2010.11.10 解三角形+三角恒等变换测试专题
高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案
《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．2552．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，则sin2α－cos 2α＝( ) A ．35 B ．－25 C ．－1 D ．33．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．12 B ．24 C ．23 D ．34答案 B4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A ．518B ．34C ．32D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( ) A ．32 B ．233 C ．33D ． 3 8．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(0．4)B ．(2．23)C ．(22，23)D ．(22，4) 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4，则B ＝( )A ．B ＝30°或B ＝150° B ．B ＝150°C ．B ＝30°D ．B ＝60°或B ＝150°10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．711．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C ＝45°，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．2<x <1B ．2<x <2C ．1<x <2D ．1<x < 2 12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题13．已知sin10°＋m cos10°＝－2cos40°，则m ＝________.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m ＋nsin63°＝________.15．已知点(3，a )和(2a ．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a 的值是________． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________. 三、解答题17．已知△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝35，AC ＝8.(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 边上的中线CD 的长．18．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A 的大小．19．在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．20．如图所示，锐角△ABC 中，AC ＝52，点D 在线段BC 上，且CD ＝32，△ACD 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC ⊥BC .(1)求AD 的值；(2)若sin ∠BEC ＝23，求AE 的值．三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案参考答案： 一、选择题 1、答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. 2、答案 A解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3⇒tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3⇒tan α＝2，所以sin2α－cos 2α＝sin2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－11＋tan 2α＝35，故选A.3、答案 B解析 由3sin x ＋cos x ＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，故选B. 4、答案 A解析 由2cos B ＝ac 得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.5、答案 C解析 因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C.6、答案 D解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t ．2t ，t ，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)t t t t t t+-⨯⨯＝78. 7、答案 B解析 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ， sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233. 8、答案 C解析 ∵a ＝2，B ＝2A ，∴0<2A <π2，A ＋B ＝3A ，∴π2<3A <π，∴π6<A <π3，又0<A <π4，∴22<cos A <32，由正弦定理得b a ＝12b ＝2cos A ，即b ＝4cos A ，∴22<4cos A <23，则b 的取值范围为(22，23)，故选C. 9、答案 C解析 ∵A ＝60°，a ＝43，b ＝4，∴sin B ＝b sin A a ＝4×sin60°43＝12，∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝30°，故选C. 10、答案 A解析 因为ab sin C ＝20sin B ，所以由正弦定理得abc ＝20b ，所以ac ＝20，又因为a 2＋c 2＝41，cos B ＝18，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝41－2×20×18＝36，所以b ＝6. 11、答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin45°，可得sin A ＝12x ，由题意得当A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则a 的取值范围是(2，2)，故选B. 12、答案 A解析 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010， 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A. 二、填空题 13、答案 － 3解析 由sin10°＋m cos10°＝－2cos40°得sin10°＋m cos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－2⎣⎡⎦⎤32cos10°－12sin10°，所以m ＝－ 3.14、答案 2 2解析 因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，所以m ＋n sin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝sin(1845)sin 63+＝2 2.15、答案 6解析 由题得tan β＝a 3，tan(β－45°)＝tan β－11＋tan β＝a3－11＋a 3＝42a ，所以a 2－5a －6＝0，解得a ＝6或－1，当a ＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a ＝6. 16、答案 －32解析 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .又因为a ＋c ＝3，cos B ＝34.根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以ac ＝32－2ac －32ac ，解得ac ＝2，所以AB →·BC →＝c ·a cos(π－B )＝－ac cos B ＝－2×34＝－32.三、解答题17、解 (1)∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，即845＝AB7210，解得AB ＝7 2.∴△ABC 的面积为S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×72×8×22＝28.