高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充和复数的概念(第2课时)课堂探究新人教A版_1
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(第2课时)自我小测 新人教
2课时）自我小测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）自我小测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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念(第2课时）自我小测新人教A版选修1—2 1．在复平面内,复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在复平面内，若错误!＝（0,－5)，则错误!对应的复数为( ）A．0 B．－5C．－5i D．53．复数z＝（a2－2a)＋(a2－a－2）i对应的点在虚轴上，则实数a的值为( )A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠24．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1,则｜z｜的取值范围是（)A．(1,5) B．(1,3） C．（1，错误!） D．（1，错误!)5．在复平面内，O为原点，向量错误!对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝x的对称点为B，则向量错误!对应的复数为( )A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i6．已知复数z1＝x－2＋y i(x，y∈R)的模是2错误!，则复数z2＝x＋y i对应点的轨迹方程是________．7．已知复数x2－6x＋5＋（x－2）i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是__________．8．在复平面内,O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i,z3＝3－2i,它们所对应的点分别是A，B,C，若错误!＝x错误!＋y错误!(x，y∈R),则x＋y的值是__________．9．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形?（1）|z|＝2;（2）|z｜≤3.10．已知z1＝x2＋错误!i，z2＝(x2＋a）i对任意的x∈R均有｜z1｜＞|z2｜成立，试求实数a的取值范围．参考答案1．解析：∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0,cos 2＜0。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
2021_2022学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念教案2新人
《第三章数系的扩大与复数的引入》数系的扩大与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学根底之一．数系的扩大过程表现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、开展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩大．《课标》将复数作为数系扩大的结果引入，表现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩大过程中的作用，以与数系扩大过程中数系结构与运算性质的变化．这局部内容的学习，有助于学生体会理论产生与开展的过程，认识到数学产生和开展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于开展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩大过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规如此、方程理论〕在数系扩大过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的根本概念以与复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法与其几何意义；能进展复数代数形式的四如此运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4课时．第一节数系的扩大和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩大和复数的概念、复数的几何意义〔几何表示和向量表示〕．●教学目标〔1〕在问题情境中了解数系的扩大过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规如此、方程理论〕在数系扩大过程中的作用，感受人类理性思维的作用以与数与现实世界的联系．〔2〕理解复数的根本概念以与复数相等的充要条件．〔3〕了解复数的代数表示法与其几何意义．●教学重点〔1〕数系的扩大过程．〔2〕复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．〔3〕复数的几何意义．●教学难点〔1〕虚数单位i的引进．〔2〕复数的几何意义．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩大和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．●课标对本节内容的处理特点数系的扩大和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容一样，但在处理方式和目标定位上存在差异：〔1〕《课标》将复数作为数系扩大的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩大．《课标》实验教科书在介绍数系扩大的思想方法的根底上引入复数的概念，力求复原复数的发现与建构过程．〔2〕《课标》强调在问题情境中了解数系的扩大过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩大过程中的作用，感受人类理性思维的作用以与数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．〔3〕在复数的代数表示法与其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解〞，而《大纲》要求“掌握〞．从这上点上看，《课标》要求降低了．●教学建议1．关于“数系的扩大的复数的概念〞的教学建议〔1〕课题的引入．教学时，可从方程在给定X围内是否有解提出问题：x+=有解吗？①在自然数集N中，方程10x=有解吗？②在整数集Z中，方程21③在有理数集Q中，方程2x＝2有解吗？④在实数集R中，方程．有解吗？〔2〕回顾从自然数集N扩大到实数集R的过程．帮助学生认识数系扩大的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：①从自然数集N扩大到实数集R经历了几次扩大？②每一次扩大的主要原因是什么？③每一次扩大的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩大原因：①满足实际问题解决的需要；②满足数学自身完善和开展的需要．扩大特征：①引入新的数；②原数集中的运算规如此在新数集中得到保存和扩展．〔3〕提出新的问题：如何对实数集进展扩大，使方程210x+=在新的数集中的解？〔4〕引入虚数单位i．〔5〕学习复数的概念．〔6〕规定复数相等的意义．〔7〕研究复数的分类．〔8〕告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比拟大小〞的理由：一一对应 ①,a bi c di a cb d +=+⇔==；在,ac bd ==两式中，只要有一个不成立，如此a bi c di +≠+． ② 如果两个复数都是实数，如此可以比拟大小；否如此，不能比拟大小．③“不能比拟大小〞确实切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜〞，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立； 如果,a b b c <<，那么a c <；如果a b <，那么a c b c +<+；如果,0a b c <<，那么ac bc <．2．关于“复数的几何意义〞的教学建议〔1〕帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z 〔,a b 〕来表示复数z a bi =+．① 明确“复平面〞的概念．② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即 复数z a bi =+ 复平面内的点Z 〔,a b 〕．〔2〕帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．①认识复平面内的点Z 〔,a b 〕与向量OZ 的一一对应关系．② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z a bi =+一一对应 一一对应点Z〔,a b〕向量OZ一一对应〔3〕用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点〔原点除外〕一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．第二节复数代数形式的四如此运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算与其几何意义，复数代数形式的乘除运算．●教学目标〔1〕掌握复数代数形式的加减运算法如此．〔2〕了解复数代数形式的加减运算的几何意义．〔3〕理解复数代数形式的乘除运算法如此．〔4〕体验复数问题实数化的思想方法．●教学重点〔1〕复数代数形式的加减运算与其几何意义．〔2〕复数代数形式的乘除运算．〔3〕复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．●教学难点〔1〕复数代数形式的加减运算的规定．