2015高三数学月考试卷
陕西省西安一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
陕西省西安一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2+3﹣4＜0}，则A∩B等于( ) A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞）；由B中的不等式变形得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，即B=（﹣4，1），则A∩B=（0，1）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是( ) A．B．﹣C．D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部即可得出．解答：解：复数z满足z====，则z的共轭复数为，其虚部为．故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部等基础知识，属于基础题．3．若向量，满足||=1，||=，且⊥，则与的夹角为( ) A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=0，即1+1××cos＜＞=0，由此求得cos＜＞的值即可求得＜＞的值．解答：解：由题意可得=0，即=0，∴1+1××cos＜＞=0．解得cos＜＞=﹣．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故选C．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．4．二项式展开式中的常数项是( )A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：求出展开式的通项公式，利用展开式的通项公式进行求常数项．解答：解：展开式的通项公式为，由5﹣5r=0，解得r=1即展开式中的常数项为．故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，要求熟练掌握二项式定理的通项公式．5．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．分析：A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．解答：A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．6．点（a，b）在直线x+2y=3上移动，则2a+4b的最小值是( )A．8 B．6 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意可得，a+2b=3，然后由基本不等式可求2a+4b，即可求解解答：解：由题意可得，a+2b=3∵2a+4b=2=4（当且仅当a=2b即a=时取等号）故2a+4b的最小值4故选C点评：本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题7．执行如图的程序框图，如果输入p=5，则输出的S=( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：综合题；图表型；转化思想；综合法．分析：观察框图，属于循环结构中的直到型，S的初值为0，第一次执行循环体后加进去2﹣1，第二次执行循环体后加入2﹣2，．．第n次执行循环体后加入2﹣n，由此明确其运算过程，解答：解：由图可以看出，循环体被执行五次，第n次执行，对S作的运算就是加进去2﹣n故S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣5==故选C点评：本题考查程序框图循环结构，求解本题的关键是从图中解决两个问题一个是循环的次数，一个是做了什么运算，明白这两点，即可根据运算规则算了所求的数据，此类型的题是近几年2015届高考中比较热的一种题型，以框图给出题面，用数列或是函数等别的知识进行计算，对此类型题要多加注意．8．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=a（a∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：由题意可得，是与面积有关的几何概率，分别求出构成试验的全部区域是矩形OACB 的面积，构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫0a sinxdx=﹣cosx|0a=1﹣cosa，代入几何概率的计算公式可求解答：解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：a×记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫0a sinxdx=﹣cosx|0a=1﹣cosa由几何概率的计算公式可得P（A）=a=故选B点评：本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积．9．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A．36个B．24个C．18个D．6个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；分类讨论．分析：各位数字之和为奇数的有两类：一是两个偶数一个奇数：有C31A33种结果，所取得三个都是奇数：有A33种结果，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33=18个；②三个都是奇数：有A33=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选B．点评：本题考查分类计数问题，是一个数字之和是奇数还是偶数的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．10．已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴e=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是52．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图，可以得到树苗的高度的数据，按照从小到大排列，根据中位数的定义，即可得到甲和乙的中位数，从而得到答案．解答：解：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19，20，21，23，24，31，32，33，37，观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10，10，14，24，26，30，44，46，46，47，∴甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为=28，∴甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和为24+28=52．故答案为：52．点评：本题考查了统计中的茎叶图，众数、中位数、平均数等基本概念．众数是指在这组数据中出现次数最多的一个数，中位数是指将数据从小到大排列，处于中间位置的数，如果中间位置有两个数，则取这两个数的平均值，属于基础题．12．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=123．考点：类比推理；等差数列的通项公式．专题：规律型．分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故答案为：123．点评：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．13．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．14．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．解答：解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．三、（极坐标系与参数方程）选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15．（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ=4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标，再把点A的坐标化为直角坐标，利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：由曲线ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2）．由点，可得=2，y A==2，∴A．∴|AC|==．故答案为：．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式，属于基础题．四、（几何证明选讲）（共1小题，每小题0分，满分0分）16．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接AB，根据弦切角定理及三角形相似的判定，我们易得△PBA～△ABC，再由相似三角形的性质，我们可以建立未知量与已知量之间的关系式，解方程即可求解．解答：解：依题意，我们知道△PBA～△ABC，由相似三角形的对应边成比例性质我们有，即．故答案为：．点评：在平面几何中，我们要求线段的长度，关键是寻找未知量与已知量之间的关系，寻找相似三角形和全等三角形是常用的方法，根据相似三角形的性质，很容易得到已知量与未知量之间的关系，解方程即可求解．五、（不等式选讲）选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）17．（不等式选讲选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取取值范围是（﹣∞，0）∪．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，则f（x）=，如图所示．由于关于x的不等式存在实数解⇔＜f（x）max，解出即可．解答：解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，则f（x）=，如图所示．∵关于x的不等式存在实数解，∴＜f（x）max=3，解得，故a的取值范围是（﹣∞，0）∪．故答案为（﹣∞，0）∪．点评：本题考查了含绝对值的不等式的恒成立问题的等价转化、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；综合题．分析：（I）化简函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期；（II），推出，再求函数f（x）的最大值，最小值．解答：解：（I）．∴f（x）的最小正周期为π；（II）．∵，∴，∴∴．∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，是基础题．19．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，知2a2=a1+（a3﹣1）=a3，由此能求出数列{a n}的通项公式．．（Ⅱ）由b n=2n﹣1+a n，知（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．点评：本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．20．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．解答：（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．点评：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．21．某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放．（二）人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气．