清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)

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首师大附中2005-2006学年度第一学期期末考试高二数学试题

首师大附中2005-2006学年度第一学期期末考试高二数学试题2006.1班级__________ 姓名学号_________参考知识:若12,,,n a a a R +∈ ,则12n n≥,当且仅当12n a a a === 时等号成立.一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合{}419,,0,3x A x x x R B x x R x ⎧⎫=-≥∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭,则A B =( )A.(]3,2--B.(]53,20,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ D.()5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭(2)给出平面区域如图所示,目标函数z ax y =-.若当且仅当24,35x y ==时,目标函数z 取得最小值, 则实数a 的取值是 ( )A.123,510⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.123,510⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.123,510⎛⎤-- ⎥⎝⎦D.123,510⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(3)设P 是双曲线22219x y a -=上一点,双曲线的一条渐近线方程为12320,x y F F -=、分别为双曲线的左、右焦点.若13PF =,则2PF =( )A.1或7B.6C.7D.9(4)一条铁路原有m 个车站,为适应客运的要求需要新增加2个车站,则客运车票增加了26种(注:从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票),那么原有车站有( )A.4个B.5个C.6个D.7个(5)直线53ax by a b +=+恒过点( )A.()5,3B.()5,3--C.(),a bD.(),b a(6)关于x 的不等式ax 的解集是(0,4],则实数a 的取值范围是( )A.0a ≤B.4a <C.0a <D.0a >(7)直线20x -=与曲线()12c o s ,2s i n x R y θθθ=+⎧⎪∈⎨=⎪⎩交于A 、B 两点,则AB =（）A.21(8)已知椭圆22122:1x y C a b+=的一条通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线()22:20C y px p =>的通径重合,则椭圆的离心率为( )1 B.121 二、本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上。

北京市清华大学附属中学2015-2016学年高二下学期期末考试物理试题

高二第二学期期末试卷物理（清华附中高14级）2016．07考生注意．．．．：．选择题答案请使用．．．．．．．．2B ．．铅填涂在答题纸正确位置，其它题目的答案在答题纸上指定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．位置作答。

．．．．．卷Ⅰ一、单项选择（每题3分，共20题、共60分。

） 1．下列反应中属于核聚变反应的是A ．235114489123056360U +n B a +K r+3n→B ．23423409091-1T hP a +e→C ．238234492902U T h +H e→D ．23411120H +H H e +n→2．放射性元素在衰变过程中，有些放出α射线，有些放出β射线，有些在放出α射线或β射线的同时，还以γ射线的形式释放能量。

例如23490T h核的衰变过程可表示为234234090911T h P a +e +γ-→，这个衰变A ．是β衰变，产生的23491P a 核从高能级向低能级跃迁B ．是β衰变，产生的23491P a 核从低能级向高能级跃迁C ．是α衰变，产生的23491P a 核从高能级向低能级跃迁D ．是α衰变，产生的23491P a 核从低能级向高能级跃迁3．如图1所示，用绿光照射光电管，能产生光电效应。

欲使光电子从阴极逸出时的初动能增大，应该 A ．改用红光照射 B ．改用紫光照射C ．增大光电管上的加速电压D ．增大绿光的强度4．在核反应方程41417278H e +N O +X→中，X 代表的粒子是 A ．11H B ．21H C ．01e -D ．10n5．23892U 衰变为22286R n 要经过m 次α变和n 次β衰变，则m ，n 分别为 A ．4，2 B ．2，4 C ．4，6 D ．16，66．爱因斯坦提出的质能方程建立了质量和能量两种物理量之间的联系。

如果E 表示能量，m表示质量，c 表示真空中的光速。

质能方程的正确表达式为 A ．E m c= B ．2Em c= C ．3Em c= D ．4Em c=7．如图2所示，一束复色光由空气斜射到一块平行板玻璃砖的上表面，经折射后分成a 和b 两束单色光，并从玻璃砖的下表面射出。

