2010学年第一学期高三数学区期末统测试卷(理科)
浙江省金华十校2010届高三上学期期末考试(数学理)
f ( x) 2 sin( x
18．已知
3
) cos( x
3
) 2 3 cos 2 ( x
3
) 3.
（1）求 f ( x) 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值；
y f (2 x) a在区间[0, ] 4 上恰有两上零点 x1 , x 2 , 求 tan( x1 x 2 ) 的值。 （2）若函数
1 ln , x 0 x f ( x) 1 , x 0 x 6．已知 则 f ( x) 1 的解集为
A． ( ,1) (1,) C． ( 1,0) (1,) B． ( ,1) (0,1) D． ( 1,0) (0,1)
3
, t 2 4 x2
3）
由 y 2 sin t 图象性质知
t1 t 2 , 即4 x1
3
4 x2
3
…………10 分
x1 x 2
4
6
, tan( x1 x 2 ) 2 3
…………14 分
5
2 2 1 , . 19．解：（1）抽 1 次得到红球的概率为 5 ，得白球的概率为 5 得黑球的概率为 5 2 3 36 P1 C 32 ( ) 2 5 5 125 所以恰 2 次为红色球的概率为 2 2 1 24 3 P2 ( ) A3 5 5 5 125 抽全三种颜色的概率
1 ( x 1) 2 ( y ) 2 1 2 14．
13．3 16． g ( x) 3 17． 2 2 三、解答题：本大题共 5 小题，18—20 题每题 14 分，21—22 题每题 15 分，共 72 分。
广东省广州市2010届高三上学期期末调研数学(理科)
广东省广州市2010届高三上学期期末调研数学（理科）2010.1本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：事件A 发生的条件下事件B 的概率为()()()P AB P B A P A =．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8 2．函数()f x =A ．(][),11,-∞-+∞B ．(],1-∞C ．()1,1-D ．[]1,1- 3．在等差数列}{n a 中，686a a +=，则数列}{n a 的前13项之和为A ．239 B ．39 C ．1172 D ．784．命题“,x x e x ∃∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A ．12B ．22+C ．23+D ．66．设)(x f 是6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项，若mx x f ≤)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22上恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(),5-∞B ．(],5-∞C ．()5,+∞D ．[)+∞,5主视图侧视图俯视图7．圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．22(2)(1)5x y -+-=C ．22(1)(2)25x y -+-=D ．22(2)(1)25x y -+-=当且仅当1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足A ．201010a << B ．201011a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．复数512i+-（i 是虚数单位）的模等于 ．10．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．1-11．已知函数()cos 3()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出如下结论： ①函数)(x f 的最小正周期为23π； ②函数)(x f 是奇函数；③函数)(x f 的图象关于点,0π⎛⎫⎪对称： ④函数在区间上是减函数．12．在平面区域(){}2,2,0x y y xx y ≤-+≥且内任意取一点P ，则所取的点P 恰是平面区域(){},,2,0x y y x x y y ≤+≤≥且内的点的概率为 ．13．在实数的原有运算法则中，定义新运算2a b a b ⊗=-，则()()113x x x x ⊗-+-⊗>的解集为（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC 中，60A ∠= ，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的 大小为 ．50解：由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+= ．15．（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．()1,1-解：即求直线20x y -+=与抛物线段2yx =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量(3,OA = ，(cos ,sin )OB θθ= ，其中02πθ≤≤．（1）若AB =，求tan θ的值；17．（本小题满分12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． （1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．…………………………1分∴ξ的分布列为………………4分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，………………………………10分18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，2AB =． （1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；（2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角为6π？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由． 方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．……………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．…………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =- ，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=，∴11D E A D ⊥ ，即11DE A D ⊥． ……………………………4分设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩ n n ，…………………8分 取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ，……………………………………10分 ABC E1A 1B1C 1D Dxyz∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．