2018年高考数学文科考点过关习题第三章三角函数解三角形与平面向量26和答案
2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三
考点测试20 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 答案 B解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.故选B.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32.3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 答案 A解析 由题图可知，函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4答案 A解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)内单调递增 答案 C解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡ －4π3＋4k π，⎦⎥⎤2π3＋4k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 ±2解析 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.二、高考小题9．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D解析 该函数的周期为π，将其图象向右平移π4个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.10．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度答案 A解析 根据“左加右减”的原则可知，把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．故选A.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 答案 A解析 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT＝2.由x＝π3时，y ＝2，可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.12．已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵x ∈(π，2π)，ω>0，∴ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，∵f (x )在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况： ①⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π，2ωπ－π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋14，k ＋58，k ∈Z ，当k ＝0时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58；②⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π＋π，2ωπ－π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋54，k ＋98，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，18，又ω>0，∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18.综上，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58，故选D.13．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D解析 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D.15．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2sin xB ．f (x )＝2sin xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 答案 A解析 由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ＝－2sin x ·cos x ，故f (x )的表达式可以是f (x )＝－2sin x ，故选A.16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为(2k π－2π3，0)(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.17．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 答案 B解析 ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴f π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2.18． 如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，⎭⎪⎫|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833 D ．4 3答案 C解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4.f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，选C.19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－A ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6.∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，－π上为减函数，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．一、高考大题1．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12 k ∈Z(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得，0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.二、模拟大题4．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．5．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)写出φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡ －12，⎦⎥⎤13上的最大值和最小值．解 (1)因为32＝cos(0＋φ)，0<φ<π2，所以φ＝π6， 因为32＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，可得x 0＝53.(2)由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3，所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.6．已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y＝g (x )的单调递减区间．解 (1)∵a·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， ∴f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x ) ＝cos(2x －φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3. (2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，于是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴g (x )的单调递减区间为2k π≤2x －2π3≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 7．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋(23sin ωx －cos ωx )cos ωx －λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，使f (x 0)＝0，求λ的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin2ωx －cos2ωx －λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－λ. 因为f (x )的图象关于直线x ＝π对称， 则2ωπ－π6＝k π＋π2，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则k ＝1，ω＝56.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝6π5. (2)令f (x )＝0，则λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.由0≤x ≤3π5得－π6≤53x －π6≤5π6，则－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1.据题意，方程λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5内有解，所以λ的取值范围是．。
2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 27 Word版含答案
考点测试平面向量的数量积及应用一、基础小题．已知向量＝(－，－)，＝()，∈，若⊥，则的值为( )．－．．－．答案解析由⊥，得·＝，即－－＝，则＝－.故选.．在△中，∠＝°，＝，则·等于 ( )．－．－．．答案解析因为＝，故·＝＝＝，故选.．已知向量＝()，＝(，－)，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )．－<<．<．<．<且≠－答案解析由·＝－<，得<.当与共线时，＝，则＝－.故的取值范围为<且≠－.选.．已知＝，＝且·＝，则在方向上的投影为( )．．．．答案解析向量在方向上的投影为〈，〉＝＝，故选.．已知△为等边三角形，＝.设点，满足＝λ，＝(－λ)，λ∈.若·＝－，则λ等于( )．．．．答案解析以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则()，(，)，由＝λ，得(λ，)，由＝(－λ)，得(－λ，(－λ))，所以·＝(－λ－，(－λ))·(λ－，－)＝－(λ＋)(λ－)－×(－λ)＝－，解得λ＝.．已知向量，夹角为°，且＝，－＝，则＝.答案解析由题意得(－)＝＋－·＝＋－××°＝，即－－＝，解得＝.．已知＝＝，(＋)·(－)＝－，则向量与的夹角为．答案解析由＝＝，(＋)·(－)＝－，得·＝，〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝.．在平行四边形中，∠＝，边，的长分别为.若，分别是边，上的点，且满足＝，则·的取值范围是．答案解析如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则()，，，设(，(－))，，由条件可得＝，代入坐标化简得＋＝，得＝－，所以·＝(，(－))·＝＋(－)＝－＋－，∈.由二次函数的图象可知＝－＋－在∈上是减函数，所以·的取值范围是．。
2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 25 含答案 精品