下学期人大附中高二数学期末试卷试题

2004-2005年下学期人大附中高二数学期末试卷说明：本试卷共三道大题，19道小题，共 6页，满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．一直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么，它与另一条直线的位置关系是（） A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面 D ．平行 2．（理科做）函数f (x)(a =为常数），那么f ' (x )等于（） A ．()3222x a x- - B ．()322212a x -- C．．()322212a x -(文科做)函数f (x )=x 3-2x 2+1，那么f ' (x )等于（）A ．y =3x 2-4xB ．y =3 x 2+4x +1， C ．y =3x 2+4x D ．y =3x 2-4x+1 3．（理科做）函数f (x )在x 0处连续是f (x )在点x 0处有极限的（） A ．既不充分，也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．充要条件(文科做）函数f (x )=x 3-3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（） A.1，-1 B ．1，-17 C ．3，-17 D ．9，-19 4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中棱长为2，O 为底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值等于（） ABC ．45D ．235．函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 其中a 、b 、c ∈R ，当a 2-3b <0时f (x )是（） A ．增函数 B ．减函数C ．常数函数D ．既不是增函数，也不是减函数6．（理科做）设| a |<1，| b |<1，则221lim 1nnn a a a b b b →∞++++++++的值为（）B ．11ba -- A ．()()11ba a ab b ---+C ．()11bb a --D ．()11ba a --（文科做）某校为了了解学生的课外阅读情况，随时间（小时）1550 0.5 1.0 1.5 2 .0机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。

2023-2024学年北京市清华大学附中高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={−1,0,1,2}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，则集合A∩B=( )A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. ⌀2.已知复数z的共轭复数是1+i，则复数z2−i在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a=(3,sinθ)，b=(5,1)，若a//b，则cos2θ=( )A. 725B. −725C. 2425D. −24254.已知双曲线C：x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且|F1F2|=10，若点P在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=( )A. −6B. 6C. 8D. 105.设(2−mx)5=a0+a1x+…+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，则a3=( )A. 80B. 40C. −40D. −806.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.已知直线l：y=k(x+1)与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设max{a,b}表示a与b的最大值.若x，y都是正数，z=max{x+y,1x +4y}，则z的最小值为( )A. 22B. 3C. 8D. 99.将f(x)=cos3x的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位后得到g(x)的图像，当|f(s)−g(t)|=2时，|s−t|min=π4，则φ=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，将其沿对角线AC 折成直二面角.设E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，将△EOF 绕直线EF 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

重庆市清华中学数学高二下期末阶段测试(含答案)