〔2〕复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．〔3〕复数代数形式的乘除运算法如此的运用．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算与其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．●课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四如此运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求根本一样，但在目标定位上存在差异：〔1〕《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；〔2〕《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．●教学建议1．复数代数形式的加法和乘法的运算法如此是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩大的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法如此是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法如此．3．复数代数形式的四如此运算可以类比代数运算中的“合并同类项〞“分母有理化〞，利用21i=-，将它们归结为实数的四如此运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22()()+-=+是复数除法中“分母实数化〞的根底，不必让学生专门计忆a bi a bi a b复数除法法如此．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法如此来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修2_2(1)
[构建·体系]
1．设集合 A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集 S＝C，则下列结
论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
【解析】 集合 A，B，C 的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C 正确．
【答案】 D
2．若复数 4－3a－a2i 与复数 a2＋4ai 相等，则实数 a 的值为( )
实数b＝0， 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数 a＝0a≠0，. 2．集合表示
下列命题：
①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小．
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
【解析】 由题意得 m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而mm2＝－53mm＋＝44，， 解得 m＝－1.
【答案】 －1
5．(2016·佛山高二检测)已知集合 M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合 N＝{3i， (a2－1)＋(b＋2)i}满足 M∩N≠∅，求整数 a，b.
【解】 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或 8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得 a＝－3，b＝±2， 由②得 a＝±3，b＝－2. ③中，a，b 无整数解不符合题意． 综上所述得 a＝－3，b＝2 或 a＝3， b＝－2 或 a＝－3，b＝－2.
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概
2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1。
1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋错误!，错误!i，0，8＋5i，（1－错误!）i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3解析：错误!i,(1－错误!)i是纯虚数,2＋错误!，0,0.618是实数,8＋5i是虚数．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋｜a|）i（a，b∈R)为实数的充要条件是（）A．|a|＝|b｜B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋（a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋｜a|＝0，因此a≤0。
答案：D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( ）A．－2＋i B．2＋iC． 1－2i D．1＋2i解析：由i2＝－1,得x i－i2＝1＋x i,则由题意得1＋x i＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2,y＝1，故x＋y i＝2＋i.答案：B4．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数;②若z2，1＋z错误!＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制,故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z错误!＋z错误!＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误;在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，（m2－3m－1)＋（m2－5m－6)i｝，N＝{－1，3},且M∩N＝｛3}，则实数m的值为( ）A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析:由于M∩N＝{3｝,故3∈M,必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z＝m2(1－i)－m（m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－m i＝（m2－m）i，所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知x2－x－6x＋1＝（x2－2x－3)i（x∈R)，则x＝________．解析:因为x∈R，所以错误!∈R，由复数相等的条件得：错误!解得x＝3.答案：38．若复数m－3＋（m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知错误!解得错误!即m＝3.答案：3三、解答题9．已知关于实数x,y的方程组错误!有实数解，求实数a，b的值．解：对①,根据2x－1＋i＝y－（3－y)i（x，y∈R）,得错误!解得错误!③把③代入②，得5＋4a－（6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以错误!解得错误!10．已知m∈R,复数z＝错误!＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，（1）z∈R；（2)z是虚数;(3)z 是纯虚数．解：（1）复数z＝错误!＋（m2＋2m－3)i是实数，则错误!解得m＝－3，所以当m＝－3时，z∈R。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充和
湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．了解复数的代数表示方法及几何意义；3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件.【重点难点】重点：复数的有关概念以及符号表示。
难点：了解复数的代数表示方法及几何意义,复数的分类及复数相等的充要条件．【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P102-104内容。
并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2.独立思考，认真限时完成，规范书写。
课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．如何引入数i？我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1）i2= —1 ;（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立．根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是．2．复数的概念?根据虚数单位i的第（2)条性质,i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi 。
形如a+bi的数，我们把它们叫做复数．复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念(2)课件新人教A版选修1_2
[解析] 数．
复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实
→ 4．(2016· 天津五区县高二检测)在复平面内，O 是原点，向量OA对应的复数是 → 2＋i， 点 A 关于虚轴的对称点为 B， 则向量OB对应的复数是 导学号 18674329 ( D ) A．1＋2i C．2－i
[解析]
B．2＋i D．－2＋i
→ 点 A 的坐标为(2,1)，∴点 B 的坐标为(－2,1)，故向量OB对应的复数
为－2＋i，故选 D．
2 5．复数 i＋i2 的模等于_________. 导学号 18674330
[解析] ∵i＋i2＝－1＋i，
∴复数 i＋i2 的模等于 －12＋12＝ 2.