(2)解法一：在△ACD 中，AD ＝722，∴由余弦定理得CD 2＝82＋⎝⎛⎭⎫7222－2×8×722×22＝652，∴CD ＝1302.解法二：∵cos B ＝35<22，∴B >π4，∵A ＝π4，∴C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝210∵CA →＋CB →＝2CD →，∴4|CD →|2＝(CA →＋CB →)2＝|CA →|2＋2CA →·CB →＋|CB →|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD ＝1302. 18、解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC ，∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，∴BD DC ＝ABAC＝2. (2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83×cos A2，在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A2，所以16－83cosA27－43cosA2＝4，解得cos A 2＝32，又A 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A 2＝π6，即A ＝π3. 19、解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ，∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ×3a2cos C ＝b 2，即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2.设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)，从而线段CD 的长为－1＋7312.20、解 (1)在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12×52×32×sin ∠ACD ＝66，所以sin ∠ACD ＝265，因为0°<∠ACD <90°，所以cos ∠ACD ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15. 由余弦定理得，AD 2＝CD 2＋CA 2－2·CD ·CA ·cos ∠ACD ＝56，得AD ＝214. (2)因为EC ⊥BC ，所以sin ∠ACE ＝sin(90°－∠ACD )＝cos ∠ACD ＝15.在△AEC 中，由正弦定理得，AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC，即AE 15＝5223，所以AE ＝322。
三角恒等变换测考试试题
三角恒等变换测试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ） A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（ ） A. 23-B. 21- C. 21 D. 23 4.=-+0tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.21 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103-8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 2θ=44cos sin θθ-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A. 521B. 421 C. 1 D. 012. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ．x =113πB ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=- 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则t a n C = ．15.若542cos ,532sin-==αα，则角α的终边在 象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ． 三．解答题（共6个小题，共74分）17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．20. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. （1）求证)(x f 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．22. (14分) 已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-(cos ,sin ),n A A =且m.n=1(1)求角A; (2)若221sin 23,cos sin BB B+=--求tanC .《数学必修4》三角恒等变换测试题答案一、选择题（12×5分=60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、43π 14、 23- 15、第四 16、 3 三、解答题（共6个小题，满分74分）6563135********sin cos cos sin )sin(sin ,1312cos ,180B A ,120,1312cos 6023sin ,1312sin 1cos ,135sin 54sin ,53cos ,:.170002=⨯+⨯=+=+=∴=>+>∴-=>∴>±=-±===∴=∆B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时若可得又由中在解 6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 54)cos(,135)sin(23,40432:.19-=⨯-+⨯-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<βαβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ解右边左边证明=-+=-+⨯+=-+=++-=+=+=xx x xx x x x x xx x x x x x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)24cos 122(224cos 12cos 222sin 41)22cos 1()22cos 1(cos sin cos sin sin cos cos sin :.202222224422224321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0240271tan :.20πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-= 解21.解：（1）2cos cos 1y x x x =++cos 2112x +=++11cos 22122x x =+++ 3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++ （2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈三角恒等变换测试题时间:120分钟 满分:150分一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列表达式中,正确的是( )AA.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
三角恒等变换解三角形综合检测试题
