(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
两个重要的极限
例7 求 解 令 arcsin x t ,则 且 x 0时，t 0
arcsin x lim x 0 x
x sin t
arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 sin t x
(2)
定义
1 x lim (1 ) e x x 1 n lim (1 ) e n n
arccot x 3、 lim __________. x 0 x
4、 lim x cot 3 x __________.
x 0
sin x 5、 lim __________. x 2 x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
xn 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 3 n 1 3, xn 是有界的; 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n2例5 求 解Fra biblioteklim
x 0
tan x sin x lim x 0 x3
tan x sin x tan x(1 cos x) 1 sin x 1 cos x lim lim ( ) 3 3 2 x 0 x 0 x x cos x x x
1 sin x 1 cos x 1 (lim )( lim )( lim ) 2 x 0 cos x x 0 x 0 x 2 x
sin口 lim （口代表同样的变量 1 口0 口
极限存在准则 两个重要极限
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
目录
上页
下页
返回
通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Afr .-f-e
第一早第八节
极限存在准则两个重要极限
【教学目的】
1、 了解函数和数列的极限存在准则；
2、 掌握两个常用的不等式；
3、 会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、 夹逼准则；
2、 单调有界准则；
3、 两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。
首先给出极限存在准
则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（
5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类
型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1000
3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则:
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件
(1) y n X n Z n (n 1,2,3 )
(2) lim y n
a, lim z n a,
n
n
那么数列X n 的极限存在，且lim X n
a .
n
证： y a, z a,
0, N 1 0, N 2 0,使得
1、 lim
n
n 2
1000个0相加，极限等于 0。
2、 lim
n
——2一无穷多个
.n i
0”相加，极限不能确定。
当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n
取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2
【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用
2. 单调有界准则
准则n 单调有界数列必有极限
几何解释：
X 2 X 3 X n X
n 1
A
1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。
首先证明是有界的，然后证明是单
n
调的，从而得出结论
证：1、证明极限存在
例2证明数列
X n
.3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在
当n > N 时，恒有 a
y n x n z n a ,即 X n a
成立, lim x n a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
o
准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有
(1) g(x) f(x) h(x),
⑵』m g(x) A ，』m h(x) A,
x x
x x
(x ) (x )
那么lim f (x)存在，且等于A .
x x 0 (x )
准则 和准则'称为夹逼准则。
【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出
y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。
解:
又lim
n
1
1 求 lim(
+
=+ L n
“n 2+ 1
、n 2 + 2
+
J 2
：
).
.n + n
1 + . < ..n
2 + n
lim
n
1,
lim 一n -
n
lim
n
1, 1
2
y n a 由夹逼定理得:
-)1- n
如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n
满足条件X 1 x 2 x 3 少的。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
X 2 X 3 X n X n
X n 1 X n 1
，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减
【分析】已知X n
2
2
(|)2
2
(1
a ）证明有上界
N 3 3，设 x n
3 x
n 1
3
， 则 X n 1 ,3 X n 3一3 3
所以对任意的n 有 X n
3
b ）证明单调上升
X n 1 X n ... 3 X n X n
X n X n
X n x n
x n
所以lim X n 存在
n
2、求极限 设 lim x n
l n
，则I .FT ，解得I
卫舍去）
所以 lim x n n
两个重要极限
1. sin x ’ lim
1 x 0 x
如右图所示，设单位圆O,圆心角 AOB X,
(0 X 2)
作单位圆的切线， 得ACO.扇形OAB 的圆心角为x, OAB 的高为BD, 于是有sinx BD, x 弧AB,
tanx AC,
sin x x tan x, 即 COSX 沁1,上式对于
- x 2 2时,° cosx 1 1 cosx 2 sin 2 △
2(52
X 0也成立. 2
lim — x 0 2 0, lim (1 cosx) x 0
0, lim cosx x 0
1,又
lim1 x 0
1,
lim
sin X
x 0
(1) 求下列极限
1- cosx lim 2— x ?0 x 2 解：原极限=lim 0 X? 2
X 2sin
— 2
2
X
2x
m
1.
sin 2^ x
sin
2凹（二
2. lim (1 丄广
x
x
，lim 0(1
x 0
1
x)x e ， lim n
“1 ”型
X
【说明】
1
(1)
上述三种形式也可统一为模型
lim 1 x 一冈 e
(x) 0
(2) 第二个重要极限解决的对象是
1型未定式。
2
例如，lim 2 x 门 lim 1
X 1
X 1
(2) lim
X
而广 n(n 1) 2
1
n(n 1)/2 1 而 lim 2
， lim 厂 n
n
n n 2 n n n 1
2
1 所以原极限 一 2
【内容小结】
lim f (x) A = lim h(x)，则 lim g(x) A 。
X X o
XX)
x X o
2、单调有界准则
(1) 单调上升有上界的数列，极限一定存在;
解：
n 2n
n 1) 2
1 2 n
2 n n
n n 2 n n n 2 n n n 1
2
L
n
2 n n 1 2 n n 2
2 n n n
1
2
L
n n(n 1) 2 2 n n
1 2 n n 1 2 n n 1 2 n n 1
O
i 1
【课堂练习】求lim
n
n (1) 求下列极限
x
lim(1 -
X
解：原极限二 lim[(1
X
X ) x
]
lim
X
(1
解：原极限=lim[(1
X
")
1、夹逼准则
o
当 X U(X 0,)时
有 f (X) g(x) h(x)
(2) 单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限
(X 为弧度)；
1
1 x 一
(2) lim (1
)x e , lim (1 x)x e x
x x 0
mo
z
\1。