《二次根式》第二课时参考课件
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《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学
探究新知 素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
例1 计算:
（1）3 2 2 3
（2） 12 3 - 5
（4） 13 3
13 - 3
（5）
12 -
1 3
3
（3）
2
5 1
（6） 8 18
2
解：(1)原式= 3 2 2 3 6 6
(2)原式= 12 3-5 36 - 5 =6-5=1
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二 次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘 （ a b k a b k（a 0,b 0,k 0) ）
巩固练习
变式训练
1.计算
12
1 2
的结果是 ( C )
A. 10 B.4
C. 6 D.2
2.下面计算结果正确的是( B )
33 5
=___5___
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
（1） 3 5 ;
（2） 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算？
2 3 5
八年级数学课件二次根式(第二课时)
练习：（2）如果 (x 3)2 x - 3, 则x的取值范围是__x__3___.
例、12 n是正整数，求自然数n
解：由题意，得
12-n=1,2,3.
∴n=11,10,9.
练习、24n是正整数，求整数n的
最小值。 解：由题意，得
24n=144 ∴n=6.
a 2和 a2
1:从运算顺序来看,
二次根式(2)
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质: 双重非负性：
a a0
a 0
( 4)2 4 ( 0)2 0
( 0.01)2 0.01 (
2 a a (a≥0)
1 )2 9
1 9
例1、计算
(1)( 1.5 )2 (2)(2 5 )2
解： (1)原式 1.5
（1）原式= ( 5)2
2
（2）原式= ( 2 )2
（3）原式= ( a )2
（4）原式= ( 1 )2 2
例3、在实数范围内分解因式。
(1)x2 2 (2)x2 2 5x 5
（1）解：原式 x2 ( 2)2 (x 2)( x 2)
（2）解：原式 x2 2 5 ( 5)2 (x 2)2
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2
解：∵a、b、c是⊿ABC的三边 ∴a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0
∴原式= a b c a b c b a c c b a
(a b c) (a b c) (b a c)
练习：已知x y 13 4 x 5 y 0,
求实数x、y的值。
练习：已知x y 13 4 x 5 y 0,
例、12 n是正整数，求自然数n
解：由题意，得
12-n=1,2,3.
∴n=11,10,9.
练习、24n是正整数，求整数n的
最小值。 解：由题意，得
24n=144 ∴n=6.
a 2和 a2
1:从运算顺序来看,
二次根式(2)
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质: 双重非负性：
a a0
a 0
( 4)2 4 ( 0)2 0
( 0.01)2 0.01 (
2 a a (a≥0)
1 )2 9
1 9
例1、计算
(1)( 1.5 )2 (2)(2 5 )2
解： (1)原式 1.5
（1）原式= ( 5)2
2
（2）原式= ( 2 )2
（3）原式= ( a )2
（4）原式= ( 1 )2 2
例3、在实数范围内分解因式。
(1)x2 2 (2)x2 2 5x 5
（1）解：原式 x2 ( 2)2 (x 2)( x 2)
（2）解：原式 x2 2 5 ( 5)2 (x 2)2
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2
解：∵a、b、c是⊿ABC的三边 ∴a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0
∴原式= a b c a b c b a c c b a
(a b c) (a b c) (b a c)
练习：已知x y 13 4 x 5 y 0,
求实数x、y的值。
练习：已知x y 13 4 x 5 y 0,
人教版八年级数学下册16.1二次根式第二课时优质课件.ppt
0.12 ＝_0_._1_;
2 2 3
2
＝__3__;
02 ＝__0__.
三、研学教材
知识点二 算术平方根 a2 的意义
探究 填空：
22 ＝__2__;
0.12 ＝_0_._1_;
2 3
2
2
＝__3__;
02 ＝__0__.
一般地， a2＝__a__;( a _0__)
三、研学教材
例3 化简：
分别写成一个非负数的平方的形式：
例 3=（ 3）2
练一练
0.7=（ 0.7 ）2
1 3
=（
1 3
）2
四、归纳小结 1、 a （a 0）是一个__正__数___数.
