拟齐次平面多项式系统的逆积分因子
一类拟齐次多项式中心的极限环分支
２
数 学 物 理 学 报
Ｖｏ１．３８பைடு நூலகம்
的孤 立零 点 的个数 Ⅳ（ｍ，ｎ，Ｈ，Ｐ，Ｑ）是 多少 ？
这个 问题 实际上起 源于对 哈 密顿 系统进 行单 参数 扰动 产生极 限 环的研 究 ．事实 上，考 虑
Ｋｈｏｖａｎｓｋｙ和 Ｖａｒｃｈｅｎｋｏ分别在文献 ［３】和 ［４］证 明了每个 Ⅳ（ｍ，ｎ，日，Ｐ，Ｑ）都是有限 的． ２０１０年 ，Ｂｉｎｙａｍｉｎｉ等人 给 出了 Ｎ（ｎ＋１，ｎ）的双指 数上界 【５］．此外 ，有很 多文献 针对 固 定的 日 或某些特殊形式的 户和 国，获得 Ⅳ（ｍ，ｎ，Ｈ，Ｐ，国）的表达式，具体可参看文献 ［６］的 介 绍 ．其 中，文献 ［７］探讨 了 Ｈ 为 拟齐 次 多项式 的情 形 ．随后 ，一些 学者 开始 探讨 更一 般 的 拟齐次系统 （不一定是哈密顿系统）在多项式扰动下的极限环分支，并获得了很好的结果， 见 文献 『６，８－１０］．为 了阐述这 些工 作 ，下面 首先介 绍 一些相 关 的基本 概 念 ．
基金项 目：国家 自然科学基金 （１１４０１２５５，１１４０１１１１，１１５７１３７９，１１７７１１０１）和广东省 自然 科学基金 （２０１５Ａ０３０—
３１３６６９，２０１５Ａ０３０３１０４２４） Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ＮＳＦＣ （１１４０１２５５，１１４０１１ｌ１，１１５７１３７９，１１７７１ｉ０１）ａｎｄ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ
倘 若允 许 Ｈ 取遍 所有 ｎ＋１次多 项式 ，而 Ｐ和 Ｑ 取遍 所有 次数 不超 过 ＇／Ｔｔ的多项 式 （但 保持 ｍ＆ｘ（ｄｅｇＰ，ｄｅｇＱ）＝ ｍ），得到 ｛Ⅳ（ｍ，ｎ， ，Ｐ，Ｑ））的 上确界 Ｎ（ｍ，ｎ）．则 显然 Ⅳ（ｍ，ｎ） 是 Ｈｉｌｂｅｒｔ数 Ｈ（ｍａｘ｛ｒｎ，礼｝）的一个 下界 ． 因此 ，通过 探索 弱化 的十六 问题 可 以在 一定 程度 上 解决 Ｈｉｌｂｅｒｔ第 十六 问题 ．但 是 ，诚 如 Ｙａｋｏｖｅｎｋｏ在 文献 『２１中所 言 ，寻找 Ⅳ（ｍ，ｎ）或 其上 界 的表 达式 依然 是一个 富 有挑 战的 课题 ．
常微分方程§2.3恰当方程与积分因子
在某些复杂系统中，恰当方程和积分因子可以用来描述系统的动态行为， 并预测未来的发展趋势。
05 实例分析
实例一：简单的一阶恰当方程与积分因子
总结词
通过简单的一阶恰当方程，理解积分因子的概念和作用。
详细描述
一阶恰当方程的形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的有理函数。求解这类方程时，可以 通过引入积分因子M(x,y)的方法，将方程转化为一个全微分方程，从而简化求解过程。
形式简单
恰当方程的形式相对简单，未知函数的各阶导数都包 含在方程的右边。
可解性
由于最高阶导数的系数不为零，恰当方程可以通过解 代数方程来求解。
应用广泛
恰当方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
恰当方的判别方法
导数项系数不为零
在微分方程中，如果最高阶导数 的系数不为零，则该微分方程可 能是恰当方程。
实例三：实际问题的恰当方程与积分因子应用
总结词
通过实际问题的恰当方程，了解 积分因子的实际应用价值和意义。
详细描述
在实际问题中，许多物理、工程 和经济领域的问题都可以转化为 恰当方程的形式。通过引入积分 因子，可以简化问题求解过程， 提高求解效率。
实例展示
例如，在经济学中研究商品价格的变化时， 经常会遇到类似“商品的需求量D与价格p和 消费者的收入I有关，需求量D对价格的导数 Ddp与需求弹性有关”的问题。通过引入积 分因子并转化为全微分方程，可以更方便地 研究商品价格的变化规律和趋势。
02
[2] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高 等教育出版社, 2004.