三角函数综合检测试题第一卷〔选择题 共60分〕一、单项选择题：本大题共12个小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、计算sin163sin 223sin 253sin313+的值为〔 〕〔A 〕12- 〔B〕2- 〔C〕2 〔D 〕122、假设,αβ为锐角，且满足()43cos ,cos 55ααβ=+=，那么sin β的值为〔 〕 〔A 〕1725 〔B 〕35 〔C 〕725〔D 〕153、以下函数中周期为2的函数是〔 〕〔A 〕22cos 1y x π=- 〔B 〕2sin cos 2y x x ππ=+ 〔C 〕sin cos y x x ππ= 〔D 〕44sincos22xxy ππ=-4、在ABC ∆中，2cos a b C =，那么这个三角形一定是〔 〕 〔A 〕等腰三角形 〔B 〕等腰直角三角形 〔C 〕直角三角形 〔D 〕等腰或直角三角形5、假设3sin cos 0αα+=，那么21cos sin 2αα+的值为〔 〕 〔A 〕103 〔B 〕53 〔C 〕23〔D 〕2-6、在ABC ∆中，60A =，最大边和最小边的长是方程27110x x -+=的两实根，那么第三边的长为〔 〕〔A 〕5 〔B 〕4 〔C 〕3 〔D 〕2 7、πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔 〕 〔A〕 〔B〔C 〕45-〔D 〕458、2sin cos sin 2,cos sin cos 2x x θθθθ+==，那么cos2x 的值为〔 〕〔A〔B〔C〔D 〕0 9、设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=那么〔 〕〔A 〕()y f x =在(0,)2π单调递减 〔B 〕()y f x =在3(,)44ππ单调递减 〔C 〕()y f x =在(0,)2π单调递增 〔D 〕()y f x =在3(,)44ππ单调递增10、设()cos cos26cos f θθθ=-，那么()2sin f θ的最小值为〔 〕 〔A 〕112-〔B 〕5- 〔C 〕134- 〔D 〕3-二、多项选择题：本大题共3个小题，每题4分，共12分．11、在△ABC 中，tan A ＋B2＝sinC ，那么以下四个命题中正确的选项是 ( )〔A 〕tanA ·cotB ＝1．〔B 〕1＜sinA ＋sinB ≤2．〔C 〕sin 2A ＋cos 2B ＝1．〔D 〕cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ． 12、那么以下四个命题中正确的选项是( ) 〔A 〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π； 〔B 〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增； 〔C 〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y . 〔D 〕假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，那么sin cos A A +=313、关于函数()cos2cos f x x x x =-的以下命题正确的选项是：( ) 〔A 〕假设存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；〔B 〕()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；〔C 〕函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； 〔D 〕将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上。
三角恒等变换综合算式练习题
三角恒等变换综合算式练习题在学习三角学时，我们经常会遇到涉及三角恒等变换的综合算式练习题。
通过解决这些练习题，可以帮助我们加深对三角函数恒等式的理解和运用。
下面，我将给出一些练习题，并逐步解答，希望能为大家提供一些参考和帮助。
1. 练习题一：若已知sin²θ = a，cosθ = b，其中0 < θ < π/2，求证：tanθ = √(a/b - 1)。
解答：首先，我们先将tanθ用其他三角函数表示，即tanθ = sinθ/cosθ。
然后，将已知的sin²θ和cosθ代入，得到tanθ = √(a/b)。
接下来，我们需要证明√(a/b - 1)与√(a/b)是相等的。
为了证明这个恒等式，我们可以进行平方运算：左边：[√(a/b - 1)]² = a/b - 1右边：[√(a/b)]² = a/b显然，左边等于右边，所以√(a/b - 1) = √(a/b)。
综上所述，我们证明了tanθ = √(a/b - 1)。
2. 练习题二：已知cos²θ = p，sinθ>0，求证：cosθ = √(1 - p)。
解答：我们可以利用三角恒等变换公式sin²θ + cos²θ = 1，在已知条件cos²θ = p的基础上，将它代入这个恒等式，得到sin²θ = 1 - p。
根据已知条件sinθ>0，我们知道sinθ = √(1 - cos²θ)。
将这个式子代入sin²θ = 1 - p，得到1 - cos²θ = 1 - p。
经过简化运算，我们得到cosθ = √(1 - p)。
因此，我们证明了cosθ = √(1 - p)。
3. 练习题三：已知tanθ = m，求证：sin²θ = m² / (m² + 1)。
解答：首先，我们可以利用三角函数的定义，将tanθ表示为sinθ/cosθ。
三角函数与三角恒等变换、解三角形典型例题
一、任意角例1 写出终边符合下列要求的角集：（1）在x 轴上；_________________________________________． （2）在y 轴上；_________________________________________． （3）在坐标轴上；_________________________________________． （4）在直线y = x 上；_________________________________________． （5）在直线y = x 或y = - x 上．_________________________________． 例2 写出终边符合下列要求的角集：（1）在第四象限；_________________________________________． （2）在第一、三象限；_________________________________________． 例3 写出终边符合下列条件的两角的关系：（1）α与β终边重合；_________________________________________． （2）α与β终边在同一条直线上；_______________________________________． （3）α与β终边关于x 轴对称；_________________________________________． （4）α与β终边关于y 轴对称；_________________________________________． （5）α与β终边关于原点对称；_________________________________________． （6）α与β终边关于直线x y =对称；____________________________________． （7）α与β终边关于直线x y -=对称；___________________________________． 1. 已知角α是小于︒180的正角，如果角α7的终边与角α的终边重合，试求α的值. 2. 扇形区域区域周期为︒360，即每旋转一周恰好一次覆盖该区域；而对角形区域的周期为︒180，即每旋转一周恰好两次覆盖该区域. 3. 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+±==Z k k M ,6ππαα,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+⋅-==Z k k N k ,61ππαα,则集合N M ,的关系为___________. N M =4. 若将时钟拨慢5分钟，则时针转了__________度，分针转了_________度.5. 已知α与β终边关于直线x y -=对称，若3πα-=，则_______=β6. 已知点)43cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且[)πθ2,0∈，则θ的值为_______ 变：角α（πα20<≤）的终边过点ππ53cos ,53(sin P ），则______=α二、弧度制1. 已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆周角的弧度数为__________.232. 已知扇形的周长为cm 16，则其面积的最大值为________216cm 拓展：（通常用半径作为自变量构建函数模型）（1）当扇形的周长为定值C 时，当且仅当扇形所对应的圆心角为rad 2时，可取得扇形面积的最大值为162C ；（2）当扇形的面积为定值S 时，当且仅当扇形所对应的圆心角为rad 2时，可取得周长的最小值为S 4； 3.（旋转问题）（1）在直径为cm 10的轮子上有一长为cm 6的弦，P 是弦的中点，轮子每秒转rad 5，则经过s 5后点P 转过的弧长为_________ cm 100（2）已知相互齿合的两个齿轮，大轮有50齿，小轮有20齿.