0801线性代数
最全线性代数知识表
线性代数(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量√ 行列式的计算：⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m nA a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:①1A A A *-=○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换1111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑧ 设√ ④,m n n A B ⨯⨯若 ⑤(r AB ⑥A B 若若⑦若()m n r A ⨯若()n s r B n ⨯=⑨()r A B ±⑩A O r OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 12,,,,n n αβααβα⇒线性相关可由有唯一组解表示法唯一线12),)()A r A ββααββ教材 讲义性无关 不可由 Ax Ax ββ==其导出组有非零解()r A *⎧⎪=⎨⎪⎩1,,,,k k Ax Ax Ax ηηλληβηβ==也是它的解是 的解是的两个解1111,,k Ax Ax βηληλη=的解是 √ 设A ()r A m =⇒)A β⇒√ 判断1,s ηη是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη线性无关；② 12,,,s ηηη都是Ax 的解；③ ()sn r A =-=每个解向量中自由未知量的个数√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一,s ξ是Ax 列向量个数相同）① 它们的极大无关组相对应② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系(A r A B βγ⎫=⎪⎭m n A ⨯与l n B ⨯B =（左乘可逆矩阵m n ⨯与l n B ⨯关于公共解的三中处理办法：① 把(I)142c c ηη+都是非齐次线性方程组时，设1c ξ+两方程组有公共解21233)(,r c ηηηξη=+-(II)中，找出(I)的通解中的任的关系式而求出公共解。
2020年硕士招生专业目录(正式发布版)
00不区分研究方向 (1)全日制
①101思想政治理论②201英语一③302数学二④ 804材料科学基础
0701Z1商务智能与大数据管理
00不区分研究方向 (1)全日制
①101思想政治理论②201英语一③610数学分析④ 801线性代数
①101思想政治理论②201英语一③301数学一④ 814智能制造与机器人专业综合（一）
①101思想政治理论②201英语一③301数学一④ 808电子科学与技术综合或818智能制造与机器人 专业综合（二）
①101思想政治理论②201英语一③302数学二④ 804材料科学基础
考试方式
院系所
012计算机科学与工程系
考试方式
院系所
001数学系
002物理系
003化学系 004生物系 21全国统考 005电子与电气工程系
006材料科学与工程系
南方科技大学2020年硕士招生专业目录
专业 070100数学 070200物理学 085600材料与化工 070300化学 085600材料与化工 071000生物学 080900电子科学与技术 085600材料与化工 070200物理学
00不区分研究方向 (1)全日制
①101思想政治理论②201英语一③614生物化学与 分子生物学④811细胞生物学
00不区分研究方向 (1)全日制
①101思想政治理论②201英语一③301数学一④ 808电子科学与技术综合
00不区分研究方向 (1)全日制
①101思想政治理论②201英语一③302数学二④ 804材料科学基础
①101思想政治理论②201英语一③614生物化学与 分子生物学④811细胞生物学
①101思想政治理论②201英语一③301数学一④ 808电子科学与技术综合
《线性代数(经管类)》讲义
2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 + 5×1列 1
0
0 按第二行展开 31
2 = 81
37 5
7 37 5
10/53
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 = b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 −1 2 1 2行 +1×1行 5 D4 = 5 2 3 2 3行 + (−2) ×1行 1
062 0 −5 0
56 按第二列展开 − 1 − 5
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 + ai2 Ak 2 + L + ain Akn = 0(i ≠ k )
或 a1 j A1s + a2 j A2s + L + anj Ans = 0( j ≠ s)
8/53
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
3
3
∑ ∑ 我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 = ai1 Ai1 = (−1)i+1 ai1Mi1
introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释
introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释1.引言1.1 概述线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间和线性变换的性质及其应用。
它作为一门基础学科，在多个领域如物理学、计算机科学以及工程学等都有广泛的应用。
线性代数的研究对象包括向量、向量空间、矩阵、线性方程组等，通过对其性质和运算法则的研究，可以解决诸如解线性方程组、求特征值与特征向量等问题。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间和线性变换。
向量是指在空间中具有大小和方向的量，可以表示为一组有序的实数或复数。
向量空间是一组满足一定条件的向量的集合，对于向量空间中的任意向量，我们可以进行加法和数乘运算，得到的结果仍然属于该向量空间。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。
线性方程组与矩阵是线性代数中的重要内容。
在实际问题中，常常需要解决多个线性方程组，而矩阵的运算和性质可以帮助我们有效地解决这些问题。
通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以利用矩阵的特殊性质进行求解。
线性方程组的解可以具有唯一解、无解或者有无穷多解等情况，而矩阵的行列式和秩等性质能够帮助我们判断线性方程组的解的情况。
向量空间与线性变换是线性代数的核心内容。
向量空间的性质研究可以帮助我们理解向量的运算和性质，以及解释向量空间的几何意义。
线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算，通过线性变换可以将复杂的向量运算问题转化为简单的矩阵运算问题。
在线性变换中，我们需要关注其核、像以及变换的特征等性质，这些性质可以帮助我们理解线性变换的本质和作用。
综上所述，本章节将逐步介绍线性代数的基本概念、线性方程组与矩阵、向量空间与线性变换的相关内容。
通过深入学习和理解这些内容，我们能够掌握线性代数的基本原理和应用，为进一步研究更高级的线性代数问题打下坚实的基础。