03
(同济大学)第5讲_全部--逆解法与半逆解法
σx
第二项 ~ q 同阶, （弹性力学的修正 项）
l ~ q( ) 同阶, h
τ xy
（与材料力学解同） （材料力学中不计）
σ y ~ q 同阶,
应力与材料力学解比较:
l 2 l 最主要量级 q( ) , 和次要量级 q ,在材料 h h
力学中均已反映，且与弹性力学相同。 最小量级 ~ q , 在材料力学中没有。
( σ x ) x = l dy ⋅ 1 = 0 , ( σ x ) x = l dy ⋅ 1 ⋅ y = 0 , (τ
xy
−h /2
) x = l dy ⋅ 1 = − ql 。
由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。
应力
最后应力解答：
σx
2 6q 2 y y 3 2 = 3 (l − x ) y + q ( 4 2 − ) h h 5 h
2
(d)
平面问题的多项式解答
等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆 解法确定一下各种多项式能解决的问题。 1.一次式
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 不难验证： 1, x, y , x , y , x y , xy , x , y 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
2 2 2 2 3 3
⎛ ∂2 ∂2 ⎜ ⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎝
⎞ 4 ⎟ ϕ ( x , y ) = ∇ ϕ ( x, y ) = 0 ⎟ ⎠
2
逆解法与半逆解法 多项式解答
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ⎛∂ ∂ ⎞ 4 ⎜ +2 2 2 + 4 =0 ⎟ ϕ(x, y) = ∇ ϕ(x, y) = 0 ⎜ ∂x2 + ∂y2 ⎟ 4 ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ ⎝
齐次亥姆霍兹方程
齐次亥姆霍兹方程是一种常见的偏微分方程，它在数学和物理领域中被广泛应用。
本文将详细介绍齐次亥姆霍兹方程的定义、特性及其在实际问题中的应用。
定义与特性齐次亥姆霍兹方程属于二阶线性偏微分方程，可以用以下形式表示：△ u +k^2 u = 0 其中，△表示Laplace算子，u是待求函数，k是一个常数。
该方程常常用于描述波动现象和振荡现象，在电磁学、声学和量子力学等领域中有广泛应用。
齐次亥姆霍兹方程的一个重要特点是它是一个线性方程，因此满足叠加原理。
也就是说，如果u₁(x, y, z)和u₂(x, y, z)是方程的两个解，那么对于任意常数a和b，线性组合au₁(x, y, z) + bu₂(x, y, z)也是方程的解。
这使得齐次亥姆霍兹方程求解具有一定的灵活性。
求解方法齐次亥姆霍兹方程的求解方法多种多样，常见的方法有分离变量法、傅里叶变换法和格林函数法。
1.分离变量法：假设u(x, y, z)可以表示为形式为X(x)Y(y)Z(z)的函数乘积，将此形式的解代入方程中，通过对三个独立变量的分别求解得到X(x)、Y(y)和Z(z)的表达式，从而得到u(x, y, z)的解。
2.傅里叶变换法：将方程进行傅里叶变换，通过傅里叶分析的方法将微分方程转换成代数方程，然后求解代数方程得到u(x, y, z)的表达式，再进行逆傅里叶变换获得原方程的解。
3.格林函数法：引入格林函数，通过格林函数的性质和齐次亥姆霍兹方程的边界条件，构建积分方程，进而求解得到u(x, y, z)的表达式。
这些方法各有特点，选择何种方法求解要根据具体问题和边界条件来决定。
应用领域齐次亥姆霍兹方程的应用广泛，在电磁学、声学和量子力学等领域都有重要的应用。
1.电磁学中的齐次亥姆霍兹方程用于描述电磁波在无源介质中的传播。