…………………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………………2分 ∵1AE AD A = ，∴1A D ⊥平面1AD E ．………………3分 ∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥．…………………4分…………………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．…………………………………………6分在长方体1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ， ∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………7分∵1DH D D D = ，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………8分 ∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．………………………………………9分119．（本小题满分14分）已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN = ，(1,)NP x y =- ，(1,)MP x y =+．……………………2分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．…………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．………………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．…………………14分20．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x xx a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围．（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ………………………1分①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．………………………………………………6分 所以()()11h a f a ==-．……………………………………………7分所以()()284h a f a ==-．……………………………………………9分21．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2n b 的前n 项和8918n T <． （1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………2分 即()11n n m a ma -+=．2010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．910．1-11. ①②③12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1-简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a aa⎛⎫>⎪⎝⎭，则r=≥=当且仅当1a=时等号成立.当r最小时，圆的面积2S rπ=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y-+-=，选A.解2：画图可得，当直线20x y m++=与曲线2(0)y xx=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x>，因为22'yx=-，所以222x-=-，解得001,2x y==，r=22(1)(2)5x y-+-=为所求，选A.8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a位于第n组，由(1)(1)201022n n n n-+<<，解得63n=，所以2010a位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a=，选B．12．2212132()4(2)P Ax x dx⨯⨯==-+⎰．14．由FP BC⊥，FQ AC⊥，得C、Q、F、P四点共圆，所以CQP CFP B∠=∠=∠()180A C=-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，…………………2分所以()(222cos 3sin AB θθ=-+136cos 13θθ=-+=，………………………………………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+．…………………………………………………………8分所以1sin 2AOBS OA OB AOB ∆=∠11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………10分 所以当3πθ=时，△AOB12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．…………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ 1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ………………………………………10分∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．……………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，………………4分从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………………8分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．………………………12分18．（本小题满分14分）方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．……………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．…………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =- ，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=，∴11D E A D ⊥ ，即11DE A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：当2AE =1D EC D --的平面角为4π．…………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =-- ，()10,2,1D C =-，…………………………………………6分设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………8分 取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ，……………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42π=<>===⋅ n n n ,n n n 12分解得02y =()002y ≤≤．