考点测试25 平面向量的概念及线性运算一、基础小题1．关于平面向量，下列说法正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案 C解析对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确．故选C.2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a ＋(－b)．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 ①②③④⑤正确．3．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案 D解析 如m ∥0，0∥k ，但k 与m 可能共线也可能不共线，故选D. 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案 A解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 A解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析 因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是平行四边形．7．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA →＝13AB →＋23BC →B ．OA →＝23AB →＋13BC →C ．OA →＝13AB →－23BC →D ．OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →，故选D.8．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →＝( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a答案 B解析 PR →＝OR →－OP →＝(OR →＋OQ →)－(OP →＋OQ →)＝2OB →－2OA →＝2(b －a )，故选B.9．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①④答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故AB →与CD →也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．故选A.10.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D解析 连接CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .11．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34答案 C解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.12．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫OM →＋2OC →＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM→＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．二、高考小题13．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.14．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于 ( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 15．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC → D ．12BC → 答案 A解析 如图， EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.16．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.17．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题18．已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p·b ＝12，则|p |＝( )A ．2B ． 2C ．1D ．12答案 C解析 设a ，b 的夹角为θ，θ∈，则a·b ＝cos θ＝－12，θ＝2π3，建立平面直角坐标系，使得a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设p ＝(x ，y )，则由p·a ＝p·b ＝12可得x ＝－12x ＋32y ＝12，解得x ＝12，y ＝32，则|p |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 19. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FB →＝( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →答案 A解析 在正六边形ABCDEF 中，CD ∥AF ，CD ＝AF ，所以BA →＋CD →＋FB →＝BA →＋AF →＋FB →＝BA →＋AB→＝0，故选A.20．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.21．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 答案 A解析 BC →＝AC →－AB →＝b －c ，BD →＝23BC →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .22. 如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．13OA →－43OB →B ．13OA →＋43OB →C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →答案 C解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.23．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C. 解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.24．已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABDS △ACD ＝( )A ．23 B ．32 C ．6 D ．16答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 25．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形 答案 A解析 如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c .26．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ，n 对应的值为( )A ．27，47B ．12，14 C ．16，27 D ．16，37答案 A解析 根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ， ∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.27．在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF →＝2FB →，连接CE ，DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A ．14B ．38C ．34D ．43答案 B解析 ∵E ，M ，C 三点共线，∴设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →，则AM →＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →.同理D ，M ，F 三点共线，∴设AM →＝yAF →＋(1－y )AD →， 则AM →＝yAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →.∴λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38.28．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D 、P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A ．34B ．32C ． 3D ．2 3答案 A解析 取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB →＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD 、AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD的面积为12×12×3＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1． 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，OD ∶DB ＝2∶1，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，∴DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)∵EC →∥DC →，EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45. 2．如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM→时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三
考点测试19 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析 因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的奇函数答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函数f (x )是周期为2π的奇函数．3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 B解析 由题意知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6.6．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2答案 C解析 若f (x )是R 上的奇函数，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0.∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 8．函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5，故选B.10．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.11．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析 函数f (x )＝2x －4sin x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函数的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函数f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( ) A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析 因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数．16．函数f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A.332 B. 3 C ．－233 D.33答案 C解析 若x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函数f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233.18．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________． 答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.二、模拟大题3．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且 f (－x )＝6cos4－x ＋5sin2－x －4－2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2x －2x －2cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴f (x )的最小正周期为2π. (2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4＝2－1.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0， ∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .6．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
2018年高考数学(理二轮复习讲学案考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲平面向量(含答案解析)
第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1C ．1 D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152 D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( )A.14B.38C.32D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B＝ABsin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1C.3－22D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0，OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1， 所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2.(2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。