1.2文章结构在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构和各章节的内容概述。
考研数学一专题2024线性代数历年题目解析
考研数学一专题2024线性代数历年题目解析一、题目解析在数学一专题的考研中，线性代数是一个重要的内容。
掌握线性代数的基本理论和解题方法对于提高数学一专题的得分至关重要。
为了帮助考生更好地备考线性代数部分，本文将对2024年考研数学一专题中的线性代数部分的历年题目进行解析。
二、基础知识回顾在开始解析具体题目之前，我们先来回顾一下线性代数的基础知识。
1. 矩阵和向量矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵可以用来表示线性关系，是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以看作是特殊的矩阵，它只有一列。
2. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程所组成的方程组。
求解线性方程组是线性代数中的重要问题之一。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
通过矩阵的运算，我们可以得到矩阵的秩、特征值和特征向量等重要的性质。
4. 矩阵的逆和行列式矩阵的逆是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
行列式是一个常数，它可以用来判断矩阵是否可逆以及矩阵的秩。
三、题目解析接下来我们将对2024年考研数学一专题中的线性代数部分的历年题目进行解析。
以下是几个典型的题目：1. 题目一已知矩阵A是一个n阶方阵，且对任意非零n维列向量x，都有Ax=0。
则矩阵A的秩为多少？解析：根据题目中已知条件，对任意非零n维列向量x，都有Ax=0，这说明矩阵A的列向量都处于同一平面上。
因此，矩阵A的秩为1。
2. 题目二已知矩阵A为3阶方阵，且A的行列式|A|=3，求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据矩阵A为3阶方阵，且A的行列式|A|=3，我们可以得知矩阵A是可逆的。
根据矩阵的性质，矩阵A的逆矩阵可以通过下式求得：A^-1 = (1/|A|) * adj(A)，其中adj(A)是A的伴随矩阵。
因此，我们可以先求得矩阵A的伴随矩阵，然后再乘以1/3得到矩阵A的逆矩阵。
3. 题目三已知矩阵A和矩阵B都是2阶方阵，且A+B=2I，其中I是2阶单位矩阵。
2024考研数学一线性代数历年题目综合解析
2024考研数学一线性代数历年题目综合解析数学一是考研数学中的一门重要的课程，而线性代数则是其中的重要内容之一。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法，对于解答数学一中的相关题目具有至关重要的作用。
因此，本篇文章将对2024考研数学一线性代数的历年题目进行综合解析，以帮助考生更好地应对考试。
一、基础知识梳理在开始解析历年题目之前，我们先回顾一下线性代数的基础知识。
线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
它包括向量、矩阵、行列式、特征值与特征向量、线性方程组等内容。
在解答线性代数的相关问题时，我们需要掌握以下几个基本概念：1. 向量：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的加法、减法、数乘等运算是线性代数中常见的操作。
2. 矩阵：矩阵是一个矩形的数表，其中的元素可以是实数或复数。
矩阵的加法、减法、乘法等运算是线性代数中常见的操作。
3. 行列式：行列式是一个标量，它由方阵的元素按照一定的规则计算得出。
行列式可以用于求解线性方程组的解的存在性和唯一性等问题。
4. 特征值与特征向量：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，则称k为矩阵A的特征值，对应的x称为A的特征向量。
5. 线性方程组：线性方程组是形如Ax=b的方程组，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
通过解线性方程组，可以求解出未知向量的值。
二、历年题目解析以下将对2024年考研数学一线性代数的历年题目进行综合解析，帮助考生理解题目的含义和解题思路。
请注意，为了遵循合同的要求，以下题目仅以题干和解析的方式呈现。
题目1：已知矩阵A=[1 2 3]，求矩阵A的逆矩阵。
解析：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于一个3阶方阵A，当且仅当|A|≠0时，A存在逆矩阵。
根据题目中给出的矩阵A，可以利用矩阵的初等行变换来求解逆矩阵。
题目2：已知矩阵A=[1 2 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。
线性方程组的理论及应用
线性方程组的理论及应用数学0801 彭纪荣摘要：线性代数起源于研究线性方程组，试图找到一般的方法求它们的解。
线性方程组的理论是线性代数的基础部分。
这个理论包括三个方面：线性方程组的求解方法；线性方程组解的情况的判定；线性方程组的解的结构。
线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。
因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之一。
在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具，该文系统地从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具。
在线性空间的讨论中不但给出了替换定理的一个推广，而且应用线性方程的知识给出了线性空间中的替换定理的一个新证法，进而推出了一个新结论，并得到了一些有使用价值的应用。
关键词：线性方程组，求解方法，判定，结构，非零解，替换定理，秩一、线性方程组的解法解线性方程组的最基本最有效的方法是消元法。
它的做法是：先把线性方程组的增广矩阵经过矩阵的初等行变变换化成阶梯形，然后去解相应的阶梯形方程组。
或者把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形，从而可立即写出方程组的解。
例1 解线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2573431272327225354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成行简化阶梯形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------257343112111721132712253→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------000000666100545110112111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------000000666100121010875001 从而得到此方程组的一般解为：⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=-+=66662875543542541x x x x x x x x x 其中x 4、x 5是自由未知量。
《线性代数》课程教学大纲(经济管理类)
《线性代数》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标《线性代数》是学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。