活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10﹣60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示．宣传效果调查表广告一广告二回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率[10，20）90 0.5 45 a[20，30）225 0.75 k 0.8[30，40）b 0.9 252 0.6[40，50）160 c 120 d[50，60]10 e f g（1）分别写出n，a，b，c，d的值．（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元．组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图和统计表求解．（2）由题意知，大人正确回答广告一内容的概率为P（A）=，孩子正确回答广告二的内容的概率为P（B）=，ξ可能取值为0，30，60，90，分别求出相应的概率，由此能求出该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．解答：解：（1）由题意知，[10，20）岁中抽查人数为90÷0.5=180人，[10，20）岁中抽查人数的频率为0.015×10=0.15，∴n=180÷0.15=1200．∴a==，b=（252÷0.6）×0.9=378．c，d==．（2）由题意知，大人正确回答广告一内容的概率为P（A）=，孩子正确回答广告二的内容的概率为P（B）=，则ξ可能取值为0，30，60，90，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=30）==，P（ξ=60）=（1﹣）=，P（ξ=90）==．∴ξ的分布列为：ξ0 30 60 90P∴Eξ==35．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P在椭圆C上，且满足△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意知：，由此能求出椭圆C方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在，使得．解答：解：（I）由题意知：，解得，∴椭圆C方程为：（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，则又==而===为定值．只需，解得：，从而=．当k不存在时，此时，当时，=故：存在，使得．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．23．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的a∈[，2]，不等式{a n}在n上恒成立，求S n的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可求得；（2）利用判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（3）由题意得即可得出结论．解答：解：（1）f′（x）=1﹣，由导数的几何意义得f′（2）=3，于是a=﹣8，由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9，所以函数f（x）的解析式为f（x）=x﹣+9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）f′（x）=1﹣，当a1=1时，显然f′（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（﹣∞，0），{b n}内是增函数；当a＞0时，令f′（x）=0，解得x+±；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞）﹣（﹣，0）（0，）（，+∞）f′（x） + 0 ﹣﹣0 +f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）内是增函数，在（﹣，0），（0，）内是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（2）知，f（x）在b1=1上的最大值为f（）与f（1）中的较大者，对于任意的R，不等式f（x），g（x）在h（x）=kx+b上恒成立，当且仅当即，对任意的x∈R成立，从而得满足条件的b的取值范围是f（x）≥h（x）≥g（x）﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，求函数最值等知识，考查学生的运算求解能力，属于难题．。
江苏省南京师大附中2015届高三12月月考数学试题苏教版
15．（本小题满分 14 分）
设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边长分别为
a， b， c，且
b
2＝
1 2
ac．
(1) 求证： cos B≥34；
(2) 若 cos(A－ C)＋ cos B＝1，求角 B 的大小．
16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，已知∠ ACB＝ 90°，BC＝ CC1，E，F 分别为 AB，AA1
则输出 i 的值为
▲
．
8．若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足
1
2
CM CB CA ，则 MA MB ＝
▲
．
6
3
9．有下面四个判断：
①命题 “设 a、b∈ R，若 a＋b≠６，则 a≠３或 b≠3”是一个假命题；
②若 “p 或 q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； ③命题 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≥ 2a( －b－ 1) ”的否定是 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≤ 2a(－b－ 1) ”；
的中点． (1) 求证：直线 EF ∥平面 BC1A1； (2) 求证： EF⊥ B1C．
17． (本小题满分 14 分 ) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以
30 天计），日旅游人数 f (t ) （万．人．）与
时间 t （天）的函数关系近似满足
f (t )
4
1
，人均消费
t
g (t ) （元．）与时间 t （天）的函数
1．在复平面内，复数－ 3＋ i 和 1－ i 对应的点间的距离为
▲
．
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的
高三数学月考试题及答案-山大附中2015届高三12月月考(理)
山西省山大附中2015届高三12月月考（理）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1.设不等式02≤-x x 的解集为M ，函数()x x f -=1lg )(的定义域为N ，则=⋂N MA.(]0,1-B.[)1,0C.()1,0D.[]1,0 2.若复数z 满足()i z i 21-2+=，则z 的虚部位A.55 B.i 55C.1D.i 3.命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是A.若b a +不是偶数，则b a ,都不是偶数B.若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数C.若b a ,都不是偶数，则b a +不是偶数D.若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数 4.已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为 A.24 B.39 C.52 D.104 5.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=a A.1 B.21 C.2 D.416.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是A.偶函数且它的图像关于点()0，π对称 B.偶函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称 C.奇函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称D.奇函数且它的图像关于点()0，π对称 7.执行如图所示的程序框图，若13)(2-=x x f ，取101=ε，则输出的值为A.3219 B.169C.85D.438.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是9.已知A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中30,24,18===AC BC AB ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.π1200B.π1400C.π1600D.π180010.已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-10012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数x e y =的图像上，那么实数a 的取值范围为A.[)4,eB.[)+∞,eC.[)3,1D.[)∞+，2 11.已知函数x x x g kx x f ln )(,)(==，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210e ， D.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 12.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.⎪⎭⎫⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛132， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，， 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a，如果向量b a λ+与b 垂直，则b a λ-2的值为14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有种.15.圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是16.函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17.如图，在ABC ∆中，3π=B ，2=BC ，点D 在边AB 上，DC AD =，AC DE ⊥，E 为垂足．(1)若BCD ∆的面积为3，求CD 的长； (2)若26=ED ，求角A 的大小．18.已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列{}n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且1,31>=n a a （1）设)1(l og 2-=n n a b ，证明：数列{}1+n b 为等比数列（2）设n n nb c =，求数列{}n c 的前n 项和n S19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=(1)求证：平面ABC ⊥平面APC(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值(3)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M-PA-CBM 的最小值20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的两个顶点恰好是双曲线131522=-x y 的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点)3,2(),3,2(-Q P ，在椭圆上，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点， ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当B A ,运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.21.已知函数)(x f 的定义域()∞+，0，若xx f y )(=在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(xx f y =在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。