通过解齐次亥姆霍兹方程，可以求解电磁波的传播特性，如频率、波长、传播速度等，并且可以得到电磁波的传播模式。
2.声学中的齐次亥姆霍兹方程用于描述声波在均匀介质中的传播。
四次和五次平面拟齐次多项式系统的首次积分
四次和五次平面拟齐次多项式系统的首次积分邱宝华;梁海华【摘要】In this paper, the first integrals of planar quartic and quintic quasi -homogeneous but nonhomogeneous coprime polynomial differential system was investigated. In the quartic quasi-homogeneous coprime polynomial system, the first integrals were computed according to their canonical forms which had been given in literature. For quintic quasi-homogeneous coprime polynomial system, doing a appropriate linear transformation and using the given conclusions about quintic systems, the canonical forms of all quintic systems were obtained. Lastly their first integrals were calculated.%本文研究四次和五次平面多项式不可约的拟齐次微分系统的首次积分.对于四次拟齐次不可约系统,我们根据已有文献给出的标准型计算出所有的首次积分;而对于五次拟齐次不可约系统,我们构造适当的线性变换,结合已有文献的结论,得到系统的标准型,最后计算出其所有首次积分.【期刊名称】《广东技术师范学院学报(社会科学版)》【年(卷),期】2015(036)011【总页数】11页(P1-11)【关键词】拟齐次;标准型;首次积分【作者】邱宝华;梁海华【作者单位】广东技术师范学院计算机科学学院,广东广州 510665;广东技术师范学院计算机科学学院,广东广州 510665【正文语种】中文【中图分类】O172.2本文研究如下多项式微分系统其中，P，Q∈R［x，y］，R［x，y］是实数域上的多项式环.若多项式P和Q的最高次数为n，则称系统（1.1）的次数为n.若P和Q没有非平凡的公因式，则称系统（1.1）是不可约的.若存在H∈C1（R2），使得X（H）=0，即HxP+HyQ=0，其中，X=（P，Q）为（1.1）对应的向量场，则称（1.1）是可积系统，并称H是其首次积分.显然，若H是（1.1）的首次积分，则αH+β（α，β为常数，且α≠0）也是（1.1）的首次积分.若存在s1，s2，d∈N，使得对任意α∈R+，有则称系统（1.1）是拟齐次的，且称w=（s1，s2，d）是系统（1.1）的权向量.若系统（1.1）的任意权向量w=（s1，s2，d），都满足和d*≤d，则称是系统（1.1）的最小权向量.权向量的定义来自文［3］.近年来，平面拟齐次多项式微分系统的定性研究吸引了众多学者的关注，取得了丰富的成果.例如，［1-6］研究了拟齐次系统的可积性，［7］研究了拟齐次系统的标准型，［8-10］讨论了各种拟齐次系统的中心问题，［11］研究了拟齐次四次系统的全局结构，等.2013年，Garcia等人在文［3］中给出了一个可以求出任意给定次数的平面拟齐次多项式微分系统的算法，它为人们获得高次数平面拟齐次多项式系统表达式提供了直接的操作方法，也为进一步研究高次数的平面多项式微分系统的相关性质奠定了基础.之后，人们利用这个算法给出了平面所有的2，3，4次拟齐次多项式微分系统，见文献［3，10，11］.另一方面，可积问题是平面多项式系统的一个经典问题.它在决定系统的拓扑结构中起到重要作用.