xyz∴当2AE =1D EC D --的平面角为4π．………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A BC D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．…………………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………………2分 ∵1AE AD A = ，∴1A D ⊥平面1AD E ．………………3分 ∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥．…………………4分（2）解：当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．…………………………………………6分在长方体1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ， ∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………7分∵1DH D D D = ，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………8分 ∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．…………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC =11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=．…………………………13分=，解得23x =-()02x ≤≤． 故当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN = ，(1,)NP x y =- ，(1,)MP x y =+．……………………2分1由||||MN NP MN MP ⋅=⋅ ，得2(1)x =+，………………………………………………4分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．…………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．………………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，………………8分 圆心(0,2)到直线AK的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．…………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．…………2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥． 故实数a 的取值范围为[)1,+∞．………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．………………5分①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．……………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． 所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………………………8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．……………………………………………9分综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解， 即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点．…………………………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．…………………………14分21．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a m a m-=+()2n ≥．……………………………3分1∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………………4分（2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．……………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．…………………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．……………………………9分 （3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++- ，……………11分 当2n ≥时，()()24411222121n n n nn <=----，…………………12分所以()2444492521n T n =++++- 41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4011899218n =+-<．……………………………………………14分。
重庆市2010年高三上大部分区县期末联考试题(数学理)扫描版
高2011级（上）期末测试卷 数学（理工类）参考答案一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。
1～5 CBACB6～10 CAABD6．C根据定义有()sin 2cos()6f x x x x π=-=+，则至少向左平移56π个单位是偶函数．7．A 根据已知条件可得1ABC S ∆=，则12x y +=，且0,0x y >>．8．A 由可行域知当4,6x y ==时有最大值，则2323231325236,3266a b a b b a a b a b abab+++=+=+=++≥．9．B 易证)(x f 是R 上的奇函数与增函数． 10．D 如图：因为CD 弧长=2R πα⋅=，所以2πα=，故图中阴影部分的面积为142π-．所以可得原题中 阴影部分的面积为1333[2()]3422πππ-⨯⨯-=+．二．填空题：本大题共5小题，共25分。
11. )25,21(12. )2,1( 13．2 14.1)21(34--n 15. p 2 14．由⎩⎨⎧>==⇒+=-1213121n n a S n nnn ， 所以11221)21(3421212131111---=++++=+++n n na a a ． 15．设θ=∠AFB ，则由圆锥曲线的第二定义得θθcos 1||,cos 1||+=-=p BF pAF ，OCDα由 90=∠QBF 知：θθθ2cos 1cos cos ||-=⇒=pBF ， p p BF AF 2cos 1cos 2||||2=-=-θθ．三．解答题：本大题共6小题，共75分。