高三数学-2015届高三3月综合测试数学试题
2015届高三3月综合测试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：12(2i )(i)=(2m+1)+(2-m)i z z m ⋅=-+为实数,所以20, 2.m m -== 考点：复数概念，复数运算2.已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1a a a a ===或，解得1a = 考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ． 【答案】20 【解析】试题分析：松树苗的棵数为400150=203000⨯ 考点：分层抽样4.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ▲ ． 【答案】13【解析】试题分析：当12=2S S 时，点P 为边AB 三等分点M （靠近B 点），所以122S S >的概率是13BM AB = 考点：几何概型概率5.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲【解析】试题分析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y by x a b a-==±，，所以2,,a b c e ===考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．【答案】25 【解析】试题分析：第一次循环： 1,3S n ==，第二次循环： 4,5S n ==，第三次循环： 9,7S n ==，第四次循环： 16,9S n ==，第五次循环： 25,1110S n ==>，结束循环，输出25S = 考点：循环结构流程图7.函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ▲ ． 【答案】(,0)-∞ 【解析】试题分析：由题意得230,23,0x x x x x ->><，所以定义域为(,0)-∞ 考点：函数定义域8.1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 【答案】16【解析】，体积为21136=考点：三棱锥的体积9.在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积为，则BC 边长为 ▲ ． 【答案】7 【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-==考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f ≤的解集为 ▲ ． 【答案】[)1,-+∞ 【解析】试题分析：由题意得：()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且1)(1)1f f ==，所以)(1)11f x f x x -⇔-+⇔≥-≤，即解集为[)1,-+∞考点：利用函数性质解不等式11.已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意得：2222T ππωω==⇒=,所以22()242k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，即1322()44k x k k Z -≤≤+∈，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤≤，即单调增区间为13[,]44- 考点：三角函数性质12.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ． 【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由33k S =，163k S +=-得112196192k k k k k a S S a a q ++++=-=-==，，所以263+192=129k S +=-考点：等比数列性质13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE = ，3BC BF = ．若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅ 的值为 ▲ ．【答案】7 【解析】试题分析：因为,EF EA AB BF EF ED DC CF =++=++ ，所以32EF AB DC =+，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅== 考点：向量数量积14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离之和为22a b +的最大值为 ▲ ． 【答案】18 【解析】=|||2|4a b a b -++-=，其图像为一个正方形，四个顶点分别为(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)A B C D ----, 而22a b +表示到原点距离的平方，所以22a b +的最大值为218OD = 考点：线性规划求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ． (1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．【答案】(1) 13【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：sin 2cos θθ=，再代入式子化简即可：sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++ (2)先由2-=a b得-ab 2=，化简得12cos sin 0θθ-+=，再根据平方关系22cos sin 1θθ+=解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-ab 2=，即12cos sin 0θθ-+=， ① ………………………………………10分 又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由① ②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……12分所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=． ……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点．(1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析 【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到//PA EF ，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点P 作PD AB ⊥，则PD ⊥平面ABC ,从而PD BC ⊥，又P B B C ⊥，从而BC ⊥平面PAB ,因此BC PA ⊥试题解析：（1）在PAC ∆中，E 、F 分别是PC 、AC 的中点，所以//PA EF ， 又PA ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以//PA 平面BEF ．……………………………………6分 （2）在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ． 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ,………………8分又BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？【答案】(1) 10210xxθ+=+ (2) 1x = 【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用θ与x 表示后，利用其和为30列式，再解出θ即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用θ与x 表示，再利用第（1）问的结果消去x ，从而可得到y 关于x 函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定y 取最小值时x 的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为 ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+，…………………………………4分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ……………………9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==．答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用. 18.(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．【答案】(1) 3x =或4360x y --=． (2) 【解析】试题分析：（1）求ABC ∆的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点,P N 的坐标，再把点M 的坐标用其表示，把点,M N 的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意,,P N M 三点不能重合，即圆和线段BH 无公共点.试题解析：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以外接圆圆心(0,3)H，H 的方程为22(3)10x y +-=．………………4分设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被H 截得的弦长为2，所以3d =． 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-3=，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………8分 (2) 直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤， 因为点M 是点P ，N 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩……………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+， …12分 又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在上的值域为[325，10]，故2325r ≤且2r 10≤9． 15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故C 的半径r的取值范围为． ……………………………16分 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）1(2,)3-；（2）71(,)(,)548-∞--+∞ ；（3）当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=. 【解析】(3) 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． (12)分由题意知，21000()35k f x x x a '==++，22000525(2)122024k f x x x a '=--=+++，若存在常数λ，使得21k k λ=，则220000251220(35)4x x a x x a λ+++=++， 即常数λ，使得20025(4)(35)(1)4x x a λλ-+=--， 所以常数λ，使得40,25(1)0.4a λλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得常数λ，使得4λ=，2512a =． ………15分故当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．