例如，在中心焦点的判别中，若能获知该系统具有解析的首次积分，则中心焦点问题便迎刃而解，见［12］.而倒积分因子则在一定程度上决定了极限环的存在性，见［13］.李雅普诺夫首先发现平面拟齐次多项式系统是可积的，随后一些学者从不同角度去证明这个结论，参见［2］及其参考文献.［2］的主要证明思想是给出了倒积分因子的表达式.［14］则进一步利用倒积分因子给出了拟齐次多项式系统的首次积分（形式上）公式.利用该公式，Garcia等人在［3］计算出所有2次和3次拟齐次系统的首次积分.值得指出，尽管［14］给出了平面多项式系统的形式上的公式，但对于具体系统，特别是次数较高的系统，能否依照公式得到显示的首次积分表达式，仍然有待进一步研究.本文将在这些文献的基础上，讨论五次系统的标准型，以及四次和五次系统的首次积分问题.本文的主要工作如下.在节2，我们将在［10］的基础上，通过构造适当的线性变换得到五次系统的标准型.在节3，我们首先在节2的基础上研究五次拟齐次系统的首次积分的表达式，然后根据［11］给出的四次拟齐次不可约系统的标准型探讨它们的首次积分的表达式.由于有些四次、五次拟齐次系统含有多个参数，所以本文除了涉及到复杂的计算外，还需要讨论参数的各种情形.讨论平面五次拟齐次但非齐次多项式互质微分系统的标准型之前，需要引用文献［10］的结论.引理2.1［10］任一平面五次拟齐次但非齐次多项式不可约微分系统（1.1）可经过线性变换化为如下15个系统之一其中，wm是最小权向量.由引理2.1，得到如下结果.定理2.1对引理2.1的系统作适当的线性变量变换后，得到如下所有的平面五次拟齐次但非齐次多项式互质微分系统（1.1）的标准型其中，wm是最小权向量.证明2.1.由引理2.1可知，X011-X141和X1是所有五次拟齐次但非齐次多项式互质微分系统.通过分析，只要对这些系统作适当的线性变换，就可得到它们的标准型.首先，考虑系统X011.其中，从而，得到了系统X011的标准型，下面讨论参数满足的条件.显然，ac=d，bc=1和bd=a三个条件不同时成立，否则多项式P和Q是可约的.所以，在条件ac≠d或bc≠1或bd≠a前提下，可以发现，若a2-4b≥0，则有且，若c≠0和d2-4c≥0，则有因此，系统互质的充分必要条件是(注意:当a2-4b＜0或d2-4c＜0时，P和Q是不可约的)另外，按照习惯，我们仍用符号（x，y，t）代替（X，Y，T）.于是，得到了系统X011的标准型G15.同理，对系统X012-X141分别做适当的变量变换后，也可分别得到各自的标准型具体变换如下.其中，a=b31/a40≠0.从而，得到了它的标准型G2.其中，a=b11/a20≠0.从而，得到了它的标准型G4.得到系统X111的标准型后，下面我们讨论其满足的条件.显然，若ac=b，ad=1和bd=c，则系统多项式P和Q是不互质的.所以，在条件ac≠b，ad≠1和bd≠c 前提下，若a≠0和b2-4a≥0，则另外，若ac=-b，ad=-1和bd=c，则系统多项式P和Q也是不互质的.所以，在条件ac≠-b，ad≠-1和bd≠c前提下，若a≠0和b2-4a≥0，则从而，得到了X111的另一个标准型.对系统X113作变量变换（X，Y，T）=（（a40/ b05）1/3x，y，b05t），化为其中，a=a14/b05，b=b31/a40，ab≠1.从而，得到了它的标准型G10.其中，a=a14/b05≠0.从而，得到了它的标准型G6.对系统X131作变量变换（X，Y，T）=（（a20/ b05）x，y，b05t），化为其中，a=a14/b05，b=b11/a20，ab≠1.从而，得到了它的标准型G11.其中，a=a14/b05≠0.从而，得到了它的标准型G8.最后，讨论X1的标准型.显然，由条件a10a05b01≠0可知，多项式P和Q是不可约的.同样，对该系统作适当的变量变换（X，Y，T）=（（b01/a05）x，y，b01t）后，系统可转换为其中，a=a10/b01≠0.因此，用（x，y，t）表示（X，Y，T）后，得到系统X1的标准型G9.综上可知，定理2.1得证.