16．(本小题满分13分)解： （Ⅰ）由余弦定理，2124122cos 222==-+=acbc a B 3π=⇒B …………6分．（Ⅱ）由面积法有，13396132334sin 21sin 21=⨯⨯==⇒==∆bBac h bh B ac S …………13分．17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）A ＝{}|12x x x ≤->或…………3分B ＝{}|1x x a x a <>+或…………6分．（Ⅱ）由A B ＝B 得A ⊆B ，因此112a a >-⎧⎨+≤⎩…………10分所以11a -<≤,所以实数a 的取值范围是]1,1(-…………13分．18．(本小题满分13分)解： （Ⅰ）设它们的夹角为θ，则(cos sin sin cos )cos sin()O A O B m m O A O Bαβαβθαβ⋅-+===-=1sin 62π=， 故3πθ=……6分．≥得22(cos sin )(sin cos )4m m αβαβ++-≥即212sin()4m m βα++-≥对任意的,αβ恒成立…………9分则2214m m m >⎧⎨-+≥⎩或2214m m m <⎧⎨++≥⎩，解得33m m ≤-≥或…………13分．19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1a >时，x y a =在R 上单调递增，1()xxy aa-==在R 上单调递减 所以，原函数在R 上单调递增；同理，当01a <<时，原函数在R 上单调递减．…………6分 （Ⅱ）313(1),22f a a=∴-=，即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2xxx xx xxxg x m m ----∴=+--=---+………8分 令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t m t t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，2m in ()()22g t g m m ==-=-，22m m ∴==-或（舍） 当32m <时，m in 317()()3224g t g m ==-=-，253122m ∴=>（舍）综上可知2m =…………12分．20. (本小题满分12分)解：依题意得：)0,1(-Q ，直线l 斜率存在，设其斜率为k ，则l 的方程为)1(+=x k y ，代入抛物线方程有：0)42(2222=+-+kx k x k …………2分（Ⅰ）若0≠k ，令0=∆得，1±=k ，此时l 的方程为1,1--=+=x y x y .若0=k ，方程有唯一解．此时l 的方程为0=y …………4分（Ⅱ）显然0≠k ，记),(),,(2211y x B y x A ，则1,24212221=-=+x x kk x x ，ky y 421=+，4)1(2121221=+++=x x x x k y y …………6分（ⅰ）0)1)(1()1(2112121221121=---=-+-=+x x x x k x y x y k k …………8分（ⅱ）设点R 的坐标为),(y x ，∵||||||||QB AQ RB AR =， ∴02121--=--y y yy y y ，k ky y y y y 244222121=⨯=+=∴11211=-=-=∴y kx …………10分由0>∆得，11<<-k ，又0≠k ，∴)2,0()0,2( -∈y ． 综上，点R 的轨迹为,1=x )2,0()0,2( -∈y ……………………12分21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）12sin 3n a n ≤=+≤，故{}n a 为有界数列…………2分 （Ⅱ）设公比为q ，当01q <<时，11(1)11nn a q a S qq-=<--，则正数数列{}n S 满足11n a S q<-，即为有界数列；当1q =时，1n S na =→+∞，故为无界数列；当1q >时，121......n n S a a a na =+++>→+∞，此时为无界数列.综上：当且仅当01q <<时，{}n S 为有界数列…………6分.（Ⅲ）{}n a 为无界数列，事实上 11111111 (3)57214682na n n=++++>++++-1111112 (3456)212n a n n∴>++++++-2111112 (3)45622nna ∴>+++++⋅11111111111()()(....)....(....)345678916212222nnnn=++++++++++++++++1111248 (24)816222n nn >⨯+⨯+⨯++⨯=⨯24nn a ∴>故当n 无限增大时n a 也无限增大，所以{}n a 无界…………12分.。
浙江省宁波市2010届高三上学期期末试题(数学理)
（C）
1 2
1 （D） 3
7、执行如图的程序框图， 若 p 9， 则输出的 S
9 （A） 10 7 （B） 18 8 （C） 9 2 （D） 5
AB 7, BC 5, CA 6 AB BC ABC 8、在 中， ，则
（A） 19 （C） 38 （B） 19 （D） 38
2
（1）函数 f ( x) 的最小正周期；（2）函数 f ( x) 的单调递减区间；
[0, ] 2 上的最值． （3）函数 f ( x) 在区间
19、 （14 分）袋中装有编号为 1 的球 5 个，编号为 2 的球 3 个，这些球的大小完全一样． （1）从中任意取出四个，求剩下的四个球都是 1 号球的概率； （2）从中任意取出三个，记 为这三个球的编号之和， 求随机变量 的分布列及其数学期望 E ． 20、 （15 分） AB 为圆 O 的直径，点 E , F 在圆上， AB // EF ，矩形 ABCD 所在 平面与圆 O 所在平面互相垂直， 已知 AB 2, EF 1 ． （1）求证： BF 平面 DAF ； （2）求 BF 与平面 ABCD 所成的角； （3）在 DB 上是否存在一点 M ， 使 ME // 平面 DAF ？若不存在，请说明理由； 若存在，请找出这一点，并证明之．
P( A)
则
3 1 C3 C5 1 C84 14 ；
（4 分）
3 1 C5 C52C3 10 30 P ( 4) 3 3 C8 56 ， C8 56 ，
（2） 3, 4,5, 6
P( 3)
P( 5)
1 2 3 C5 C3 15 C3 1 P ( 6) 3 3 C8 56 ， C8 56 ．
福建省福州市2010届高三期末质量检查数学试卷(理科)
福建省福州市2009—2010学年第一学期高三期末质量检查数 学 试 题（理）（完卷时间：120分钟；满分150分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为样一平均数。
柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高。
球的表面积、体积公式3234,4R V R S ππ==，其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知b 是实数，i 是虚数单位，若复数（I+bi ）（2+i ）对应的点在实轴上，则b=（ ）A ．21-B ．21 C ．-2 D ．2 2．命题"042,"2>+-∈∃x x R x 的否定是（ ）A ．"042,"2<+-∈∃x x R x B ．"042,"2>+-∈∀x x R xC ．"042,"2≥+-∈∀x x R xD ．"042,"2≤+-∈∀x x R x3．二项式52)1(xx +的展开式中4x 的系数为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．404．已知三个函数x x x h x x g x x f x+=-=+=2log )(,2)(,2)(的零点依次为a ，b ，c 则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．