（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角的弧度数的大小（不考虑方向）； （2）如果大轮的转速为min /180r （转/分），小轮的半径为cm 10，试求小轮圆周上一点s 1转过的弧长. ;5π小轮转速为min /5.7r ；cm π150（3）已知x 轴的正半轴上一点A 绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（πθ≤<0），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？ π74或π754. 若22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是________5. 扇形的面积为21cm ，它的周长为cm 4，求圆心角的弧度数和弧长. 6. 已知扇形的圆心角为π32，半径为6，则扇形所含的弓形面积为_______ 7. 已知rad 1的圆心角所对的弦长为2，求 （1）这个圆心角所对的弦长；21sin 1（2）这个圆心角所在扇形的面积.1cos 11-8. 如图，一长为3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面 时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，则点A 走过的弧的总长为 _ dm .π6329+ 三、任意角的三角函数1. 当ααsin sin =时，角α的终边位于____________2. 已知角θ的终边经过点)0)(,3(≠-m m P ，且m 42sin =θ，试判断角θ所在的象限，并求θcos 和θtan 的值. 5±=m3. 如果rad 2角的终边上一点P 到坐标原点的距离为1，则P 点的坐标为_______4. 已知角α的终边落在直线3y x =上，求ααtan ,sin 的值.5. 已知角α的终边经过点)0)(3,4(≠a a a P ，则2sin cos αα+的值为_______6. 已知点M 在角α的终边的反向延长线上，且1=OM ，则点M 的坐标为_______7. 若点)2,93(+-a a P 在角α的终边上，且0sin ,0cos >≤αα，则实数a 的取值范围是________.8. 角α的终边上有一点)2,(-x P 且3cos x=α，则=αsin _______ -1或-2/3 9. 若βαsin sin =，则α和β满足的条件是__________ ())(1Z n n n∈+-=πβα 10. 若βαcos cos =，则α和β满足的条件是__________)(2Z n n ∈+±=πβα11. 若βαtan tan =，则α和β满足的条件是__________ )(Z n n ∈+=πβα12. 利用单位圆中的三角函数线，完成下列问题： （1）确定下列各角的取值范围：1tan ;23cos ;21sin >≥<ααα （2）已知α为锐角，证明：2cos sin 1παα<+<（利用面积或周长都可以）（3）已知α与β均为第二象限角，且tan tan αβ>，则sin ,sin αβ的大小关系为______ （4）作出符合下列条件的角的终边：11cos ;tan 42θα=-=（5）求函数的定义域：lg sin y x =+变式1、函数的定义域为lg(2sin 1)y x =-+变式2、函数的定义域为y =变式3、集合{}2,,403A xk x k k Z B x x ππππ⎧⎫=+≤<+∈=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =变式4、函数y =（6）若α为锐角，试比较,sin ,tan ααα之间的大小关系13、函数sin cos tan sin tan cos x xx y x x x=-+的值域为______变式、函数2cos tan sin y ααα=的值域为______ {}1,5,5,1--14、若23cos 4x xα-=-，又α是第二、三象限角，则x 的取值范围是______ 15、A,B 是单位圆上的两个质点，B 点的初始坐标为（1，0），3BOA π∠=,质点A 以srad /1的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B 以1rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A 作1AA y ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB y ⊥轴于点1B （1）求经过1s 后，BOA ∠的弧度数；23BOA π∠=+ （2）求质点A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间；56s π（3）设点1A 与1B 间的距离为y ，请写出y 关于时间t 的函数关系式并求出最值6t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭变式、若点P 从（1，0）出发，沿单位圆221x y +=按逆时针方向匀速运动，且角速度是6πω=rad/s ，t s 钟运动到Q 点（1） 当t=4，求Q 点的坐标；（2）当[]0,6t ∈时，求弦PQ 的长（用t 表示）解：（1）1,22⎛-⎝⎭；（2）2sin 12t π（余弦定理、两点间距离公式、垂径定理）16、若角α的终边上有一点(4,)P a -，且sin cos 4αα⋅=，则 a 的值为______17、已知角α的终边在直线y kx =上，若sin 5α=-且cos 0α<，则实数k =______ 可利用斜率解决 得结果为218、若tan sin x x <，则角x 所在象限为 ______ 二或四19、已知点()sin cos ,tan P ααα=-在第一象限，在[]0,2π内角α的取值范围是______20、若,αβ是关于x 的二次方程()222cos 1cos 0x x θθ+++=两根，且αβ-≤则θ角的范围是______ ()2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21、已知x ，y 均为正数，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足sin cos x y θθ=，222222cos sin 103()x y x y θθ+=+ 则xy的值为_____________ 3原题呈现：已知x ，y 为非零实数，且满足sin cos x yθθ=，222222cos sin 103()x y x y θθ+=+， 则x y的值为 _____ 33,3±±思考：命题意图何为？三角函数定义从方法的角度，消参，两种方式：（1）引入新的参数对其消参；（2）直接内部消参，不引入新的参数；练习：若二次函数)(x f y =满足对任意的正整数n ，当）个（555555n x =， ）个（5255555n x =，则)(x f y =的解析式为_______________考点：曲线的参数方程，)11095),110(952-=-=n n y x （,消去n 后得：x x x f 259)(2+=四、同角三角函数基本关系式1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的基本关系式；2、化简下列三角函数式：tan3、证明下列三角恒等式：（弦切互化，1的代换）（1）222212sin cos cos sin cos sin 12sin cos θθθθθθθθ--=-+(2)22221112tan sin cos tan x x x x +-=+ (3)cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos x x x x x x x x--=++++ 4、已知1sin cos 5αα-=，且()0,απ∈，求下列各式的值：（1）sin cos αα⋅；（2）sin cos αα+；（3）3312791sin cos ;;255125αα+；5、已知1sin cos ,,842ππααα⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-= 变式1、已知1,0,sin cos 25πααα⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭，（1）求sin cos αα-的值；（2）求2sin 22sin 1tan ααα+-的值变式2、设()sincos ,nn f n n N αα*=+∈，且()1,f a a =<（1）求sin cos αα⋅ ；（2）求()()()2;3;4f f f变式3、已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+=⎪⎝⎭，则1sin 232πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭变式4、设(sin cos )sin cos f x x x x +=，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭=______ 