它的主要目的和任务是通过本课程的教学，使学生了解和掌握行列式、矩阵、线性方程组、二次型等基本概念，基本原理理论和基本计算方法，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题的能力，同时使学生的抽象思维能力和数学建模能力受到一定的训练。
本课程主要教学内容包括行列式、矩阵、向量的线性相关性，线性方程组，矩阵的特征值，二次型等。
另外，有关的习题课、应用线性代数知识解决实际问题的数学建模课也是教学的重要部分。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的数学思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据性质法则、公式正确地进行运算。
能够根据不同问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地运用所学的知识方法理念去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《线性代数》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第一章行列式（10）（一）教学要求通过本章相关内容的学习，了解行列式的概念；理解克莱姆法则,并且会用克莱姆法则解相应的方程组；掌握行列式的性质和行列式的展开定理，及正确计算行列式。
（二）教学重点与难点教学重点：n阶行列式的性质，行列式按行（列）展开定理教学难点：n阶行列式的计算（三）教学内容第一节排列与逆序数1．n阶排列及奇（偶）排列的定义2．逆序数第二节 n阶行列式1．二阶、三阶行列式的定义2．n阶行列式的定义3. 一些特殊的n阶行列式计算第三节行列式性质1．行列式的性质2．利用行列式性质计算行列式第四节行列式按行（列）展开1. 余子式2. 行列式按行（列）展开法则3. 范德蒙行列式第五节克莱姆法则本章习题要点：1．n阶行列式的计算2．行列式按行（列）展开3．用克莱姆法则解相应方程组第二章矩阵及其运算（8学时）（一）教学要求通过本章内容的学习，使学生了解单位矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵与反对称矩阵的概念以及它们的性质，理解矩阵以及逆矩阵的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖南商学院2008年度（线性代数）期末考试试卷 一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-----aa aa a 1101101 。
2.若向量组21,αα线性无关，且向量组321,,βββ与向量组21,αα等价，则321,,βββ线性 。
3.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是： 。
4.三元线性方程组b AX =系数矩阵的秩2)(=A r ，已知b AX =的两个解分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112β，则b AX =的全部解可表示为 。
5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A 。
6.已知四阶行列式1468987655554321=D ，则其第四行元素的代数余子式之和=+++44434241A A A A 。
7.n m ij a A ⨯=)(为n m ⨯矩阵，则T AA 主对角线元素之和=)(T AA tr 。
8.已知T ⎪⎭⎫⎝⎛=32,32,311α,T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,322α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31,32,323α是3R 的一组标准正交基，向量()T3,2,1=α在这组基之下的坐标为 。
9.βα,分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量，则α与β的内积=),(βα 。
10.n 元实二次型AX X f T =正定，它的正惯性指数p 、秩r 与n 之间的关系为 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1.B A 、均为n 阶矩阵，且A 可经若干次初等变换化为B ，则 （ ） A .B A =B .)()(B r A r =C .A 与B 相似D .A 与B 合同2.向量组m ααα,,,21 线性相关，且该向量组的秩为r 则 （ ）A .m r =B .m r 、没有关系C .m r >D .m r <3.B A 、均为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A -=-+成立的充分必要条件为（ ）A .B A =B .E A =C .E B =D .BA AB =4.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ（）。
A .1或2B .－1或－2C .１或－２D .－１或２5.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2013A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3215B ，则 （ ）A .B A +为正定矩阵 B .A B -为正定矩阵C .A 为正定矩阵D .B 为正定矩阵三、计算题（每小题9分，共63分） 1.计算行列式nn 2...22221...222 (2)2...32222...22222...221-2.给定线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x（1）当b a 、为何值时，方程组有解？（2）在方程组有解时，求其解；并用其导出组的基础解系线性表示该方程组的通解。
3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，且X A AX 2+=。
（1）计算T AA ；（2）1)2(--E A ；（3）求矩阵X 。
4.给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11012α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02303α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10114α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57655α。
求向量组54321,,,,ααααα的一个极大线性无关组，并将其余向量分别用所求的极大无关组线性表示。
5.已知A 为n 阶正交矩阵，即E A A T =，且0<A 。
（1）求行列式A 的值；（2）求行列式A E +的值。
6.给定实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A(1)求A 的全部特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q ，使AQ Q AQ Q T =-1为对角矩阵。
7.已知二次型323121232221321222222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=。
（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）化二次型为标准形，并写出所对应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，证明：A 不可与对角矩阵相似。