有一机器人的运动方程为tt s 32+=（t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为（ ）2A ．419 B ．417 C ．415 D ．413 6．对于平面α和共面．．的直线m ，n ，下列命题中真命题的是（ ）A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m//nB ．若m//α，n//α，则m//nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n//αD ． 若m ⊂α，n//α，则m//n7．设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围为（ ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．[)+∞--∞,1)1,(C ．),1()3,(+∞--∞D ．[)+∞--∞,1)3,(9．将函数x x x f cos sin 3)(-=的图象向左平移m 个单位（m>0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （ ）A ．32πB ．3π C ．8π D ．π6510．已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是（ ）A ．5B ．8C ．117-D ．25+二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
重庆市2010届高三上学期期末测试(数学理)
高2010级(上)期末测试卷数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
参考公式：当事件A 、B 互斥时，那么P(A+B) = P(A)+P(B) 当事件A 、B 互相独立时，那么P(A ·B) = P(A)·P(B)如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生K 次的概率k n kk n n p p c k p --=)1()(．一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．1. 设集合A=｛a ，b ｝，则满足A B=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合B 的个数是A.1B.4C.8D.162． 函数lg(1)y x =+的反函数的图像为3. 在等差数列{n a }中, 1328,3a a a ⋅== , 则公差d =DxCABA. 1B. －1C. ±1D. ±24. 直线1l 在x 轴和y 轴上的截距分别为3和1，直线2l 的方程为022=+-y x ，则直线1l 到2l 的角为A ．71arctanB ．45C ．135D ．45或1355. 已知3sin tan 2=⋅αα，02<<-απ，则)6cos(πα-的值是A ．0B ．23C ．1D ．216． 把函数）（x y 3lg =的图像按向量a 平移，得到函数)1lg(+=x y 的图像，则a为A ． )3lg ,1(-B ． )3lg ,1(-C ．)3lg ,1(--D ．)0,31(7. 已知x a x f =)(，x b x g =)(，当3)()(21==x g x f 时，21x x >，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是 A ．1>>a bB ．01>>>b aC．10<<<b aD ．01>>>a b8. 双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且满足：2221+=+n PF PF ，则21F PF ∆的面积是A ．1B ．21C ．2D ．49． 称||),(d -=为两个向量、间的“距离”.若向量、满足: ① 1||=； ② ≠；③ 对任意的R t ∈,恒有),(),(d t d ≥则 A. ⊥B. )(-⊥C. )(-⊥D.)()(-⊥+10. 关于x 的方程0)1(122=++++b x x a xx 有实数根，则22b a +的最小值是 A.52B. 1C. 54D. 52二．填空题：（本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线022=+y x 的焦点坐标是_____________． 12. 不等式2|log 1|2>+x 的解集是_____________．13．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z )21()41(⋅=的最小值为_____________．14. 已知数列}{n a 满足11,211221++-==-n na n n a a n n ，则数列}{n a 的通项=n a _____________．15. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线11223,,CA A A A A 分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l =_____________．(用π表示即可)三. 解答题：（本大题共6小题，共75分）（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）. 16. （本小题满分13分）已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=. （Ⅰ）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值； （Ⅱ）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围.A 3A 2A 1CA B17. （本小题满分13分）已知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=)0,0>>b a （，)(x f 的最大值为a +1，最小值为21-. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间.18. （本小题满分13分）已知数列}{n a 中，11=a ，113--⋅=n n n a a ),2(*N n n ∈≥．数列}{n b 的前n 项和)9(log 3n nn a S =)(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列|}{|n b 的前n 项和． 19. （本小题满分12分）已知22()log a xf x x a--=-是奇函数.(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若关于x 的方程1()2x f x m --=⋅有实解,求m 的取值范围.20. （本小题满分12分)已知点()1,1A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 是椭圆的两焦点，且满足421=+AF AF ．（Ⅰ）求椭圆的两焦点坐标；（Ⅱ）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；（Ⅲ）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.21. （本小题满分12分)已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x . （Ⅰ）求证：{3121+-n x }是等比数列；（Ⅱ）求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n .