变式5、已知()51sin 5sin 25ππθθ⎛⎫---=⎪⎝⎭ （1） 求sin cos θθ的值；（2）；求33sin cos θθ-的值（3）当0πθ-<< 时，求tan θ6、已知sin cos 3sin cos x xx x +=-，求tan x 和222sin (sin cos )x x x +-的值变式：22sin cos ;sin sin cos cos sin cos a x b x m x n x x p x c x d x+++-的值（齐次分式的求值问题）变：已知cos 2sin 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3sin cos 575cos 3sin 22πααπππαα+++⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______72tan x =，求角x 的取值范围______222,22x x k k x k k Z ππππππ⎧⎫=+-<<+∈⎨⎬⎩⎭或变式：化简 8、若sin cos cos 1θθ=-，则θ在第______ 象限；四9、化简66441cos sin 1cos sin x xx x---- 10、已知sin ,cos αα是方程286210x kx k +++=的两个实数根，则实数k 的值为______11. 求值：=--︒-︒︒10cos 110sin 10cos 10sin 212_________ -112. （1）已知178cos -=α，求αsin 和αtan 的值； （2）已知⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，且511cos 2sin =+αα，求αtan 的值；（3）已知m =αtan ，求αsin 和αtan 的值； 解：若α角位于第一、四象限或x 轴的正半轴时，21sin mm +=α，211cos m+=α若α角位于第二、三象限或x 轴的负半轴时，21sin mm +-=α，211cos m+-=α13. 已知2tan 1tan -=+x x ，则=+xx nn tan 1tan _________（*N n ∈）2或2- 五、三角函数的诱导公式1. 已知31)sin(=+απ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,ππα，则=-)cos(πα_______ 2322. 31)15cos(-=-︒x ，则=+︒)165cos(x _______31 3. 已知21)tan(=+απ，()0,πα-∈，则=-)tan(απ_______；=+-)sin(απ______ 4. 求下列各式的值（1）)437tan(585cos 611tan )1200sin(3ππ---︒︒223- （2）54cos 53cos 52cos5cos ππππ+++ 0 5. 化简：)cos()sin(])1cos[(])1sin[(απαπαπαπ+--+++k k k k -16. 已知31)75cos(=+︒x ，x 为第三象限角，则=-︒)105sin(x _______ 232 7. 在ABC ∆中，若)sin(2)2sin(B A --=-ππ，)cos(2)2cos(3B A +-=-ππ，则ABC ∆的三个内角分别是____________ 127;6;4πππ 8. m =+)5tan(απ，则=+---+-)cos()sin()cos()3sin(απααππα________.9. 化简：︒︒︒︒++790cos 250sin 110cos 470sin 21=________ -110. 已知a =165cos ，则_______195tan =aa 21--11. 若53)6sin(=+πα，则______)3cos(=-απ12. 已知3cos()cos(2)sin()22()3sin()sin()2f ππαπαααππαα+⋅-⋅-+=--⋅+ （i ）化简()f α；（ii ）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值. 13. 已知3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα-⋅-⋅-+=--⋅-+ （1）求31()3f π-的值；（2）若3()5f α=，求sin ,tan αα的值.（3）若2()()2f f ππαα+=+，求2sin cos cos sin cos ααααα++-的值；14. 如果53)4sin(=-πα，则=+)4cos(πα_________15. 化简： （1）)2sin()2tan()2cos(απαππα+--+=_______ αsin 1-（2）)4(cos )4(cos 22x x ++-ππ（3）))(414cos()414cos(Z n n ∈--+++ααπαπ16. 在ABC ∆中，求证：12cos 2cos 22=++C B A总结ABC ∆中的一些三角结论：正弦、余弦、正切关系？半角关系如何？ 拓展：已知D C B A ,,,顺次为圆内接四边形的四个内角，则 （1）4sin 4cosD C B A +=+；（2）)2cos()2sin(D CD A -=+； 17. 判断下列函数的奇偶性：（1）)23cos()23sin(1cos sin )(44x x x x x f -+-+=ππ（2）)tan()2cos()(x b x a x f -++=ππ18. 如果x x f 2cos )(sin =，则_______)(cos =x f19. 已知⎪⎩⎪⎨⎧>--<=1,1)1(1,2cos )(x x f x x x f π，则=)31(f ________ 20. 若43)2sin(-=+πα，παπ<<-2，则)tan(απ-=________ 21. 函数)(3cos)(Z x x x f ∈=π的值域为________22. 已知2tan =α，求)sin()tan()23sin()2cos()sin(αππαπααπαπ----+---的值；23. 已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中,求sin(105)cos(375)αα-+-的值．24. 已知3cos()cos(2)sin()22()3sin()sin()2f ππαπαααππαα+⋅-⋅-+=--⋅+ （i ）化简()f α；（ii ）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值. 25. 定义在(0,)2π上的函数2cos y x =的图像与sin y x =的图像的交点为P ，则点P 到x 轴的距离是______________六、三角函数的周期性1. 若函数()cos()(0)6f x x πωω=->的最小正周期是5π，则ω的值为 ．2. 若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝_3. 已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在(0,π)α∈，使()()f x f x αα+=-对一切实数x 恒成立，则α=________4. 已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 5. 设0≠a ，则函数)cos(π+=ax y 的最小正周期为_________ 6. 定义在R 上的函数)(x f y =，满足)(1)2(x f x f -=+，则它的一个周期为_______ 7. 已知)(x f y =是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程0)(=x f 在区间()6,0内解的个数的最小值为________. 8. 已知函数)(x f 满足：)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，求证：)(x f 是周期函数.9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数. （1）求)4(f 的值；（2）若12-≤<-x 时，12sin )(+=x x f π，求32≤≤x 时，)(x f 的解析式.10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当[)1.3--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当[)3,1-∈x 时，x x f =)(，则_____)2012()3()2()1(=++++f f f f 338 11. 设函数⎩⎨⎧∉∈=Qx Qx x D ,0,1)(,则下列结论错误命题的序号为_______3（1）)(x D 的值域为{}1,0；（2）)(x D 为偶函数；（3）)(x D 不是周期函数 （4）)(x D 不是单调函数12. 