2、( a )2 ＝__a_（a 0），a2 ＝__a_（a 0 ）
3、 a 2 与 ( a )2 的区别是:
__a_2_指__的_是 __a_2的 __算__术__平_方 __根__，
(1) 16
(2) (5)2
解：(1) 16 ＝ (4)2 =4
(2) (5)2 ＝ (5)2 ＝5
三、研学教
（1） 0.32 ＝_0_._3_;
（2）
1 7
2
＝
__7__;
1
（3） ( )2 ＝ ____;（4） 102 ＝ _1_0__;
三、研学教材
2、化简：
（1) 9 = 3
（2) (4)2 = 4
（3）72 7
（4） 3 2 3
⑸ 5 2 = 5
3
3
三、研学教材
归纳 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、
乘方和开方）把___数____或_表__示__数__的__字_母__
《二次根式》参考课件2
a
2
2
先平方, a 先平方,后开方 a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
( a)
2
3.从运算结果来看: 3.从运算结果来看: 从运算结果来看
( a ) =a
a
2
=∣ a ∣ =
(a≥ a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
s 2 形如 形如5，a , a + b, ab, , x , 3 , a (a≥ 0) t 的式子， 本运算符号（ 的式子，它们都是用基 本运算符号（基本 运算包括加、减、乘、 除、乘方和开方） 乘方和开方） 运算包括加、 接起来的式子， 把数和表示数的字母连 接起来的式子， 我们称这样的式子为 代数式 . 我们称这样的式子为
(1) x − 1 x ≥1 (2) − 3 x x ≤ 0
(3) 4 x
2
x为 体 数( 4 ) 全 实
1 x
1 x2
x >0
(5) x
3
x ≥0
(6)
x ≠0
1.若 1.若
3 =0， a −2 + 2b−7 =0，则 a +2b =_____。 =_____。
2.已知a.b为实数， 2.已知a.b为实数，且满足 已知a.b为实数
a ≥0
双重非负性) ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算 也可表示运算的结果 既可表示开方运算,也可表示运算的结果 既可表示开方运算 也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗? 下列各式是二次根式吗
(4) - m (m≤0), b (6) b a +1 ,
2
(1) 32 , (2) 6, (3) b (5) (7)
2
2
先平方, a 先平方,后开方 a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
( a)
2
3.从运算结果来看: 3.从运算结果来看: 从运算结果来看
( a ) =a
a
2
=∣ a ∣ =
(a≥ a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
s 2 形如 形如5，a , a + b, ab, , x , 3 , a (a≥ 0) t 的式子， 本运算符号（ 的式子，它们都是用基 本运算符号（基本 运算包括加、减、乘、 除、乘方和开方） 乘方和开方） 运算包括加、 接起来的式子， 把数和表示数的字母连 接起来的式子， 我们称这样的式子为 代数式 . 我们称这样的式子为
(1) x − 1 x ≥1 (2) − 3 x x ≤ 0
(3) 4 x
2
x为 体 数( 4 ) 全 实
1 x
1 x2
x >0
(5) x
3
x ≥0
(6)
x ≠0
1.若 1.若
3 =0， a −2 + 2b−7 =0，则 a +2b =_____。 =_____。
2.已知a.b为实数， 2.已知a.b为实数，且满足 已知a.b为实数
a ≥0
双重非负性) ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算 也可表示运算的结果 既可表示开方运算,也可表示运算的结果 既可表示开方运算 也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗? 下列各式是二次根式吗
(4) - m (m≤0), b (6) b a +1 ,
2
(1) 32 , (2) 6, (3) b (5) (7)
人教版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第2课时 二次根式的混合运算
典例精析
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其 中有一段路基的横断面设计为上底宽 4 2 m，下底 宽6 2 m，高 6 m 的梯形，这段路基长 500 m，那 么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积 =路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
4 2m
6m
6 2m
利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2；
完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
前面我们已经知
道二次根式运算
类比整式运算， 所以适用
解：∵3 10 4，
∴ a 3，b 10 3 .
∴ a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
6 10 10.
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
B.( 12－ 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
(1) （3 2 3） 27+ 6 3 ； (2)（2023 3）0 + 3 12 - 6 . 2
解：(1) 原式 6 3 3 3 3 6
3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3
32.
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注 意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.计算：（ 2+ 3）2 24 5 .
3. 设 a
15.1 二次根式 - 第2课时课件(共17张PPT)
例题解析
例2 化简：
思考：
在例2中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：（1）化简前，被开方数是怎样的数？（2）化简后，被开方数是怎样的数？它们还含有能开得尽方的因数吗？
知识点2 最简二次根式
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
复习巩固
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
新知探究
知识点1 二次根式的性质
探究一：
6
6
35
35
你有什么发现？
探究二：
你有什么发现？
二次根式的性质
归纳总结
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即
定义
二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
随堂练习
B
B
3.下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简.
拓展提升
A
B
归纳小结
二次根式的性质
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即
最简二次根式需能开得尽方的因数或因式.
15.1 二次根式第2课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.能利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.3.理解最简二次根式的概念，并能将不是最简二次根式化为最简二次根式.
