第十一章压杆稳定
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第11章压杆稳定
材料力学
第29页/共63页
二、折减因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
[s ]——强度许用应力 j —— 折减因数 j 1
稳定条件
与柔度有关
s FP j[s ] 工作应力不大于
A
稳定许用应力
注 不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。 意
强度 条件
sr
[s ]
s0
n
相当应力不大 于许用应力
极限应力
s0
s
{
s
sb
塑性材料 脆性材料
极限应力和安全因数只与材料有关，与实 际应力状态无关，即强度许用应力为常数。
材料力学
第27页/共63页
稳定 条件
s
F A
[s
w
]
s0
nst
s cr
nst
工作应力不大于稳定许用应力。
极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅 与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束 条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压 杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。
z
ml
iz
1 940 14.43
65.1
第36页/共63页
F A
z
材料力学
l1 z
B l1
y Fx
z
h
b
F x
x-z 面内，两端固定
绕y轴发生失稳
m = 0.5
iy
b 23
20 23
5.77 mm
y
ml
iy
0.5 880 5.77
76.3
第十一章 压杆稳定
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第11章 压杆稳定
y — 挠曲线方程，y'— 转角方程， 3) dM ( x ) EIy " M ( x )，EIy "' FQ dx
4)代入位移与静力边界条件，求出压杆稳定的特征方 程，得到Fcr。
§11-2
2．例题
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-1 一端固定、另一端自由的细长压杆如图所示，试导出其临界力的 欧拉公式。 x F 解：1)边界条件 B d M A Fd 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d 失 EI EI 稳 x l：y d，y" M ( l ) 0 模 EI l 式 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 如 0 1 0 1 0 C 1 图 y k 0 1 0 0 C 2 A 2 2 C 0 k 0 0 k 3 0 MA=Fd F coskl l 1 1 C 4 sinkl 2 2 k sinkl k coskl 0 0 0 d
两端铰支
一端固定，另一端自由
m =1
m =2
m =0.7 m =0.5
一端固定，另一端铰支
两端固定
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-4 图示钢架ABCD的A端为固定铰支，B、C点为滑动铰支，CD部分 上端受压力F，求该结构的稳定特征方程及临界力。 F D l A l C l x
d
y
2 9 200 10 p 100 6 20010
4)用柔度表示的临界压力 2 F EA
cr
2
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
二、中、小柔度杆的临界应力
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 ： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m ， 直 径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作 时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
第11章压杆稳定
压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
第十一章 压杆稳定
第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。
第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。
然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。
而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。
例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。
但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。
显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。
为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。
当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。
如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。
显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。