已知)2()(x x x g -=，10<≤x ，0)1(=g ，再设函数)(x f y =，R x ∈是以2为周期的奇函数，且在[]1,0上)()(x g x f =，画出)(x f y =)22(≤≤-x 的图象并求其解析式.解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-=<≤-<<-+-=-<≤-+-=.21),2(,1,0,10),2(,01),2(,1,0,22),2()(x x x x x x x x x x x x x x x f13.()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，， 其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ______ -1014. 函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数， 又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5. (1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式． 解：（2）41,5)2(2)(2≤≤--=x x x f（3）⎩⎨⎧≤<--≤≤+-=96,7)7(2,64,153)(2x x x x x f 15. 已知函数R x x x f ∈=,3cos)(π（1）求函数的最小正周期；（2）求)2012(2012)3(3)2(2)1(1f f f f ++++ 的值.2200916. 定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，若当()3,0∈x 时，xx f 2)(=，则当()3,6--∈x 时，则)(x f 的解析式为________ 62)(+-=x x f17. 已知函数)(x f 在区间[]2,1上的表达式为x x f =)(，若对于任意R x ∈，)2()2(x f x f -=+，且)1()3(x f x f +=+，则______29=⎪⎭⎫⎝⎛f . 2318. 函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为________. 219. 求函数x x x x f 2sin cos sin )(4++=的最大值和最小值. 研究周期：)()2(x f x f =+π，故可只考虑函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的情形. 最小值为1，最大值为12+七、三角函数的图象与性质1. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2，若4)(1≤≤x f 对一切实数R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡415,3 2. 函数1)62tan(≤-πx ，则x 的取值范围是________变：使33tan ≤x 成立的角x 的范围是__________ 3. 已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 图像与直线1=y 的交点中距离最近的两点间的距离为,3π则_______=ω 24. 对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到；④图象向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图象。
高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题测习题含答案
《三角恒等变换与解三角形》专题测习题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．(2019·临沂模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝33，则cos x ＋cos(x －π3)＝( ) A ．－1 B ．1 C.233 D. 32．已知角α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－3－2 2 B ．－1 C ．3－2 2 D ．3＋2 2 3．若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14 D ．04．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35 B ．335 C.319 D.375．若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋2β＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.326．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－1718 C.1718 D ．－118 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210 C.3210 D.72108．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶29．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝1，c ＝6，cos C ＝23，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b cos Cc cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边．若(a ＋b )(sin A －sin B )＝c (sin A －sin C )，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π212．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4 二、填空题（每小题5分，共20分）13．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.14．计算3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b ＝4，B ＝π6，sin A ＝13，则a ＝________.16．在△ABC 中，BC ＝23，AC ＝3，∠BAC ＝2∠B ，D 是BC 上一点且AD ⊥AC ，则sin ∠BAC ＝________，△ABD 的面积为________． 三、解答题（计6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(b －c )2＝a 2－32bc ．(1)求sin A ；(2)若a ＝2，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos cos )cos 2cos 2Ca Bb A C a a +=-． （1）判断△ABC 的形状；（2）若B =23π，点D 为AB 边的中点，CD ，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2．2sin A ＝sin C .(1)求c 的长；(2)若cos 2C ＝－14，求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos C＋c cos A＝0.(1)求角C；(2)若c＝23，求△ABC周长的最大值．21．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.22．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin A cos2A－3cos(B＋C)＝sin 3A＋ 3.(1)求A的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．三角恒等变换与解三角形专题测习题答案参考答案 一、选择题 1、答案 选B解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝332cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×33＝1，故选B. 2、答案 选A解析：由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3－2 2.故选A. 3、答案 选A解析：由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1. 