一、选择题1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形2．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=3．设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )A B ．C D ．4．已知3sin 34x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．18-B ．12-C ．18D ．125．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( )A ．0B ．12C ．1D ．27．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （） A ．17-B ．25-C ．15-D ．158．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（） A ．sin(2)4y x π=+B ．sin()24x y π=+C ．cos 2x y =D ．cos 2y x =9．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π10．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．211．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A ．x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π6(k ∈Z )x C ．x =kπ2−π12(k ∈Z ) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z )12．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[)4,5ππ B ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦13．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．33B ．33-C ．539D ．69-14．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭15．设0002012tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___． 17．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b =_________． 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等tan C =__________．19．若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________． 20．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.21．已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．22．已知函数()tan 0y x ωω=>的图像与y m =（m 为常数）的图像相交的相邻两交点间的距离为2π，则=ω__________．23．若将函数sin y x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为________________.24．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，AC b =，试用a 、b 表示AG =________.25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.27．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积.28．已知(2)2a m i j =-⋅+，(1)b i m j =++⋅，其中i j 、分别为x y 、轴正方向单位向量（1）若2m =，求a 与b 的夹角（2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值29．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．A4．C5．A6．C7．C8．D9．A10．B11．C12．A13．C14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力17．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出19．【解析】依题设由∥得解得20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为221．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作OM⊥BC于点M从而22．【解析】由题意得23．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2co sθ2sinθ则x-y=2c三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AB DC=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵AB DC=，∴AB与DC平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形．又0AC BD ⋅=， ∴AC BD ⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD 为菱形．故选A ．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．2．A解析：A 【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．A解析：A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4．C【解析】【分析】分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可【详解】3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22231cos 2cos 212sin 1233348x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦选C 【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键5．A解析：A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.6．C解析：C 【解析】【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础7．C解析：C 【解析】【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.8．D解析：D 【解析】【分析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.9．A解析：A 【解析】【分析】通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10．B解析：B 【解析】【分析】【详解】构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x 2,故|MN|2,故选B11．C解析：C 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π12,k ∈Z ，即平移后的函数的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z )，故选C ．12．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．13．C解析：C 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．14．D解析：D 【解析】【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==，因为:当512x π=时取得最大值2，所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+，所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<，所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题15．A解析：A 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力【解析】【分析】先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅=12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程解方程求得的值进而求得【详解】由于故解得故【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算考查两个向量垂直的坐标表示考查向量的模属于基础题【解析】【分析】利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值，进而求得b . 【详解】()23,32a b t -=--，由于()2a b a -⊥，故()23960a b a t -⋅=+-=，解得2t =，故()221,212b b ==+=，【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量的模，属于基础题.18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出解析：-【解析】由题意1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cosC ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cosC ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 19．【解析】依题设由∥得解得解析：34-. 【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34λ=-.20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：12【解析】由题意得,1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=， 0b c ⋅=,即()()()2111111022b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦，解得t =2；故答案为2.21．【解析】延长AO 与BC 相交于点D 作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB ∥AC 设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC 三点共线∴∴只需最小就能使x+y 最大∴当OD 最小即可过点O 作OM ⊥BC 于点M 从而解析：58【解析】延长AO 与BC 相交于点D ,作OA 1∥DA 2∥AB ,OB 1∥DB ∥AC ，设AD mAB nAC =+ (m >0,n >0)，易知x >0，y >0，则m n AD x y AO==， ∴AD ADAD x AB y AC AO AO=⋅⋅+⋅⋅，又B , D , C 三点共线,∴1AD ADx y AO AO⋅+⋅=， ∴11AO x y OD AD AO+==+，只需ODAO最小，就能使x +y 最大， ∴当OD 最小即可，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，从而OD ⩾OM ，又∠BOM =∠BAC =θ,由4tan 3A =得3cos 5OM OB θ==，∴OM =3，那么153815x y+=+.故答案为58. 22．【解析】由题意得解析：12【解析】由题意得π12π2π2T ω=⇒== 23．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为解析：【解析】32cos cos 2333y sinx x sinx xsin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，将函数的图象向右平移()0ϕϕ> 个单位长度后，得到()2233y sin x sin x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，而sin 3cos y x x =-2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，33ππϕ-=- ，可得23ϕπ=，故答案为23π. 24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关解析：1133a b +. 【解析】【分析】延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出23AG AD =以及中线向量 ()12AD AB AC =+可求出AG 的表达式. 【详解】延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则1122AD a b =+，G 为ABC ∆的重心，因此，221111332233AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故答案为1133a b +. 【点睛】本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)，当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【解析】【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.27．（1）(,1]2-；（2. 【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)123x π-<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值，所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(2-．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin 5B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．28．（1）arccos 10；（2）1m = 【解析】【分析】（1）把2m =代入向量，利用向量的夹角公式计算得到答案. （2）根据()()a b a b +⊥-得到()()(1)(3)(3)(1)0m i m jm i m j -⋅++-⋅+-=，即()()()()13310m m m m --++-=计算得到答案.【详解】（1）当2m =时，(2)222a m i j j a =-⋅+=∴=，310b i j b =+∴= 则()()236a b j i j ⋅==+，6310310cos arccos 1010210a b a bαα⋅===∴=⋅ （2）()()a b a b +⊥-即()()(1)(3)(3)(1)0m i m jm i m j -⋅++-⋅+-=即()()()()13310m m m m --++-= 解得1m = 【点睛】本题考查了向量的夹角和向量的垂直，意在考查学生对于向量知识的灵活运用.29．（1）72（2）34【解析】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA 7. 5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 3sin sin(30)αα=︒-， 3＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数；（3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】（1）()()()()()2112coscos cos cos 333333x x x x f x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112cos cos cos 1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+-∴()cos 3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数.证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+.所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()()()21h x h x h x +=+-∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p =∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时 ()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。