学习重难点
掌握二次根式的性质.
难点
重点
熟练将二次根式化为最简二次根式.
例2 化简：
思考：
在例2中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：（1）化简前，被开方数是怎样的数？（2）化简后，被开方数是怎样的数？它们还含有能开得尽方的因数吗？
知识点2 最简二次根式
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
复习巩固
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
新知探究
知识点1 二次根式的性质
探究一：
6
6
35
35
你有什么发现？
探究二：
你有什么发现？
二次根式的性质
归纳总结
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即
定义
二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
随堂练习
B
B
3.下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简.
拓展提升
A
B
归纳小结
二次根式的性质
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即
最简二次根式需能开得尽方的因数或因式.
15.1 二次根式第2课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.能利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.3.理解最简二次根式的概念，并能将不是最简二次根式化为最简二次根式.
学习重难点
掌握二次根式的性质.
难点
重点
熟练将二次根式化为最简二次根式.
人教版数学八年级下册二次根式的乘除(第2课时)教学课件
a a (a 0,b 0). bb
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
初二数学《二次根式》教学课件第二课时
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x2 ＞
0. ∴当 X是任何实数时，1 x2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤值时,下列二次根式有意义?
yx
1.若 (1 x)2 1 x ,则x的取值范围为
((AA) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ） A．x 2 B． x C． x2 2 D． x2 2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
3.已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
4.．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+
( 2010 2011)2
解原式 2 1 3 2 4 3 ... 2011 2010 2011 1
解 x 3 0且3 x 0, x 3且x 3,只有x 3, y 2 y 3x 2 9 3
6.已知 xy 0 ，化简： x2 y
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x2 ＞
0. ∴当 X是任何实数时，1 x2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤值时,下列二次根式有意义?
yx
1.若 (1 x)2 1 x ,则x的取值范围为
((AA) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ） A．x 2 B． x C． x2 2 D． x2 2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
3.已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
4.．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+
( 2010 2011)2
解原式 2 1 3 2 4 3 ... 2011 2010 2011 1
解 x 3 0且3 x 0, x 3且x 3,只有x 3, y 2 y 3x 2 9 3
6.已知 xy 0 ，化简： x2 y
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活动四：代数式
回顾我们学过 的式子，如 5, a, a+b, ab,
减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
s 3 , x , a a 0, 它们都是用基本的运算符号（加、 t
小结
二次根式的性质
（1） a
a , ( a 0)
2
a ( a >0 ) （2） a 2 a 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
（2）原式=
2 2 2 2 2
22 2 2 2 2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1
( -1<x<3 )
解：原式 =
（x-3） +
2
（x+1）
2
= |x-3| + |x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
(a叫被开方数)
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. a≥0, a ≥0
4.既可表示开方运算,也可表示 运算的结果.
活动二：性质一
例2 计算：
a a ( a o)
2
1 1.5
2
; 5 2 2
1 解： 1.5 1.5
2
2
22
5 2 5 4 5 20
2
2 2 2
2
2
这里用到了ab a b 这个结论
练一练：计算
（1） (
1 2
)2 （2）（2 3 )2
=(
1 2
解：（1）Βιβλιοθήκη ( 1 )2 2)2=
1 2
你是怎样 理解的
（2） ( 2 3 )2=22 × ( 3 )2=4×3=12
补充例题：在实数范围内因式分解：4m2-7
逆用性质即 a
a
2
解： 4m2-7= (2m)2- ( 7 )2 =(2m+ 7)(2m- 7 ) 练习：在实数范围内因式分解 （1）a2-5 （2）16b2 –17
活动三：性质二
填空：
2 _______; 0 _____
2 2
0.1 _____;
2
2
(1) 16 4 4
(2)方法1： 5 5 5
2
方法2： 5 5 5
2
补充例题 计算：
(1) ( 10 ) 2 ( 15 ) 2
( 2)
[
2
( 2) 2 ]
22
2
（3）
3 2 2 4 2 ( ) | | 5 3 5 3
解（1）原式 10 15 10 15 5
21.1 二次根式(2)
活动一：回顾
⑴平方根的定义
如果 x 2 a ,则
x 叫做 a 的平方根。 的 a
平方根用± a(a 0) 表示，即 x a
x 2 a 中得到 把 x a 代人
a
2
a
这是二次根 式的一个重 要性质哟！
(2)二次的定义
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
2
2 _____; 3
2
a ? ....... a 0
2
a0 0时，a
2
a a
2
一般地,二次根式有下面的性质:
a (a 0), a 2 | a | 0 (a 0), a (a 0).
例3 化简：
1 16 2 2 5