4、答案 选D解析：由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan (α＋80°)－tan 60°1＋tan (α＋80°)tan 60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.5、答案 选B解析：∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12.故选B. 6、答案 选B解析：∵3cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴3(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)． ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α－sin α≠0，∴cos α＋sin α＝26. 两边平方可得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.故选B.7、答案 选A解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴tan α>1.∴由tan α＋1tan α＝103，解得tan α＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝22×⎝⎛⎭⎫－210＝－210.故选A.8、答案 选C解析：由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，即3sin(B ＋C )＝sin C ⇒3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1. 9、答案 选A解析：由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即23＝a 2＋1－62a ，整理可得(a －3)(3a ＋5)＝0.结合a >0可得a ＝3.10、答案 选D解析：∵1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，∴cos C cos B ＝0或cos C cos B ＝b c ，即C ＝90°或cos C cos B ＝bc . 由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin Bsin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B ，∵B ，C 均为△ABC 的内角，∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，∴B ＝C 或B ＋C ＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D. 11、答案 选C解析：由题意和正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (a －c )，即a 2－b 2＝ac －c 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝π3.12、答案 选B解析：由题意和余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2(1－sin A )2b 2＝sin A ，所以A ＝π4.故选B.二、填空题 13、答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.14、答案：－4 3解析：原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 24°sin 24°＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－4 3.15、答案：83解析：∵b ＝4，B ＝π6，sin A ＝13，∴根据正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 13＝4sin π6，∴a ＝83.16、答案：223； 210解析：∵BC ＝23，AC ＝3，∠BAC ＝2∠B ，∴在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠B，解得cos ∠B ＝33，可得sin ∠B ＝63，∴cos ∠BAC ＝cos 2∠B ＝2cos 2∠B －1＝－13，sin ∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.∵AD ⊥AC ，∴sin ∠BAD ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠BAC －π2＝－cos ∠BAC ＝13，可得cos ∠BAD ＝223，∴sin ∠ADB ＝sin(∠BAD ＋∠B )＝13×33＋223×63＝539. 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B ， ∴32＝AB 2＋(23)2－2AB ·23×33，解得AB ＝1或3.当AB ＝AC ＝3时，由∠BAC ＝2∠B ，可得∠B ＝∠C ＝12∠BAC ＝π4，∴BC ＝32＋32＝32，与BC ＝23矛盾，∴AB＝1.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠B ，∴AD ＝AB ·sin ∠B sin ∠ADB＝325，∴S △ABD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×1×325×13＝210.三、解答题17、解：(1)由(b －c )2＝a 2－32bc ，得b 2＋c 2－a 2＝12bc ……2分即2222b c a bc+-＝14，由余弦定理得cos A ＝14，因为0<A <π，所以sin A ＝154……3分 (2)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ……2分 由正弦定理得b ＋c ＝2a ＝4，所以16＝(b ＋c )2，所以16＝b 2＋c 2＋2bc .由(Ⅰ)得16＝a 2＋52bc ，所以16＝4＋52bc ，解得bc ＝245，(10分)所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×245×154＝3155 ……3分18、解：（1）△ABC 中，∵a Ca C Ab B a -=+2cos 2cos )cos cos (2，∴由正弦定理可得（sin A cos B +sin B cos A ）•cos C =sin A •（22cos2C-1）， 即sin （A +B ）•cos C =sin A •cos C ，即sin C •cos C =sin A •cos C ……3分 即cos C •（sin C -sin A ）=0， ∴cos C =0或sin C =sin A ，∴C =2π，或C =A ，故△ABC 为直角三角形或等腰三角形 ……3分 （2）若B =32π，则△ABC 为等腰三角形，则A =C =6π，BC =2BD =a ……3分 ∵点D 为AB 边的中点，CD =7， 在△BCD 中，由余弦定理可得CD 2=BC 2+BD 2-2BC •BD •cos B ，即32cos 222722πa a a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，∴a 2= 4 ∴△ABC 的面积S =21•a •a •sin 32π=3 ……3分 19、解：(1)在锐角三角形ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即2sin A ＝csin C，∵2sin A ＝sin C ，∴c ＝4 ……4分(2)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，∴sin 2C ＝58，∴sin C ＝104或sin C ＝－104(舍去)．∴sin A ＝12sin C ＝108.∵A 为锐角，故cos A ＝368，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－36b ＋12＝0，解得b ＝26或b ＝ 6 ……4分当b ＝26时，S △ABC ＝12ab sin C ＝15；当b ＝6时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋6－162×2×6<0，C 为钝角，与题意不符，舍去．