北京市朝阳区2005-2006学年综合练习(二)数学试卷(理科)

北京市朝阳区2005-2006学年综合练习（二）高三数学综合练习(理科) 2006.4第Ⅰ卷 (选择题共40分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式S ＝4πR 2 ，球的体积公式 V = 43πR 3，其中R 表示球的半径.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M 的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2) 设条件p ：|x |= x ；条件q ：x 2+x ≥0，那么p 是q 的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件 (3) 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是（）（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90° (4) 要得到函数y =2sin(2x -3π)的图像，只需将函数y =2sin2x 的图像（）（A ）向左平移3π个单位（B ）向右平移3π个单位（C ）向左平移6π个单位（D ）向右平移6π个单位(5) 将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（）（A ）直线与圆相离（B ）直线与圆相交但不过圆心（C ）直线与圆相切（D ）直线过圆心(6) 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名A B C DA 1B 1C 1D 1E F同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（）（A ）12种（B ）30种（C ）36种（D ）42种(7) 椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22b a c -=. 则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（）（A ）]2,33[２（B ）)1,22[ （C ）)1,33[ （D ）)21,31[ (8) 数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程21(21)0nx n x b -++=的两个根，则数列{}n b 的前n 项和n S = （）（A ）121n + （B ）11n + （C ） 21nn + （D ）1n n +第II 卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) lg8+3lg5的值为 . (10) 已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解是 .(11) 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是，三棱柱的体积是 . (12) 定义运算()() ,.a a b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则对x ∈R ，函数f (x )=1*x 的解析式为f (x )= .(13) 已知222lim2x x cx a x →++=-，则c = ， a = . (14) 一个总体中的100个个体号码为0，1，2，…，99，并依次将其分为10个小组。