[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量25平面向量的概念及线性运算
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[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量25平面向量的概念及线性运算D解析 如m ∥0，0∥k ，但k 与m 可能共线也可能不共线，故选D.4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA → 答案 A解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( ) A ．12B ．13C ．14D ．16答案 A解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A. 6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析 因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是平行四边形．7．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则下列结论正确的是( )A．OA→＝13AB→＋23BC→B．OA→＝23AB→＋13BC→C．OA→＝13AB→－23BC→D．OA→＝－23AB→－13BC→答案 D解析∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA→＝－23×12(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋AC→)＝－1 3(AB→＋AB→＋BC→)＝－13(2AB→＋BC→)＝－23AB→－13BC→，故选D.8．A、B、O是平面内不共线的三个定点，且OA→＝a，OB→＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR→＝( ) A．a－b B．2(b－a)C．2(a－b) D．b－a答案 B解析PR→＝OR→－OP→＝(OR→＋OQ→)－(OP→＋OQ→)＝2OB→－2OA→＝2(b－a)，故选B.9．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a ＝b；③向量AB→与BA→相等；④若非零向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线．则所有正确命题的序号是( )A．①B．③C．①③D．①④答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故AB→与CD→也可能平行，即A，B，C，D四点不一定共线，故④错误．故选A.10.如图，已知AB是圆O的直径，点C、D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝( )A．a－12b B．12a－bC．a＋12b D．12a＋b答案 D解析连接CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12 a.11．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34答案 C解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.12．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点答案 B解析设AB的中点为M，则12OA→＋12OB→＝OM→，∴OP→＝13⎝⎛⎭⎪⎫OM→＋2OC→＝13OM→＋23OC→，即3OP→＝OM→＋2OC→，也就是MP→＝2PC→，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )A．AD→＝－13AB→＋43AC→B．AD→＝13AB→－43AC→C．AD→＝43AB→＋13AC→D．AD→＝43AB→－13AC→答案 A解析AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AB→＋43 BC→＝AB→＋43(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.故选A.14．[2014·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于( )A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→答案 D解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选D.15．[2014·全国卷Ⅰ]设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( )A．AD→B．12 AD→C．BC→D．12 BC→答案 A解析如图，EB→＋FC→＝－12(BA→＋BC→)－12(CB→＋CA→)＝－12(BA→＋CA→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.16．[2015·安徽高考]△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC→答案 D解析∵AB→＝2a，AC→＝2a＋b，∴a＝12AB→，b＝AC→－AB→＝BC→，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝12AB→·BC→＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2AB→＋BC→＝AB→＋AC→，故(4a＋b)·BC→＝(AB→＋AC→)·BC→＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC→，故选D.17．[2015·北京高考]在△ABC中，点M，N满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题18．[2016·山西监测]已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p·b＝12，则|p |＝( ) A ．2B ． 2C ．1D ．12答案 C解析 设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则a·b ＝cos θ＝－12，θ＝2π3，建立平面直角坐标系，使得a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设p ＝(x ，y )，则由p·a ＝p·b ＝12可得x ＝－12x ＋32y＝12，解得x ＝12，y ＝32，则|p |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C.19. [2017·河北张家口月考]如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FB →＝( )A ．0B ．BE →C．AD→D．CF→答案 A解析在正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD ＝AF，所以BA→＋CD→＋FB→＝BA→＋AF→＋FB→＝BA→＋AB→＝0，故选A.20．[2016·山东师大附中模拟]已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是( )A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部答案 C解析由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC上，选C.21．[2016·陕西咸阳模拟]在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝( )A．23b＋13c B．53c－23bC．23b－13c D．13b＋23c答案 A解析BC→＝AC→－AB→＝b－c，BD→＝23BC→＝23(b－c)，∴AD→＝AB→＋BD→＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.22. [2016·四川广元模拟]如图，已知AP→＝43AB→，用OA→，OB→表示OP→，则OP→等于( )A．13OA→－43OB→B．13OA→＋43OB→C．－13OA→＋43OB→D．－13OA→－43OB→答案 C解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋43AB→＝OA→＋43(OB→－OA→)＝－13OA→＋43OB→，选C.23．[2016·河南中原名校联考]如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝( )A．23AB→－13AD→B．13AB→－23AD→C．－23AB→＋13AD→D．－13AB→＋23AD→答案 C解析解法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC→＝GD→＝AD→－AG→＝AD→－12AB→，∴AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎫AD→－12AB→＝23AB→＋23AD→，于是BF→＝AF→－AB→＝12AE→－AB→＝12⎝⎛⎭⎪⎫23AB→＋23AD→－AB→＝－23AB→＋13AD→，故选C. 解法二：BF→＝BA→＋AF→＝BA→＋12AE→＝－AB→＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋12AB→＋CE→＝－AB→＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋12AB→＋13CB→＝－AB→＋12AD→＋14AB→＋16(CD→＋DA→＋AB→)＝－23AB→＋13AD→.24．[2016·安徽十校联考]已知A、B、C三点不共线，且AD→＝－13AB→＋2AC→，则S△ABDS△ACD＝( )A．23B．32C．6 D．1 6答案 C解析如图，取AM→＝－13AB→，AN→＝2AC→，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，此时AD→＝－13AB→＋2AC→.由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝12S△AND，而S△AMD＝S△AND，∴S△ABDS△ACD＝6，故选C.25．[2017·大连模拟]在△ABC中，P是BC 边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cAC→＋aPA→＋bPB→＝0，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析如图，由cAC→＋aPA→＋bPB→＝0，知c(PC→－PA→)＋aPA→－bPC→＝(a－c)PA→＋(c－b)PC→＝0，而PA→与PC→为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c.26．[2016·湖南四地一模]如图，在△ABC 中，设AB→＝a，AC→＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP→＝ma＋nb，则m，n对应的值为( )A ．27，47B ．12，14C ．16，27D ．16，37答案 A解析 根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB → ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－1a ＋n 2b －b ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ， ∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b . ∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.27．[2016·天津模拟]在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF →＝2FB →，连接CE ，DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A ．14B ．38C ．34D ．43答案 B解析 ∵E ，M ，C 三点共线，∴设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →，则AM →＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →.同理D ，M ，F三点共线，∴设AM →＝yAF →＋(1－y )AD →，则AM →＝yAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →. ∴λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38.28．[2017·安徽马鞍山质检]已知△ABC 是边长为4的正三角形，D 、P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A ．34B ．32C ． 3D ．2 3答案 A解析 取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB →＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD 、AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF＝12，所以△APD的面积为12×12×3＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·山东莱芜模拟] 如图，已知△OCB 中，B、C关于点A对称，OD∶DB＝2∶1，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→、DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝2 3OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，∴DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)∵EC→∥DC→，EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.2．[2017·河南安阳周测]如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