本节将首先根据定理2.1讨论平面五次拟齐次但非齐次多项式不可约微分系统的首次积分问题，再利用类似的方法，研究四次系统的首次积分，结果如下.定理3.1以HGi表示定理2.1中系统Gi（i= 1，2，…，15）的首次积分，则:证明3.1由文献［3］的命题16可知，V（x，y）=s1xQ（x，y）-s2yP（x，y）是以（s1，s2，d）为权向量的倒积分因子，所以，将V（x，y）=s1xQ（x，y）-s2yP（x，y）应用到平面五次的拟齐次但非齐次多项式互质系统后，可得到这些系统的倒积分因子，结果如下:就可以讨论系统G1-G15的首次积分.我们以为例.首先，根据前面倒积分因子公式的计算可知，的倒积分因子是结合公式(3.1)可以发现，系统参数的条件可以分为以下几种情况:因此，得到了系统满足不同条件下的首次积分.同理，根据倒积分因子公式V（x，y）=s1xQ（x，y）-s2yP（x，y）和公式(3.1)，可得到定理3.1中其余系统G1-G15满足各自参数条件下的首次积分.因此，定理3.1的结论得证.同理，可以得到平面四次拟齐次但非齐次多项式互质系统的首次积分，但在此之前我们需要引用文献［11］的结论，如下.引理3.1［11］任一平面四次拟齐次但非齐次多项式不可约微分系统（1.1）通过做线性变换和变量代换后，可化为如下系统之一其中，wm是最小权向量.于是，根据引理3.1，得到如下结论.定理3.2引理3.1中所有的平面四次拟齐次但非齐次多项式互质微分系统的首次积分为:注：定理3.2的证明过程与定理3.1类似，为简洁起见，这里不给出其证明过程.【相关文献】［1］Algaba，A.，Garcia，C.，Reyes，M.:Integratility of twodimensionalquasi-homogeneouspolynomial differential systems.Rocky Mountain J.Math.41，1-22(2011). ［2］Garcia，I.:On the integrability of quasi homogeneous and related planar vector fields.Int.J.Bifurcation and Chaos.13，995-1002(2003).［3］Garcia，B.，Llibre，J.，perez del Rio，J.S.:Planar quasi-homogeneous polynomial differ ential systems and theirintegrability.J.Diff.Eqn.255，3185-3204 (2013).［4］Hu，Y.:Ontheintegrabilityofquasiho mogeneous systemsandquasidegenerateinfinitesystems.Adv. Difference Equ.2007，Art ID 98427，10 pp.［5］Cairo，L.，Llibre，J.:Polynomial first in tegrals for weight-homogeneousplanarpolynomialdifferential systemsofweightdegree3.J.Math.Anal.Appl. 331，1284-1298(2007).［6］Yoshida，H.:Necessaryconditionsforex istenceof algebraic first integrals I andII.Celestial Mech.31，363-379，381-399(1983).［7］Algaba，A.，Garcia，C.，Teixeira，M.A.: Reversibility and quasi-homogeneous normal forms of vector field.Nonlinear Anal.73，510-525(2010).［8］Algaba，A.，Fuentes，N.