《工程力学》第 11 章 压杆的稳定性
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第11章压杆稳定
材料力学
第29页/共63页
二、折减因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
[s ]——强度许用应力 j —— 折减因数 j 1
稳定条件
与柔度有关
s FP j[s ] 工作应力不大于
A
稳定许用应力
注 不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。 意
强度 条件
sr
[s ]
s0
n
相当应力不大 于许用应力
极限应力
s0
s
{
s
sb
塑性材料 脆性材料
极限应力和安全因数只与材料有关，与实 际应力状态无关，即强度许用应力为常数。
材料力学
第27页/共63页
稳定 条件
s
F A
[s
w
]
s0
nst
s cr
nst
工作应力不大于稳定许用应力。
极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅 与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束 条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压 杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。
z
ml
iz
1 940 14.43
65.1
第36页/共63页
F A
z
材料力学
l1 z
B l1
y Fx
z
h
b
F x
x-z 面内，两端固定
绕y轴发生失稳
m = 0.5
iy
b 23
20 23
5.77 mm
y
ml
iy
0.5 880 5.77
76.3
工程力学压杆稳定
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
工程力学 第十一章 压杆稳定
2
123 kN
200
z
y
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
z
200
中性轴为z轴：
Iz 200 120 12
3
y
28 . 8 10 mm 28 . 8 10 m
6 4
6
4
120
木柱两端固定，，则得：
Plj
2 EI
l
z
2
第二节
2 EI
l
2
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
Plj
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
2 EI min Plj 2 (l)
式中： Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩； μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
C
64
;
a
B
1;
l
i
1 1000 7
142 . 9 p 123 ;
大柔度杆；
A
lj
2E
2
2 200000
142 . 9
2
96 . 7 MPa
N CB a N BA P B
Plj lj A 96 .7 615 .75 59 .6 kN N BA ;
lj
nw
— 极限应力法
[ w ] — 折减系数法
n
Plj P
[ n w ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
第11章压杆的稳定性
荷载
Fcr＝π(
2 EI z 2l )2
x
o
y
式中Iz是杆在Fcr作用下微弯时横截面对于中性轴z的 惯性矩。
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压杆的稳定性
13
若截面是下面这种形式，则
x
δ
Fcr
z
l
v
y
x
o
y
Fcr＝π(22El )I2y
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压杆的稳定性
14
例题 11-1 下图为一下端固定、上端铰支、
显然，当方程成立时应有
w xl d
11
x
δ
Fcr
l
w
x
o
y
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压杆的稳定性
12
即 d =d ( 1-cos kl )
得 cos kl = 0
x
δ
Fcr
要满足上面的方程，则
kl =p/2, 3p/2, 5p/2, ······
l
w
取其最小值 kl =p/2，代入 k
的表达式，得该压杆的临界
根据上图所示偏心距e为不同
值时的F –d 图线可以推想：
若将实际压杆看作初始偏
心距e为零的理想中心压杆，
则其F－d关系应如下图(a)、
(b)所示。 当F＜Fu时杆的直线状态的
平衡是稳定的（不可能弯曲）；
F x Fcr l
O
y
(a) 理想中心压杆
F AB
Fu
O
δ
(b) F－d 关系
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约束情况，有
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压杆的稳定性
16
例题 11-1 M ( x) Fcrw FS (l x) ——— (1)
第11章 压杆稳定
y — 挠曲线方程，y'— 转角方程， 3) dM ( x ) EIy " M ( x )，EIy "' FQ dx
4)代入位移与静力边界条件，求出压杆稳定的特征方 程，得到Fcr。
§11-2
2．例题
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-1 一端固定、另一端自由的细长压杆如图所示，试导出其临界力的 欧拉公式。 x F 解：1)边界条件 B d M A Fd 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d 失 EI EI 稳 x l：y d，y" M ( l ) 0 模 EI l 式 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 如 0 1 0 1 0 C 1 图 y k 0 1 0 0 C 2 A 2 2 C 0 k 0 0 k 3 0 MA=Fd F coskl l 1 1 C 4 sinkl 2 2 k sinkl k coskl 0 0 0 d