16分考点：函数与方程、导数的综合应用. 20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列． （ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）21n a n =-；（ⅱ）详见解析；（2）137,156⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由12,a a 可得12,S S ，在递推关系式2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥中，由12,S S 可求3S ，进而求出3a ，于是可利用{}n a 是等差数列求出x 的值，最后可求出{}n a 的通项公式，（ⅱ）易知()21641n n C t t B =--，所以要比较n C 和n B 的大小，只需确定n B 的符号和21641t t --和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式21132n n n S S S n +-++=+通过变形得出36(2)n n a a n +-=≥，于是可以看出任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，须且只需12345a a a a a <<<<，从而可以求出x 的取值范围． 试题解析：(1)（ⅰ）因为21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==，所以3149a x =-， ……………………2分 又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =， 所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分 （ⅱ）因为()21*n a n n =-∈N ，所以21220n a n n b -==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--， …………………………………5分 所以其前n 项和()21641n n C t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--， ……7分当14t <-或12t >时，n n C B >；当14t =-或12t =时，n n C B =；当1142t -<<时，n n C B <．…………………………………………………………9分（2）由21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()221312(*)n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得2163(2,*)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥， ……………………10分 所以()321613(*)n n n a a a n n +++++=++∈N ,再作差得36(2,*)n n a a n n +-=∈N ≥，………………………………………………11分 所以，当1n =时，.1n a a x ==；当31n k =-时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-； 当3n k =时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分 因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<， 所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线C 在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '的方程再与方程2214x y +=加以比较得出a b ,的值，也可在曲线C 上取两特殊点经阵M 所对应的变换作用下得到点在曲线C '上，代入C '方程，求出a b ,的值. 试题解析：设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11ax x by y =⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程． 又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C (选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】62． 【解析】试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρsin 2cos 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1,…4分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l上的点P +⎝向圆C 引切线长是所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长. 22.（本小题满分10分）某品牌汽车4S 店经销,,A B C 三种排量的汽车，其中,,A B C 三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）155；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出X 各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155． ………………………………4分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.则3335433123(1),44C C C P X C ++===1115433123(3)11C C C P X C ===， 29(2)1(1)(3)44P X P X P X ==-=-==． 所以X 的分布列为……………………………8分数学期望329397()12344441144E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………10分 考点：随机变量的概率分布. 23.（本小题满分10分）已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）1(,1)2Q -．考点：曲线与方程.。
2015届高三10月月考数学试题
高三10月月考试题高 三 数 学 2014.10注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．上． 1．已知集合{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<=且，则实数a 的取值范围是▲ ．2．命题“若a 2+b 2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是 ▲ ． 3．已知函数3()2log cos x f x x x =++,则()=f x ' ▲ ． 4的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是▲ ．5．已知定义域为R 的函数)(x f为奇函数.且满足)()2(x f x f -=+，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则6．若sinx 3)(+=x x f ，则满足不等式0)3()12(>-+-m f m f 的m 的取值范围为 ▲ ．7．已知函数3()y f x x =+为偶函数，且(10)10,f =若函数()()4g x f x =+，则(10)g -=▲ ．89．已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x ∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为 ▲ ．10．一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过 ▲ 小时,才能开车(精确到1小时). 11．已知函数123()=+1234x x x x f xx x x x +++++++++，则5522f f ⎛⎛-+- ⎝⎝＝ ▲ ． 12．()f x 的定义域为实数集R 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为 ▲ ．14．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①当[)3,1∈x 时②)(3)3(x f x f =.设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为*12,,,,()n x x x n N ∈.若(1,3)a ∈，则=++++-n n x x x x 21221 ▲ ．（用n 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q ：实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;(2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知四边形ABCD 是矩形，AB =，BC ，将△ABC 沿着对角线AC 折起来得到1AB C ∆，且顶点B 1在平面AB=CD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示．（1）求证：AB 1⊥平面B 1CD ；（2）求三棱锥B 1﹣ABC 的体积1B -ABC V ．17．（本小题满分14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．18．（本小题满分16分）（1）若函数)(x f 在2=x 时取得极值，求实数a 的值；（2）若0)(≥x f 对任意),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数()()()2log 41,xf x kx k =++∈R 是偶函数.（1）求k 的值；（2）设函数()24log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中0.a >若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围； （3）当1n m >>*(,)m n N ∈时，证明：参考答案1．2≥a 【解析】通过数轴分析得：2≥a . 考点：集合的交并补 2．若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠【解析】试题分析：原命题：若p 则q .逆否命题为：若q ⌝则p ⌝.注意“且”否之后变“或”. 考点：命题的逆否命题. 3． 4．[][)0,19,+∞【解析】试题分析：由题意得：函数1)3(2+-+=x m mx y 的值域包含[0,)+∞，当0=m 时，),,0[13+∞⊃∈+-=R x y 满足题意；当0≠m 时，要满足值域包含[0,)+∞，需使得.0,0≥∆>m 即9≥m 或10≤<m ，综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.考点：函数值域5【解析】解：因为定义域为R 的函数)(x f 为奇函数.且满足)()2(x f x f-=+，周期为4，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则21(lo2=-6．m>-2 【解析】 试题分析：因为sinx3)(+=x x f 的定义域为R 关于原点对称切满足()()f x f x -=-,所以函数()f x 为奇函数,又因为'()3cosx>0f x =+,所以函数f(x)在R 上单调递增.则(21)(3)0(21)(3)f m f m f m f m -+->⇒->--(21)(3)213f m f m m m ⇒->-⇒->-⇒m>-2,故填m>-2.