高二数学试题

2005~2006学年度第二学期高二年级期末调研考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~8页.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共50分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必在答题卡姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号，并用2B 铅笔涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上.3. 考试结束，将答题卡和第Ⅱ卷一并交回.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若直线a 、b 均和平面α平行，则a 、b 的位置关系为A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上均可能2. 在正方体1111ABC D A B C D -中，异面直线BD 和AD 1所成的角是A ．30B ．45C ．60D ．903. 一个容量为20的样本的频率分布直方图如图所示，则样本在区间[10，50]上的频率为A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.054. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是35，乙解决这个问题的概率是15，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是A ．45B ．325C ．2225D ．1725CADEFBθβα5. 若(2x 3=230123,a a x a x a x +++则(a 0+a 2)2－(a 1+a 3) 2=A ．－1B ．1C ．0D ．26. 已知正三棱锥的高为4，斜高为A ．4B ．2C ．D ．7. 已知直线a 及三个平面,,αβγ,有以下四个命题:① a //α,αβ⊥,则a β⊥; ② αβ⊥,βγ⊥, 则αγ⊥; ③ a ααβ⊥⊥，,则a //β; ④ //,a αβα⊂，则//a β.其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48. 如图，四边形BCEF ，AFED 都是矩形，且平面AFED ⊥平面BCEF ，则下列式子中正确的是A ．cos cos cos αβθ=B ．sin sin cos αβθ=C ．cos cos cos βαθ=D ．sin sin cos βαθ=9. 若三棱锥S －ABC 的顶点S 在底面上的射影H 在△ABC 的内部，且是△ABC 的垂心，则A ．三条侧棱长相等.B ．三个侧面与底面所成的角相等.C ．H 到△ABC 三边的距离相等.D ．点A 在平面SBC 上的射影是△SBC 的垂心.10. 口袋中有分值为10，9，－10，－9的彩球各两个，甲、乙、丙、丁从中各摸一个彩球，若四人的分值之和为0，则这四人的不同得分情况的种数是A.48B.36C.24D.182005~2006学年度第二学期高二年级期末调研考试数学试题第II 卷（非选择题，共100分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用0.5毫米黑色水笔直接答在试卷上.2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.不需写出解答过程，直接填写结果.）11. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出的样本容量为n ,样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = . 12. 从数字1, 2, 3, 4, 5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率为______.13. P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且P A =PB =PC =2，则球的表面积为______.14. 设n ∈N *,则12321C C 6C 6C 6n n n n n n -+⨯+⨯++⨯= ____________ .15. 甲乙丙三位同学展开学习竞赛，每天上课后独立完成6道自我检测题.如果甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，则三人中有且只有1人及格的概率为 _________.16. 已知空间三个平面,,αβγ两两垂直,直线l 与平面,αβ所成的角分别是30°、45°，则直线l 与平面γ所成角的余弦值是_________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分) 已知1n +展开式的二项式系数之和比2(2)na b +展开式的二项式系数之和小240. 求：（1）1n+展开式的第三项；（2）2(2)n a b +展开式的中间项.A A1B1C1B C18. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA,AA1AB.求AB1与侧面AC1所成的角.19. (本小题满分14分)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（1）求甲射击4次，至少1次击中目标的概率.（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率.（3）设某人连续2次未击中目标，则停止射击. 问乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为多少？PABCDFE20. (本小题满分15分)点P 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，AB // CD ，BA ⊥AD ，CD =2AB ， P A ⊥平面ABCD ，F 为PB 的中点，E 为PC 上的动点. （1）若AF //平面EBD ，求PE EC的值.（2）求当PE EC 的值为多少时，平面EBD ⊥平面ABCD .21. (本小题满分15分)如图1，在矩形ABCD中，AB=, AD=1. 现将ABD∆沿BD折起（如图2），使点A在平面BCD内的射影落在DC上.E F G、、分别为棱BD、AD、AB的中点.(1)问：DA能否垂直平面ABC，并说明理由.(2)求点C到平面ABD的距离；(3)求二面角G F C E--的大小.ACDFGBC（图1）（图2）E。