，Garcia，C.:Centerof quasi-homogeneouspolynomialplanarsystems. Nonlinear Anal.Real world Appl.13，419-431(2012).［9］Llibre，J.，Pessoa，C.:Onthecentersofthe weight-homogeneouspolynomialvectorfieldsonthe plane.J.Math.Anal.Appl.359，722-730(2009). ［10］Tang，Y.，Zhang，X.:Centerofplanarquintic quasi-homogeneouspolynomialdifferentialsystems. 2014.Discrete and continuous dynamical systems.vol. 35(5)，pp.2177-2191(2015).［11］Liang，H.，Huang，J.，Zhao，Y.:Classification of globalphaseportraitsofplanarquarticquasihomogeneous polynomial differential systems.Nonlinear Dynamics，vol.78(3)，pp.1659-1681(2014).［12］张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论.科学出版社.2003.9.［13］H.Giacomini，J.Llibre，M.Viano，Onthe nonexistence，existence，anduniquenessoflimit cycles，Nonlinearity 9(1996)501--516.［14］Coll，B.，Ferragut，A.，Llibre，J.:Polynomial inverse integratingfactorsforquadraticdifferentialsystems. Nonlinear Anal.73，881-914(2010).。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
几类特殊的积分因子求法
几类特殊的积分因子求法作者：张嘉炜来源：《新教育时代·教师版》2017年第35期摘要：积分因子法是求解常微分方程的一种重要的办法，本文先简单介绍了只跟或者有关的两类积分因子，接着介绍了几类特殊方程，如伯努利方程，齐次方程，为特殊多项式的方程的积分因子，以及其计算方法。
关键词：积分因子为特殊多项式的方程伯努利方程齐次方程一、两种常见的积分因子如果存在连续可微的函数，使得为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程（1）的积分因子。
这时是方程（1）的通解。
通过解上述方程求积分因子一般较为困难，但在几种特殊情况下，比较容易。
对于方程，如果存在只与有关的积分因子，则，这时方程（2）变为即由此可知，方程（1）有只与有关的积分因子的充要条件是方程（2）的一个积分因子为，（2）只与有关的积分因子的充要条件以及相应的积分因子同理可得。
二、为特殊多项式时的积分因子例1：解：原式= 显然，，不是只关于或的函数，因此无法用一般方法求积分因子。
注意到为多项式，设积分因子则将，看作新的，记作注意到若可以使，则新的积分因子为1，总得积分因子即为则成立需要满足的条件为解得，，则积分因子，代入原方程可得，，方程解为注意到此方法要求新的求偏导数以后除系数不同外，其他对应相同，即需满足，（表示等式两边只有对应的系数不同）即，当中的次数相同时，一定满足此方法的条件。
三、伯努利方程的积分因子：形如：的方程，称为伯努利微分方程，这里为的连续函数，是常数。
查阅资料发现，要求伯努利方程的积分因子，需要先证明以下定理：1.假定方程（1）中的函数满足，其中，分别为的连续函数，则方程（1）有积分因子证明：用同时乘以方程（1）的两端，则（3）得出又由于，故，所以方程（3）为全微分方程，故是方程一的积分因子。
即故，，取，则满足关系式，得积分因子为。