考点：奇偶性 单调性 不等式 7．2014 【解析】试题分析：由函数3()y f x x =+为偶函数，且(10)10,f =得2010)10(10)10()10()10(33=-⇒+=-+-f f f从而2014420104)10()10(=+=+-=-f g ，故应填入2014．考点：函数的奇偶性． 8．3 【解析】考点：对数运算． 9．2【解析】由题意，x 2－3x ＋m ≥2x 2－4x ，即x 2－x －m ≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2. 10．5【解析】设x 小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车. 11．答案：8解析：因为f(x)＝xx ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4＝4－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4.设g(x)＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4， 则g(－5－x)＝－⎝⎛⎭⎫1x ＋4＋1x ＋3＋1x ＋2＋1x ＋1，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8， 故f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝8.12【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m=--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m=+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换. 13．答案：－4 解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4aca 2＝4ac －b 24a，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4. 14．6(31)n - 【解析】试题分析：由①当[)3,1∈x 时，可画出()f x 在[)1,3上的图象，根据②)(3)3(x f x f =，只要将()f x 在[)1,3上的图象沿x 轴伸长到原来的3倍，再沿y轴伸长到原来的3倍即可得到()f x 在[)3,9上的图象，以此类推，可得到在[)[)9,27,27,81上的图象，关于x 的函数ax f x F -=)()(的零点，可看成函数()y f x =与y a=图象交点的横坐标，由函数()y f x =图象的对称性可知：,如图，所以就有)()212126136636363313n n n x x ---+++=+⨯+⨯++⨯==-122126(31)n n n x x x x -++++=-考点：函数图象与性质及等比数列求和.15．解析：由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<,又0a >,所以3a x a <<, 当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <.由2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.若p q ∧为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是23x <<.(Ⅱ)p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p⌝,设A={|}x p ⌝,B={|}x q ⌝,则AB ,又A={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或,B={|}x q ⌝={23x x ≤>或}, 则0<2a ≤,且33a >所以实数a 的取值范围是12a <≤. 16．解析：（1）1B O ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴1B O CD ⊥，又CD ⊥AD ，AD I 1B O =O ∴CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D∴1AB CD ⊥，又11AB B C ⊥，且1B C CD C =I1AB ∴⊥平面1B CD（2）由于1AB ⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面ABCD ，所以11AB B D ⊥ 在1Rt AB D ∆中，17．解：(1) 设每只售价为x 元，则月销售量为⎝⎛⎭⎫5－x －80.5×0.2万只，由已知得⎝⎛⎭⎫5－x －80.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，(3分)∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0，(4分) 解得8≤x ≤372，(5分)即每只售价最多为18.5元．(6分)(2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5×0.2（x －8）2·(x －6)－265(x －9)(9分) ＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45（x －8）＋x －85＋745，(10分) ∵ x ≥9，∴45（x －8）＋x －85≥2425＝45，(12分) 当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10，y min ＝14，(13分)答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分) 18．（1，依题意有：0)2('=f ，即此时：函数)(x f 在)2,1(上单调递减，在),2(+∞上单调递增，满足在2=x 时取得极值分（2）依题意：0)(≥x f 对任意),1[+∞∈x 恒成立等价转化为0)(min ≥x f 在),1[+∞∈x 恒成立 6分令)('=x f 得：1,1221=-=x a x 8分当112≤-a 即1≤a 时，函数0)('≥x f 在),1[+∞恒成立，则)(x f 在),1[+∞单调递增，于是022)1()(min ≥-==a f x f ，解得：1≤a ，此时：1≤a 10分②当112>-a 即1>a 时，函数)(x f 在]12,1[-a 单调递减，在),12[+∞-a 单调递增，于是022)1()12()(min <-=<-=a f a f x f ，不合题意，此时：Φ∈a综上所述：实数a 的取值范围是1≤a 12分. 说明：本题采用参数分离法或者先用必要条件)1(≥f 缩小参数范围也可以.考点：1.函数的极值与导数；2.函数的最值与导数；3.分类讨论的思想. 19．解：（1）∵2()log (41)()x f x kx k =++∈R 是偶函数，∴2()log (41)()x f x kx f x --=+-=对任意x R ∈，恒成立 2分 即：22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，∴1k =- 5分（2）由于0a >，所以24()log (2)3xg x a a =⋅-定义域为24(log ,)3+∞， 也就是满足423x>7分 ∵函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点， ∴方程224log (41)log (2)3xxx a a +-=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解即：方程414223x xxa a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 9分 令2,x t =则43t >，因而等价于关于t 的方程 24(1)103a t at ---=（*）在4(,)3+∞上只有一解 10分①当1a =时，解得34(,)43t =-∉+∞，不合题意； 11分 当01a <<时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =<- ∴函数24()(1)13h t a t at =---在(0,)+∞上递减，而(0)1h =- ∴方程（*）在4(,)3+∞无解 13分②当1a >时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =>- 所以，只需4()03h <，即1616(1)1099a a ---<，此恒成立 ∴此时a 的范围为1a > 15分 综上所述，所求a 的取值范围为1a > 16分 19．20．解析：（1）∵()ln f x ax x x =+，∴'()ln 1f x a x =++， 1分 又∵()f x 的图象在点x e =处的切线的斜率为3，∴'()3f e =，即ln 13a e ++=，∴1a =； 2分 （2） 由（1）知，()ln f x x x x=+，∴2()f x kx ≤对任意0x >成立对任意0x >成立， 4分，则问题转化为求()g x 的最大值，，解得1x =， 5分 当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 6分 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k≥即为所求； 8分（3分 由（2）知，1ln (0)x x x ≥+>，∴'()0h x ≥， 10分 ∴()h x 是(1,)+∞上的增函数，∵1n m >>，∴()()h n h m >，即分∴ln ln ln ln mn n n n mn m m m ->-， 12分 即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+，ln ln ln ln mnm mn nnm m n +>+，ln()ln()n m m n mn nm >， 13分∴()()n mm nmn nm >，∴ 14分。
湖南省长沙市长郡中学2015届高三理数第三次月考试卷
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高三数学月考试题及答案-2015届高三第一次诊断考试(理)
2015年甘肃省高考一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B=Z，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集A，再由补集、交集的运算求出∁R A和（∁R A）∩B．【解析】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，则集合A={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁R A={x|﹣1≤x≤3}，又B=Z，则（∁R A）∩B={﹣1，0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）设i是虚数单位，复数Z=1+为（）A．1+i B．1﹣i C．C、﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】解：Z=1+=1+=1﹣i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先分别根据定积分的计算法则求出a，b，c的值，再比较其大小．【解析】解：a=dx=lnx=ln2=ln，b=dx=lnx=ln，c=dx=lnx=ln，∵23＜32，25＞52，∴＜，＞∴＜，＞，∴＞＞，∵函数f（x）=lnx为增函数，∴c＜a＜b故选：D【点评】本题考查了的定积分的计算以及数的大小比较的方法，属于基础题．4．（5分）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后与函数y=cos（2x﹣）的图象重合，则y=f（x）的解析式为（）A．y=cos（2x﹣）B．y=cos（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】解：由题意可得，把函数y=cos（2x﹣）=sin2x的图象向左平移个单位后，可得函数y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．