2018届高考一轮复习文科数学考点通关课件+练习第三章 三角函数、解三角形与平面向量22
考点测试22 简单的三角恒等变换一、基础小题1．已知tan α＝2，则sin2αcos 2α的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝4，故选C. 2．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( ) A.63 B ．－63 C.33 D ．－33 答案 B解析 ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋132＝－63.3.sin (180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 答案 D解析 原式＝(－sin2α)·cos 2α(1＋cos2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.4．cos20°cos40°cos80°的值为( ) A.12 B.14 C.18 D.116 答案 C解析 cos20°·cos40°·cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 5．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( ) A ．－1 B ．－2 C.12 D ．2 答案 D解析 依题意得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，所以2sin αcos α＝1，从而tan α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝22sin αcos α＝2，因此选D.6．若tan20°＋m sin20°＝3，则m 的值为________． 答案 4解析 由于tan20°＋m sin20°＝3， 所以m ＝3－tan20°sin20°＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos20°－12sin20°12sin40°＝4sin (60°－20°)sin40°＝4.7．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝________.答案 －12解析 解法一：由题意知，sin α＝－35，所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12. 解法二：tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1＋45－35＝－3，所以1＋tan α21－tan α2＝－12. 8．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a <c <b解析 a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°， b ＝2sin13°cos13°1＋sin 213°cos 213°＝2sin13°cos13°＝sin26°， c ＝1－(1－2sin 225°)2＝sin25°，由于sin α在(0°，90°)上单调递增，故a ，b ，c 的大小关系为a <c <b .二、高考小题9．[2015·重庆高考]若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17，故选A.10．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1. 11．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －43解析 解法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35，∴sin θ＋cos θ＝325， ① ∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，② 由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35， 又2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ， ∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4，k ∈Z ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.12．[2014·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 由三角恒等变换公式得 f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋2φ)－2sin φ(cos x cos φ－sin x sin φ) ＝sin(x ＋2φ)－cos x sin2φ－sin x cos2φ＋sin x ＝sin(x ＋2φ)－sin(x ＋2φ)＋sin x ＝sin x ，故函数f (x )的最大值为1. 三、模拟小题13．[2016·沈阳三模]已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13 答案 C解析 解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.14．[2016·烟台模拟]已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.6365 答案 C解析 ∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513 ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.15．[2017·济南模拟]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝( )A ．－518 B.518 C ．－79 D.79 答案 D解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，得32sin α＋12cos α－cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－29＝79. 16．[2017·西安模拟]sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 答案 C解析 解法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos2αcos π3－sin 2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12. 解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.17．[2017·衡水调研]已知sin α－sin β＝63，cos α－cos β＝33，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α－β2＝________.答案 32解析 由题意得sin α－sin β＝63 ①，cos α－cos β＝33 ②， ①2＋②2得，2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，即cos(α－β)＝12，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1＋cos (α－β)2＝34， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα－β2＝32. 18．[2016·湖北随州质检]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.一、高考大题1．[2014·江苏高考]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.2．[2014·广东高考]已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ. 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3.(2)由f (θ)－f (－θ)＝3，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，即3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3， 化简整理得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.二、模拟大题3．[2016·广东六校联考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3.解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 4．[2017·黄山月考]设sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin(α－β)，cos2α，tan β2的值．解 ∵sin α＝－35，sin β＝1213， 且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫－352＝－45， cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－35×⎝⎛⎭⎪⎫－513－⎝⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725，tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32.5．[2017·咸阳质检]已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围． 解 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36.(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围是[－2,1]．6．[2017·南昌调研]已知函数f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34. (1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，0<θ<π2，求tan θ的值； (2)求f (x )的最小正周期及函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2的单调增区间． 解 f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos x ＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＋34 ＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34cos2x －34＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，所以12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6－π3＝310， 即12cos θ＝310，所以cos θ＝35.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45， 从而tan θ＝sin θcos θ＝43.(2)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.又g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 令2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2，得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z ，故g (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．。
2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 19 Word版含答案
考点测试三角函数的图象和性质
一、基础小题
．已知()＝，()＝，则()的图象( )
．与()的图象相同
．与()的图象关于轴对称
．向左平移个单位，得到()的图象
．向右平移个单位，得到()的图象
答案解析因为()＝＝＝，所以()向右平移个单位，可得到()的图象，故选.