两端铰支
一端固定，另一端自由
m =1
m =2
m =0.7 m =0.5
一端固定，另一端铰支
两端固定
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-4 图示钢架ABCD的A端为固定铰支，B、C点为滑动铰支，CD部分 上端受压力F，求该结构的稳定特征方程及临界力。 F D l A l C l x
d
y
2 9 200 10 p 100 6 20010
4)用柔度表示的临界压力 2 F EA
cr
2
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
二、中、小柔度杆的临界应力
第十一章 压杆稳定
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k
2
,
则有
d2y dx2
k
2
y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0; 得c2 0;c1 sin kl 0;
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能 力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳 定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然 变弯直至弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压 力，称作临界压力或临界荷载。
§11-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不 同。也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4；
μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
A4
l
i
11000 7
142.9
p
123;
大柔度杆；
lj
2E 2
Hale Waihona Puke 2 200000 142 .9296.7MPa
Plj lj A 96.7 615 .75 59.6kN NBA;
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax： Y 0, NBA sin Pmax 0; Pmax NBA sin 59.6
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x
δ
Fcr
v
x y
n =d ( 1-cos kx )
n
d
当x=l时，有
xl
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压杆的稳定性
12
即 d =d ( 1-cos kl ) 得 cos kl = 0 要满足上面的方程，则 kl =p/2, 3p/2, 5p/2, ·· ·· ··
l
x
δ Fcr
v
取其最小值 kl =p/2，代入 k 的表达式，得该压杆的临界 2 荷载 π EI
压杆的稳定性
17
例题 11-1
n′= A kcos kx - B ksin kx - FS/Fcr ——— (4)
由边界条件 x=0, n ‘ = 0
得
A FS kF cr
——— (5)
再由 x=0, n = 0
得
B FS l F cr
——— (6)
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18
例题 11-1
s cr s s [1 a ( l / l c ) ]
2
抛物线
0.57ss
s
cr
π E
2
l
2
双曲线
lp lc l
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压杆的稳定性
35
几个概念： (1) 细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求 临界应力的压杆。
F A B
Fu
O δ
(b) F－d关系
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压杆的稳定性
7
当F = Fu 时杆的直线状态的 F 平衡是不稳定的，如果稍受干扰 A B 杆便将在任意微弯状态下保持平 Fu O 衡。 δ 由上述分析可见，F达到Fu， (b) F-d关系 杆便会失去原有直线状态平衡的稳 定性——失稳。 把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到 不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载Fcr（能保 持微弯状态的荷载值）。 对于细长压杆： Fcr=Fu
B
B
l
A Fcr A Me y
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压杆的稳定性
25
思考题11-1参考答案：
M ( x ) F crn M
δ
e
x Me Fcr
e
挠曲线近似微分方程
E I z v M ( x ) F c rn + M
''
B
最后得
kl = p
Fcr π EI y l
2 2
挠曲线方程
n d
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压杆的稳定性
5
x δ
e F
l v x y
取第一种计算图式，则得弯矩方 程为： M(x)=F(d +e-n) 代入挠曲线近似微分方程，利用 边界条件得到：
d e (sec
F / EI z l 1 )
F e3
如图所示。
e2
e1
Fu δ
e1＞e2＞e3
由上式知，无论初始偏心 距e的大小如何变化，当 F→p2EIz /(2l)2 时d 迅速增长， 从而有极限荷载。
π E
2
l
2
——— (3)
式中l =ml/i，为压杆的柔度，亦称长细比。 将式(3)代入(1)式，则有
s cr
π E (ml / i )
2 2
2
π E
2
l
2
sp
或改写为
l
π E sp
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压杆的稳定性
31
l
π E sp
2
上式表明，如果压杆的柔度l大于或等于只与材料 性质有关的一个量
Fcr
例题 11-1
x
A
l
B
y
工程力学电子教案