∴△ABC 的面积为15 ……4分20、解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A －2sin B )cos C ＋sin C cos A ＝0，即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos C ，∴sin(A ＋C )＝2sin B cos C ……2分 ∵A ＋C ＝π－B ，∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B >0，∴sin B ＝2sin B cos C ，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3……4分(2)由(1)及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又c ＝23，∴a 2＋b 2－12＝ab ……2分∴(a ＋b )2－12＝3ab ≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2≤48(当且仅当a ＝b ＝23时等号成立)．∴△ABC 周长的最大值为6 3 ……4分 21、解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc ……2分由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60° ……2分(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得 2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，整理可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以C ＋60°＝135°，C ＝75° ……4分所以sin C ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24……4分 22、解：(1)∵4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋3，∴4sin A cos 2A ＋3cos A ＝sin 3A ＋3，∴2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3，sin 2A cos A －cos 2A sin A ＋3cos A ＝3，即sin(2A －A )＋3cos A ＝ 3 ……4分 ∴sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3……2分(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形，∴2π3－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2 ……2分 在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B sin B ＝3tan B＋1，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1．4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝⎛⎭⎫32，23.故△ABC 面积的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，23 ……4分。
10三角恒等变换测试题(含解析)
的距离的最小值为
π，若
4
������(������0)
=
6，π
54
≤
������0
≤
π，则
2
cos2������0
=
( )
A. 3+2√3
10
B. 3−2√2
10
C. 3+4√3
10
D. 3−4√3
10
6.
设函数
������(������)
=
cos
(2������
+
π)
4
−
sin
(2������
+
24
C. 存在������0 ∈ (0,3π)，使 ������(������0) = −1
D. 存在������ ∈ ������，使得函数 ������ = ������(������ + ������) 在其定义域内为偶函数
13. 给出下列四个命题，其中正确的命题为 ( ) A. 已知 cos������ ⋅ tan������ < 0，那么角 ������ 是第三或第四象限角
4
12. 设函数 ������(������) = 2cos2 (������ + π) + sin (2������ + π)，������ ∈ (0,3π)，则下列判断错误
8
4
的是 ( )
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A. 函数的一条对称轴为 ������ = π
6
B. 函数在区间 [π , 5π] 内单调递增
6
D.
可由函数
������(������)
的图象向右平移
π 3
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2010.11.10 解三角形＋三角恒等变换测试专题
（时间120分钟 分数150分）姓名： 分数：
一、选择题()'6012'5=⨯：
1、若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53
)(sin ,55
2sin 则（ ）
A. 552
B. 255
2
C. 255
255
2或 D. 55
2-
2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B = ，则sin A 的值为（ ）
A B C D 3、在△ABC 中，A 为锐角，2lg sin lg 1
lg lg -==+A c b ，则△ABC 为
（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为（ ）
A 、1
4 B 、1
4- C 、7
8 D 、11
16
5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为（ ）
A 、3π
B 、6π
C 、4π
D 、12π
6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c =（ ）
A 、610
B 、75
C 、55
D 、49
7、=115cos 114cos 113cos 112cos 11cos π
π
π
π
π（ ）
A. 521
B. 421
C. 1
D. 0
8、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
9、在△ABC 中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于( )
A ：1
B
C ：2
D ：4
10、已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-
11. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A =（ ）
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0150
12. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100°
D ．b=c=1, ∠B=45°
二、填空题()'205'4=⨯：
13.在ΔABC 中，若S ΔABC =
4
1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 14.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
15. 在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．
16. 若5
42cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限． 17. 两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距
三、解答题()'70：
18. 已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．
A
B
19. 如图，在钝角ABC △中，已知三条边,,a b c 和三个角,,A B C ，
证明：cos cos a b C c B =+
20. 已知在ABC △中，2
2tan tan A a B b =，判断ABC △的形状。
21. 已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈.
（1）求)(x f 的小正周期和最值；
（2）求这个函数的单调递增区间．
22. 在200m 的高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为030，060，求塔高。