．函数()＝－是( )
．周期为π的偶函数．周期为π的偶函数
．周期为π的奇函数．周期为π的奇函数
答案
解析()＝－＝－，所以函数()是周期为π的奇函数．
．函数＝＋－的值域为( )
．
答案
解析(数形结合法)＝＋－，令＝，则有＝＋－，∈，画出函数图象如图所示，从图象
可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－可得∈.
．已知函数()＝＋的图象关于直线＝对称，则实数的值为( )
．－．－
答案
解析由题意知()＝，解得＝－.故选.
．函数＝(∈)的单调递增区间是( )
答案
解析因为＝＝－，所以函数＝的单调递增区间就是函数＝的单调递减区间．由＋π≤
－≤＋π(∈)，解得＋π≤≤＋π(∈)，即函数＝的单调递增区间为(\\((π)＋π，))(∈)，又∈，所以＝－，故函数＝(∈)的单调递增区间为.
．使函数()＝(＋φ)为上的奇函数的φ的值可以是( )
．π
答案解析若()是上的奇函数，则必须满足()＝，即φ＝.∴φ＝π(∈)，故选.
．已知函数()＝，其中∈，若()的值域是，则的取值范围是( )
答案
解析若－≤≤，则－≤＋≤＋.因为当＋＝－或＋＝时，＝－，当＋＝时，＝，所以要
使()的值域是，则有≤＋≤，即≤≤π，即的取值范围是.故选.
．函数＝＋的定义域为．。
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考点测试26 平面向量基本定理及坐标表示一、基础小题1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－4，m)，若a＝－12b，则m＝( )A．－2 B．2C．－12D．12答案 A解析由向量的坐标运算可得1＝－12m，解得m＝－2.2．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(5,7)，e2＝(1，－2)C．e1＝(3,4)，e2＝(6,8)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－34答案 B解析 A 、C 、D 三个选项中两向量均共线，由平面向量基本定理知，基底不能共线，故选B.3．若向量BA →＝(1，－3)，CA →＝(3，－8)，则2BC →＝( ) A ．(－4,10) B ．(－2,5) C ．(4,5) D ．(8,10)答案 A解析 BC →＝BA →＋AC →＝(1，－3)＋(－3,8)＝(－2,5)， 故2BC →＝(－4,10)．4．已知点A (1，－2)，若向量AB →与向量a ＝(2,3)同向，且|AB →|＝13，则点B 的坐标为( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)答案 C解析 设AB →＝(x ，y )，则AB →＝k a (k >0)，即⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝3k ，由|AB →|＝13得k ＝1，故OB →＝OA →＋AB →＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C.5．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 答案 B解析 由2a ＝(2,2)及2a ＋b ＝(4,3)，得b ＝(2,1)．由b ∥c ，得x ＋4＝0，得x ＝－4.6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当A 、B 、C 三点共线时，实数k 的值为( )A ．3B ．11C ．－2D ．－2或11答案 D解析 因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →，所以(4－k )(k －5)－6³(－7)＝0，解得k ＝－2或11.7．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 D解析 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.8．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎨⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.9．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B ．17C ．－16D ．16答案 A解析 由条件得，λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，因两者垂直，所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.10．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 B解析 解法一：设M (x ，y )，A i ＝(x i ，y i )(i ＝1,2,3,4)，则MA i →＝(x i －x ，y i－y )，由∑i ＝14MA i →＝0，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4－4x ＝0，y 1＋y 2＋y 3＋y 4－4y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14 x 1＋x 2＋x 3＋x 4，y ＝14y 1＋y 2＋y 3＋y 4，故点M 只有1个．解法二：取特殊值，令A 1(0,0)，A 2(0,1)，A 3(1,1)，A 4(1,0)，则满足MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0的条件的点有且仅有1个，即正方形A 1A 2A 3A 4的中心．11．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则向量a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．答案 (0,2)解析 ∵向量a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，∴a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎨⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，故向量a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．12．已知O 为坐标原点，B ，D 分别是单位圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点，点P 为劣弧BD 上一点，若OB →＋OD →＝xDB →＋yOP →，∠BOP ＝π3，则x ＋y ＝________.答案3解析 如图，∵DB →＝OB →－OD →，∴OB →＋OD →＝x (OB →－OD →)＋yOP →.∴yOP →＝(1－x )OB →＋(1＋x )OD →①.∵∠BOP ＝π3，∴OP →＝12OB →＋32OD →，∴yOP →＝y 2OB →＋3y 2OD → ②，由①②得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝y2，1＋x ＝3y 2，解得x ＝2－3，y ＝23－2，∴x ＋y ＝ 3.二、高考小题13．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 答案 A解析 根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.14．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析 由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A 中，e 1＝0²e 2，B 中，e 1，e 2为两个不共线向量，C 中，e 2＝2e 1，D 中，e 2＝－e 1.故选B.15．已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A ．434B ．494C ．37＋634D ．37＋2334答案 B解析 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，C (23，0)，B (3，3)．