清华附中高二第二学期期末数学试题(理).doc

高二第二学期期末试卷数学（理科）（清华附中高04级） 20XX.7.4.一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片里任取2张，这2张卡片的数字恰好是相邻数字的概率等于（）A ．25 B ．15 C ．310 D ．7102．将锐角0QMN=60,4∠=边长的菱形MNPQ 沿对角线NQ 折成60°的二面角，则MP与NQ 间的距离等于（）A ． B. C D 33．若半径为R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为 ( )A ．4327πB ．2327πC ．33πD ．36π4．正四棱锥相邻两侧面所成的二面角一定是（） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．均有可能5．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（） A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.6．在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（） A ．至多只有一个直角三角形 B ．至多只能有两个直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．一定都不是直角三角形 7．在平行六面体1111ABCD-A B C D 中，1AB=AD=AA a =,且011BAD=BAA DAA 60∠∠=∠=，则对角线1AC = ( )A. B. 2a C.8．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能是右图中的（）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．一个单位有职工160人，其中有业务员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人，为了了解职工的身体健康状况，要从中抽取一定容量的样本，现用分层抽样的方法得到业务员的人数为15人，那么这个样本的容量为 .10．若经过正三棱锥各侧棱中点的截面面积为2，则棱锥的底边长为 . 11．设地球的半径为R ，在北纬045圈上有A 、B 两地，它们的经度差090，则A 、B 两地间的球面距离为 .12．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高为AD ，沿AD 将三角形折成直二面角，则此时点A 到BC 的距离是 . 13．在二面角α－l －β的一个面α内有一点P ，点P 到棱l 的距离为到面β的距离的2倍，则二面角α－l －β的大小是 .14．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的均匀硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为ξ，E =ξ .三、解答题：（本大题共4小题，共36分） 15(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人都做错的概率是14，（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率;（2）求独立做对这道题的人数ξ的概率分布与数学期望.16.（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，点M 在边BC 上，1AMC ∆是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：11A B AC M 平面; （2）求点C 到平面1MAC 的距离.17．(本题满分10分)已知矩形ABCD 中，AD=1. 将△ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 内的射影落在DC 上，E 、F 、G 分别为棱BD 、AD 、AB 的中点．（1）求证：DA ⊥平面ABC ；（2）求二面角G-FC-E 的大小.A B CD AB CD EF G18. (本题满分10分)如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PDAD ，设点E 是棱PB 上的动点（不含端点），过点A ，D ，E 的平面交棱PC 于F. （1）求证：BC//EF;（2）试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，并说明理由.F EDCBAP附加题：（满分50分）一、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1．已知ABC ∆中，0AB=9AC=15BAC=120∠，，，ABC ∆所在平面α外有一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面α的距离是 .2.设A 、B 、C 、D 是半径为 2的球面上的四个不同点，且满足0=∙，,0=∙0=∙AB AD ，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是________.3．设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为R2π，B 与C 的球面距离为2R3π，则球O 在二面角B-OA-C 内的那一部分的体积是 .4.单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 .二、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．（1）11:EB D B CD ⊥证明平面平面;（2）设H 为截面1DEB 内一点，求H 到正方体表面11BCC B 、DCC 1D 1、ABCD 的距离之平方和的最小值.A CA 12．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面1DC ,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小3．如图，斜三棱柱ABC —111A B C ，已知侧面11BB C C 与底面ABC 垂直，090BCA ∠=，01B BC=60∠，1BC=BB 2=，若二面角1A-B B C -为030．（1）求直线1AB 与平面11BB C C 所成角的正切值；（2）在平面11AA B B 内找一点P ，使三棱锥1P-BB C 为正三棱锥，并求点P 到平面1BB C 的距离．CAA 1B B 1C 1。

