规范滚动训练6

专题三～六规范滚动训练(六)
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．
解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，
所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.
(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，
成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f，
则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，
所以P(A)＝9
15＝
3
5.
2．如图，在三棱锥P-ABC中，△P AC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
(1)现给出三个条件：①PB＝3，②PB⊥BC，③平面P AB⊥平面ABC，试从中任意选取一个作为已知条件，并证明P A⊥平面ABC；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥P-ABC的体积．
解：法一：选取条件①.
(1)在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，
∴BC＝1，AC＝ 2.又P A＝AC，∴P A＝ 2.
在△P AB中，AB＝1，P A＝2，PB＝3，
∴AB2＋P A2＝PB2，∴∠P AB＝90°，
即P A⊥AB，又P A⊥AC，AB∩AC＝A，
∴P A⊥平面ABC.
(2)由(1)可知P A⊥平面ABC.
∴V
三棱锥P-ABC ＝
1
3P A·S△ABC＝
1
3×2×
1
2×1
2＝
2
6.
法二：选取条件②.
(1)∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，
∴BC⊥平面P AB.
又P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A，又P A⊥AC，BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.
(2)由(1)可知P A ⊥平面ABC .
∵AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，∴AC ＝P A ＝ 2.
∴V 三棱锥P -ABC
＝13×12AB ×BC ×P A ＝13×12×1×1×2＝2
6. 法三：选取条件③.
(1)∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AB ，
∴BC ⊥平面P AB .又P A ⊂平面P AB ，∴BC ⊥P A ，又P A ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，∴P A ⊥平面ABC .
(2)由(1)可知P A ⊥平面ABC .
∵AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，∴AC ＝P A ＝ 2.
∴V 三棱锥P -ABC ＝13×12AB ×BC ×P A ＝13×12×1×1×2＝2
6.
3．已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于y 轴的正半轴上，圆C 与x 轴交于A ，B 两点，|AB |＝4，点B 到直线AC 的距离为45
5. (1)求圆C 的标准方程；
(2)若直线y ＝kx －1(k ∈R )与圆C 交于M ，N 两点，OM →·ON →
＝－2(O 为坐标原点)，求k 的值．
解：(1)设圆C ：x 2＋(y －a )2＝r 2(a ＞0，r ＞0)，圆心C (0，a )，依题意不妨设A (－2,0)，B (2,0)，
所以直线AC 的方程为ax －2y ＋2a ＝0，因为点B 到直线AC 的距离为455， 所以|2a ＋2a |a 2
＋4＝455，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1，
所以r ＝|AC |＝5，
所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
又直线y ＝kx －1与圆C 交于M ，N 两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1
x 2＋(y －1)2＝5，
消去y 得(1＋k 2)x 2－4kx －1＝0.
Δ＝(－4k )2＋4(1＋k 2)＝4(5k 2＋1)＞0恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点． 由根与系数的关系知x 1＋x 2＝4k
1＋k 2，x 1x 2＝－1
1＋k 2
， 所以y 1y 2＝(kx 1－1)(kx 2－1)＝k 2x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝－k 21＋k
2
－
4k 21＋k
2
＋1＝
－4k 2＋11＋k
2
，
因为OM →·ON →
＝－2，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝－1
1＋k 2＋－4k 2＋1
1＋k 2＝－4k 2
1＋k 2
＝－2， 解得k ＝±1.
4．已知函数f (x )＝ax ＋b
e x (e 为自然对数的底数)在x ＝－1处的切线方程为e x －y ＋e ＝0.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2＞0. 解：∵f (x )＝ax ＋b
e x ∴
f ′(x )＝a －b －ax
e x .
(1)因为函数f (x )在x ＝－1处的切线方程为e x －y ＋e ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝0f ′(－1)＝e
，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＋b
e －1＝0a －b ＋a
e －1
＝e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
(2)由(1)可知，f ′(x )＝－x
e x .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
不妨设x 1＜x 2，因为f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＜0＜x 2，则－x 1＞0. 记g (x )＝f (－x )－f (x )，即g (x )＝(1－x )e x
－x ＋1
e x ，
所以g ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＋x e x ＝－x e x
＋x e x ＝x (1－e 2x
)e x .
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：
所以g (x 1)＞g (0)＝0， 故f (－x 1)＞f (x 1)． 所以f (－x 1)＞f (x 2)．
因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以－x 1＜x 2，故x 1＋x 2＞0.。