高2010级（上）期末测试卷 数学（理工类）（参考答案）一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分． 1～5 BDCBA 6～10 CDACC 10. 令t xx =+1，则原方程化为022=-++b at t ，其中2||≥t ，此方程有根有以下情形对于图)(),(),(c b a ，易知0)2(≤-f 和0)2(≤f 中至少有一个成立 即有022≤++-b a 或022≤++b a由线性规划知识可知，),(b a 满足的平面区域如图阴影部分所示且点O 到直线的距离为5252002=++⨯Oxyxyxxxx)(a )(b )(c )(d )(e故此时5422≥+b a ，其中当52,54-=±=b a 时取等号 对于图)(),(e d ，显然有4≥a ，此时1622≥+b a ，故有22b a +的最小值为54． 二．填空题：本大题共5小题，共25分．11. )81,0(- 12. ),2()81,0(+∞ 13.116 14. 12+n n 15.π)3(2n n +三. 解答题：本大题共6小题，共75分． 16.（13分）解：（1）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=),1,2(),1,3(m m AC AB --== 由三点共线知m m -=-2)1(3∴实数21=m 时，满足的条件…………6分（2）由题设知),1(),1,3(m m BC BA ---=--=ABC ∠ 为锐角，43033->⇒>++=⋅∴m m m …………12分又由（1）可知，当21=m 时， 0=∠ABC ，故),21()21,43(∞+-∈ m …………13分17.（13分）解：（1）a x b a x b x a x f +++=++=)2sin(42sin 2)2cos 1()(22ϕ，由题设知214,142222-=+-=+b a a b a ，所以21=a ，3=b (4)分所以21)62sin(212cos 212sin 23)(++=++=πx x x x f ， 所以)(x f 的最小正周期为π…………7分 （2）由63226222πππππππππ+≤≤-⇒+≤+≤-k x k k x k ，所以)(x f 单调增区间为]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈…………13分18.（13分）解：（1）11333log log --⋅=n n n a a ，)1(log log 133-+=-n a a n n)1(21log log 133-+++=-n a a n 2)1(-=n n ，n a 3log 2)1(-=n n ， )9(log 3n n n a S =252nn -=)(*N n ∈…………4分211-==S b ，当2≥n 时，31-=-=-n S S b n n n ，∴数列}{n b 的通项公式3-=n b n )(*N n ∈．…………7分（2）设数列|}{|n b 的前n 项和为n T ，当03≤-=n b n 即3≤n 时，n n S T -=252n n -=； 当3>n 时，32S S T n n -=21252+-=n n ．…………13分19（12分）解： （Ⅰ）由20a xx a-->-得：2a x a -<<…………2分()f x 为奇函数，2 1.a a a ∴-=-⇒=经验证可知：1=a 时，)(x f 是奇函数，1=a 为所求…………5分（Ⅱ）12121()log ,().121x x x f x f x x -+-=∴=-+ …………8分 法一：由1()2x f x m --=⋅得：22(2)2(21)3(21)22121x x x x x xm -+-++==++ 2(21)3 3.21xx =++-≥+当且仅当2log 1)x =时，min 3m =所以m 的取值范围是3,)+∞…………12分 法二：原方程即2(2)(1)20x xm m -+-=设2xt =，则2(1)0t m t m -+-=原方程有实解，等价于方程2(1)0t m t m -+-=有正实解…………6分令2()(1)g t t m t m =-+-则(0)0g <或(0)0102g m =⎧⎪⎨+>⎪⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥++=∆>02104)1(0)0(2m m m g …………10分 0m ⇒>或0m =或30m ≤<所以m的取值范围是3,)+∞…………12分20.(12分) 解：（I ）由椭圆定义知：42=a ∴2=a ∴14222=+b y x 把()1,1代入得11412=+b∴ 342=b 则椭圆方程为134422=+y x ∴ 38344222=-=-=b a c ∴ 362=c 故两焦点坐标为)0,362(),0,362(-．…………3分 （II ） 用反证法 ： 假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为()1,1-- ，此时22=AB 取椭圆上一点()0,2-M ，则10=AM ∴AB AM >．从而此时AB 不是最大，这与AB 最大矛盾，所以命题成立．…………7分（III ）设AC 方程为：()11+-=x k y 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 消去y 得()()01631631222=--+--+k k x k k xk ∵点()1,1A 在椭圆上∴1316322+--=k k k x C …………9分∵ 直线AC 、AD 倾斜角互补 ∴ AD 的方程为()11+--=x k y同理 1316322+-+=k k k x D …………10分又()()11,11+--=+-=D D C C x k y x k y()k x x k y y D C D C 2-+=-所以31=--=D C D C CD x x y y k 即直线CD 的斜率为定值31．…………12分21.(12分)过C ：xy 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 于是有：21+=+n n n x x x . …………2分记3121+-=n n x a ，则n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++，因为023121,711111≠-=+-==x a x 而， 因此数列{3121+-n x }是等比数列. ………… 6分（3）由（2）可知：31)2(12,)2(--+=-=n n nn x a 则，31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-n n n n n x .当n 为偶数时有：- 11 - =-+---n n n n x x )1()1(11 =n n n n n n n n n n n n 21212222)312)(312(2231213121111111+<⋅+<-++=-++------， 于是①在n 为偶数时有：12121212121)1()1()1(432221<+++++<-++-+-n n n x x x .…………10分 ②在n 为奇数时，前n -1项为偶数项，于是有： n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+--- 131211)31)2(12(11)1(1<++-=--+-=-=-+<n n n n n x x .…………12分综合①②可知原不等式得证.。