（5分）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A．21 B．22 C．23 D．24【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，利用排列知识，即可得出结论．【解析】解：卡片上的四位数字之和等于8，四个数字为0，1，2，5；0，1，3，4．0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共1+2+2+=11个；0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共2=12个；故共23个．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．（）π B．（）π C．（）π D．（π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆柱与半个圆锥组成．【解析】解：该几何体为圆柱与半个圆锥组成，其中圆柱的体积为π×12×2=2π，半个圆锥的体积为××π×12×=π；故该几何体的体积是（）π，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的n=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前11项和B．计算数列{2n﹣1}的前10项和C．计算数列{2n﹣1}的前11项和D．计算数列{2n﹣1}的前10项和【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能，当i=11时，i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210，从而得解．【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0；执行S=1+2×0=1，i=0+1=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=2+1=3；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29+210，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210．算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前11项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．8．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由====k可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解析】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh，得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=，故选B．【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，2] C．[2，2] D．（2，2]【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式求出b 的最大值；由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【解析】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84，当d=0时，b有最大值为2，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，∴3b2+2（）2＞84，解得：b＞2，则实数b的取值范围是（2，2]．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=xcos，存在f（x）的零点x0，（x0≠0），满足[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），则λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，，）B．（﹣，0）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】关键题意得出=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为，即sin=±1，运用最小值得出：（1+λ2）＜λ4，求解即可．【解析】解：∵函数f（x）=xcos，∴f′（x）=cos﹣x sin，∵存在f（x）的零点x0，（x0≠0），∴=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为即sin=±1，∴[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），转化为：＜π2（λ2﹣x02），（1+λ2）x＜λ4，即只需满足：（1+λ2）＜λ4，化简得：λ2，即λ＞或．故选：D．【点评】本题综合考查了函数的零点，综合求解不等式，关键是确定x02的最小值为，代入得出转化的不等式，难度较大，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于112（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1，进而分析可得，8﹣=0时，有r=6，将r=6代入可得答案．【解析】解：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1=C8r•（2x）8﹣r•（﹣）r=C8r•（﹣1）r•（2）8﹣r•，分析可得，8﹣=0时，有r=6，此时，T7=112，故答案为112．【点评】本题考查二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．14．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积49π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解析】解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，因为AA1=2，所以OP=，所以OB==所以球的表面积为：4π×OB2=49π故答案为：49π．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是基础题．15．（5分）下面给出的命题中：①m=﹣2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m﹣2）x+（m+2））y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f（a）=sinxdx，则f[f（）]=1﹣cos1；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0，4，则P（ξ＞2）=0.2；④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0，则这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；高考数学专题．【分析】①由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，可判断；②由定积分运算法则和函数值的求法，即可判断；③运用正态分布的特点，即曲线关于y轴对称，即可判断③；④根据圆与圆的位置关系进行判断；⑤线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强．【解析】解：①，若m=﹣2，则直线﹣2y+1=0与直线﹣4x﹣3=0相互垂直；若直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，则应为充分不必要条件，则①错；②，函数f（a）=sinxdx=（﹣cosx）=1﹣cosa，则f[f（）]=f（1）=1﹣cos1，则②对；③，ξ服从正态分布N（0，σ2），曲线关于y轴对称，由P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.5﹣0.4=0.1，则③错；④，∵⊙C1：x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1，表示圆心为（﹣1，0），半径等于1的圆．⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0 即，x2+（y+1）2=2，表示圆心为（0，﹣1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，则③正确．⑤，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故不正确．故答案为：②④．【点评】本题考查充分必要条件的判断和函数的定积分运算、正态分布曲线的特点、直线与圆的位置关系的判断，考查两个变量的线性相关，考查运算能力，属于中档题和易错题．16．（5分）设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．【解析】解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．【点评】本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=﹣2ccosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，化简可得cosC=﹣，结合C的范围求C的值；（Ⅱ）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=﹣2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，sin（A+B）=﹣2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，∴cosC=，由0＜C＜π得，C=；（Ⅱ）∵a+b=6，∴a2+b2+2ab=36，∵△ABC的面积为2，∴，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2absinC=20﹣2×=28，所以c=．【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（Ⅱ）若二面角A一DE一B的余弦值为，求AE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．利用三角形中位线定理与平行四边形、线面垂直的判定与性质定理可得：DP∥MN，AC∥DP，即可证明AC∥平面BDE．（II）设AE=a，则E，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ADE的法向量=（1，0，0），利用==，解得a即可．【解析】（I）证明：如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．则，NP∥AE，NP=AE=1．∵BD=CD，BD⊥CD，M为BC的中点，BC=2，∴DM⊥BC，DM=1，又平面BCD⊥平面ABC．∴DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，∴四边形DMNP为平行四边形，∴DP∥MN，∴AC∥DP，又AC⊄平面BDE，DP⊂平面BDE，∴AC∥平面BDE．（II）解：设AE=a，则E，=（﹣1，0，1），=，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，取=，取平面ADE的法向量=（1，0，0），则===，解得a=4，即AE=4．【点评】本题考查了三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．