Lebesgue积分的论述

泛函分析题目：Lebesgue积分的叙述学院：理学院专业：基础数学姓名：***日期：2015年12月23日目录摘要 (I)引言 (1)一、Lebesgue积分的定义 (2)二、Lebesgue控制收敛定理 (4)三、黎曼积分与Lebesgue积分的关系 (5)四、全连续函数 (6)参考文献 (7)Lebesgu e积分的论述摘要：Lebesgue积分是Lebesgue在发现黎曼积分的缺陷后在黎曼积分定义的基础上扩张的一种新的积分方法，本文以Lebesgue积分的三种等价定义为主，Lebesgue控制收敛定理为辅来认识的Lebesgue积分，希望能对Lebesgue积分有个基础的认识，同时本文还简单介绍了一下全连续.关键词：Lebesgue积分、黎曼积分、全连续引言：黎曼积分的概念与理论是数学史上非常重要的一部分，它作用于许多学科，比如常微分方程、复变函数论和概率论等课程中.但是黎曼积分有一个很大的缺点，就是黎曼可积函数列的极限并不一定是可积的，或者说黎曼可积函数类对极限运算是不封闭的.换句话说，黎曼可积函数对极限运算是不完备的.所以我们希望扩张黎曼可积函数类，即重新定义一种积分，它的可积函数类对极限是封闭的.也就是说，我们要给出的一种新的积分定义，这就是20世纪初Lebesgue引进的Lebesgue积分.Lebesgue 积分的论述 一、Lebesgue 积分的定义一般定义勒贝格积分的方法有三种，并且是互相等价的，下面会分别叙述并给予简单说明.定义 1 设)(x f 是)(∞<⊂mE R E n 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的勒贝格积分⎰∈≤=En Ex x f x h R x h dx x h dx x f })(:)({sup)(),()(上的非负可测简单函数是，这里的积分可以是∞+；若⎰∞<E dx x f )(，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的.()x f 为n R E ⊂上的可测函数，若积分⎰⎰-+⋅E E dx x f dx x f )()( 中至少有一个是有限值，则称⎰⎰⎰-+-=E E E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的勒贝格积分；当上式右端两个积分皆为有限时，则称)(x f 是E 勒贝格可积的（勒贝格可积又称L 积分）.定义 2 设)(x f 是)(∞<⊂mE R E n 上的有界可测函数.即存在1,R B A ∈,使],[)(B A E f ⊂,若B y y y y A D n =<<<<= 210：是],[B A 的任意分割，设)(max },,)(|{111-≤≤--=∈<≤=i i ni i i i y y E x y x f y x E λ任取n i y y i i i ,,2,1],,[1 =∈-ξ，作和i i i mE ∑=1ξ，如果存在一个常数J ,使得对],[B A 的任意分割和介点i L 的任意选取，都有i i i mE ∑=→1lim ξλ存在，且 J mE i i i =∑=→1lim ξλ,则称)(x f 是E 上可积的，且称该极限值为)(x f 在E上的L 积分，记为⎰E dx x f )(.定义3 设)(x f 是)(∞<⊂mE R E n 上的有界可测函数.作E 的任意分割 ni i E E D 1:==，其中i E 为互不相交的非空可测子集.设)(inf ),(sup x f A x f B iiEx i E x i ∈∈== 则D 的大和及小和为i ni i D i ni i D mE A s mE B S ∑∑====11,若⎰⎰=E E dx x f dx x f )()(，则称)(x f 在E 上是可积的，且称该共同值为)(x f 在E 上的L 积分，记为⎰E dx x f )(.关于勒贝格积分定义的说明(1) 第一种定义说明)(x f 在E 上勒贝格可积⇔|)(|x f 在上E 上勒贝格可积.而这对于黎曼积分确实不对的，例如：⎩⎨⎧=中的无理数为，中的有理数为]1,0[1-]1,0[,1)(x x x f这个函数在闭区间]1,0[不是黎曼可积的，但1|)(|=x f 在闭区间是黎曼可积的.(2) 第二种定义是勒贝格本人最初的定义，也是弥补黎曼积分缺点的所在，黎曼积分要求函数在任意区间上的振幅不能太大，即函数不能太不连续.（3）第三种定义与一般的数学分析教材上的黎曼积分定义的形式非常相象，只是将区间],[B A 分割成在小区间改成区间],[B A 分割成可测子集；就是这一点改动，就形成了数学科学发展的一座里程碑.这种定义便于将勒贝格积分同黎曼积分进行比较. 综上所述，上面三种勒贝格积分定义各有其特色.二、Lebesgue 控制收敛定理设q R E ⊆为可测集，{}∞=1n n f 为E 上的一列可测函数.F 是E 上的非负L 可积函数，如果对于任意的自然数n ，()()x F x f n ≤..e a 于E 且()()x f x f n n =∞→lim ..e a 于E ，则(ⅰ) ()()⎰=-∞→E n n dx x f x f 0lim； (ⅱ) ()()⎰⎰=∞→EE n n dx x f dx x f lim. 