2010学年高三年级第一次练习数学试卷理参考答案
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1．答案：1． 因 (1 i)(1 ai) 1 a (1 a)i 是实数，所以 a 1．
a 1 ，满足 a 3 ，于是 b 211 4 ； a 2 ，满足 a 3 ， b 221 8 ； a 3 ，满足 a 3 ，则 b 231 16 ； a 4 ，不满足 a 3 ，则输出 b ， b 16 ．
1
11．答案： ．
2
满足条件的选法可分为三类：
时， 2x
3
3
,
2 3
，…………（12
分）
所以函数 f (x) 的值域为
3 2
, 1
．…………（14
分）
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
解：（1）由已知，当 x 0 时， C(x) 8 ，即 k 8 ，所以 k 40 ，……（1 分） 5
2b a c ，由勾股定理， a 2 b2 c 2 ，得 a 2 a c 2 c 2 ， 5a 2 2ac 3c 2 0 ， 2
解得 a 3 ，令 a 3k （ k 0 ），则 c 5k ，得 b 4k ．所以 a : b : c 3 : 4 : 5 ． c5
连结 OM ，则 OM AB ，……（2 分） 设 OM r ，则 OB 2r ，…………（4 分） 因为 BC OC OB ，所以 BC 3r ，
上海市崇明县2010届高三上学期期末考试(数学理)(含答案)
上海市崇明县2010届高三上学期期末考试试卷高三数学（理科）（满分150分，答题时间120分钟）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．一、填空题（每小题4分，共56分）1、设}5,4,3,2,1{=U ，{}1)43(log 22=+-=x x x M ，那么=M C U .2、若函数)(x f y =是函数xy alog=（1,0≠>a a ）的反函数，且2)1(=-f ，则=)(x f . 3、一个三阶行列式按某一列展开等于22113311332232 ba b a ba b a ba b a ++，那么这个三阶行列式可能是 .（答案不唯一） 4、已知6π-=x 是方程3)tan(3=+αx 的一个解，)0(，πα-∈，则=α ．5、右图是一个算法的流程图，最后输出的 =W．6、若圆锥的侧面积为π20，且母线与底面所成的角的余弦值为54，则该圆锥的体积为.7、已知二项展开式5522105)1(x a x a x a a ax +⋯+++=-中，803=a ，则5210a a a a +⋯+++等于 . 8、复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a .9、已知n S 是数列{}n a 前n 项和，2,111+==+n n a a a （*N n ∈）,则limn n nna S →∞= 。
10、定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧---=+)1()()4(log )1(2x f x f x x f,0,>≤x x，计算)2010(f 的值等于 .·A BCO11、如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，︒=∠90ABC ，BCBA =，球心O 到平面ABC 的距离是223，则B 、C 两点的球面距离是 .12、若命题p ：34-x ≤1；命题q :)2)((---m x m x ≤0，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .13、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为︒120.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x + 的取值范围是 .14、已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 .二、选择题（每小题4分，共16分）15、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若31-=a 且4a 是3a 与7a 的等比中项，则10S 等于…………………………………………………………………………………（ ） （A ）18 （B ）24 （C ）60 （D ）90 16、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=4cos 12sin 2ππx x y 的最大值、最小值分别为 …………………………（ ）（A ）2，2-（B ）21,23- （C ）21,23 （D ）23,21-17、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数))((mi n ni m -+为实数的概率为 …………………………………………………………………………………………（ ） （A ）31 （B ）41 （C ）61 （D ）12118、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，（有0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 则当*N n ∈时，有……………………………（ ）（A ）)1()()1(-<-<+n f n f n f（B ）)1()()1(+<-<-n f n f n f （C ）)1()1()(+<-<-n f n f n f（D ）)()1()1(n f n f n f -<-<+三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数xx x f 2sin)32cos()(++=π.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期； （2）设C B A ,,为∆ABC 的三个内角，41)2(-=Cf ，且C 为锐角，35=∆ABC S ，4=a ，求c 边的长．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直四棱柱D C B A ABCD ''''-中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，4=AB ，2==CD BC ，21=AA ，E 、F 、G 分别是棱11B A 、AB 、11D A 的中点.（1）证明：直线GE ⊥平面1FCC ； （2）求二面角C FC B --1的大小.ABFCDEGA 1D 1 C 1B 121、（本题满分16分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题8分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。
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2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、方程4220x
x
+-=的解是 。
2、设集合{}|
0,|12x A x B x x x ⎧⎫
=>=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B ⋃= 。