《线性代数》参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1. 321a a a -+-；2.相关；３.)()(A r A r =；4.c c ),(211βββ-+为任意常数； 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；6. 0； 7.∑∑==m i n j ij a 112；8.T ),,(3132311-； 9.0； 10.r p n == 二、单项选择题（每小题2分，共10分）1.Ｂ；2.Ｄ；3.Ｄ；4.Ｃ；5.Ａ。
三、计算题（每小题9分，共63分）1.原式=20...00003...000 00...30022...22200...001---n n 4分=20000300001000012---n n7分)!2(2--=n9分2.对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a b a a b a A 526221062210362210111112133456221003112311111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→a a b a a 2200000300000362210111113分当022&03=-=-a a b ，即3,1==b a 时线性方程组有解。
4分在有解的情况下，继续对增广矩阵进行初等行变换。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000003622102511010000000000003622101111115分原方程组的一般解为⎩⎨⎧---=+++-=54325431622352x x x x x x x x ,543,,x x x 为自由未知量。
方程组的特解T )0,0,0,3,2(0-=γ； 7分 其导出组的一般解为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x ,543,,x x x 为自由未知量。
导出组的基础解系为T T T )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,),0,0,1,2,1(321-=-=-=ηηη 原方程组的全部解为3322110ηηηγc c c +++，321,,c c c 为任意常数。
9分3.（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA3分（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--461351341)2(1E A5分 由X A AX 2+=，得A X E A =-)2((3) A E A X 1)2(--=7分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=9122692683321011324461351341 9分4.以54321,,,,ααααα为列向量组作矩阵A ，并施行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000015.010025.001035.00010000021200123105101151011702116130151011A 5分 321,,ααα是该向量组的一个极大线性无关组7分 且3215321423,5.05.05.0αααααααα++=+--=9分 5.由于12====E A A A AA T T ，则1±=A ； 2分 因为0<A ，所以1-=A 。
4分 A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)(7分 所以0=+A E9分6.(1)2)1)(4(211121112--=---------=-λλλλλλA E 所以A 的特征值为，41=λ，132==λλ3分对于41=λ，有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--020202321321321x x x x x x x x x ，得⎩⎨⎧==3231x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111α，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111311η，A 对应于特征值41=λ的全部特征向量为)0(111≠c c α5分对于132==λλ，有⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---000321321321x x x x x x x x x ，基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,01132αα（可以直接取为正交的，或经过正交化），单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011212η，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211613η，A 对应于特征值132==λλ的全部特征向量为323322,(c c c c αα+不全为零） 7分（2）作正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-62316121316121313210)(ηηηQ ，可使 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000100041AQ Q AQ Q T 为对角矩阵。
9分7.（1）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x X 二次型f 的矩阵表达为AX X f T =；2分 （2）根据第6题结论，有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-62316121316121313210)(ηηηQ ，可使 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000100041AQ Q AQ Q T为对角矩阵。
5分作正交变换QY X =，即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=362131336122113123612211311y yx y y y x y y y x ， 7分 可将二次型化为标准形2322214y y y f ++= 9分 或者进行配方2334233122323212211)()(2x x x x x x f +++++=,5分 所作的非奇异线性变换为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=333312233122111y x y y x y y y x7分 即234223212y y y f ++= 9分四、证明题（本题7分）2)1)(2(201034011--=----+=-λλλλλλA EA 的特征值21=λ，132==λλ。
3分对于A 的二重特征值132==λλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⋅000210101101024012)1(A E ，232)1(-≠=-⋅A E r 6分（对应于二重特征值没有两个线性无关的特征向量，A 不存在3个线性无关的特征向量）所以，A 不可与对角矩阵相似。