证明这个定理之前，先介绍法图引理.法图引理：设q R E ⊆为可测集，{}∞=1n n f 为E 上的一列非负可测函数，则()()⎰⎰∞→∞→≤E E n n n n dx x f dx x f lim lim .证明 令()(){}E x n k x f x g k n ∈≥=,:inf .则{}∞=1n n g 是E 上的一列非负可测函数且E x ∈时()()()x f x g x g n n n 110++≤≤≤，于是()()()()⎰⎰⎰⎰∞→∞→∞→∞→≤==Enn Enn nE n E nn dx x f dx x g dx x g dx x f lim lim lim lim .现在证明Lebesgue 控制收敛定理证明(ⅰ)： 显然f 在E 上可测且()()x F x f ≤..e a 于E ，所以f 在E 上L 可积，每个n f 也在E 上L 可积.令()()()x f x f x g n n -=，E x ∈，则n g 在E 上非负L 可积，()()x F x g n 20≤≤..e a 于E 且()0lim =∞→x g n n ，..e a 于E .因而()()02≥-x g x F n ..e a 于E 且()()()()x F x g x F n n 22lim =-∞→..e a 于E .由法图引理：()()()()()()()dx x g x F dx x g x F dx x F En n E n n E⎰⎰⎰-≤-=∞→∞→2lim 2lim 2()()()()()dx x g dx x F dx x g dx x F En n E E E n n ⎰⎰⎰⎰∞→∞→-=-=lim 22lim . 所以()⎰≤∞→E n n dx x g 0lim.由于()0≥⎰E n x g ，故()0lim =⎰∞→dx x g E n n . 即 ()()⎰=-∞→En n dx x f x f 0lim . (ⅱ)由(ⅰ)即得.Lebesgue 控制收敛定理为积分与极限次序的交换所提供的充分条件有着广泛的作用.它是Lebesgue 积分理论中最重要的结果之一.三、黎曼积分与Lebesgue 积分的关系就一元函数讨论黎曼积分和Lebesgue 积分的关系.在这里把一元函数()x f 在[]b a ,上的黎曼积分记作()()dx x f R ba ⎰，Lebesgue 积分记作()()[]dx x f L b a ⎰,.先给出有界函数()x f 在[]b a ,上R 可积的一个充要条件，然后讨论这两种积分之间的关系.设()x f 在[]b a ,上的一个有界函数，[]b a x ,∈时()M x f ≤.对于任意的自然数n ，作[]b a ,的分法()()()()b x x x a T n P n n n n=<<<= 10:，使得∞→n 时，()0→n T δ，这里()()(){}n n i n i n P i x x T ,,3,2,1:max 1 =-=-δ表示分法()n T的最大区间长.令()()()(){}n i n i n i x x x x f M ≤≤=-1:sup ，()()()(){}n i n i n i x x x x f m ≤≤=-1:inf ,由数学分析中黎曼积分的相关知识可知，当∞→n 时()()()()()()()()()(),,1111dx x f x xm dx x f x x M baP i n i n in i baP i n i n i n i nn⎰∑⎰∑→-→-=-=-这里()dx x f b a ⎰和()dx x f ba ⎰分别是()x f 在[]b a ,上的达布上积分与下积分.四、全连续函数设()x F 为[]b a ,上的有限函数，如果对任意0>ε，存在0>δ，使对[]b a ,中互不相交的任意有限个开区间()i i b a ,，n i ,...,2,1=，只要()δ<-∑=ni iia b 1，就有()()ε<-∑=ni iia Fb F 1，则称()x F 为[]b a ,上的全连续函数. 设()μ,,R X E 为测度空间，δE 为互不相交的任意有限个开区间,...2,1=δ，f 为E 上的可测函数，对任意的0>ε，存在0>δ，当E e ∈且()δμ<e 时，就有⎰<efd εμ.不难证明全连续函数是一致连续函数，并且也是有界变差函数，满足利普希茨条件的函数是全连续函数.参考文献[1] 数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2010.7.[2] 数学分析(下)[M].北京:高等教育出版社,2010.7.[3] 实变函数与泛函分析基础[M].程其襄.北京:高等教育出版社,2010.6.[4] 实变函数论与泛函分析(下)[M].夏道行,吴卓人.北京:高等教育出版社,2010.1.。