【解析】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）==，P2=P（40≤X≤60）==，P3=P（X＞60）==，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P=（1﹣P3）3+（1﹣P3）2•P3=（）3+3×（）2×=，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1，对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000﹣6000=6000，P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P1=，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000，因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P2+P3=，由此得Y的分布列为则E（Y）=6000×+24000×=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000﹣12000=0，由此P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P1=，当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2﹣6000=18000，由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P2=，当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000，由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P3=，由此的Y的分布列为由此E（Y）=0×+18000×+36000×=15000（元），欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．【解析】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，∴∵c2=a2﹣b2∴a=2，c=1，∴椭圆的标准方程为；（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在设方程为y=k（x﹣2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则由△=32（6k+3）＞0，可得且x1+x2=，x1x2=∵∴∴[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（1+k2）=∴[﹣2×+4]（1+k2）=∴∵，∴∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，其方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数口的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）将问题转化为ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，从而求出a是范围．【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=﹣x+=﹣，（x＞﹣1），由f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，由g′（x）=2ax+﹣1=，（i）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，（ii）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），∴x=﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；（iii）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（Ⅰ）求∠ADF的值（Ⅱ）若AB=AC，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O 直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．（Ⅱ）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，于是=tan30°．【解析】解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．∴∠ADF=45°．（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，∴∠B=30°．∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴=tan30°=．【点评】熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解析】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；不等式．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解析】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
2015届高三10月月考数学试题
2015届高三月考数 学 试 题 2014.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1.若集合}2,1{-=m A ，且{2}A B =I ，则实数m 的值为 ▲ .2.已知i 为虚数单位，若12(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则a b +的值是 ▲ . 3.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ▲ .4.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ▲ .5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ .6.已知1sin 3θ=-，则cos(2)πθ+的值等于 ▲ .7. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523a a =，若65S a λ=,则λ= ▲ .8．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥A 1—B 1EF 的体积为 ▲ .9. 在直角三角形ABC 中，1,1,2AB AC AB AC BD DC ⊥===r,则AD CD ⋅uuu r uu u r的值等于___▲_____.10.直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点，若4AB >，则k 的取值范围是 ___▲_____.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是___▲_____．12．已知数列{}n a 的通项公式为n c a n n=+，若对任意*n N ∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是___▲_____ ．13.已知函数,1,log 31,3)(3⎩⎨⎧≥-<=x x x x f x 若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .(第5题)EADCFP 14．若ABC ∆的内角A 、B ,满足sin 2cos()sin BA B A=+,则tan B 的最大值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =．求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面PAC ．17、（本小题满分14分）某园林公司计划在一块以O 为圆心，R (R 为常数，单位为米)为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．如图所示．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元． (1)设∠COD ＝θ(单位：弧度)，用θ表示阴影部分的面积 S 阴影＝f (θ)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>> 的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．19．（本题满分16分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3123,7,3,3,4n S S a a a =++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中*n N ∈。
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2015学年高三月考数学（理）试卷一、选择题：每小题5分，共60分． 1．已知i 为虚数单位,则复数21ii-+在复平面上所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设p ：0202>--x x ，q ：2log (5)2x -<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.55.在ABC ∆中,角C 、、B A 所对应的边分别为c b a 、、,若角C 、、B A 依次成等差数 且3,1==b a ,则ABC S ∆等于( ) A ．2 B ．3 C ．23 D ．26.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且⎰+=310)21(dx x S ，1820=S，则30S 为（ ） A ．36 B ．27 C ．24 D ．217.函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线,则实数a 的取值范围是( ) A ．(]2,∞- B ．()2,∞- C ．[)+∞,0D ．()+∞,28. 双曲线221x y -=的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点）， 则直线PF 的斜率的变化范围是 （ ）A. (－∞，0)B. (1，+∞)C. (－∞，0)∪(1，+∞)D.(－∞，－1)∪(1，+∞)9.已知函数)(x f 的定义域为R,1)0(=f ,对任意R x ∈都有2)()1(+=+x f x f ,则=+++)10()9(1)2()1(1)1()0(1f f f f f f ( )A ．910B ．2110C ．109D ．211110.若直线05=-+ny mx 与圆522=+y x 没有公共点，则过点),(n m P 的一条直线与椭圆15722=+y x 的公共的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．311.函数)40)(24tan(<<-=x xy ππ的图像如图所示，A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图像交于C 、B 两点， 则 =∙+→→→OA OC OB )(（ ） A ．―8B ．―4C ．4D ．812. 已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()1,n n n c a a +=*,(,1),n b n n n N =+∈,则下列命题中是真命题的是( )(A)若对任意的*n N ∈，都有n c ∥n b 成立，则数列{}n a 是等差数列 (B)若对任意的*n N ∈，都有n c ∥n b 成立，则数列{}n a 是等比数列 (C)若对任意的*n N ∈，都有n c ⊥n b 成立，则数列{}n a 是等差数列 (D)若对任意的*n N ∈，都有n c ⊥n b 成立，则数列{}n a 是等比数列第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4，每小题4分，共16分． 13.若函数)0)(2cos()cos()(>-=ωωπωx x x f 的最小正周期为π，则ω的值为______.14.过点()2,1M的直线l 将圆22(2)9x y -+=分成两段弧,其中的劣弧最短时,l 的方程为_________________;15．在等差数列}{n a 的前n 项和为n S 若841,0S S a =>，则当n S 取最大值时，n 的值为 ．16.已知P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上异于顶点的一点,21F F 、分别是双曲线的左、右焦点,M 是21F PF ∆的内切圆的圆心，若212121F MF MPF MPF S S S ∆∆∆=-，则=ab__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题12分)已知函数x x x f 22sin )6(cos )(--=π.(1) 求)12(πf 的值.(2) 若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,都有c x f ≤)(,求实数c 的取值范围。
