上两式同时成立,
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
【注意】
02
利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.
利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.
*
【补例1】
【解】 由夹逼准则得 抓大头
*
【练习】
［提示］ ［提示］ ［提示］单调有界准则
*
［提示］ ［提示］ 由夹逼定理得 【注】记住[x]的运算性质： 当 x > 0 时
2.【单调有界准则】
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lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
第七节
感谢下 载
使
lim
n
f
(xn
) 不存在
.
法2 找两个趋于
x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
对上述 , N , 当
时, 有
于是当 故
“
n N 时 f (xn ) A .
lim
n
f
(xn )
A
” 可用反证法证明. (略)
y
A
O x0 x
定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
且
(xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
xn x0 , f (xn ) 有定义
第一章
极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
xx0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
解: 原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
2
1 12 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
(0
x
π 2
)
注
注
例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
例4. 求
t
lim (1
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
说明: 此极限也可写为
1
lim(1 z) z e
z0
例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明 ：若利用
lim (1
( x)
(1x))
(
x)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
例7. 求
解:
原式 =
lim [(sin
x
1 x
cos
1x ) 2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在
法1 找一个数列
xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π2 )
1
由定理 1 知
不存在 .
2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
xn
n
为确定起见 , 仅讨论
x x0 的情形.
定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
有
lim
n
f (xn )
A.
证： “ ” 设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当
xx0
有 f (x) A .
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且