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清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9． 20 ；10. 8cm ；11.3Rπ；12 13. 30︒或150︒；14. 2三、解答题：(本大题共4小题，共36分)15(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人都做错的概率是14， (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率; (2)求独立做对这道题的人数ξ的概率分布与数学期望.解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A 、B 、C ，21)(=A P依题得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⋅=⋅⋅31)(41)(41)(31)(41)(241)(C P B P C P B P C B A P C B A P 或甲、乙、丙三人中恰好有一人做对这道题的概率为:2411413221433121433221)()()(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C B A P C B A P C B A Pξ的可能取值为：0，1，2，3：41)0(==ξP ; 2411)1(==ξP ;41412411411)2(=---==ξP ; 241)3(==ξP ; ξ的概率分布1213241341224111410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξEA BCD A BC D EFG 16.(本题满分8分)如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，点M 在边BC 上，1AMC ∆是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：11A B AC M 平面; (2)求点C 到平面1MAC 的距离.解：(1)∵△1AMC 为以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，∴ M C AM 1⊥且M C AM 1=．∵ 正三棱柱111C B A ABC -， ∴ ⊥1CC 底面ABC ．∴ M C 1在底面内的射影为CM ，AM ⊥CM ．∵底面ABC 为边长为a 的正三角形，∴ 点M 为BC 边的中点．连结1A C 交1AC 于点O ，在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11A ACC 为平行四边形，因此点O 是1A C 的中点，∴1//OE A B ，1OE AC M ⊂平面，11A B AC M ⊄平面，∴11A B AC M 平面(2)知AM ⊥M C 1且AM ⊥CM ，，∴ AM ⊥平面CM C 1, 过点C 作CH ⊥1MC 于H ，∵CH 在平面CM C 1内， ∴CH ⊥AM ，又M AM MC = 1，有CH ⊥平面AM C 1，即CH 为点C 到平面AMC 1的距离a CM AM23==，a CM 21=且BC CC ⊥1． ∴ 点C 到平面1AMC 的距离为底面边长为a 66． 17．(本题满分10分)已知矩形ABCD 中，，AD=1. 将△ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 内的射影落在DC 上，E 、F 、G 分别为棱BD 、AD 、AB 的中点．(1)求证：DA ⊥平面ABC ； (2)求二面角G-FC-E 的大小. 方法1：(1)证明：依条件可知DA ⊥AB. ∵点A 在平面BCD 上的射影落在DC 上，DC 是DA 在平面BCD上的射影，又依条件可知BC ⊥DC ，∴BC ⊥DA.∵AB∩BC=B ，∴由得DA ⊥平面ABC. (2)解：由(1)结论可知DA ⊥平面ABC ，∵AC 、CG ⊂平面ABC ，∴DA ⊥AC ， DA ⊥CG ．由DA ⊥平面ABC 得△ADC 为直角三角形，易求出AC=1．于是△ABC 中AC=BC=1．∵G 是等腰△ABC 底边AB 的中点，∴CG ⊥AB. ∵AB∩DA=A ，∴CG ⊥平面ABD ．a a a CC 224143221=-=a aaa M C CM C C CH 6623212211=⨯=⨯=D ∵CG ⊂平面FGC ，∴平面ABD ⊥平面FGC ．在平面ABD 内作EH ⊥FG ，垂足为H ， ∴EH ⊥平面FGC.作HK ⊥FC ，垂足为K ，连结EK ，故EK ⊥FC. ∴∠EKH 为二面角E-FC-G 的平面角.设Rt △ABD 边BD 上的高为h ，容易求出h ∴在△EFC 中，容易求出FE=，EC=，FC=.∴FC 2=FE 2+EC 2，∴∠FEC=90°于是在Rt △FEC 中容易求出sin ∠EKH=EHEK于是二面角E-FC-G的大小为方法2：(1)证明：同方法一(2)∵点A 在平面BCD 上的射影落在DC 上 ∴,ADC BDC ⊥平面平面如图，以CB 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，过点C ，平面BDC 方向向上的法向量为Z 轴建立空间直角坐标系. 则C(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，-2由(1)得△ADC 为直角三角形，易求出AC=1 ，因此A(0，-22，22) E(21，-22，0)，F(0，-4，4)，G(21，-4，4). ∵EC =(-21，22，0)，EF =(-21，-4，4)，设平面FEC 的一个法向量为),,(1z y x n =由110EC n EF n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ 取1y = 得 1(2,1,3)n = .