18. (本小题12分)双曲线C 的中心在原点,并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点,以抛物线x y 342-=的焦点为左顶点.(1)求双曲线C 的方程;(2)设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线l '：6+=mx y （)0≠m 对称，求k 的值。
19. (本小题12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。
已知m AD m AB 2,3==。
（1）设x AN =（单位：m ），要使花坛AMPN 的面积大于232m ，求x 的取值范围；（2）若)4,3[∈x （单位：m ），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。
20.(本小题12分) 已知()2sin()36f x x ππ=+，集合{|()2,0}M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列*{}.()n a n N ∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列112{}:1,,{}n n n n n b b b b a b +==+满足求的通项公式。
21.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a bx a y C 的离心率为23，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线3:+=kx y l 与椭圆C 交于A 、B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分14分） 已知()ln ,f x ax x a =-∈R .（Ⅰ）当2a =时，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1x =处有极值，求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使)(x f 在区间(]0,e 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.永泰一中2013－2014学年（上）高三第二次月考数学（理）试卷考试日期：12月20日 完卷时间:120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）13． _ ______________ 14.________________ 15. _ _______________ 16. _ ______________三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分）学校：___________________ 班级：___________ 姓名：__________________ 座号：___________------------------------------------------------密-------------------------------封--------------------------------线-----------------------------------------------------19、（本题满分12分）21、（本题满分12分）高三第二次月考数学（理）试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．1 14. ;032=+-y x 15. 6 16. 3三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.解（1）.236cos12sin )12(cos )12(22==--=ππππf ……………………4分 （2）)2cos 1(21)32cos(121)(x x x f --⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=π =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x x 2cos )32cos(21π=)2cos 232sin 23(21x x + =)32sin(23π+x ……………………7分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,332,2,0ππππx x12,232πππ==+∴x x 即当时，)(x f 取得最大值23。
……………………9分 所以c x f x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀)(,2,0π等价于23≥c ∴c 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23。
……………………12分18.解：由椭圆1132522=+y x 可得焦点为)0,32(),0,32(21F F - ………………1分又因为以抛物线x y 342-=的焦点为左顶点，所以双曲线的左顶点为)0,3(-…2分,32,3==∴c a 可得9222=-=a c b ……………………4分∴所求双曲线C 的方程为：19322=-y x ………………6分 （2）依题意得：k m 1-=，61:+-='∴x ky l ………………7分 设),(),,(2211y x B y x A ,AB 中点为),(00y x P 则⎩⎨⎧=-=-93932221y x y x 两式相减整理得：k y x y y x x x x y y ==++=--00212121213)(3003ky x =∴…① ………………9分又∴),(00y x P 在直线l l '和上,6100+-=∴x ky …② 300+=kx y …③ 由①②③得:1±=k ……………………11分 经检验, 1±=k 符合题意 ∴ 1±=k ……………………12分 19.解：解：（1）由于AM DC AN DN =，则23-=x xAM ，232-=⋅=∴x x AM AN S AMPN ……3分 0)8)(83(,064323,322322>-->+-∴>-x x x x x x 即 又2>x 解得：8382><<x x 或 所以AN 长的取值范围为),8()38,2(+∞⋃……………6分 （2）令22)2()4(3,23--='-=x x x y x x y 则 ……………8分 因为当[3,4)x ∈时，y ′< 0，所以函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数，从而当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米， 此时AN ＝3米，AM=9米 …………………………………………12分20.解：（I ）由()2sin 236f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，得sin 136x ππ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 即362x k ππππ+=+，其中k Z ∈，31,x k k Z ∴=+∈，………………3分 又0x >，{}31,M x x k k N ∴==+∈，依题意，可得数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，………………5分 ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，*n N ∈………………6分（II ）112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+………………7分 =1211222n n a a a b --++++=()()123222211n n n --+++--+………………9分 =()()12123211 3.22312n n n n ----+=---………………11分∴n b =3.223n n --（*n N ∈）………………12分21.（1）解：由题设得23=a c ，又32=∴=c a 1222=-=∴c a b …………4分 故所求椭圆的方程为1422=+x y ………………5分 （2）存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O. ……………… 6分 理由如下:设点),(),,(2211y x B y x A将直线l 的方程3+=kx y 代入1422=+x y 并整理得： 0132)4(2=-++kx x k ……(*) ……………7分则41,432221221+-=+-=+k x x k k x x ……………8分 线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O=+∴,即02121=+y y x x ………………9分 又3)(32121221+++=x x k x x k y y , 于是0346412222=++-++-k k k k 解得211±=k ……………11分 经检验:此时(*)式中0≥∆,适合题意 所以当211±=k 时, 线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O. …………12分22.解:（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln f x ax x =-，所以1'()f x a x=- 当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =， 因为1'()2f x x =-， 所以1'(1)211f =-= ……………………2分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为 2'(1)(1),10y f x x y -=--+=即. ……………………4分 （Ⅱ）因为()1f x x =在处有极值，所以'(1)0f =，由（Ⅰ）知'(1)1,f a =-所以1a =经检验，1()1a f x x ==时在处有极值. ………………………6分 所以1()ln ,'()10,f x x x f x x=-=->令解得10x x ><或； 因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以'()0f x >的解集为(1,)+∞，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞. ……………………………………8分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使()ln ((0,e] )f x ax x x =-∈有最小值3， ①当0a ≤时，因为(0,e],'()0x f x ∈<所以，所以()f x 在(0,e]上单调递减， min ()(e)e 13f x f a ==-=，解得4e a =（舍去） …………………………10分 ②当110e ()(0,)f x a a <<时,在上单调递减，在1(,e]a上单调递增， 2min 1()()1ln 3,e f x f a a a==+==解得，满足条件. ……………………………12分 ③当1e ,(0,e],'()0x f x a≥∈<时因为所以， 所以 ()(0,e]f x 在上单调递减，min ()()13f x f e ae ==-=， 解得4ea =，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当(0,],()x e f x ∈时有最小值3. ……………………14分。