参考文献[1]王高雄.常微分方程[M].第三版.高等教育出版社.北京.2006.7.[2]李广伟.典型方程的积分因子的解法[D].大连理工大学.2010.。
四次和五次平面拟齐次多项式系统的首次积分
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ９ —２ ０
基金 项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 （ Ｎ ｏ ． １ １ ２ ０ １ ０ ８ ６） 和 广 东省 高等 学校 优 秀青 年教 师 培养 计 划 （ Ｎ ｏ ． Ｙｑ ２ ０ １ ３ １ ０ ７） 项 目资 助 ．
广 东技 术 师范学 院学 报 （ 自然 科 学 ） ２ ０ １ ５年 第 １ １ 期 Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
四次 和 五 次 平 面 拟 齐 次 多 项 式 系统 的 首 次 积 分
公 因式 ， 则 称 系统 （ １ ． １ ） 是不 可约的． 若 存在 Ｈ∈
获 得 高 次 数 平 面 拟 齐 次 多 项 式 系 统 表 达 式 提 供
了 直 接 的 操 作 方 法 ， 也 为 进 一 步 研 究 高 次 数 的
Ｃ （ 尺 ） ， 使 得 （ ） ＝ ０， 即日 ＋ Ｈ ｙ Ｑ ＝ ０， 其中， ＝ （ Ｐ， Ｑ） 为（ １ ． １ ） 对 应 的 向量 场 ， 则称（ １ ． １ ） 是 可
［ ３ ， １ ０ ， １ １ ］ ． 另 一 方 面 ， 可 积 问 题 是 平 面 多 项 式 系 统 的
一
若存 在 Ｓ ｌ ， ｓ ２ ， ｄ∈Ｎ， 使 得 对 任 意 ∈Ｒ ， 有
Ｐ（ ‘ ， ‘ ｙ ） ＝ ‘ Ｐ（ ｘ， Ｙ ） ，
个 经 典 问 题 ．它 在 决 定 系 统 的 拓 扑 结 构 中 起
平 面 拟 齐 次 多 项 式 微 分 系 统 的 算 法 ． 它 为 人 们
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定理证 明 了它一定存在 多项式逆积分 因子 ， 并给 出了具体表 达式 ； 对 于由两个拟 齐次 多项式 系统的和所 定义的 多项 式 系统 ， 给 出存在 多项式逆积分 因子的一个 充分条件 ， 并由此给 出几 类特 殊 多项 式 系统 的逆积 分 因子 的计 算公 式。
给 出的几个 多项式逆积 分因子计 算例 子表 明这些结论推广 了已有成果 。
难 。 已有研 究 仅 对一 些 特 殊形 式 的系 统 给 出 了逆 积分 因子 的求 法 。 例如 ： 对 于线 性 系统 一 ａ ｌ ｌ ｚ＋ ＿ ｙ ， Ｉ ｔ ＝ ＝ ： ａ ２ １ ｘ＋ ａ Ｙ ２ ２ ， 总存 在一个 简单 的逆 积分 因
，
系统（ １ ）的 逆 积 分 因子 具 有 以 下 一 些 重 要 性
质：
ａ ） （ ０ ）一 ｛ （ ， ）∈ ｗ Ｊ Ｖ（ ｘ， ）一 ０ ）由系 统（ １ ）的轨 线组 成［ ≈ ］ 。
ｂ ） Ｒ（ ｘ， ） 一
收稿 日期 ： ２ Ｏ １ ６ 一Ｏ ３ 一Ｏ ２ 基金项 目： 浙 江省 自然科学基金项 目（ Ｌ Ｙ１ ５ Ａ０ １ ０ Ｏ ２ １ ）
０ 引 言
平面 自治微分系统可表示为 ：
积 分 因子 ［ 】 ］ ， 从 而 系统 （ １ ） 在 ｗ＼ Ｖ Ｌ （ Ｏ ） 上 的首 次积
分为 ：
，
警一 Ｐ （ ） ， ａ ｄ ｙ 一 Ｑ （ ｘ ， ）
（ １ ）
其 中 Ｐ和 Ｑ是 一个 从 Ｒ 的一个 开集 ｕ到 Ｒ的 映
轨 线组成 的多 环 ， 则Ｊ 【 １ （ ＝ ＝
Ｗ — Ｒ．
如果它满足一阶线性偏微分方程 ：
，
系统（ １ ）的这些 性 质 表 明 ： 逆 积 分 因 子 是研 究
可微 平 面系统 的可 积性 问题 ［ ， 、 中心 问题 和平
，
＋
，
面多 项式 系统 极 限环个 数 与分布 问题［ 。 ］的重 要工