又GC =(-21， 4，-4)，GF = (-21，-22，0)，同理可求出平面FGC 的一个法向量为2(1,3)n =∴ 122cos ,,3n n 〈〉== ∴于是二面角E-FC-G 的大小为arccos32. 18. (本题满分10分)如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AD ，设点E 是棱PB 上的动点(不含端点)，过点A ，D ，E 的平面交棱PC 于F.(1)求证：BC//EF;(2)试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，并说明理由.F EDCBAP 解：(Ⅰ)∵BC//AD ，∴BC//平面ADFE又∵平面ADFE∩平面PBC ＝EF ∴BC//FE(2)假设棱PB 上存在点E ，在正方形ABCD 中DC AD ⊥，∵PD ⊥平面ABCD ∴PD AD ⊥，又∵PD DC D =，∴,AD PDC ⊥平面 ∴PC ⊥AD ，要使PC ⊥平面ADFE ，只要PC ⊥DF 即可，不妨设AD ＝1，则PDCD ＝1，PC ＝2，21,2DC CF PC == ∴13CF FP =∵BC//EF ，∴当13BE EP =时，PC ⊥平面ADFE 附加题：(满分50分 )一、选择题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)1. 72. 83.943R π 4.22+二、解答题(本大题共3个小题，每小题10分，共30分)1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点． (1)11:EB D B CD ⊥证明平面平面;(2)设H 为截面1DEB 内一点，求H 到正方体表面11BCC B 、DCC 1D 1、ABCD 的距离之平方和的最小值.解法一：(1)取1B C 的中点F ，1B D 的中点G ，连结,,BF EG GF ．CD ⊥平面11,BCC B DC BF ∴⊥．又11,,BF B C DCB C C BF ⊥=∴⊥平面1B CD ．11//,//,//22GF CD BE CD BE GF ∴，∴四边形BFGE 是平行四边形，//.BF GE ∴EG ∴⊥平面1B CD ．又EG ⊂平面1EB D ，∴平面1EB D ⊥平面1B CD ． (2)点H 到正方体表面11BCC B 、DCC 1D 1、ABCD 的垂线所确定的与正方体的表面平行的平面与正方体表面11BCC B 、DCC 1D 1、ABCD 围成一个长方体，H 到正方体表面11BCC B 、A CA1B'HPDCBAA1CADCC 1D 1、ABCD 的距离之平方和等于2CH ，当1CH DEB ⊥平面时，CH 取最小值；∵11111,DEB DCB DEB DCB DB ⊥⋂=平面平面且平面平面∴作1,CH DB ⊥则1,CHDEB ⊥平面∵1,DC aBC DB ===∴22211,DC CB DB +=∴1,DC CB ⊥11DC CB CH DB ⨯===222,3CH a = ∴H 到正方体表面11BCC B 、DCC 1D 1、ABCD 的距离之平方和的最小值为22.3a 2．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB∥CD ，AB=21DC ，DC =,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.解：延长CB 交DA 于B ／，连接PB ／，设BC=a ，∵AB=21DC ， ∴BB ／=BP=a ，取B ／P 的中点H ，连接AH ，BH ，则BH ⊥B ／P ，由三垂线定理知，AH ⊥B ／P ，∴∠AHB 为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角. 在Rt △AHB 中，AB=,3,23sin ,,23π=∠=∠∴=AHB AHB a AH a ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为3π. 3．如图，斜三棱柱ABC —111A B C ，已知侧面11BB C C 与底面ABC 垂直，090BCA ∠=，01B BC=60∠，1BC=BB 2=，若二面角1A-B B C -为030．(1)求直线1AB 与平面11BB C C 所成角的正切值； (2)在平面11AA B B 内找一点P ，使三棱锥1P-BB C 为正三棱锥，并求点P 到平面1BB C 的距离。

解：(1)∵面C C BB 11⊥面ABC,交线为BC ， AC ⊥BC ，∴AC ⊥面C C BB 11 连C B 1，∴∠A CB 1就是1AB 与平面C C BB 11所成的角，取1BB 中点E ，连CE ，AE ，在△1CBB 中，1BB =BC=2，0160B BC∠=，∴△1CBB 是正三角形，∴CE ⊥1,BB 又AC ⊥平面11BB C C ，∴AE ⊥1BB ，∴∠CEA 为二面角A-1BB -C 的平面角，030,CEA ∠= 在Rt △CEA 中，130tan =︒⋅=CE AC ∴在Rt △AB1C 中，21tan 11==∠CB AC C AB(2)在CE 上取点1P ，使1120CP PE =，则1P P 为△1BB C 的重心即中心,作1P P ∥AC 交AE于P,∵AC ⊥平面C C BB 11，∴PP1⊥面C C BB 11，即P 在平面B1C1C 上的射影是△BCB1中心,∴P-1BB C 为正三棱锥，且311=AC PP ， 311=PP ,即P 到平面1BB C 的距离为31.。