1 6 ．求复数 z1 ＝ 3 ＋ 4i 及 z2 ＝－ 2 － 2i 的模，并比较它们的模的大小 . 导学号 18674331
1．已知 a、b∈R，那么在复平面内对应于复数 a－bi，－a－bi 的两个点的位 置关系是 导学号 18674326 ( B ) A．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 B．关于 y 轴对称 D．关于直线 y＝x 对称
[解析]
在复平面内对应于复数 a－bi，－a－bi 的两个点为(a，－b)和(－a，
[思路分析]
把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数 m
的值，即得复数 z.
[解析]
(1)若复数 z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则 m2＋2m－8＝0 且 m2
－3m＋2≠0， ∴m＝－4，此时 z＝30i. (2)若复数 z
2 m ＋2m－8<0， 对应的点在实轴负半轴上，则 2 m －3m＋2＝0，
布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横
高中数学教案 选修1-2教案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数
的概念（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2
探究一 复数与复平面内点的关系
1．复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
【典型例题1】(1)复数z ＝sin 2π3＋icos 2π3
对应的点在复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)若复数z ＝a 2－3＋2a i 对应的点在直线y ＝－x 上，则实数a 的值为________．
解析：(1)∵z ＝sin 2π3＋icos 2π3＝32－12
i ， ∴复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，－12，此点在第四象限． (2)已知复数对应的点为(a 2－3,2a )，代入y ＝－x ，有2a ＝－(a 2－3)，解得a ＝－3或
a ＝1.
答案：(1)D (2)－3或1
探究二 复数与平面内向量的关系
1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量OZ 一一对应的．
2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
【典型例题2】(1)向量OA 对应的复数为1＋4i ，向量OB 对应的复数为－3＋6i ，则向量OA OB +对应的复数为( )
A ．－3＋2i
B ．－2＋10i
C ．4－2i
D ．－12i
(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是________． 解析：(1)向量OA 对应的复数为1＋4i ，向量OB 对应的复数为－3＋6i ， 所以OA ＝(1,4)，OB ＝(－3,6)，
所以OA ＋OB ＝(1,4)＋(－3,6)
＝(－2,10)，
所以向量OA ＋OB 对应的复数为－2＋10i.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，所以OA＝(4,3)，OB＝(－2，－5)，
又OA＝OB－OA＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，
所以向量AB表示的复数是－6－8i.
答案：(1)B (2)－6－8i
探究三复数的模
1．计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，然后代入公式进行计算．
2．若两个复数相等，它们的模一定相等；反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等．
3．求解这类问题通常有以下两种方法：
方法一：根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．
方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．
【典型例题3】(1)设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
(2)设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
①|z|＝2；②|z|≤3.
思路分析：(1)设z＝a i(a∈R，且a≠0)，利用模长公式来求解．
(2)通过利用模的定义，转化为实数x，y满足的条件来求解．
解：(1)∵z为纯虚数，
∴设z＝a i(a∈R，且a≠0)，则
|z－1|＝|a i－1|＝a2＋1.
又∵|－1＋i|＝2，
∴a2＋1＝2，即a2＝1，
∴a＝±1，即z＝±i.
(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)．
①∵|z|＝2，∴x2＋y2＝2，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
②∵|z|≤3，
∴x2＋y2≤9，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
探究四易错辨析
易错点：复数z＝a＋b i(a，b∈R)与复平面内的点对应错误
【典型例题4】在复平面内，O 为原点，已知复数z ＝x －13
i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．
错解：复数z ＝x －13i 所对应的点为Z ⎝
⎛⎭⎪⎫x ，－13i . 由题意得，|OZ |＜1，即x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13i 2＜1， 所以x 2－19＜1，所以x 2＜109
， 即－103＜x ＜103
. 错因分析：错解中错认为复数z ＝x －13i 所对应的点为Z ⎝
⎛⎭⎪⎫x ，－13i 而导致错误． 正解：因为复数z ＝x －13i 对应的点Z ⎝
⎛⎭⎪⎫x ，－13都在单位圆内，所以|OZ |＜1，即x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13
2＜1. 所以x 2＋19＜1，即x 2＜89.解得－223＜x ＜223. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－223
，223 反思 复平面内的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)，也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.。