实或 复多项 式 ， 则 多 项 式 Ｖ（ ｘ， ）一 ｙ Ｐ（ ｚ， ）一 （ ， ） 是 其一 个 逆 积分 因子 ｌ ｌ ； 如 果 系统 是 一个
二 次多 项式 系统 并 且原 点 是 一 个 中心 ， 则 总 存 在 一
个 三次 或 五次多 项式 为它 的逆 积 分 因 子＿ １ 叩； 如 果 在 系统 （ １ ）中， Ｐ（ ｘ， ） 一一 Ｙ ＋ Ｐ３ （ ｚ， ） ， Ｑ（ ， ）
是定 义在 ｗ＼ （ ｏ ） 上 的
作 者简介 ： 韩美佳 （ １ ９ ９ ２ 一） ， 女， 山东青岛人 ， 硕士研 究生 ， 主要从事微分方程定性理论方面的研究。
９ ４ ０
浙
江
理
工
大
学
学
报
２ ０ １ ６年
第３ ５ 卷
子 （ ， ）一 ａ ２ １ 。 ＋（ ｎ ２ ２ 一ａ ｌ １ ） ｘ ｙ—ａ １ ２ Ｙ ２ Ｉ ； 如果
浙 江理 工 大学 学报 （ 自然科 学版 ） ， 第３ ５卷 ， 第６ 期， ２ ０ １ ６年 １ １月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚ ｈ ＠ａ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ — Ｔｅ ｃ ｈ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
， 一Ｊ ’ ｄ ＋ Ｉ ｆ （ 毙 ｄ ） 出 ．
（ ０ ） ［ 引。
＋
射， ， － ≥１ 。 令 ｗ是 Ｕ的一个开子集。 对于一个可微的 非 常值 函数 ：
：
ｃ ） 若系统 （ １ ）在 ｗ 上存在 极 限环 ７ ， 则 ｙ（ ＝ ＝ （ Ｏ ） ［ ４ ； 进 一步 ， 如果 ｒ是位 于 ｗ 中由鞍点 与正则
则称 Ｖ（ ｘ ， ） 为系统（ １ ） 的在 ｗ 上的一个逆积分因 子Ｅ 。 进一 步 ， 如果 Ｗ — Ｒ ２ ， 且 ： Ｒ 。 一 Ｒ还是 一个 多项 式 ， 则 称 Ｖ（ ｘ， ）为 系 统 （ １ ）的 多 项 式 逆 积 分
因子 。
有重 要作 用［ 。
然而 ， 对于一个给定的系统 ， 要判断它是否存在 逆积分 因子 以及 如何 求它 的逆 积 分 因子 十 分 困
多项 式 与拟齐 次 多项式 系 统就是 齐 次多项 式 与齐 次 多项 式 系统 。 对 于任意 给定 的 ｔ 一（ ￡ ， ｔ ） ， 利 用牛 顿 图【 １ 川， 任 意 一 个 多 项 式 系 统 都 可 以 进 行 如 下 分
解＿ １ ６ ｊ ：
ｄ ｘ
—
系统 （ １ ） 中 的 Ｐ（ ｘ ， ） 与 Ｑ（ ｘ， ） 是具 有相 同次数 的
Ｖｏ １ ． ３ ５，Ｎ ｏ ． ６，Ｎｏ ｖ ．２ ０ １ ６
拟 齐 次 平 面 多项 式 系统 的 逆 积 分 因子
韩美佳 ， 黄土森
（ 浙江理工 大学理 学院， 杭州 ３ １ ０ ０ １ ８ ）
摘 要 ：逆 积 分 因子 是 研 究 平 面 多项 式 系统 可积 性 问题 的 重要 工 具 。对 于 拟 齐次 多 项 式 系 统 ， 利 用广 义 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ
一
（ ＼ ８ ｘ＋ 。 ａ Ｙ， ） … … ， ２ ）
具之 一 。 一般而 言 ， 系统 的逆 积分 因子 的表达 式 比首 次积 分 简单 ， 定 义 域 比首 次 积分 的大［ 。 因此 ， 如何
求得 给定 系统 （ １ ）的逆 积分 因子对 确 定 系统 性 态具
关键词 ： 拟 齐 次 多 项 式 系统 ； 多 项 式逆 积 分 因子 ； 拟 齐 次分 解
中图分类号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ ４
文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ３ ８ ５ １（ ２ ０ １ ６ ）０ ６ — ０ ９ ３ ９ — ０ ６ 引用页码 ： １ １ ０ ８ ０ １