3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。
4、若3
sin 5θ=-
，则行列式cos sin sin cos θθθ
θ
= 。
5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。
6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。
8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的
二元一次方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩，
的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。
（用数字作答）
9、已知函数()y f x =存在反函数1
()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数
1()y f x -=的图象必经过点 。
10、若函数)1lg ()(2
--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
11、若2010
22010
0122010
(13)()
x
a ax a x a x x R -=++++∈，则
2010
12
22010
33
3
a a a +++
= 。
12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2
,x y -这四个数据的平均数为1，则1
y x
-
的最小值为 。
13、设,,a b R ∈且1b ≠。
若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是 。
14、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和为n S ，满足2222
23457,7a a a a S +=+=，则使
得1
2
m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为 。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“2
2b a >”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件
16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程101
21011
x
y =的一个法向量的是（ ） （A ）()1,2n =- （B ）()1,2n =-- （C ）()2,1n = （D ）()2,1n =-
17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令*a b m q n p =-。
给出以下四个命题：（1）若a 与b 共线，则*0a b =；（2）**a b b a =；（3）对任意的R λ∈，有
()*(*)a b a b λλ=；
（4）2
2
22
(*)()a b a b a b +⋅=⋅。
（注：这里a b ⋅指a 与b 的数量积） 则其中所有真命题的序号是（ ）
（A ）（1）（2）（3） （B ）（2）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（1）（2）（4）
18、函数x x
x x
e e y e e --+=-的图像大致为 (
)
C
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且s i n c o s s i n c o s 3s i n c o s C B B C A B
+=。
（1） 求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，且22=b ，求a 和c 的值。
20．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。
设函数[)(),0,1
a
f x x x x =+
∈+∞+。
（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）当01a <<时，试判断函数()f x 的单调性，并证明。
21．（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。
已知关于x 的不等式2
(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k ，使得上述不等式的解集A 中只有有限个整数？若存在，求出使得A 中
整数个数最少的k 的值；若不存在，请说明理由。
22．（本题满分18分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分6分。
各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*2(1)()n n n S a a n N +=+∈。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*112,2()n n
b b b n N +==∈，数列{}n
c 满足
*,21
(),2n n n a n k c k N b n k
=-⎧=∈⎨=⎩，
数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）若数列2
*24()4
n n P n n N =+∈，甲同学利用第（2）问中的n T ，试图确定*
22()k k T P k N -∈的值是否可以等于2011？为此，
他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。
23．（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。
若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。
已知点00(,)P x y 、(,)M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x 。
（1）试用00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x ；
（2）若C 的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>（如图），
求证：E F x x ⋅是与MN 和点P 位置无关的定值； （3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C ，试探究E x 和
F x 经过某种四则运算（加、减、乘、除）
，其结果是否是与MN 和点P 位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1. 2. 3.
4. __
5. _
6.
7. __ 8. _ 9.
10. 11. 12.
13. 14.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）本大题必须使用2B铅笔填涂 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
17．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题（本大题共5题，满分74分）。