复合函数问题
复合函数问题
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：设函数f x()的定义域为D，即x D∈，所以f的作用范围为D，又f对g x()作用，作用范围不变，所以D∈，E(，解得x Eg∈x)为[]f g x()的定义域。
例1、⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：解：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。
⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例2．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。
实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。
通过解不等式求得的范围，即为的定义域。
②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。
实际上是已知直接变量的取值范围，即。
先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。
函数的基本性质与复合函数问题解析
函数的基本性质与复合函数问题解析函数是数学中的重要概念，在数学和应用领域中广泛应用。
了解函数的基本性质以及如何解析复合函数问题对深入理解数学的应用至关重要。
本文将从函数的定义、性质以及复合函数问题解析三个方面进行讨论。
首先，我们需要理解函数的基本定义。
函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
通常，我们用f(x)表示函数，其中x是输入变量，而f(x)是输出变量。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域是所有可能的输出值的集合。
其次，函数具有一些基本性质。
首先是单值性，即函数的每个输入只能对应一个输出。
其次是定义域和值域的关系，定义域内的每一个元素都有对应的输出值。
再次是奇偶性，根据函数的图像是否对称于y轴可以确定函数是奇函数还是偶函数。
最后是周期性，即函数图像在某一区间内重复出现。
对于复合函数问题，我们需要理解如何解析和求解。
复合函数是由多个函数组合而成的新函数。
当两个函数相互关联时，我们可以通过复合函数的方式来表示这种关系。
例如，如果有函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。
在求解复合函数时，我们将内部函数的输出作为外部函数的输入。
解析复合函数问题有几种常用的方法。
第一种方法是通过代数计算。
在这种方法中，我们将内部函数的输出代入外部函数中，进行代数运算，最终得到复合函数的解析式。
第二种方法是通过图像进行分析。
我们可以绘制内部函数和外部函数的图像，然后将内部函数的图像代入外部函数的图像，观察得到的复合函数的图像。
在解析复合函数问题时，还需要注意一些常见的问题。
首先是复合函数的定义域问题。
当两个函数复合时，我们需要确保内部函数的输出在外部函数的定义域内。
如果不在定义域内，那么复合函数在这些点上是没有定义的。
其次是复合函数的性质问题。
我们可以利用函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等，来分析复合函数的特点。
最后是复合函数的求导问题。
复合函数问题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：题型一、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数)(x f 的定义域为（0，1），则函数)1(+x f 的定义域为__________。
解：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且题型二、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_____。
复合函数的相关问题
Ｅ［ ０ ， ＋。 。 ） 与ｆ （ ｕ ）＝ ［ 一（ ３ ａ ＋１ ） ］＝
一
面， 在函数 ＝ （ ） 中， “是函数的函数值 ；
另 一方面 ， 在 函数 Ｙ： 厂 （ ） 中， 是函数 的 自
变量 ． 只有将 两方面 都考虑 到 ， 才 能得 到 的
一
（ ３ ａ ＋１ ） ｕ的单调性相 同 ． 若 ０＜ ０＜１ ，
ｇ （ ）＞ ０ ， 且 Ⅱ４ 一２ 一３ ＞ ０ ， 解 得 ＞
一 ＋
ｌ ｏ Ｂ３ ， 即函数 ｆ ［ ｇ （ ） ］的 定 义 域 为 （ １ ｏ Ｂ３ ，
＋ ∞） ．
８ ］ 上 的 值 域 为 ［ 寻 ， ５ ７ ］ ， 即 所 求
（ ２ ） 因为 函数 厂 （ 一１ ） 定义域为（ ３ ， ４ ］ ， 最 口厂 （ 一１ ） 中的 Ｅ （ ３ ， ４ ］ ＝ 一１ Ｅ（ ２ ， ３ ］ ， 即 函数 厂 （ ）的定 义 域 为 （ ２ ， ３ ］ ． 欲使 ｆ （ Ｊ ） 有意 义 ， 则￣ ／ ∈（ ２ ， ３ ］ Ｅ（ ４ ， ９ ］ ， 即 函数
例２ （ １ ） 函数 ｙ＝（ ） 一（ ） ＋１ 在
∈［ 一３ ， ２ ］ 上 的值域为
；
— —
射， 输入值是 ， 输出值是 厂 ［ （ ） ］ ， 因此其 自
变量是 ． 为
—
（ ２ ） 函数 ｙ＝ｌ ｏ Ｂ（ 一 ＋ ２ ｘ ＋３ ） 的值域
．
—
例１ （ １ ） 已知 函数 厂 （ ）：ｌ ｇ ｘ ， ｇ （ ）＝
则 ＝口 Ｅ （ Ｏ ， １ ］ 且递减 ， 故 函数 厂 （ ）＝ “
正确取值 范 围 ．
３ 单调性 问题
复合函数复习题
复合函数复习题复合函数复习题复合函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些复合函数的复习题来帮助读者巩固和加深对复合函数的理解。
题目一：设函数f(x)=2x+3，g(x)=x^2-1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=2(g(x))+3=2(x^2-1)+3=2x^2-2+3=2x^2+1。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=(f(x))^2-1=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+9-1=4x^2+12x+8。
题目二：设函数f(x)=sin(x)，g(x)=cos(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=sin(g(x))=sin(cos(x))。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=cos(f(x))=cos(sin(x))。
题目三：设函数f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=e^(g(x))=e^(ln(x))=x。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=ln(f(x))=ln(e^x)=x。
通过以上的题目，我们可以看出，复合函数的计算方法就是将内层函数的结果代入外层函数中。
在计算过程中，需要注意函数的定义域和值域，以避免出现无定义或者不符合实际的结果。
除了上述的题目，还可以通过一些实际问题来深入理解复合函数的概念。
例如，假设有一个汽车在以恒定的速度行驶，速度为v，时间为t，我们可以定义一个函数f(t)=vt来表示汽车行驶的距离。
现在假设汽车的速度是随时间变化的，速度函数是g(t)=2t+3，我们可以求出复合函数f(g(t))来表示汽车行驶的距离与时间的关系。
零点问题复合函数练习题
一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。
2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。