设P (x ，y )，∵|AP →|＝1， ∴x 2＋y 2＝1， ∵PM →＝MC →， ∴M 为PC 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232，y 2，∴|B M →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋232－32＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2－32＝x 24＋y 24－3y ＋9＝14－3y ＋9＝374－3y ， 又∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1时，|BM →|2取得最大值，且最大值为494. 16．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径． 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)． 设B (cos α，sin α), ∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴PA →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|PA →＋PB →＋PC →|＝ cos α－6 2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3³2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.17．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以m 3＝4－2，解得m ＝－6.18．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)，(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案 －3解析 由a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，可得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m＋n ，m －2n )，由已知可得⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，从而m －n ＝－3. 三、模拟小题19．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2答案 B解析 ∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，∴它们不能作为一组基底．20．已知点A (6,2)，B (1,14)，则与AB →共线的单位向量为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，513B ．⎝⎛⎭⎪⎫513，－1213 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫513，－1213D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213答案 C解析 ∵A (6,2)，B (1,14)，∴AB →＝(－5,12)，|AB →|＝13，则与AB →共线的单位向量为±AB →|AB →|＝±113(－5,12)＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 21．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b答案 A解析 由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a＋13b ，故选A. 22．已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)²(BD →－AD →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 (BC →－CA →)²(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)²BA →＝0，所以BC →²BA →＝CA →²BA →，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．23．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3B ．－13C ．13D ．3答案 A解析 由题意得AD →＝23BC →，∴CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝－BC →＋BA →＋23BC →＝BA →－13BC →，∵CD →＝mBA →＋nBC →，∴m ＝1，n ＝－13，故mn＝－3.24．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →²AF →＝( )A ．89B ．109C ．259D ．269答案 B解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →²AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →²AF →＝23³13＋23³43＝109.25. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．0<x ＋y <1B ．x ＋y >1C ．x ＋y <－1D ．－1<x ＋y <0 答案 C解析 ∵A ，D ，B 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，设OC →＝μOD →(μ<－1)，∴OC →＝μλOA →＋μ(1－λ)OB →，∴⎩⎨⎧μλ＝x ，μ 1－λ ＝y ，∴x μ＋yμ＝1，∴x ＋y ＝μ<－1，故选C.26．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x＋2y的最小值是( )A ．24B ．8C ．83D ．53答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ³13(2x ＋3y )＝13( 6＋9y x ＋4x y ＋6 )≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29yx ²4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.27．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案23解析 D 、A 、B 三点共线， ∴λ＋13＝1，λ＝23.28．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)． 由OC →＝λOA →＋μOB →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎨⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由？解 OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ) (1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎨⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)不能．理由：PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不能成为平行四边形．2． 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ²n 的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，则|OC →＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos x ，sin x )， m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m ²n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1，所以m ²n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。