压杆的稳定性
15
例题 11-1
Fcr
x Fs A Fcr
A l B
l-x
v
c
Q Me
x y
B
Fcr
解： 在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的 约束情况，有
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压杆的稳定性
16
例题 11-1
M ( x ) F cr v F S ( l x )
Fcr A D C E B
M ( x ) F cr n
分段列挠曲线近似微分方程，最后求 解得到
Fcr 1.68π EI y l
2 2
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28
§11-3 欧拉公式的适用范围· 临界应力总图
应注意： 求压杆临界荷载的欧拉公式Fcr= p2EI /( ml )2只 适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。
F cr EI
z 2
n
F cr EI
z
d
令
F cr EI
z
k
, 则有
2 2 n + k n k d
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压杆的稳定性
11
得挠曲线方程
n= A sin kx + B cos kx + d
由边界条件
x=0, n = 0 x=0, n′ = 0 得 则 A=0 ，B= －d
l
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压杆的稳定性
23
思考题 11-1 如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等 截面中心受压直杆，其长度为 l，横截面对z轴的惯 性矩为I。推导其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压 杆的挠曲线方程。
Fcr
B l A
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24
思考题11-1参考答案：
x Fcr δ
Me Fcr
压杆是在压缩与弯曲组合变形的 状态下工作的。
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压杆的稳定性
3
x δ
F
y F
杆横截面上的弯矩与杆的 挠度有关，所以即使在线弹性 范围内工作，挠度也不与荷载 成线性关系，挠度的增长要比 荷载增长来得快。 细长压杆 始终在线弹性范 围内工作，当F= Fu时，它便因 挠度迅速增长而丧失继续承受 荷载的能力。
2
——— (12)
相应地由(7)式得挠曲线微分方程
n
FS l [ 1 sin kx cos kx + ( 1 x / l )]
F cr 4 . 49
—— (13)
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压杆的稳定性
20
几种理想支端约束条件下的细长压杆
Fcr
Fcr
x
Fcr
Fcr
A l B l
A
A l
l B v
B
π EI ( m l ) A
2 2 2
π E (ml ) ( I / A )
2
——— (2)
式中I/A是一个只有截面形状及尺寸有关的量，通 常把它的方根用 i 表示，即
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30
i
I/A
称为截面惯性半径。则(2)式可表示为
s cr
π E (ml / i )
2 2
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压杆的稳定性
33
应该注意的是：“l≥lp欧拉公式可用”系按理想中 心压杆得到的。事实上，对于l比lp大得不太多的实 际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因 强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。
我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压 杆，根据试验资料规定，对于l≥lc ，而不是l≥lp 的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而
——— (1)
代入挠曲线近似微分方程，得
Fs A Fcr
n + k n k
2
2
FS F cr
2
(l x )
——— (2)
l-x
x
v B
c
Q Me
其中
F cr EI
z
k
则(2)式之通解为
Fcr
n= A sin kx + B cos kx +FS/Fcr(l-x)
——— (3)
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1 k sin kl l cos kl 0
——— (9)
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压杆的稳定性
19
例题 11-1
即
tg kl kl
——— (10) ——— (11)
注： Fc r EIz
2
由上式得
kl = 4.49 从而有
F cr ( 4 . 49 ) EI l
2 2
k
2
π EI ( 0 .7 l )
Fcr
π EI y l
2
2
A
Fcr
π EI y ( 0.7 l )
2
2
m 1
l
B
m 0.7
y
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压杆的稳定性
22
Fcr
Fcr
A l B
Fcr
π EI y ( 0.5l )
2
2
l
v
Fcr
π EI y ( 2l )
2
2
m 0.5
m2
从上述分析可知,中心受压直杆的临界力Fcr与杆 端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越 大。
lp
π E s
2 p
那么欧拉公式适用。 对于Q235钢，如取E=2.06×105 MPa，比例极 限sp=200 MPa, 则lp=100。
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压杆的稳定性
32
scr sp
π E
2
s
cr
l
2
双曲线
lp
欧拉公式可用
lc