3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。
4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。
二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。
7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。
8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。
10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。
三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。
12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。
13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。
14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。
15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。
四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。
17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。
18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。
复合函数应用题
复合函数应用题在复合函数应用题中，我们需要考虑如何有效地运用函数的复合性质来解决问题。
复合函数是指一个函数的输入值是另一个函数的输出值，通过组合这两个函数可以得到一个新的函数。
在实际问题中，我们经常会遇到需要使用复合函数的情况，下面将通过几个例子来说明如何应用复合函数解决实际问题。
例题一：某人每个月工资为1000元，每个月的花销为其工资的30%，每年的收入为工资-花销。
求该人一年能存下多少钱？解：我们可以将该问题建立成一个复合函数的问题。
设x为月工资，则花销函数为f(x)=0.3x，收入为g(x)=x-f(x)。
将这两个函数进行复合得到h(x)=g(f(x))=(1-0.3)x=0.7x。
因此，该人一年能存下的钱为0.7*1000*12=8400元。
例题二：某商品原价为200元，商家打7折促销，顾客拿到一张优惠券再减20元，求顾客最终需要支付的金额。
解：同样，我们可以构建一个复合函数来解决这个问题。
设原价为x元，则折扣价为f(x)=0.7x，优惠券减价为g(x)=x-20。
最终顾客需要支付的金额为h(x)=g(f(x))=0.7x-20。
代入x=200，得到顾客最终需要支付的金额为0.7*200-20=140元。
通过以上例题，我们可以看出复合函数在实际问题中的应用是十分灵活多样的。
只要我们能够准确地建立函数之间的关系，并灵活运用复合函数的性质，就能够轻松解决各种复杂的应用题。
复合函数不仅可以帮助我们简化问题，还可以提高问题的解决效率，是数学中一个非常重要且有用的概念。
希望通过这些实例，大家能够更好地掌握复合函数的应用技巧，提升解题能力。
复合函数的相关问题解读
复合函数的相关问题下面就将复合函数的相关问题归类总结，供参考。
一、定义对于函数y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A ，如果x ∈A 时u=g(x)的值域C 与函数y=f(u)的定义域B 的交集非空，即C ∩B ≠φ，那么就说y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。
比如，20)y u u x ≥=-与(x ∈R)的复合函数是0)y x ==。
∵u=－x 2≤0与u ≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u ≥0，也不是x ∈R ，而是x=0。
也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。
由定义知道2(0)1()y u u u x x R =≥=--∈与就不能复合成f(g(x))。
二、复合函数的定义域由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f 制约g(x)的值域，从而制约x 的取值范围，法则g 制约x 的取值范围。
因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。
见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。
例 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。
）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1，∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。
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2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b=+=++=++复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二 复合函数解析式1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ．3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ． 解 x xf x f =-)1(2)( ①显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=．6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ．再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ．7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--= ，，， 将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f ， +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2． 三 复合函数定义域问题 (1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得，E 为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ） 例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x 应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，即的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为四、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(u f y = 增 ↗减 ↘)(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y =增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(lo g )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-xa >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2。